王 寧， 陳友興， 楊 凌， 金 永

(中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051)

0 引 言

在能源、化工、航天等行業(yè)中，粘貼或噴鍍的非金屬涂層厚度對整個產(chǎn)品的工作性能、穩(wěn)定性和使用安全都發(fā)揮著極其重要的作用[1]。如固體火箭發(fā)動機(jī)的涂層是發(fā)動機(jī)裝藥的重要組成部分，太厚或太薄均會影響發(fā)動機(jī)的正常工作[2]；石油工業(yè)中的運(yùn)輸管道常在其內(nèi)表面噴涂非金屬涂層防止因腐蝕而發(fā)生漏油，過厚或過薄均會造成安全事故[3-6]。因此，在產(chǎn)品使用前或使用過程中，有必要對涂層厚度進(jìn)行測量，以確保其使用安全。

渦流檢測以不需要耦合劑、操作簡便、結(jié)構(gòu)簡單、實(shí)時等優(yōu)點(diǎn)常用于測量特殊金屬基體內(nèi)表面的涂層厚度[7-8]。但在實(shí)際測量過程中，被測基體表面形狀和探頭與被測基體的距離均會對檢測線圈與基體的電磁耦合產(chǎn)生一定的影響，從而造成測量誤差大。由于常規(guī)誤差校正方法中往往采用的高階多項(xiàng)式、高斯函數(shù)等擬合方法復(fù)雜化會影響實(shí)際檢測的效率。因此，研究渦流測厚過程中曲面金屬誤差校正方法簡單化、系統(tǒng)化具有實(shí)際工程意義。

文獻(xiàn)[9]為了提高金屬零件表面絕緣涂鍍層厚度測量精度，針對大曲率半徑1 125，3 000 mm的鋁合金試件為研究對象，采用了9階多項(xiàng)式、多峰高斯函數(shù)等四種復(fù)雜函數(shù)分別在每一種曲率下對電流信號與提離距離進(jìn)行標(biāo)定，通過優(yōu)化標(biāo)定方法，減小了測量誤差。但該方法在一定程度上增加了測量與計(jì)算的工作量。文獻(xiàn)[10]通過建立二元三階多項(xiàng)式的擬合模型，研究了磁感應(yīng)強(qiáng)度與雙層涂層厚度之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[11]針對厚涂層測量精度較低的問題，以曲率半徑50～80 mm的不銹鋼球面為研究對象，采用了4階多項(xiàng)式、高斯函數(shù)等四種擬合函數(shù)分別在每一種曲率下對渦流信號與提離距離進(jìn)行標(biāo)定，通過優(yōu)化標(biāo)定曲線的方法將測量誤差控制在0.09 mm以內(nèi)。文獻(xiàn)[12]為提高曲面試件的渦流測距精度，在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，研究了曲率對渦流信號的影響，提出了一種基于渦流信號差值的測距修正方法，提高了曲面測距精度。文獻(xiàn)[13]通過建立等效電路模型，得到了測量靈敏度與傳感器參數(shù)之間的關(guān)系，通過優(yōu)化傳感器靈敏度實(shí)現(xiàn)了對納米銅膜厚度的測量。

上述研究分析了渦流曲面測量的影響因素，并針對優(yōu)化標(biāo)定方法和提高精度等方向做出了相應(yīng)貢獻(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，本文從渦流測量值與真實(shí)值的關(guān)系角度，研究小曲率曲面金屬誤差校正簡單化的方法，分析了曲面曲率半徑對渦流信號的影響，在能夠滿足工程應(yīng)用0.1 mm測量誤差要求下，提出了自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合的校正方法，建立了多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的可行性。

1 曲面涂層測厚原理及影響因素

1.1 管狀內(nèi)表面涂層厚度測量原理

利用渦流提離效應(yīng)進(jìn)行涂層厚度測量的原理如圖1所示。通過渦流探頭到被測基體內(nèi)表面提離距離x0的大小即可計(jì)算出涂層厚度。渦流探頭垂直置于被測基體的上方，R為曲率半徑，d為被測基體的厚度。在測量曲面涂層厚度時易受到被測基體曲率影響，測量誤差會變大。采用渦流探頭EU15以及渦流傳感器eddyNCDT-3300對其內(nèi)表面涂層進(jìn)行檢測，選取曲率半徑R=25 mm、35 mm、50 mm、70 mm、90 mm的管狀試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖2所示，提離距離范圍0.1～7 mm。渦流信號隨曲面曲率半徑的變化如圖3所示。

圖2 檢測試件

1.2 曲面曲率半徑對渦流信號的影響

圖3所示為改變被測基體的曲率半徑大小，提離1，3，5，7 mm下的測量值隨曲率半徑變化的情況?？梢钥闯?，在同一提離下，測量值隨著曲率半徑的增大而減小。圖4為提離1，3，5，7 mm下渦流信號隨曲率半徑變化的測量誤差。

圖3 曲率變化對渦流信號的影響

圖4 渦流信號隨曲率變化的誤差

由圖4可知，在同一提離下，測量誤差隨著曲率半徑的增大而逐漸減小。在同一曲率半徑下，隨著提離增大，測量誤差也在減小。說明曲率半徑、測量值與真實(shí)值之間存在一定的關(guān)系。

2 多項(xiàng)式擬合校正方法

設(shè)擬合多項(xiàng)式為：

式中：a0、a1、···、ak——待定多項(xiàng)式參數(shù)；

k——擬合多項(xiàng)式的最高次數(shù)；

x——測量值；

y——真實(shí)值。

為更直觀表示測量值與真實(shí)值的函數(shù)關(guān)系，測量值在文中具體用表示，真實(shí)值用表示。

將式（1)表示為矩陣的形式，可得到：

表示為矩陣形式，如下：

系數(shù)矩陣A即可由公式（3）計(jì)算得出，通過對測量值與真實(shí)值進(jìn)行擬合運(yùn)算，相比于二階多項(xiàng)式，四階、九階多項(xiàng)式及高斯函數(shù)的運(yùn)算量較大，其多項(xiàng)式參數(shù)多且復(fù)雜度高。

為更好分析擬合方法的好壞，對四種擬合曲線的擬合指標(biāo)和方差（SSE）、均方根（RMSE）、確定系數(shù)（R-square）進(jìn)行分析。其中和方差（SSE）越接近0，說明模型選擇擬合更好，數(shù)據(jù)預(yù)測也越成功。均方根（RMSE），也叫擬合標(biāo)準(zhǔn)差，表示原始數(shù)據(jù)相對于擬合曲線的偏離程度，越接近0，誤差越小。確定系數(shù)（R-square）近似于1時，表明方程的變量對y的解釋能力越強(qiáng)，函數(shù)模型對數(shù)據(jù)擬合越好。趨勢線最可靠[14]。

通過比較高斯函數(shù)、二階、四階及九階多項(xiàng)式的擬合指標(biāo)，具體對比結(jié)果在表1中給出。

表1 四種擬合方法對比結(jié)果

由表1中數(shù)據(jù)可知，高斯函數(shù)擬合指標(biāo)不理想，而二階與四階、九階多項(xiàng)式相比，各項(xiàng)擬合指標(biāo)均較接近。進(jìn)一步分析了4種擬合方法的誤差如圖5所示，可以看出，高斯函數(shù)擬合誤差較大，二階與四階、九階的擬合誤差相近。

圖5 四種擬合方法的誤差

綜上，為了降低參數(shù)復(fù)雜度，在滿足測量誤差的要求下，本文采用二階多項(xiàng)式的擬合方法，其表達(dá)式為：

其中h和H分別表示不同曲率半徑下的真實(shí)值和測量值。

為了驗(yàn)證采用二階多項(xiàng)式擬合方法的效果，如圖6所示，對曲率半徑R=25 mm擬合前后的測量誤差進(jìn)行了分析。

圖6 擬合前后誤差

從圖6可以看出，未擬合時的最大測量誤差為0.058 mm，擬合后的最大測量誤差為0.042 mm。所以采用二階多項(xiàng)式擬合比未擬合的誤差要小。

由此可得，采用二階多項(xiàng)式擬合后不僅減小了誤差，而且降低了參數(shù)復(fù)雜度。所以，首先對曲率半徑R=25 mm時的測量值與真實(shí)值進(jìn)行擬合，其結(jié)果如圖7所示。

圖7 擬合結(jié)果

從圖7可知，二階多項(xiàng)式擬合曲線各點(diǎn)幾乎分布在曲線上，其擬合曲線與原始數(shù)據(jù)吻合性很好，偏差最小，同理可得到其余四種曲率半徑下的真實(shí)值與測量值的擬合曲線。

3 多項(xiàng)式的自適應(yīng)參數(shù)求解

3.1 自適應(yīng)參數(shù)求解

在降低參數(shù)復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將得到的二階多項(xiàng)式參數(shù)系統(tǒng)化，在滿足適用性及測量誤差的要求下，通過自適應(yīng)參數(shù)求解，建立多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。

在不同系數(shù)矩陣A中ak（k=0, 1, 2）的值會隨著曲率半徑不同而變化，如果按某一個確定的自適應(yīng)關(guān)系f，對于任意半徑R，在A中 都有唯一的參數(shù)a與之相適應(yīng)，其自適應(yīng)關(guān)系可表示為：

以本文的5種曲率半徑為例，由式(4)分別得到5種曲率半徑下的測量值與真實(shí)值的表達(dá)式。由于多項(xiàng)式參數(shù)隨曲率半徑變化，即參數(shù)a0、a1、a2分別為5種曲率半徑下對應(yīng)的5個不同數(shù)值。問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉謩e求參數(shù)a0、a1、a2與曲率半徑R的函數(shù)。

在考慮系數(shù)復(fù)雜度的情況下，首先以參數(shù)a0為因變量，曲率半徑為自變量，優(yōu)先采用二階多項(xiàng)式對其進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的參數(shù)a0-曲率半徑R擬合函數(shù)，由于參數(shù)a0與曲率半徑R的二階擬合效果不理想，而采用的三階擬合效果較好，由此得到了參數(shù)a0與曲率半徑R的自適應(yīng)關(guān)系：

同理分別得到參數(shù)a1、a2與半徑的自適應(yīng)關(guān)系：

由式(6)～(8)便系統(tǒng)性地建立了各多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的表達(dá)式。

將式(6)～(8)代入式(4)即可計(jì)算出不同曲率下的實(shí)際值。首先計(jì)算了曲率半徑R=25 mm下的實(shí)際值，并與真實(shí)值作對比，其結(jié)果如圖8所示。從圖8可以看出，計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值吻合度很高。

圖8 計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值比較

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

進(jìn)一步對比通過該方法計(jì)算的不同曲率下的實(shí)際值與真實(shí)值的誤差，結(jié)果見圖9。由圖可得，不同曲率下計(jì)算得到的實(shí)際值與真實(shí)值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內(nèi)。通過代入后的式(4)不僅可以計(jì)算出5種曲率下的實(shí)際值，而且計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值相近，表明該方法具有一定的可行性。

圖9 不同曲率下實(shí)際值的誤差

4 結(jié)束語

本文針對管狀基體渦流測量中因曲率的影響而導(dǎo)致的測量誤差，在常規(guī)校正方法中往往采用的高斯函數(shù)、高階多項(xiàng)式等擬合方法復(fù)雜化的問題，研究了曲面曲率半徑對渦流信號的影響，提出了基于自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合校正方法，通過自適應(yīng)參數(shù)求解，建立了多項(xiàng)式參數(shù)與曲率半徑的關(guān)系。結(jié)果表明，相比于直接利用高斯函數(shù)、高階多項(xiàng)式等復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行校正的傳統(tǒng)手段，該方法建立的關(guān)系式所計(jì)算的實(shí)際值與真實(shí)值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內(nèi)，降低了參數(shù)復(fù)雜度，具有一定的通用性與可行性。

綜上所述，通過基于自適應(yīng)參數(shù)的二階多項(xiàng)式擬合方法建立的函數(shù)關(guān)系，簡化了實(shí)際操作流程，使其更方便有效地應(yīng)用于工程實(shí)際中。