張姊同，曹艷華，朱挺欣

一類高階橢圓型方程特征值的多項(xiàng)式特解法

張姊同，*曹艷華，朱挺欣

（華東交通大學(xué)理學(xué)院，江西，南昌 330013）

通過給出一種求解高階橢圓型偏微分方程特征值的多項(xiàng)式特解法，使用多項(xiàng)式特解作為基函數(shù)對2階、4階、6階和8階橢圓型偏微分方程進(jìn)行求解，同時(shí)采用多尺度技巧降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)，得到了穩(wěn)定的數(shù)值解。數(shù)值算例表明該算法在求解高階偏微分方程特征值問題時(shí)具有精度高、效果好等方面的優(yōu)越性，進(jìn)一步證明了多項(xiàng)式特解法具有較高的精度和良好的穩(wěn)定性。

高階橢圓型偏微分方程；特征值：多項(xiàng)式特解法；

0 引言

在工程領(lǐng)域，橢圓型偏微分方程特征值問題有廣泛的應(yīng)用，用于求區(qū)域的Poincare常數(shù)[1-2]的Laplacian特征值問題，復(fù)雜非線性方程譜理論中的特征值問題等[3]，在融合實(shí)驗(yàn)中的等離子物理學(xué)。天體物理學(xué)、流體流動(dòng)的線性穩(wěn)定性力學(xué)等也有廣泛應(yīng)用[4]。求解偏微分方程特征值上通常采用有限差分法(FDM)[5-6]和有限元法(FEM)[7-8]等，然而這些傳統(tǒng)的方法在計(jì)算規(guī)模較大問題時(shí)，產(chǎn)生了需要對網(wǎng)格進(jìn)行剖分、計(jì)算耗時(shí)長、增加計(jì)算成本等缺點(diǎn)?；趶较蚧瘮?shù)的無網(wǎng)格方法在求解線性偏微分方程中的應(yīng)用非常寬泛，例如Kansa方法。而特解法是在Kansa方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，在這種方法中，把給定的函數(shù)在偏微分方程中的特解作為基函數(shù)去近似數(shù)值解[9]，而不再直接作為基函數(shù)，和Kansa法相比，特解法的數(shù)值結(jié)果更精確有效，但其有著徑向基函數(shù)形狀參數(shù)不確定的問題。

采用多項(xiàng)式特解作為基函數(shù)的特解法(MPPS)[10]求解高階橢圓型偏微分方程的特征值問題，基于多項(xiàng)式特解的基函數(shù)形狀參數(shù)是確定的，解決了上述問題，使特解法更精確，更易于實(shí)現(xiàn)。該方法有計(jì)算格式簡單，配置節(jié)點(diǎn)靈活的特點(diǎn)，因此可以應(yīng)用于高維的規(guī)則區(qū)域和不規(guī)則區(qū)域，是求解偏微分方程的有效方法[11-12]?？紤]如下特征值問題：

1 多項(xiàng)式特解法

本節(jié)簡要介紹多項(xiàng)式特解法求解偏微分方程的步驟?？紤]下面偏微分方程的邊值問題：

其中：

利用最小二乘法求得方程組(6)的最小二乘解，得到：

定理1.1[10]對于如下常系數(shù)二維二階偏微分方程的一般形式，給出了求解偏微分方程的步驟：

證明 式(7)可以寫成：

綜上有：

聯(lián)立式(10)和式(13)，有以下等式成立：

2 數(shù)值結(jié)果

文章所有的插值點(diǎn)都是由蒙特卡羅方法生成的隨機(jī)點(diǎn)[13]，此外，文章使用的多尺度技巧是一種預(yù)處理技巧[14]，減小了多項(xiàng)式特解法生成矩陣的條件數(shù)，使得多項(xiàng)式基函數(shù)在多項(xiàng)式基函數(shù)階數(shù)變大時(shí)是穩(wěn)定的。

式(18)的解析解為：

本文的數(shù)值例子均考慮規(guī)則的單位方形區(qū)域，其參數(shù)方程式如下：

單位方形區(qū)域的剖面圖如圖1所示。

算子

內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)和測試點(diǎn)的數(shù)目分別為3000個(gè)、600個(gè)和441個(gè)，這些點(diǎn)是隨機(jī)分布的。

圖1 計(jì)算域剖面圖

圖2 不同誤差對比圖

圖3 使用多尺度技巧和不使用多尺度技巧的誤差圖

表1 2階橢圓型方程在不同階數(shù)多項(xiàng)式基函數(shù)下的不同的對比

圖4 不同λ誤差對比圖

圖5 使用多尺度技巧和不使用多尺度技巧的誤差圖

表2 4階橢圓型方程在不同階數(shù)多項(xiàng)式基函數(shù)下的不同的對比

式(20)的解析解為：

圖6 不同誤差對比圖

圖7 使用多尺度技巧和不使用多尺度技巧的誤差圖

表3 6階橢圓型方程在不同階數(shù)多項(xiàng)式基函數(shù)下的不同的對比

式(21)的解析解為

算子

圖8 不同誤差對比圖

圖9 使用多尺度技巧和不使用多尺度技巧的誤差圖

表4 8階橢圓型方程在不同階數(shù)多項(xiàng)式基函數(shù)下的不同的對比

圖10 參數(shù)，時(shí)不同m的誤差對比圖

3 結(jié)論

本文驗(yàn)證了多項(xiàng)式特解法求解高階橢圓型偏微分方程特征值問題的有效性，得到了較高的精度和很好的穩(wěn)定性，進(jìn)一步證明了該方法可以推廣到更高階、更復(fù)雜的橢圓型偏微分方程的特征值問題，或者高階偏微分方程的邊值問題等。與其他經(jīng)典的求解特征值問題的數(shù)值方法相比，多項(xiàng)式特解法有以下優(yōu)點(diǎn)：

1）多項(xiàng)式特解法把偏微分方程中給定函數(shù)的特解作為基函數(shù)去近似數(shù)值解[9]，而不再直接作為基函數(shù)，使得到的數(shù)值結(jié)果和Kansa法相比更精確；

2）多項(xiàng)式特解法使用基于多項(xiàng)式特解的形狀參數(shù)確定的基函數(shù)，解決了特解法中徑向基函數(shù)形狀參數(shù)不確定的問題，和特解法相比更易于實(shí)現(xiàn)，數(shù)值結(jié)果更穩(wěn)定；

3）多項(xiàng)式特解法的精度和穩(wěn)定性都極好，易于編程，計(jì)算速度很快；

4）多項(xiàng)式特解法對求解高維復(fù)雜不規(guī)則域的偏微分方程是十分有效的。

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POLYNOMIAL PARTICULAR SOLUTIONS FOR SOLVING EIGENVALUE PROBLEM OF A CLASS OF HIGHER ORDER ELLIPTIC EQUATIONS

ZHANG Zi-tong,*CAO Yan-hua, ZHU Ting-xin

（School of Sciences, East China Jiaotong University, Nanchang, Jiangxi 330013, China）

The paper presents a method of polynomial particular solutions (MPPS) for eigenvalue problem of higher order elliptic partial differential equations. The second, fourth, sixth and eighth order elliptic partial differential equations are solved by using the polynomial particular solutions as the basis function, while the condition number of the coefficient matrix is reduced by using the multiscale technique, and a stable numerical solution is obtained. Numerical examples show that the algorithm has the advantages of high accuracy and good effect in solving eigenvalue problems of high-order partial differential equations, it is further proved that the polynomial particular solutions have high accuracy and good stability.

higher order elliptic partial differential equations; method of polynomial particular solutions; eigenvalue problem; innovation ability

1674-8085（2022）02-0008-07

O241.82

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2022.02.002

2021?11?01；

2021-12-11

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11461026)；江西省研究生創(chuàng)新資金項(xiàng)目(YC2020-S313)

張姊同(1997-)，女，吉林長春人，碩士生，主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究(E-mail:Z15797676772@163.com)；

*曹艷華(1978-)，女，山東兗州人，副教授，博士，主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究(E-mail:yanhuacao@yeah.net).