翟 敏，常國霞

(中國建筑材料工業(yè)地質(zhì)勘查中心山西總隊,山西 太原 030031)

1 概述

建筑工程項目在施工建設(shè)階段的變形監(jiān)測是保障工程安全順利進行的必要手段,是安全措施決策分析的必要依據(jù),其往往延續(xù)至項目運營階段[1]。在觀測得到變形數(shù)據(jù)后的數(shù)據(jù)分析階段中,變形預(yù)測是其中的一項重要內(nèi)容;它是依據(jù)現(xiàn)有數(shù)據(jù)以及相關(guān)資料,對后期未發(fā)生的或可能發(fā)生的變形進行預(yù)測。經(jīng)過實踐以及科學(xué)研究,目前變形預(yù)測的方法已經(jīng)有很多種。而灰色系統(tǒng)理論中的GM(1,1)模型具有小樣本、貧信息建模的特點[2-3],變形數(shù)據(jù)具有灰色數(shù)據(jù)特征,因此其在變形預(yù)測領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)得到較大推廣。其中王凱倫等[4]采用灰色GM(1,1)模型,根據(jù)山東某礦區(qū)地表移動觀測站實測資料,對開采沉陷預(yù)測精度進行了分析研究;邱利軍等[5-6]采用改進的GM(1,1)模型對基坑沉降數(shù)據(jù)以及大壩變形數(shù)據(jù)進行了預(yù)測分析研究;丁萬濤等[7]、王新勝等[8]則針對隧道圍巖變形,采用灰色模型進行了分析研究;姚穎康等[9]針對滑坡變形采用改進GM(1,1)模型進行預(yù)測,取得比傳統(tǒng)模型好的效果。本文采用實際工程項目中某建筑物主體沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為分析依據(jù),建立均值GM(1,1)模型、殘差GM(1,1)模型以及坐標變換模型進行變形預(yù)測,并對預(yù)測結(jié)果進行了對比分析,得到坐標變換模型預(yù)測效果較好的結(jié)論。認為對相似工程的模型選取及實踐具有一定參考價值。

2 均值GM(1,1)模型原理及殘差處理

2.1 均值GM(1,1)模型

設(shè)序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n;X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),X(1)為X(0)的1-AGO序列,計算公式為:

(1)

其中,k=1,2,…,n。

設(shè)Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),其中:

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

稱式(3)為均值GM(1,1)模型。

(4)

其中：

(5)

(6)

稱式(6)為均值GM(1,1)模型的白化微分方程,也稱影子方程。

均值GM(1,1)模型的時間響應(yīng)函數(shù)為:

(7)

若k≤n為模擬,若k>n為預(yù)測。累減還原式為:

(8)

而對應(yīng)的X(0)的時間響應(yīng)函數(shù)是:

(9)

2.2 殘差GM(1,1)模型

殘差GM(1,1)模型是以GM(1,1)模型的殘差序列再次建立GM(1,1)模型以進行修正的方法。

設(shè)ε(0)=(ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(n)),其中:

(10)

式(10)為X(1)的殘差序列。

若存在ki使得:

1)?k≥ki時,殘差序列符號一致。

2)n-ki≥4。

則包含ε(0)(ki)及其之后序列的序列段可用于建模。

當k≤n時,是對擬合序列的修正;反之,則是對預(yù)測序列的修正。需要注意,若殘差序列不滿足符號一致的要求,可采用文獻[5]中的加常數(shù)的方法進行序列變換后,建模預(yù)測,最后將預(yù)測結(jié)果反向還原即可。

2.3 坐標變換修正殘差

文獻[6]認為,GM(1,1)模型在擬合段末期,擬合一次累加數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的一次累加值出現(xiàn)相近、相交或相離的趨勢,致使后期預(yù)測數(shù)據(jù)出現(xiàn)偏差;因此,提出采用坐標變換的方法,修正預(yù)測值以減弱殘差影響。

首先以建模序列的一次累加序列最末項與一次累加序列的擬合值最末項計算平移量:

(11)

其目的是使得縱向平移后的一次累加序列已知值與擬合值在最末項重合。然后得到平移后的時間響應(yīng)函數(shù)為:

(12)

然后計算旋轉(zhuǎn)角度,為:

(13)

即以一次累加序列的擬合值與已知值的最后兩項構(gòu)成的直線計算夾角作為旋轉(zhuǎn)角。

在計算完旋轉(zhuǎn)角度后,即可利用下式對預(yù)測數(shù)據(jù)序列進行旋轉(zhuǎn)變換:

(14)

其中,(x0,y0)為對應(yīng)建模序列最末項對應(yīng)的一次累加序列已知值；(x,y)為對應(yīng)一次累加序列預(yù)測值的橫縱數(shù)值；(x′,y′)為對應(yīng)變換后的橫縱數(shù)值。

最后,在變換后點序列相鄰點構(gòu)成直線或直線延長線上計算對應(yīng)橫向數(shù)值的縱向值作為一次累加序列的預(yù)測值。公式為:

(15)

3 工程實例應(yīng)用及比較分析

選用某建筑物主體沉降觀測2號點實測9期數(shù)據(jù)為依據(jù),采用前7期數(shù)據(jù)建立均值GM(1,1)模型,然后以殘差模型和坐標變換兩種改進形式對殘差進行處理,以后2期數(shù)據(jù)進行驗證。其實測數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 實測變形數(shù)據(jù)序列

采用C#語言編程對均值GM(1,1)模型以及兩種改進進行實現(xiàn)后,建模預(yù)測,得到后2期數(shù)據(jù)的預(yù)測結(jié)果如表2所示,預(yù)測結(jié)果的相對誤差如表3所示。

表2 不同模型預(yù)測結(jié)果 mm

表3 不同模型預(yù)測值的相對誤差 %

通過分析表2與表3可知,均值GM(1,1)模型預(yù)測精度較低,而殘差GM(1,1)模型相較于均值GM(1,1)模型的預(yù)測精度有所提高,而坐標變換改進模型的預(yù)測精度最高。從實例看,在第8期,坐標變換模型預(yù)測值幾乎與實測值重合(其中涉及小數(shù)點后位數(shù)取舍),而第9期數(shù)據(jù)預(yù)測值相對誤差為-3.98%,絕對誤差為-0.68 mm。而均值GM(1,1)模型以及殘差GM(1,1)模型的預(yù)測精度是不能接受的。需要說明,在殘差序列建模過程中,由于殘差序列不滿足建模要求,采用了殘差序列加常數(shù)1后的序列進行建模,且采用的是加常數(shù)后滿足要求的第2期至第7期數(shù)據(jù),對預(yù)測結(jié)果進行反向還原得到修正值。

預(yù)測期的預(yù)測數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)比較如圖1所示。

從圖1可知,殘差模型和坐標變換模型均是將預(yù)測值向?qū)崪y的校正,但校正值的大小決定因素不同。前者取決于GM(1,1)模型的預(yù)測值,而后者取決于模型的平移量和旋轉(zhuǎn)角。從圖1也可以發(fā)現(xiàn),一次累加的旋轉(zhuǎn)在累計沉降的預(yù)測值中有所體現(xiàn)。且在圖上可以看出,坐標變換模型相較于均值GM(1,1)模型以及殘差模型,預(yù)測精度優(yōu)勢明顯。

4 結(jié)語

在建筑工程施工階段,變形監(jiān)測是保障工程安全進行的必要手段。本文以沉降變形監(jiān)測實測沉降數(shù)據(jù)序列為基礎(chǔ),選取監(jiān)測點9期實測沉降數(shù)據(jù)進行預(yù)測實踐應(yīng)用分析,選擇前7期建立不同模型,后2期進行對比驗證,在程序?qū)崿F(xiàn)相關(guān)模型的基礎(chǔ)上對預(yù)測結(jié)果進行對比分析,認為坐標變換模型的預(yù)測結(jié)果達到了較好的預(yù)測效果,與實測累計沉降量相 近,其可以作為相似工程的預(yù)測選用方法,對相關(guān)實踐工作具有一定參考價值。