摘要：從空間想象到直觀想象，不是表述形式上的改寫，而是本質(zhì)內(nèi)涵上的突破。除了空間想象以外，還有時(shí)間想象和因果想象，尤其是因果想象為人類所獨(dú)有，是人類靈性的主要體現(xiàn)。人類是因?yàn)橄胂蠖闷?，而不是因?yàn)楹闷娑胂?。想象主要發(fā)生在潛意識里，有了對它的全面認(rèn)識和分類，才能從感覺、表象、概念、信念等入手進(jìn)行想象的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：想象;直觀想象;空間想象;時(shí)間想象;因果想象

想象是最自由的思考。它可以超越空間、超越時(shí)間、超越邏輯，因而也決定了它具有突然性、跳躍性和突破性，成為創(chuàng)造力的源頭。在強(qiáng)調(diào)全民創(chuàng)新和建設(shè)創(chuàng)造型國家的當(dāng)下，想象力培養(yǎng)顯得尤其重要。

但是，想象發(fā)生在潛意識里，我們說不清它是怎樣發(fā)生的，更說不清怎樣去促進(jìn)它，這又給想象的研究帶來了困難，也影響了教學(xué)中對想象的培養(yǎng)。在現(xiàn)行的基礎(chǔ)教育學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)中，只有高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確地把“直觀想象”列為學(xué)科核心素養(yǎng)之一（但對它的界定遠(yuǎn)不如其他學(xué)科核心素養(yǎng)那么清晰）。從教學(xué)大綱中的“空間想象”到課程標(biāo)準(zhǔn)中的“直觀想象”，具體產(chǎn)生了哪些變化，是形式上的還是本質(zhì)上的？ 這是我們必須面對的問題。

一、概念辨析：從“空間想象”到“直觀想象”

《中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）》對“想象”給出這樣的定義：想象是對頭腦中已有的表象進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的思維過程。 簡單地說，就是從已有表象創(chuàng)造出新表象的一種思維。“想象”既是動詞，也是名詞。

（一）空間想象

教育心理學(xué)家大衛(wèi)·洛曼說：空“間想象能力是一種形成、保持、恢復(fù)和傳輸結(jié)果良好的視覺圖像的能力。換句話說，就是人們想象物體在空間中如何變化的能力?！边@個(gè)定義的指向性非常明顯，就是圖形和圖形的運(yùn)動。

《中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）》則說：“空間想象能力是空間知覺、空間觀念和想象力的一種獨(dú)特的結(jié)合，是對空間表象進(jìn)行加工、改造、創(chuàng)新的能力?！憋@然，它把“空間”作為限定詞，用以排除與“空間”無關(guān)的想象。

眾所周知，數(shù)學(xué)是關(guān)于現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)想象就應(yīng)當(dāng)不僅有“空間想象”，還有“數(shù)量想象”。在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們對大數(shù)的想象、對倍數(shù)和余數(shù)的想象、對正比例和反比例關(guān)系的想象等，也是習(xí)以為常的。還有，著名的哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、梅森素?cái)?shù)猜想、黎曼猜想等，無不是對數(shù)的想象。即便是小學(xué)生做一道演算題，列式之前也要先在頭腦里有對大致的流程以及結(jié)果類型的想象。

更一般地，在空間想象以外，是不是還有其他類型的想象？ 我們還缺乏考慮，如此就不可能清晰地辨別“空間想象”與“直觀想象”。

（二）直觀想象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》對“直觀想象”的定義及說明是這樣的：直“觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律;利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題;建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路?！边@里的“利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題”構(gòu)“建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路”等，?都超出了“空間想象”的范圍。而且，“直觀” 不是限定詞而是強(qiáng)調(diào)詞，強(qiáng)調(diào)了“想象”的固有屬性。一方面，想象操作的是表象，形成的還是表象，而表象本身是直觀的;另一方面， 想象是人腦的一種思維形式，偏好直觀又是人腦的一個(gè)自然屬性。這就決定了想象的直觀屬性：世上并無“非直觀”的想象，“直觀想象”就是“想象”本身。因而，這個(gè)定義帶來的是根本性認(rèn)識，是對想象的正本清源。

綱領(lǐng)性文獻(xiàn)中如此大的理論突破，本應(yīng)在學(xué)術(shù)界引起反響，掀起研究熱潮。然而，筆者近期在知網(wǎng)檢索發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“直觀想象”的文章只有601 篇，與“數(shù)據(jù)分析”的39602 篇、“數(shù)學(xué)建?！钡?5610 篇相差甚遠(yuǎn)。而這601 篇文章的觀點(diǎn)又非常集中而單一，就是把“直觀想象”狹隘地理解為“幾何直觀”，甚至更狹隘地理解為“數(shù)形結(jié)合”。

（三）對想象的誤解

我們生活在空間內(nèi)，但頭腦中絕不僅有空間想象。只是因?yàn)槲覀儗臻g（能看見）最為熟悉，因而把很多的想象都?xì)w為空間想象。這是很大的誤解。比如，音樂人對旋律的想象，作家對故事情節(jié)的想象，情侶對未來生活的想象，史學(xué)家對過往大事的想象，程序員對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的想象，平常人對他人情感的想象， 政治家對人類命運(yùn)的想象，等等，都不是空間想象。

任何一門學(xué)科的前沿———如果有前沿的話———都有想象物的存在。牛頓想象了萬有引力以及平方反比律，很久之后，卡文迪許才用實(shí)驗(yàn)確定了它。愛因斯坦想象了引力波的存在，百年后的科學(xué)家才觀測到它?？茖W(xué)家想象了暗物質(zhì)作為宇宙膨脹的原因，繼而又想象了暗能量作為超速膨脹的原因。雖然現(xiàn)在人們還沒有觀測到它們的任何蛛絲馬跡，?但科學(xué)界傾向于相信它們的存在，而這一切仍然是想象。

關(guān)于宇宙膨脹的想象是空間想象，但關(guān)于膨脹原因的想象卻不是;關(guān)于行星運(yùn)動軌跡的想象屬于空間想象，但關(guān)于其運(yùn)動原因的想象卻不是…… 有很多想象不屬于空間想象，其重要性卻絲毫不遜于它，甚至猶有過之?？茖W(xué)史一再表明，揭示現(xiàn)象背后的原因比記錄現(xiàn)象更重要，因?yàn)榍罢叩恼J(rèn)識更深刻、前景更廣闊。

二、想象的分類

是時(shí)候?qū)ο胂筮M(jìn)行全面的梳理和分類了，因?yàn)樗械睦碚撗芯慷际菑姆诸愰_始的。比如，物理學(xué)對力的分類，化學(xué)對元素的分類，生物學(xué)對于動植物的分類，宇宙學(xué)對恒星的分類，等等。沒有分類就不可能建立起一套科學(xué)的理論，成功的分類則標(biāo)志學(xué)科的形成。

（一）從古典分類說起

心理學(xué)對于想象的分類有兩種：一種是有意想象和無意想象，另一種是再造想象和創(chuàng)造想象。這兩種分類從誕生起一直沿用到現(xiàn)在，都很“古典”，也可以說都很“原始”。它們的一個(gè)共同點(diǎn)是，都沒有把“空間想象”作為獨(dú)立的子項(xiàng)，在利用它們來看待空間想象時(shí)，也只能得到“有意空間想象”和“無意空間想象”，或者“再造空間想象”和“創(chuàng)造空間想象”，而這些并沒有帶來對空間想象的哪怕稍微深刻一點(diǎn)的認(rèn)識。事實(shí)上，我們可以把任何一種心理活動都分為“有意的”和“無意的”，比如“有意記憶”和“無意記憶”、“有意關(guān)心”和“無意關(guān)心”、“有意好奇”和“無意好奇”;還可以把任何一種思維分為“再現(xiàn)的”和“創(chuàng)造的”，比如“再現(xiàn)聯(lián)想”和“創(chuàng)造聯(lián)想”、“再現(xiàn)歸納”和“創(chuàng)造歸納”、“再現(xiàn)概括”和“創(chuàng)造概括”———這些分類當(dāng)初都曾被提出過，后來都被淘汰了。對想象的原始分類能沿用至今，算是少有的例外。由此可見對于想象研究的滯后，實(shí)踐中的種種不解也就找到根源了。

既然空間想象一直被認(rèn)為是想象的主體類型，對想象的分類就應(yīng)該把它作為一個(gè)子項(xiàng)，在它之外再劃分出幾個(gè)旗鼓相當(dāng)?shù)淖禹?xiàng)， 共同建立起一個(gè)知識結(jié)構(gòu)。對于這一點(diǎn)，思維的分類就是成功的范例。

很早之前，人們把思維分成“邏輯思維” 和“直覺思維”，在這樣的分類下分別研究它們的特點(diǎn)、原則、機(jī)制、發(fā)生發(fā)展以及相互間的聯(lián)系等諸多問題。時(shí)至今日，思維科學(xué)的發(fā)展可謂枝繁葉茂、學(xué)科成群。比如，數(shù)理邏輯、形式邏輯等直接提供了計(jì)算機(jī)科學(xué)的底層支撐。當(dāng)然，計(jì)算機(jī)目前還不具有人腦那樣的想象功能，而其推理功能則遠(yuǎn)勝于人腦。

不過，真的要對想象進(jìn)行分類，而且把“空間想象”預(yù)設(shè)為一個(gè)子項(xiàng)，就會發(fā)現(xiàn)這個(gè)工作并不好做。不說別的，單說找到一個(gè)能與“空間”相提并論的名詞都不容易。為此， 讓我們轉(zhuǎn)向哲學(xué)，去尋求深層智慧的啟迪。

康德認(rèn)為，人類認(rèn)識世界，本質(zhì)上是認(rèn)識三種結(jié)構(gòu)，即空間結(jié)構(gòu)、時(shí)間結(jié)構(gòu)和因果結(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派則認(rèn)為，數(shù)學(xué)無非是對三種結(jié)構(gòu)的認(rèn)識，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)。而康德對數(shù)學(xué)的一個(gè)解釋是“幾何是空間的藝術(shù)，算術(shù)是時(shí)間的藝術(shù)”，他的另外一句話說得更為顯明：“自然數(shù)是從時(shí)間的直覺推演出來的?！?/p>

再回到當(dāng)今人類的哲學(xué)思考。人們認(rèn)為宇宙的自然本質(zhì)是時(shí)空結(jié)構(gòu)，人類的加入又產(chǎn)生了對因果關(guān)系的認(rèn)識。如此一來，不揣冒昧地，我們可以順著康德的說法，續(xù)寫成如下三句話：幾何是空間的藝術(shù)，算術(shù)是時(shí)間的藝術(shù)，邏輯是因果的藝術(shù)。

再一次綜合起來，就發(fā)現(xiàn)了布爾巴基的數(shù)學(xué)觀、康德的世界觀和一般認(rèn)識論得到了完美的統(tǒng)一，即拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)空間結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)時(shí)間結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)對應(yīng)因果結(jié)構(gòu)。有了這樣的哲學(xué)基礎(chǔ)，我們就可以嘗試著對想象進(jìn)行新的分類了。

（二）對新分類的解讀

我們可以把想象分為三類：空間想象、時(shí)間想象、因果想象（其思維導(dǎo)圖如圖1所示）。相應(yīng)的定義就是：空間想象（時(shí)間想象、因果想象）， 是人對頭腦中對已有的空間表象（時(shí)間表象、因果表象）進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的認(rèn)知活動，同時(shí)也指由此產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)果。

這個(gè)定義中保留了“空間想象”，并完全保留其原有的內(nèi)涵與外延。另兩個(gè)子項(xiàng)“時(shí)間想象”和“因果想象”在表述形式上與“空間想象”完全一致，彼此不交叉，而且看起來能涵蓋所有的想象（是否真的如此有待進(jìn)一步論證）。這就給想象建立了一個(gè)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而且原本的空間想象也因此更顯清晰。

英國哲學(xué)家大衛(wèi)·休謨曾經(jīng)把聯(lián)想簡化為三條基本原則，即相似性、時(shí)空相接和因果關(guān)系。心理學(xué)家兼經(jīng)濟(jì)學(xué)家、諾貝爾獎得主丹尼爾·卡尼曼評價(jià)說：“自休謨以后，我們對聯(lián)想的定義發(fā)生了很大的變化，但他的三原則仍可以作為定義所有聯(lián)想的基礎(chǔ)?！彪m然休謨和卡尼曼所談的是聯(lián)想而不是想象， 但考慮到“聯(lián)想”與“想象”都是虛擬認(rèn)知，相通之處甚多，可以由此獲得一個(gè)旁證或參考。

時(shí)間想象，包括對時(shí)間延續(xù)性的想象和對兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)間隔的想象，這與對物體的空間廣延性和兩個(gè)物體的距離的想象類似。對于眼睛可見的空間廣延性或空間距離，我們可以通過測量的方法去認(rèn)識。而對于眼睛不可見的空間廣延性或空間距離，認(rèn)識它就是靠想象（空間想象）。對時(shí)間的認(rèn)識完全類似：有限的、眼前的時(shí)間，我們通過身體感官來認(rèn)識它;對于超出感觀范圍的時(shí)間，靠的就是想象（時(shí)間想象）。

人類是世界上唯一有規(guī)劃和計(jì)劃能力的動物，所有的規(guī)劃和計(jì)劃都離不開時(shí)間想象。離開了時(shí)間想象，人類甚至連基本的回憶都做不到。我們只能記住時(shí)間上的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)， 回憶時(shí)必須靠想象來補(bǔ)全過程和細(xì)節(jié)，這才使時(shí)間成為一個(gè)連續(xù)統(tǒng)。牛頓認(rèn)為時(shí)間均勻流淌，愛因斯坦突破這種均勻性：當(dāng)初都是想象！

因果想象，則貫穿于推理的全過程。我們往往認(rèn)為推理是靠邏輯展開的，這是個(gè)誤解。要證明兩個(gè)三角形全等，常見的做法是想象和嘗試：“是不是這兩邊相等？ 如果這兩邊相等，就會…… 這兩個(gè)角相等嗎？ 我需要……” 推理是靠想象推進(jìn)的，邏輯只是用來在多種想象中選擇“合理”的那個(gè)（些）。這些想象中，甚至包含對邏輯進(jìn)行想象。比如，英國數(shù)學(xué)家懷爾斯在證明費(fèi)馬大定理時(shí)，先有這樣的因果想象：應(yīng)“該可以用橢圓模函數(shù)去證明，如果志村谷山猜想是成立的……” 這個(gè)邏輯路徑本來是沒有的，也不是立即就能實(shí)現(xiàn)的，這是他頭腦想象的產(chǎn)物。有了這個(gè)想象后，他又用8年的時(shí)間實(shí)現(xiàn)了它。若無想象，他的證明工作便無從開始，因?yàn)槿绱硕嗟牟襟E不可能依靠偶然性對接起來。

大致看來，哥白尼的日心說極富空間想象，達(dá)爾文的進(jìn)化論極富因果想象，牛頓和愛因斯坦的時(shí)空觀則富有全面的想象。表1給出了較為簡明的數(shù)學(xué)或科學(xué)實(shí)例。相對來說，因果想象是最不容易被察覺的（人類對空間和時(shí)間的認(rèn)識遠(yuǎn)早于對因果的認(rèn)識）， 它對于現(xiàn)代人類和現(xiàn)代社會也尤為重要。從古老信仰中的因果輪回學(xué)說，到現(xiàn)今科學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)，人們對因果關(guān)系的想象始終充滿熱情甚至迷戀。如果想象中的某種關(guān)系被證明（驗(yàn)證）了，就會獲得精神上的極大滿足。也可以說，原始的以及現(xiàn)代的科學(xué)都是為了建立或解釋因果關(guān)系。如果把想象局限于“空間”而排除“因果”，在描述人們的精神活動和精神享受上就捉襟見肘了。

還有一個(gè)對于整個(gè)人類有重大意義的例子，那就是種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)的出現(xiàn)。種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)產(chǎn)生的前提，是對“遞推”的認(rèn)知。人們必須知道，麥粒播下去能結(jié)出新的麥粒， 新的麥粒還可以再進(jìn)行播種并結(jié)出更多的麥粒…… 小豬長大了會再生小豬，新一代小豬還會長大并生出更新的一代…… 如果沒有這種連續(xù)的想象（遞推）， 就不可能有播種的行為，因?yàn)?，種子是“在眼前”的，而收獲卻是“遙遠(yuǎn)的將來”。只能說，對遠(yuǎn)景的想象給人以動力。人類發(fā)展出種植業(yè)和養(yǎng)殖業(yè)，只能是在有了時(shí)間想象和因果想象以后，之前就只能采集和狩獵。

如果沒有對空間的想象，人類就不會去制作弓箭;如果沒有對時(shí)間的想象，人類就不會做教育（百年才能樹人）; 如果沒有對因果的想象，社會的倫理規(guī)范、宗教信仰、法律條文將不會具有約束作用。倫理和法律的約束都基于一個(gè)前提：人能夠預(yù)見自己行為所產(chǎn)生的后果，即法人是有行為能力的。

人類的好奇心主要源于因果想象，人是因?yàn)橄胂蠖闷?，而不是因?yàn)楹闷娑胂?。因果想象里還包含著人類情感上的愿望及滿足，如果沒有想象，人類就將只有反應(yīng)而沒有期待，只有恐懼而沒有憂慮，只有興奮而沒有憧憬。

當(dāng)然，人腦是非常復(fù)雜的，而自由的想象更為復(fù)雜，因而某次想象更可能是多個(gè)種類的協(xié)作。比如，想象一個(gè)四邊形，僅需空間想象;但是，想象一個(gè)四邊形的折疊和展開，或者想象它在空間中的運(yùn)動，乃至想象它被一個(gè)平面所截，就還需要時(shí)間想象和因果想象?？偠灾臻g想象通向廣闊，時(shí)間想象通向悠遠(yuǎn)，因果想象通向深刻。前兩者讓我們回答“是什么”，后者讓我們回答“從哪里來，到哪里去”。

三、想象的培養(yǎng)

（一）理論支撐

關(guān)于意識或認(rèn)識的分類，古典的做法如圖2所示，從前（感覺）到后（信念）的順序上，認(rèn)識越來越清晰化、形式化，也可以說越來越高級。其中，感覺和信念是人腦和外界溝通的橋梁;表象和概念是人腦內(nèi)部建構(gòu)的產(chǎn)物。人類靠感覺從外界獲取信息（感覺）， 經(jīng)過頭腦內(nèi)神秘的加工過程，形成表象、概念直至信念，又通過信念作用于外界。感覺來自人的身體器官，依賴于人的生物性;信念來自人的頭腦，體現(xiàn)人的靈性。信念已歸入元認(rèn)知，有跡象表明，它控制著人腦的內(nèi)部運(yùn)作。

但并不是說，所有的感覺都比表象和概念低級和簡陋。人類的認(rèn)識不是一次性完成的，而是階段性進(jìn)化、螺旋式上升的（如圖3 所示）。上一層級內(nèi)的感覺與下一層級內(nèi)的信念銜接在一起，有時(shí)候很難區(qū)分，但上一層級內(nèi)的感覺比下一層級內(nèi)的表象和概念都更高級。

比如，數(shù)學(xué)家在研究平面幾何中的曲線時(shí)，定義曲線是“點(diǎn)的集合”。不過，曲線之所以是曲線，源于整個(gè)曲線的模式，而不是構(gòu)成這條曲線的點(diǎn)。曲線里不光有點(diǎn)，更重要的是有結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，你能告訴學(xué)生有哪些點(diǎn)， 卻很難告訴他們有哪些結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)性的東西最好讓學(xué)生自己去感覺。至于整體性，可以肯定地說，我們無法看見一個(gè)事物的整體，只能看見它的一部分。如一個(gè)長方體，我們最多能看見三個(gè)面，其余部分靠感覺和想象獲得認(rèn)識。

如果把想象比喻為一只鳥，則感覺是腿， 提供了起飛的動力;表象是翅膀，保證它能飛起來;信念是天花板，提供了飛行的方向并限制飛行的高度;而概念則不能直接被想象操控，它為想象所用的前提是轉(zhuǎn)化為表象（類似于所謂的“概念意向”）。而當(dāng)概念轉(zhuǎn)化為更高級的表象以后，對想象的幫助又是巨大的。

（二）具體路徑

混沌的感覺只能帶來情緒和疑惑，清晰的概念只能帶來辨識和推理，固化的信念只能帶來立場和態(tài)度，它們都帶不來想象。培養(yǎng)想象，就是要把它們都轉(zhuǎn)化為表象，再把表象本身提升為更高級的表象。怎樣做到這些呢？ 直觀化。更具體一點(diǎn)說，就是感覺的清晰化、表象的聯(lián)系化、概念的直覺化、信念的具體化（如圖4）。

1. 加強(qiáng)感受，促使感覺清晰化

對同樣的外部刺激，不同的人有不同的感覺。感受力越強(qiáng)，感覺就越豐富、越準(zhǔn)確， 也就越能激發(fā)起想象。雖然說想象是自由的，但想象不可能超越自己的頭腦，一個(gè)人的過往經(jīng)驗(yàn)決定了他的想象。提高感覺清晰度的方法，就是增加感受并在此過程中提高感受力，要讓身體官能與認(rèn)知對象充分接觸、交流，得到鮮活的刺激，刺激大腦里的知識加工。人有很多的緘默知識無法用語言傳遞， 除了感受之外別無他路。心理學(xué)界最近發(fā)展出“具身認(rèn)知理論”，強(qiáng)調(diào)的就是“人的身體感受對意識形成的決定性作用”。

比如，對于正四棱錐的“正”，如果你記住了它的定義“底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是這個(gè)正方形的中心”，而頭腦里沒有清晰的圖形（如圖5所示）， 則一定不會有直接的感受。而只有感受了正四棱錐的“正”，才能建立起它的實(shí)在性。物體的實(shí)在性來自感受，意義的實(shí)在性也來自感受，它們都不能由文字帶來。

為此，教學(xué)中我讓學(xué)生做了這樣五件事：（1）畫一個(gè)正四棱錐，注意確保畫的真是正四棱錐;（2）說一下其中各個(gè)面的形狀;（3）“ 繞著這個(gè)幾何體走一圈，仔細(xì)看看每個(gè)面”;（4）“ 拿著這個(gè)幾何體在眼前翻轉(zhuǎn)一下”，想象它在各種位置時(shí)的模樣;（5）描述一下什么樣的四棱錐不是正四棱錐，并畫出它的圖形。

學(xué)生琢磨出了圖6所示的正四棱錐的作圖步驟，這里“多畫”的那條高就支撐起了后續(xù)的各種想象，而它本身也是想象的結(jié)果（根據(jù)定義是沒有這條高的）。其后，學(xué)生通過想象正四棱錐在各種位置時(shí)的模樣（如圖7所示）， 得出結(jié)論：底面不是正方形或者頂點(diǎn)在底面的射影不是底面中心的四棱錐不是正四棱錐。

2. 聯(lián)系和泛化，提升表象的層級

一般地，表象越是局限于具體對象，越不容易展開想象;越是泛化到更大的類別，越容易引發(fā)想象。因此，變換角度和形式，建立廣泛的外部聯(lián)系，都是提高表象的抽象度、增強(qiáng)其涵蓋力的途徑。

比如，我們腳下的土地，可以有多種表述：眼前的一塊空地、遼闊的大地、地球、太陽系中的一個(gè)星球、銀河系中的一塊小石頭、宇宙中的一粒微塵……“ 空地”所激起的想象小于“大地”，“大地”所激起的想象小于“地球”;太陽系則能激起更大的想象，但又比不上銀河系…… 用宇宙做背景和用“腳邊的空地”做背景，可以想象出截然不同的世界。可見，當(dāng)把一個(gè)物體放在更大的背景中去想象的時(shí)候，那個(gè)“背景”本身就成了可以操控的表象，而得到大幅的提升。潛意識分不清它所操控的究竟是什么，兩者都可以打開可能的聯(lián)結(jié)。

再如，當(dāng)你把“3”當(dāng)作“一個(gè)數(shù)”一“個(gè)整數(shù)”““6是一個(gè)完全一個(gè)素?cái)?shù)”6的一個(gè)因子（數(shù)）時(shí)，”分別會引發(fā)出關(guān)于整數(shù)的想象、關(guān)于素?cái)?shù)的想象以及關(guān)于完全數(shù)的想象。與上述“大地”的不同點(diǎn)在于，此處的“數(shù)—整數(shù)—素?cái)?shù)—完全數(shù)”越來越具體化，但這并不與先前的結(jié)論相矛盾。因?yàn)?，雖然作為“數(shù)”它越來越具體，但是“數(shù)的性質(zhì)”是越來越抽象的。概念的內(nèi)涵和外延是反向擴(kuò)展的：內(nèi)涵越大， 外延越小;內(nèi)涵越小，外延越大。潛意識分不清內(nèi)涵和外延，在混沌的思維狀態(tài)下，所有的聯(lián)結(jié)都可能被呈現(xiàn)出來。

潛意識不能進(jìn)行邏輯推理，表象的變化和升級可以把其中的邏輯隱去，外在表現(xiàn)就是想象的提升。

3. 多樣表征，促進(jìn)對概念的直覺

把概念轉(zhuǎn)化為表象的路徑看似有兩條： 一是退化為同級或更低一級的表象，二是升級為更高一級的表象。而實(shí)際上，人類的認(rèn)識有一個(gè)奇特的性質(zhì)叫“棘輪效應(yīng)”。棘輪是汽車上一種“只能進(jìn)，不能退”的裝置?！凹喰?yīng)”最初是經(jīng)濟(jì)學(xué)家提出的人的消費(fèi)觀，類似于“由儉入奢易，由奢入簡難”。借用于生物進(jìn)化領(lǐng)域，指的是生物只會向前進(jìn)化，不會向后倒退（如水生動物登陸后長出肺，即使重返海洋，也不會淘汰自我長出腮來）; 人的認(rèn)識只能進(jìn)，不能退（有了新的認(rèn)識后，不會退回到只有原有認(rèn)識的狀態(tài)）。這樣一來，把概念用于想象就只剩下一條途徑，那就是提升為更高一級的表象。

比如，函數(shù)的運(yùn)動式定義被認(rèn)為是容易理解的，因?yàn)樗泻嫌谌说纳罱?jīng)驗(yàn)，顯得很具體;函數(shù)的集合與對應(yīng)式的定義被認(rèn)為是不容易理解的，因?yàn)樗h(yuǎn)離人的生活經(jīng)驗(yàn)，顯得很抽象。但是，當(dāng)我們遇到常函數(shù)、狄利克雷函數(shù)時(shí)，就會發(fā)現(xiàn)集合與對應(yīng)的觀點(diǎn)更自然。集合與對應(yīng)觀點(diǎn)下的函數(shù)，有更強(qiáng)的概括性和包容性，函數(shù)的有些性質(zhì)只有在這一觀點(diǎn)下才能被直覺所駕馭：利用運(yùn)動觀點(diǎn)下的函數(shù)定義，連理解復(fù)合函數(shù)的概念都是困難的;而集合與對應(yīng)觀點(diǎn)下，即便進(jìn)行多重復(fù)合，也都可以被直觀化（如圖8所示）， 因而比較容易對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性以及值域等進(jìn)行想象。

類似地，還有“數(shù)列”的概念。如果把數(shù)列理解為“按一定次序排列的一列數(shù)”， 那就只有可見的“數(shù)的排列”，不易引起更多的想象。而如果理解為“數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)”，則函數(shù)的諸多性質(zhì)以及研究函數(shù)的方法立即可以被用到數(shù)列上，很容易展開關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性、周期性、最值等的想象，也很容易由各種函數(shù)圖像想象出數(shù)列的圖像。

4. 重塑元認(rèn)知，關(guān)注信念的兩面性

要讓顯意識參與想象，信念可能是唯一的通道，即便是前文所說的對感覺、表象以及概念的改造，也都是通過信念而起作用的。

信念不是知識，而是底層的元認(rèn)知。我們說某人具有某一信念，不是指他知道這個(gè)信念，而是指他在這個(gè)信念下行事。信念導(dǎo)引著想象的方向，也限制著想象所能達(dá)到的高度和廣度。

比如，達(dá)爾文在創(chuàng)立了進(jìn)化論后，也試圖尋找生命遺傳的科學(xué)規(guī)律，他認(rèn)真地做了11 年的實(shí)驗(yàn)。與孟德爾一樣，他也選擇了花的顏色作為觀察對象，可是他沒有發(fā)現(xiàn)任何一條孟德爾發(fā)現(xiàn)的遺傳律。因?yàn)樗鞠嘈拧叭诤下伞保ū热?，紫花與白花雜交，將融合成中間狀態(tài)的紅花或粉紅花）， 這個(gè)信念決定他不可能想象到顆粒狀的基因，甚至讓他對雜交二代中紫花和白花的再度分離視而不見。信念對想象的控制力之強(qiáng)，可見一斑。

類似的例子還有很多。信奉地心說的人不可能想象地球繞著太陽轉(zhuǎn)，信奉燃素說的人不可能想象隔絕空氣也能滅火，信奉女媧造人的不可能想象猿猴到人的演化過程…… 信念對想象的導(dǎo)引作用有多強(qiáng)，限制作用就有多強(qiáng)（限制又何嘗不是一種導(dǎo)引）。

那么，有沒有辦法打破信念的限制，從而讓人的想象獲得解放呢？ 有，那就是動用人的理性。

阿達(dá)瑪在《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書中，詳細(xì)記載了他對“素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無限性”定理證明的心路歷程。 表2的內(nèi)容就證明了存在著比11 大的素?cái)?shù)時(shí)他的心路歷程。

作為頂級數(shù)學(xué)家，阿達(dá)瑪對“素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無窮多”肯定是知道而且絕對是相信的，這是他的信念。但他沒有一味崇拜這個(gè)信念，而是理性地把它改造成了更可感、更可親的表象：一堆數(shù)→一堆點(diǎn)→很遠(yuǎn)的一個(gè)點(diǎn)→更遠(yuǎn)的第二個(gè)點(diǎn)→中間的一個(gè)點(diǎn)→構(gòu)造出數(shù)字表示。這就使他對概念的認(rèn)識達(dá)到了新狀態(tài)，一種更可操作、有更大發(fā)展?jié)摿Φ臓顟B(tài)。

妨礙人類進(jìn)步的，不是無知而是絕對化。過于執(zhí)著的信念直接扼殺想象，阻礙思想的創(chuàng)新。愛迪生對交流電的反對、愛因斯坦對量子力學(xué)的反對以及高斯對非歐幾何的回避，禁錮了他們的頭腦，盡管他們已經(jīng)走到了創(chuàng)新的門檻甚至已經(jīng)有了創(chuàng)新的成果，也還是退縮了。

當(dāng)然，理性的人也必然是有信念的，否則他只能被情緒所左右。

四、需要注意的問題

（一）過度訓(xùn)練損害想象

說到七邊形，我們能想象出各種各樣的七邊形;說到三角形，我們能想象到的就不多了;說到圓，我們就不再動用想象，因?yàn)槲覀儗A太熟悉了。而兒童就不同了，在討論“圓”的時(shí)候，他們能想象出“跟太陽一樣大的圓”“跟房子一樣大的圓”“跟山一樣大的圓” “跟天一樣大的圓”…… 我們用一個(gè)詞“任意長的半徑”就把大大小小的圓都包括了。此時(shí)，圓在我們眼里平淡無奇。當(dāng)然，我們可以把圓的概念直觀化，使對“圓”的想象大為增強(qiáng)，但此時(shí)對“圓以外”的想象仍然是削弱的。而如果沒有實(shí)現(xiàn)圓的概念的直觀化，則所有的想象都削弱了。

中學(xué)數(shù)學(xué)教育，整體上遇到了類似的情況。立體幾何始終是明確地被用來“培養(yǎng)空間想象能力”的，但新課程體系中“空間角的計(jì)算”主要用的是向量法，非常技術(shù)化和程序化。用向量法求角，不再需要作出角來，通過坐標(biāo)運(yùn)算就可得到，套路明確、方法固定，因此對空間想象的要求大為降低（其實(shí)是幾乎無要求）。教學(xué)中，教師往往是讓學(xué)生反復(fù)地把解方程組、向量運(yùn)算熟練化。結(jié)果是，學(xué)生能求出線面角或二面角，但卻不知道什么是線面角、什么是二面角的平面角，在用公式的時(shí)候分不清線線角與線面角、正弦值與余弦值的情況比比皆是。

（二）標(biāo)準(zhǔn)答案是想象的天敵

小學(xué)階段學(xué)習(xí)了除法運(yùn)算以后，會遇到被稱為“種樹問題”的一類題目，即在一定長度上等間距地栽種樹木。實(shí)際教學(xué)中，教師會總結(jié)出“兩頭種”“一頭種”“兩頭都不種”三種情況，給出固定的套路（如圖9）， 讓學(xué)生練熟并記住。

應(yīng)當(dāng)說，教師的總結(jié)確實(shí)很完備、很清楚，但很多學(xué)生面對“在20 米的地上，每隔5 米種一棵樹，一共種多少棵？” 這樣的題目時(shí)， 反而不會做了。原因是，題目中沒有說明“是兩頭種還是一頭種，抑或兩頭都不種”，學(xué)生不知道該套用哪個(gè)公式。更可怕的是，他們絞盡腦汁去回憶“該用哪個(gè)公式”，而不是去思考“該怎么種樹”———想象完全被扼殺了，“解題”就只剩下了回憶和再現(xiàn)。

而如果學(xué)生想到的是真實(shí)的種樹情境， 那將是一個(gè)生動活潑的場景。比如，把“20 米的地”畫成一條線段，一般也會畫出等分點(diǎn)。但是，等分點(diǎn)未必就是“栽種點(diǎn)”，第一棵樹可以不種到點(diǎn)上，而種在兩點(diǎn)之間（如圖10）， 這就自然地顯示可以種4棵樹。

標(biāo)準(zhǔn)答案中的種5棵和3棵，都是極端的例子。若是“在22 米（不能被5整除）的地上種樹”“在圓圈上種樹”這樣的問題，肯定也將讓學(xué)生無所適從。

如果說一個(gè)（類）數(shù)學(xué)題還可以重新講解，讓學(xué)生知道要面對現(xiàn)象而非面對公式，重新喚起對題目的自由想象的話，在其他更多的問題上就不是總能如此了。關(guān)于人生和社會的一些觀念，一旦進(jìn)入兒童空白的頭腦，就會成為潛意識，從此控制他的一生。核心素養(yǎng)教育的根本宗旨是培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”， 而如果層層都有榜樣、人人都有模板、事事都有標(biāo)準(zhǔn)答案，就不但不需要想象，自由思考也不能有了。人的獨(dú)立性泯滅了，人格完整便難以實(shí)現(xiàn)，更談不上全面發(fā)展了。

（三）想象不僅涉及知識，還涉及情感

沒有知識的人一定不會有想象，因?yàn)楸硐笠彩侵R。有知識的人未必有想象，因?yàn)橄胂筮€需要情感的參與。人在想象開啟之前必須有情感的萌動，豐富的想象來源于飽滿的激情，在最高的激情處才會有最好的想象———我們稱之為“靈感”。人們都喜歡自己的想象，因?yàn)橄胂蟊揪褪请S著愉悅的情感而來的，不喜歡的想象已經(jīng)在潛意識里被排斥掉了。藝術(shù)大師們想象力最強(qiáng)的時(shí)候，也是他們情感最豐沛的時(shí)候。情感的枯竭必然導(dǎo)致想象力的喪失。

學(xué)習(xí)應(yīng)該在寬松、舒暢的環(huán)境下，而不是在權(quán)威高壓的環(huán)境下，后者造就不出自由的靈魂?？鬃诱f的“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”，就是這個(gè)意思?！秴问洗呵铩?察今》里有這樣的一句話：見“瓶水之冰，而知天下之寒，魚鱉之藏也。這”種想象一定是自由的心情帶來的，如果一個(gè)人對“瓶水之冰” 滿是恐懼，肯定無心顧及“天下之寒”和“魚鱉之藏”。在這方面，具身認(rèn)知理論再次為教學(xué)提供了有力的指導(dǎo)。那就是，當(dāng)你遇到了困難和煩擾時(shí)，逃避是沒有用的，靠理性也不能強(qiáng)制自己快樂起來。這時(shí)，你有一種方法， 那就是：行動起來！ 美國心理學(xué)家詹姆斯的“表現(xiàn)原理”告訴我們：人“不是因?yàn)橛淇於⑿?，而是因?yàn)槲⑿Χ淇??！睗撘庾R分不清真高興還是假高興。如果假裝自己高興、暗示自己高興，那么將和自己實(shí)際上的高興激起在大腦皮層同一區(qū)域的興奮，也同樣會產(chǎn)生多巴胺和腎上腺素。因此，在情緒低迷時(shí)讓身體動起來，昂首挺胸大步走或者跑步， 都能帶來情緒的轉(zhuǎn)變。某些學(xué)校組織學(xué)生跑步，喊著整齊而響亮的口號，雖屢遭外界批評卻廣被效仿，就是因?yàn)檫@樣做產(chǎn)生了實(shí)際的效果。在短期看，對學(xué)校教學(xué)確實(shí)有利。而歷史上一些偉大的發(fā)現(xiàn)，也都是思想家在休閑、跑步、游泳等自我釋放的時(shí)候得到的，哈密爾頓、薛定諤、龐加萊等都親自記述過這種現(xiàn)象。

五、結(jié)語

想象是人的一種極為寶貴的智力品質(zhì)， 是人類靈性的主要體現(xiàn)。因果想象更是為人類所獨(dú)有，是好奇心和求知欲的萌發(fā)地。人類的所有創(chuàng)造和發(fā)明都來自想象，文明和進(jìn)步都由想象來構(gòu)筑。就個(gè)體而言，想象又促進(jìn)人的身體感覺，讓人的精神更自由。文學(xué)家、哲學(xué)家波德萊爾說：沒“有想象力，一切官能無論多么健康敏銳，都等于烏有。厘”清想象的種類，是對它進(jìn)行科學(xué)化研究的開始，教學(xué)實(shí)踐需要這樣的研究。我們需要想象，教育還有很多的事情需要去做。

（孫四周，江蘇省蘇州市吳江盛澤中學(xué)， 特級教師，正高級教師。發(fā)表論文200 余篇， 出版《現(xiàn)象教學(xué)》《思維的起源》等專著。從2014 年起，致力于“在常規(guī)課堂中開展現(xiàn)象教學(xué)”的理論與實(shí)踐研究，相關(guān)成果獲得第5屆江蘇省教育科學(xué)研究成果特等獎。目前，此項(xiàng)研究正在大力推進(jìn)階段。）

① 威廉·詹姆斯.行為改變思想———表現(xiàn)原理[M].?龍湘濤，編譯.海口：海南出版公司，2014：9。

①②曹才翰.中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）[M]. 沈陽：沈陽出版社，1991：352，352 。

③ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）[S].北京：人民教育出版社， 2020：6。

① 丹尼爾·卡尼曼.思考，快與慢[M].胡曉姣，李愛民，何夢瑩，譯.北京：中信出版社，2012：35 。

① 雅克·阿達(dá)瑪.數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)[M].陳植蔭，肖奚安，譯.大連：大連理工大學(xué)出版社，2008：80-81 。