劉 煒，李思文，楊 龍，樊國楨，潘衛(wèi)國

(1.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031; 2. 北京全路通信信號研究設(shè)計院集團(tuán)有限公司, 北京 100071)

直流牽引供電系統(tǒng)中，鋼軌是主要的回流傳輸路徑，近些年來鋼軌電位問題日趨嚴(yán)重。為了防止鋼軌電位過高對人身造成的危害，在各個車站及停車場安裝鋼軌電位限制器(Overvoltage Protection Device,OVPD)[1]。目前國內(nèi)地鐵線路運營時鋼軌電位經(jīng)常達(dá)到120 V甚至更高，OVPD頻繁動作后閉鎖接地情況屢屢發(fā)生。

直流牽引供電系統(tǒng)中，鋼軌電流的頻率成分主要來源于兩部分：①直流牽引變電所整流帶來的特征諧波和非特征諧波[2-3]，采用24 脈波整流后，這部分分量含量不大；②地鐵車輛逆變器輸出VVVF 交流電壓給交流牽引電機(jī)時，在逆變器的輸入側(cè)產(chǎn)生6倍頻的諧波電流成份。

圖 1為某地鐵OVPD動作前鋼軌電位波形，鋼軌電位頻譜中交流分量為12.16 V，直流分量為137.183 V；6倍頻成分占總交流分量的75.8%。

圖1 動作前鋼軌電位波形

軌中電流交流頻譜和鋼軌電氣參數(shù)對鋼軌電位計算有很大影響[4]。文獻(xiàn)[5]利用Bessel函數(shù)給出了管狀圓柱導(dǎo)體內(nèi)阻抗計算公式。該公式在圓柱導(dǎo)體上得到了很好的應(yīng)用，但是鋼軌為工字形截面無法用該公式計算。文獻(xiàn)[6]指出鋼軌等效為管狀圓柱導(dǎo)體模型是針對不規(guī)則導(dǎo)體計算阻抗的常用模型且精度較高，但是在計算過程中難以確定管狀導(dǎo)體參數(shù)的數(shù)值，并且隨著頻率的增大，Bessel函數(shù)級數(shù)展開式逐漸不可靠。

文獻(xiàn)[7-9]提出使用標(biāo)記法和多項式近似Bessel函數(shù)，解決了大參數(shù)的問題卻忽略了Kelvin函數(shù)的影響且未給出鋼軌等效管狀圓柱導(dǎo)體計算參數(shù)。文獻(xiàn)[10-11]結(jié)合有限元建模仿真FEM提出管狀圓柱導(dǎo)體4個參數(shù)數(shù)值計算方法，但是有限元仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性有待考證。

針對現(xiàn)有鋼軌交流內(nèi)阻抗測量困難[12]且計算模型參數(shù)較多而復(fù)雜的問題，本文在實驗室搭建鋼軌交流內(nèi)阻抗實驗平臺，實測不同頻率下的鋼軌阻抗數(shù)據(jù)擬合確定P60鋼軌管狀模型參數(shù)；對直流牽引供電結(jié)構(gòu)進(jìn)行解耦，建立鋼軌-地分布式參數(shù)模型，提出考慮軌中電流交流頻譜下的鋼軌電位計算公式。通過實驗室和工程案例驗證了方法的準(zhǔn)確性。鋼軌電位的準(zhǔn)確計算對分析城市軌道供電屢屢發(fā)生的異常鋼軌電位問題(尤其是OVPDII段動作)、抑制鋼軌電位措施的研究有著重要的意義。

1 鋼軌管狀導(dǎo)體模型

1.1 管狀導(dǎo)體模型原理

在交流電流激勵下，由于導(dǎo)體的鐵磁特性，電流不均勻地分布在導(dǎo)體截面，這導(dǎo)致導(dǎo)體在不同頻率下的內(nèi)阻抗存在差異。當(dāng)只考慮集膚效應(yīng)，忽略鄰近效應(yīng)、溫度帶來的影響時，管狀導(dǎo)體的內(nèi)阻抗為

( 1 )

( 2 )

( 3 )

ω=2πf

( 4 )

式中：re為導(dǎo)體外徑；ri為導(dǎo)體內(nèi)徑；σ為導(dǎo)體電導(dǎo)率；f為電流頻率；μ為導(dǎo)體磁導(dǎo)率，μ=μrμ0。其中，μr為相對磁導(dǎo)率，μ0為真空磁導(dǎo)率；ber()、bei()為Bessel函數(shù)；ker()、kei()為Kelvin函數(shù)。

但是鋼軌作為“工”字形不規(guī)則截面導(dǎo)體，很難找到精確可靠的數(shù)學(xué)模型計算鋼軌交流內(nèi)阻抗，文獻(xiàn)[6，8，10]提出可以將鋼軌等效為管狀導(dǎo)體模型來計算內(nèi)阻抗，基本原理見圖2。

圖2 鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型

根據(jù)式( 1 )和式( 3 )可知，鋼軌等效管狀導(dǎo)體需要確定4個關(guān)鍵參數(shù)：鋼軌等效管狀導(dǎo)體電導(dǎo)率σ、等效管狀導(dǎo)體磁導(dǎo)率μ、等效管狀導(dǎo)體外徑re、等效管狀內(nèi)徑ri。

1.2 管狀導(dǎo)體內(nèi)阻抗的數(shù)值計算

式( 1 )、式( 3 )中的Kelvin函數(shù)計算繁瑣，且文獻(xiàn)[7-8]發(fā)現(xiàn)在參數(shù)mr>80的情況下，結(jié)果會出現(xiàn)振蕩、不可靠。這是因為鋼軌的高磁導(dǎo)率而導(dǎo)致mr過大引起振蕩。文獻(xiàn)[7]利用標(biāo)記法簡化式( 1 )，文獻(xiàn)[13]將Kelvin函數(shù)用余弦函數(shù)和多項式函數(shù)近似，降低了計算復(fù)雜性。本文將式( 1 )表達(dá)為Bessel函數(shù)形式，如式( 5 )所示。使用多項式函數(shù)以及余弦函數(shù)進(jìn)行簡化，適用范圍|x|>4，相對誤差為10-9數(shù)量級，得到的內(nèi)阻抗精度非常高，能滿足大部分計算需求[14-15]，并且易于編程。

( 5 )

( 6 )

式中：J0和J1分別表示0階和1階的第一類Bessel函數(shù); K0和K1分別表示0階和1階修正的第二類Bessel函數(shù)。

2 鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型參數(shù)的確定

雖然管狀模型計算精確且易于編程計算，但是在計算過程中難以確定關(guān)鍵參數(shù)。為此在實驗室建立鋼軌交流內(nèi)阻抗測量平臺，實測鋼軌不同頻率電流激勵下的阻抗，利用不同頻率下的鋼軌阻抗測試數(shù)據(jù)擬合鋼軌等效管狀導(dǎo)體的關(guān)鍵參數(shù)。

2.1 鋼軌不同頻率內(nèi)阻抗測量

為準(zhǔn)確獲得P60鋼軌不同頻率內(nèi)阻抗，在實驗室建立如圖 3所示的測試系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要是由大功率可編程交流電源，1 Ω精密、無感、大功率定值電阻，置于絕緣墊上的1 m待測鋼軌和信號采集裝置組成。

圖3 鋼軌交流內(nèi)阻抗測量原理(單位：m)

大功率可編程交流電源注入0～5 000 Hz，20 A、電流精度小于0.2%的電流信號。為了確保電壓測量精度盡可能高，信號采集裝置要求達(dá)到采樣頻率50 kHz，采樣位數(shù)為24位且支持多通道采集和精確調(diào)節(jié)增益功能。

測量導(dǎo)線和電源回路連接導(dǎo)線會對測量信號產(chǎn)生電磁干擾，需要將測量導(dǎo)線和連接導(dǎo)線均穿過獨立銅管進(jìn)行電磁屏蔽。經(jīng)過多次試驗驗證，當(dāng)連接導(dǎo)線位于距鋼軌3 m以外的位置時，可以避免電磁干擾的影響。

為了避免接觸電阻的影響，試驗中采用四點法對圖 3中0.85 m鋼軌縱向電壓進(jìn)行測量。受限于實驗室內(nèi)鋼軌長度較短，注入電流在鋼軌內(nèi)分布不均勻會影響鋼軌交流內(nèi)阻抗測量結(jié)果。通過同步測量鋼軌內(nèi)外側(cè)表面縱向電壓降落取平均值，以減少因軌中電流分布不均勻而引起的測量偏差。

試驗注入20 A不同頻率的電流，得到不同頻率下鋼軌縱向電壓降落的幅頻特性、相頻特性見圖4，根據(jù)圖 4可以看出，隨著頻率的增大，鋼軌縱向電壓降落幅值增加，相角減小。利用圖4中的測試結(jié)果，計算得到單位長度鋼軌交流內(nèi)阻抗見圖5。

圖4 P60鋼軌縱向電壓降落的幅頻特性、相頻特性

由圖 5可以看出，由于集膚效應(yīng)，頻率越大，折算至單位長度的鋼軌電阻和電抗越大；3 000 Hz情況下的交流內(nèi)阻抗相較于直流電阻增加了40倍左右。

圖5 P60鋼軌實測交流內(nèi)阻抗

2.2 鋼軌管狀導(dǎo)體模型參數(shù)確定

根據(jù)實測典型頻率下的鋼軌交流內(nèi)阻抗數(shù)據(jù)和管狀導(dǎo)體內(nèi)阻抗計算模型，擬合鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型參數(shù)。為了在一定約束下，計算結(jié)果Zr和實測結(jié)果Zi的差值達(dá)到最小，構(gòu)建最小誤差的數(shù)學(xué)模型為

( 7 )

利用最小二乘法得到μr= 249.79，σ=1.281×106S/m，re=0.165 m，ri=0.145 m。模型計算結(jié)果與實測對比見圖 6。采用Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)[16]以及相對誤差δ評估計算結(jié)果和實測結(jié)果。折算至單位長度電阻和電抗的Pearson系數(shù)分別為0.998、0.996，相對誤差分別為7.53%、7.27%，由此可以看出確定管狀導(dǎo)體模型參數(shù)后，其計算結(jié)果和P60鋼軌典型頻率下的內(nèi)阻抗實測結(jié)果吻合度較好。

圖6 鋼軌交流內(nèi)阻抗計算結(jié)果與實測結(jié)果對比

3 考慮阻抗頻率特性的鋼軌電位計算

3.1 直流牽引供電結(jié)構(gòu)軌-地回路電氣解耦

考慮地鐵隧道內(nèi)兩行鋼軌相對獨立且距離較遠(yuǎn)，可以忽略兩行鋼軌之間的影響。列車電流由接觸網(wǎng)注入一行的兩根鋼軌時，隧道段結(jié)構(gòu)示意見圖7。圖7中，ir為單根鋼軌上流過的電流。

圖7 四周無限大的圓形隧道模型

當(dāng)一行鋼軌通以大小相等，方向相同電流情況下，單位長度單根鋼軌外電感Le為

( 8 )

鋼軌-鋼軌之間互感Mrr為

( 9 )

鋼軌-鋼軌間電容Crr為

(10)

鋼軌-地間電容Cre為

(11)

式中：D為鋼軌間間距；R為隧道等效半徑；b為鋼軌中心至隧道中心的距離；θ為鋼軌1與鋼軌2在圓形隧道中的夾角；ε為真空介電常數(shù)。

根據(jù)電磁場理論，將兩根單位長度平行鋼軌等效為管狀導(dǎo)體后，在軌距D下會產(chǎn)生互感、電容，進(jìn)行解耦，見圖8。

圖8 軌-地回路電氣解耦示意

Le、Mrr解耦得到一行鋼軌等值電感L為

(12)

Crr、Cre等效在一行鋼軌對地均勻電容C為

(13)

3.2 典型頻率下鋼軌電位計算

考慮列車注入電流含有多種頻率成分。假設(shè)鋼軌位置x處，頻率ω下的電流向量為I(x,ω)，鋼軌對地電壓向量為U(x,ω)，位置x+dx處為I(x+dx,ω)、U(x+dx,ω)。解耦后一行鋼軌的等值電路如見9。圖9中，單位長度一行鋼軌與地之間的電導(dǎo)為g；頻率ω下單位長度一行鋼軌電阻和電感分別為Rr(ω)和L(ω)。

圖9 解耦后一行鋼軌分布式參數(shù)電路

圖9中鋼軌位置x處，U(x,ω)、I(x,ω)根據(jù)Kirchhoff定律可得

(14)

(15)

式中：C1、C2為根據(jù)邊界條件確定的系數(shù)。

假設(shè)當(dāng)x=0時，有如下邊界條件。

(16)

式中：U1為x=0位置處鋼軌電位在頻率ω下的電壓向量;I1為x=0位置鋼軌電流在頻率ω下的電流向量。

綜合求得頻率ω下位置x處的U(x,ω)、I(x,ω)為

(17)

根據(jù)端口網(wǎng)絡(luò)等值的方法得到一行鋼軌-地回路集中參數(shù)模型，在頻率ω下，長度L的鋼軌縱向電壓降落ΔU(L,ω)為

ΔU(L,ω)={cosh[λ(ω)L]-1}U1+

Zc(ω)sinh[λ(ω)L]I1

(18)

3.3 考慮軌中電流頻率成分后的鋼軌電位計算方法

考慮軌中電流頻率成分后的鋼軌電位計算步驟如下：

Step1在多個牽引變電所、多車的復(fù)雜工況下計算鋼軌電位極其復(fù)雜，根據(jù)疊加原理可以將復(fù)雜工況拆解為多個單邊供電工況。

Step2單邊供電工況下，當(dāng)已知列車時刻t、位置x處的軌中電流為ir(x,t)時，對列車電流進(jìn)行傅里葉變換，得到各次頻率下列車位置的電流向量Ir(x,ω)為

Ir(x,ω)=F[ir(x,t)]

(19)

式中：F(·)為傅里葉變換。

Step3在單邊供電工況下，確定邊界條件為

Ir(0,ω)=Ir(L,ω)

(20)

式中：L為單邊供電工況下牽引變電所和列車的間距。

Step4將各次頻率下的電流向量Ir(x,ω)和鋼軌內(nèi)阻抗Zr(ω)代入式(18)，得到各次頻率下、長度L的鋼軌縱向電壓降落向量ΔU(L,ω)和x=L處的鋼軌電位向量U(L,ω)為

(21)

Step5對各次頻率下的ΔU(L,ω)和U(L,ω)進(jìn)行傅里葉逆變換，得到長度為L的鋼軌縱向電壓降落時域Δu(L,t)和牽引變電所x=L位置處鋼軌電位時域u(L,t)分別為

(22)

式中：N為頻率數(shù)量；F-1(·)為傅里葉逆變換。

Step6根據(jù)疊加原理計算多個列車、多個牽引變電所的復(fù)雜工況下全線各位置鋼軌電位。

4 工程算例

4.1 實驗室平臺鋼軌縱向電壓降落算法驗證

為了驗證鋼軌電位計算算法的正確性，根據(jù)3.1節(jié)獲得的P60鋼軌交流內(nèi)阻抗，用大功率可編程交流電源發(fā)出如圖 10所示的多組6倍頻諧波電流疊加信號，在0.85 m鋼軌產(chǎn)生的縱向電壓降落見圖10。

圖10 6倍頻諧波電流、縱向電壓降落波形

考慮實驗室平臺工況，計算條件滿足式(23),將式(23)代入式(18)，計算實驗室平臺工況下的鋼軌縱向電壓降落。分析得到實測I(0,ω)、實測ΔU(L,ω)和計算ΔU(L,ω)中包含的6倍頻諧波分量幅值為

(23)

6倍頻諧波分量幅值見表1。

表1 6倍頻諧波電流、鋼軌縱向電壓降落典型頻率幅值

根據(jù)表 1可以看出，典型頻率下的縱向電壓幅值隨著頻率的增大而增大。計算|ΔU(L,ω)|中6倍頻電壓典型頻率幅值與實測值的相對誤差最大為9.12%。

計算Δu(L,t)和實測Δu(L,t)波形見圖 11。兩曲線的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.991，相對誤差小于7.59%，驗證了本文計算方法的有效性。

圖11 計算縱向電壓和實測縱向電壓降落對比

4.2 單邊供電時鋼軌電位計算的工程驗證

以某運營地鐵P60鋼軌線路L=1.88 km的區(qū)間為測試案例。該區(qū)間位于線路末端牽引變電所和出入段線咽喉區(qū)之間。在牽引變電所安裝饋線電流和鋼軌電位測量裝置，在咽喉區(qū)靠近正線一側(cè)布置鋼軌電位測量裝置。不同位置測試信號用GPS同步對時。

在收車階段最后一列車通過該區(qū)間時，末端牽引變電所的饋線電流為列車取流；以電纜支架上的貫通扁鋼為參考地，牽引變電所OVPD與咽喉區(qū)鋼軌電位之差即為長度L的鋼軌縱向電壓降落。監(jiān)測點系統(tǒng)圖見圖12，列車取流i(0,t)見圖13。

圖12 單邊供電系統(tǒng)示意

圖13 某地鐵單車負(fù)荷電流

對圖 13中的電流進(jìn)行傅里葉分解得到的頻譜見圖14。由圖14可見，列車負(fù)荷電流中包含大量1～50 Hz低頻分量以及少量6倍頻分量。

圖14 負(fù)荷電流頻譜

分別在Case A(僅考慮單位長度直流電阻)，Case B(考慮鋼軌阻抗頻率特性)兩種情況下，計算Δu(L,t)和u(L,t)，計算參數(shù)見表2。

表2 計算參數(shù)設(shè)置

Case B中計算Δu(L,t)和實測Δu(L,t)的誤差見圖15。由圖15可見，兩曲線的Pearson相關(guān)系數(shù)為0.922，相對誤差小于9.17%。

圖15 計算和實測鋼軌縱向電壓降落誤差

Case B中計算u(L,t)的頻譜見圖16。統(tǒng)計得到的i(0,t)、u(L,t)的典型頻率成分見表3。

表2 某地鐵i(0,t)、u(L,t)典型頻率成分

由表3可見，列車負(fù)荷電流中6倍頻分量占交流分量的20.25%，1～50 Hz分量占比達(dá)到75.24%。Case B中6倍頻分量占總交流分量的78.37%，1～50 Hz分量僅占到8.04%。誠然，軌中電流成分含有豐富的1～50 Hz分量和部分6 倍頻分量，但是在傳輸過程中，經(jīng)過鋼軌阻抗頻率特性的作用，呈現(xiàn)于鋼軌縱向電壓降落成分中的6倍頻分量增加了58.12%，1～50 Hz降低了67.2%。

圖16 牽引變電所u(L,t)頻譜

對比分析CaseA、CaseB兩種情況下，100 ms內(nèi)u(L,t)波形見圖17。由圖17可見，只考慮直流電阻的u(L,t)分布相對穩(wěn)定；考慮鋼軌阻抗頻率特性后，u(L,t)分布波動頻繁且劇烈；最大值增加了24.27%，最小值降低了18.60%。

圖17 兩種計算方法u(L,t)對比

5 結(jié)束語

本文提出了考慮鋼軌等效管狀導(dǎo)體模型和軌中電流頻譜的鋼軌電位計算方法。根據(jù)實測不同頻率下的阻抗結(jié)果，擬合確定P60鋼軌等效管狀導(dǎo)體參數(shù)。對直流牽引供電結(jié)構(gòu)進(jìn)行解耦，建立鋼軌-地分布式參數(shù)模型，提出復(fù)雜工況下鋼軌電位的計算方法。通過實驗室和工程案例驗證了方法的準(zhǔn)確性。

地鐵列車注入鋼軌電流中含有豐富的1～50 Hz分量和部分6 倍頻分量。這部分回流在傳輸過程中，經(jīng)過鋼軌阻抗頻率特性的作用，呈現(xiàn)于鋼軌電位成分中6 倍頻分量影響更大。

在城市軌道供電系統(tǒng)中，受列車注入電流頻譜分布的影響，采用計及鋼軌阻抗頻率特性的計算方法，鋼軌電位的計算結(jié)果更接近實際。鋼軌電位的計算對準(zhǔn)確分析城市軌道供電屢屢發(fā)生的異常鋼軌電位問題(尤其是OVPDⅡ段動作)、抑制鋼軌電位措施的研究有著重要的意義。