陳 濤 史 林* 黃桂根 汪夕琳

①(哈爾濱工程大學信息與通信學院 哈爾濱 150001)

②(南京電子技術(shù)研究所 南京 210000)

1 引言

作為陣列信號處理中的一個重要分支，波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計廣泛應(yīng)用在雷達以及通信領(lǐng)域中[1,2]。傳統(tǒng)的基于信號子空間的DOA估計算法[3,4]對于信噪比與快拍數(shù)的魯棒性較差，同時無法直接處理強相關(guān)的入射信源。而隨著稀疏信號重構(gòu)與壓縮感知理論的提出與完善[5–8]，以?1-svd算法[9]為代表的基于壓縮感知的DOA估計算法逐漸受到了國內(nèi)外眾多學者的關(guān)注與研究。與基于信號子空間的DOA估計算法相比，在低信噪比、少快拍以及入射信源相關(guān)等條件下，基于稀疏重構(gòu)與壓縮感知理論的DOA估計算法能夠表現(xiàn)出更加優(yōu)越的估計性能。

然而，網(wǎng)格失配問題[10]，即真實入射信源方向與預(yù)先設(shè)置好的空間離散網(wǎng)格之間存在偏差，將會給傳統(tǒng)的稀疏信號重構(gòu)框架帶來無法忽視的估計模型誤差，嚴重影響了基于壓縮感知的DOA估計算法的估計性能，成為制約著該類算法在實際應(yīng)用中進一步推廣的主要因素之一。網(wǎng)格細化技術(shù)[9]，以及利用相鄰網(wǎng)格之間線性插值或網(wǎng)格點處泰勒級數(shù)展開的網(wǎng)格失配模型[11]都是常見的處理網(wǎng)格失配問題的技術(shù)手段。然而，網(wǎng)格細化技術(shù)所帶來的額外計算代價以及相鄰原子之間相關(guān)性的提高，都會嚴重影響算法的估計性能。以O(shè)GSBL算法[12]為代表的基于網(wǎng)格失配模型的Off-grid類算法，在一定程度上改善了由網(wǎng)格失配問題所帶來的模型誤差，同時計算負擔也是可以承受的，但也并沒有從根本上解決網(wǎng)格失配的問題。

直到原子范數(shù)[13]的概念被提出之后，隨著基于無限維過完備字典的壓縮感知理論的提出，以及其在DOA估計領(lǐng)域中的成功應(yīng)用[14–16]，網(wǎng)格失配問題才得到更好的解決辦法?；谠臃稊?shù)最小化(Atomic Norm Minimization, ANM)的無網(wǎng)格DOA估計算法并不依賴空間離散網(wǎng)格，而是直接在連續(xù)的角度空間內(nèi)完成對入射信號DOA參數(shù)的估計，從根本上避免了網(wǎng)格失配問題的出現(xiàn)。

由于能獲得更為全面的信號方向信息，2維DOA估計問題一直是DOA估計領(lǐng)域的一個重要研究方向。直接將ANM理論應(yīng)用于，2維DOA估計問題中[17–19]，將會不可避免地增加待估計參數(shù)的維度，使得后續(xù)的半定規(guī)劃過程以及廣義特征值分解過程的計算量嚴重增加。更重要的是，這一類算法僅適用于均勻矩形陣列。

為了降低運算復(fù)雜度，一種可分離的ANM(Decoupled ANM, DANM)算法[20]被提出。DANM算法將2維DOA估計問題轉(zhuǎn)化為兩個獨立的1維DOA估計問題，再通過參數(shù)配對過程完成2維DOA估計，從而在不改變半定矩陣維度的前提下保證了算法的有效性。另外，后續(xù)對于DANM算法的一些改進算法[21,22]，利用矩陣完備、陣列線性插值等技術(shù)，使得該類算法同樣適用于稀疏矩形陣列，例如互質(zhì)平面陣列(Co-Prime Plane Array,CPPA)。然而，目前仍然沒有一種2維的無網(wǎng)格DOA估計算法，能夠適用于具有任意幾何結(jié)構(gòu)的平面天線陣列。

為了解決上述問題，本文提出了一種能夠適用于具有任意幾何結(jié)構(gòu)的平面天線陣列的2維無網(wǎng)格DOA估計算法。由于該算法的主要創(chuàng)新之處在于利用一類Bessel函數(shù)對天線陣列接收多快拍信號的協(xié)方差矩陣進行展開。從而能夠得到滿足DANM算法框架的數(shù)學模型，然后通過求解半定規(guī)劃問題、Toeplitz矩陣的Vandermonde分解、估計參數(shù)配對以及角度變換等過程，完成對入射信源2維DOA參數(shù)的估計。因此本文將該算法命名為B-DANM算法。其中，“B-”具體便是指一類Bessel函數(shù)。

2 信號模型

考慮一個陣元數(shù)為M ∈Z+的平面陣列，將各個陣元的位置坐標集合記為

其中，xm ∈R與ym ∈R分別表示第m個陣元在X軸方向Y軸方向的位置坐標。若空間中有K ∈Z+個獨立的遠場窄帶入射信號，定義第k個信源sk的入射方向與天線陣列所在平面之間的夾角為俯仰角，記為φk ∈[0°,90°]入射信源在該平面內(nèi)的投影與X軸正方向的夾角為方位角，記為θk ∈[0°,360°]。入射信源的2維DOA信息與平面陣列之間的關(guān)系如圖1所示。

圖1 2維DOA信息與平面陣列之間的關(guān)系

其中，s(t)=[|s1(t)|,|s2(t)|,...,|sK(t)|]T∈RK+表示信號向量，|sk(t)|表示第k個信源在t時刻的振幅。

3 B-DANM算法

其中，1≤i,j ≤K,表示向下取值運算。

綜上所述，表1給出了B-DANM算法的整體流程。

表1 B-DANM算法

4 算法仿真實驗

本節(jié)利用7陣元的非均勻圓陣，分辨空間中3個獨立的入射信源。陣列具體形式如圖2所示，天線位置坐標分別為(155.9, –36), (113.1, 113.1), (–36,155.9), (–135.7, 84.8), (–155.9, –36), (–36, –155.9),(84.8, –135.7)，單位mm。

圖2 7陣元的非均勻圓陣

另外，本論文采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)參數(shù)來衡量算法的估計精度，其定義為

傳統(tǒng)的基于壓縮感知的DOA估計算法并不能夠解決2維DOA估計問題，而無網(wǎng)格2維DOA估計算法又只適用于平面矩形陣列的測向系統(tǒng)。所以，為了研究適用于具有任意幾何結(jié)構(gòu)的平面天線陣列的DOA估計算法的性能，本文將所提出的B-DANM算法與2D-MUSIC算法[23]進行對比。

然后，保持其他的仿真條件不變，固定信噪比為20 dB，快拍數(shù)分別選取為20, 50, 100, 200以及500。在每個快拍數(shù)下，依然做200次Monte-Carlo實驗，統(tǒng)計RMSE，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖3 不同信噪比下兩種算法的估計精度對比

圖4 SNR=20 dB，快拍數(shù)為200時的DOA估計結(jié)果

圖5 不同快拍數(shù)下兩種算法的估計精度對比

通過上述3個仿真實驗的結(jié)果不難看出，相比于2D-MUSIC算法，本文所提出的B-DANM算法在估計精度以及角度分辨力等方面，具有更加良好的估計性能。

由于本文的主要創(chuàng)新點在于式(18)中適用于任意幾何結(jié)構(gòu)平面陣列的2維無網(wǎng)格DOA估計算法優(yōu)化模型，所以有關(guān)B-DANM算法在估計精度方面的性能理論分析是下一步研究的主要方向。

另外，B-DANM算法在提高DOA估計精度以及角度分辨力的同時，不可避免地提高了算法的復(fù)雜度。在陣元數(shù)目相同時，相比于2D-MUSIC算法、DANM算法[20]以及適用于稀疏平面陣列的DANM算法[22]，B-DANM算法都具有更高的復(fù)雜度。不同參數(shù)下各個算法復(fù)雜度的具體表達式如表2所示。

表2 算法復(fù)雜度分析

圖6 不同角度間隔下兩種算法的估計成功概率對比

表2中，P1與P2分別為2D-MUSIC算法中兩個維度上空間譜峰搜索的維度。Mx與My表示均勻矩形陣列在X軸與Y軸上的陣元數(shù)目。xmax與ymax分別表示互質(zhì)矩形陣列中位于X軸與Y軸上最大陣元位置相對于入射信源半波長的倍數(shù)。參數(shù)ρ表示半正定規(guī)劃過程的期望重構(gòu)精度，即停止迭代判斷準則中的收斂閾值，在本文中選取為10?7。

由此可見，B-DANM算法的復(fù)雜度主要由如式(18)所示的半定規(guī)劃問題中半正定矩陣的維度所決定。顯然，該維度由DANM算法與CPPA-DANM算法中的Mx+My與xmax+ymax變?yōu)锽-DANM算法的4Q+2。通常，X軸方向上有Q>xmax>Mx成立。同樣，Y軸方向也有Q>ymax>My成立。所以，B-DANM算法的復(fù)雜度要高于其他算法。如何降低B-DANM算法的復(fù)雜度是接下來研究的另一個主要方向。

5 結(jié)束語

現(xiàn)有的無網(wǎng)格類DOA估計算法，無法有效地適用于任意幾何結(jié)構(gòu)平面陣列的測向系統(tǒng)中。本文針對這一問題，提出了一種適用于任意幾何結(jié)構(gòu)平面陣列的2維無網(wǎng)格DOA估計算法，即B-DANM算法。該算法利用一類貝塞爾函數(shù)將平面陣列接收信號的協(xié)方差數(shù)據(jù)分別在兩個獨立的方向上展開，使其適用于任意幾何結(jié)構(gòu)平面陣列。通過仿真實驗，驗證了B-DANM算法估計精度與角度分辨力等方面估計性能的優(yōu)越性。有關(guān)B-DANM算法在估計精度方面性能的理論分析以及降低B-DANM算法復(fù)雜度的方法還有待進一步的研究。