張宗玲

復(fù)習(xí)，要以學(xué)生的深度學(xué)習(xí)為出發(fā)點(diǎn)，注重知識(shí)之間橫向和縱向的聯(lián)系，才能使得數(shù)學(xué)知識(shí)不是碎片式存在于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中。深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)的是單元教學(xué)，強(qiáng)調(diào)的是知識(shí)整合。它是由知識(shí)面的寬度、知識(shí)本質(zhì)的深度、數(shù)學(xué)思想方法的高度三個(gè)維度構(gòu)成。從三個(gè)維度去關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程不能只是一個(gè)方向、線性的深度變化過程，需要關(guān)注三個(gè)維度的發(fā)展。下面就以圓的復(fù)習(xí)專題為例，談?wù)剬ｎ}單元復(fù)習(xí)。

一、內(nèi)容

本復(fù)習(xí)內(nèi)容為圓的證明和計(jì)算與旋轉(zhuǎn)中的隱圓問題。

圓是“圖形與幾何”領(lǐng)域的核心內(nèi)容之一，它是一種特殊的曲線圖形，是在直線圖形有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上發(fā)展的基本圖形之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。“圓”是各省市中考的必考內(nèi)容，圓的證明與計(jì)算對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求比較高，不僅要求學(xué)生對(duì)圓的知識(shí)掌握熟練，而且還要有一定的研究方法。圖形在旋轉(zhuǎn)中容易與圓的基本要素產(chǎn)生聯(lián)系，有些問題需要分析出隱藏在問題中的圓，利用圓的知識(shí)解決旋轉(zhuǎn)中的求解問題。這部分內(nèi)容的復(fù)習(xí)對(duì)于學(xué)生推理能力、幾何直觀和抽象能力的發(fā)展是至關(guān)重要的，也是進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的很好內(nèi)容。

二、復(fù)習(xí)板塊設(shè)計(jì)

（一）第一個(gè)板塊：關(guān)注知識(shí)面的寬度，強(qiáng)化聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

第二輪復(fù)習(xí)，是基于學(xué)生對(duì)圓的基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行的課程單元復(fù)習(xí)教學(xué)。這種復(fù)習(xí)要以學(xué)生的思維提升為目標(biāo)，從深度學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，以學(xué)生知識(shí)面的寬度和數(shù)學(xué)思維的寬度為主線，采取一題多解的教學(xué)策略，旨在從不同的角度去思考同一道題，用不同的方法尋找知識(shí)的生長點(diǎn)，使知識(shí)之間構(gòu)建縱橫聯(lián)系網(wǎng)，讓學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理、抽象能力得到發(fā)展。

1.原題呈現(xiàn)。

問題1：如圖1-1，在⊙O中，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)P，∠ABC=63°，若∠APC=100°，求∠BAD和∠CDB的大小。

2.解法探究。

求∠BAD分析：由∠ABC=63°、∠APC=100°，可得∠C=∠APC-∠ABC=100°-63°=37°，再根據(jù)圓周角定理的推論可得∠BAD=∠C=37°。

求∠CDB分析：

方法1.如圖1-1，由AB是直徑可得∠ADB=90°，根據(jù)圓周角定理的推論可得∠ADC=∠ABC=63°，又因?yàn)椤螩DB=∠ADB-∠ADC，所以∠CDB=27°。

方法2.如圖1-2，連接OC，由題意可知OC=OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB=63°，從而可得∠COB=180°-∠OBC-∠OCB=54°，由圓周角定理可得∠CDB=? ∠COB=27°。

方法3.如圖1-3，連接AC，因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB=90°-∠ABC=27°，由圓周角定理的推論可得∠CDB=∠CAB=27°。

3.說明。

所選題目為2020年天津市中考第21題第一問，題目的特點(diǎn)：題干的敘述簡潔、明了，圖形簡單，但卻涵蓋了“圓”豐富的圖形性質(zhì)，以及八年級(jí)的三角形和等腰三角形的知識(shí)。

4.方法提煉。

圓的計(jì)算和證明通過不同的解法，使得弧、弦、角之間相互轉(zhuǎn)化。如問題1，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生由此及彼地進(jìn)行聯(lián)想、總結(jié)常添加的輔助線，構(gòu)造直角三角形、等角、半角等，挖掘出內(nèi)在的基本圖形，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。

（二）第二個(gè)板塊：關(guān)注知識(shí)本質(zhì)的深度，強(qiáng)化本質(zhì)規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在各省市的中考中，以旋轉(zhuǎn)為背景的題目層出不窮，在旋轉(zhuǎn)問題中有這樣的一類題目，通過旋轉(zhuǎn)求線段最值的問題，學(xué)生感覺非常困難，之所以困難，是因?yàn)檎也怀鼋鉀Q問題的方法。由于方法的隱蔽性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的直觀想象要求比較高，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要善于利用幾何圖形的直觀性去挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的規(guī)律——“隱圓”。通過這類問題的研究，可以提高學(xué)生對(duì)圖形的性質(zhì)理解和內(nèi)化，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形中各種元素之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

1.原題呈現(xiàn)。

問題2：如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（0，[3]），以AB為一邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第二象限，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△A1O1B，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1，O1。若點(diǎn)P為線段CO1的中點(diǎn)，求AP長的取值范圍。

2.解法探究。

如圖2-2，取CB的中點(diǎn)N，連接PN，AN。點(diǎn)O繞定點(diǎn)B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，BO為定長，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)O1在圓心為點(diǎn)B、半徑為OB長的圓上運(yùn)動(dòng)，軌跡圓與BC相交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)N，點(diǎn)P隨著點(diǎn)O1位置的變化而變化，問題是點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？由于點(diǎn)P和點(diǎn)N都是中點(diǎn)，因此PN為三角形CO1B的中位線，O1B是定長，則PN也是定長，因此，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)N為圓心，PN的長為半徑的圓。

由題意，點(diǎn)A、N為固定點(diǎn)，則以點(diǎn)N為圓心，PN長為半徑的圓是動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡，所以當(dāng)A，P，N三點(diǎn)共線時(shí)，AP取得最大值、最小值，即AN-PN≤AP≤AN+PN，即_____________。

3.說明。

此題是2020年天津市和平區(qū)三模第24題第3問，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡比較難想象，讓學(xué)生明確求AP長的范圍就是確定AP的最大值和最小值問題。

4.方法提煉。

利用圓的定義，找定點(diǎn)、尋定長，使得隱形圓現(xiàn)出。已知點(diǎn)A、N為定點(diǎn)，線段NP繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AN上時(shí)，如圖，線段AP最短，當(dāng)點(diǎn)P在線段AN的延長線上時(shí)，線段AP最長。

三、復(fù)習(xí)專題設(shè)計(jì)思考

1.單元復(fù)習(xí)專題緊扣“四條主線”。

教學(xué)中突出四條主線，并注重四條主線的和諧發(fā)展。一是突出知識(shí)面的寬度—強(qiáng)化內(nèi)在聯(lián)系（知識(shí)之間橫向聯(lián)系）—發(fā)展思維（一題多解）—形成方法（提升思想方法）;二是突出知識(shí)本質(zhì)的深度—強(qiáng)化本質(zhì)規(guī)律（運(yùn)動(dòng)）—發(fā)展思維—形成方法;三是突出“顯性知識(shí)（明“圓”）—隱性知識(shí)（隱圓）”的思維活動(dòng);四是突出教師“引導(dǎo)探究—解析（歸納、概括）—評(píng)價(jià)”的過程。

2.單元復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)的反思。

在深度學(xué)習(xí)的視角下思考圓的復(fù)習(xí)專題，設(shè)計(jì)從靜態(tài)圓到動(dòng)態(tài)圓的學(xué)習(xí)過程。一題多解，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)思維的空間，學(xué)生的思維活躍起來才會(huì)有新的驚喜，學(xué)會(huì)從復(fù)雜的圖形中借助輔助線構(gòu)造基本圖形，運(yùn)用圓的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明，學(xué)生思維的靈活性與深刻性得以提升，知識(shí)面的寬度得到關(guān)注。讓圖形旋轉(zhuǎn)起來，引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)切入點(diǎn)，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，分析出其中的隱圓，指導(dǎo)學(xué)生合理地借助圓的直觀，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”的問題進(jìn)行研究，使求解問題與圓的要素之間產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，抓住“變”與“不變”的核心，關(guān)注知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，圍繞“延伸點(diǎn)”，讓學(xué)生在復(fù)雜圖形的運(yùn)動(dòng)和變化中，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思考的深度和廣度，知識(shí)本質(zhì)的深度得以體現(xiàn)。

3.復(fù)習(xí)專題更應(yīng)注重思想方法的提升。

提升數(shù)學(xué)思想方法的高度是深度學(xué)習(xí)的第三個(gè)維度，初中學(xué)生還處于形象思維階段，對(duì)于“靜止?fàn)顟B(tài)”的圖形基本性質(zhì)的理解及運(yùn)用還需“形象化”，對(duì)于“變換形態(tài)”圖形的理解，要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程“直觀化”“可視化”，這就需要借助幾何直觀來完成，從無“形”到有“形”，抽象能力是主導(dǎo)。以“形”的直觀輔助對(duì)“數(shù)”的思考，以“數(shù)”的邏輯推理判斷“形”的改變，直觀離不開邏輯，邏輯離不開直觀。因此，學(xué)會(huì)用圖形進(jìn)行思考、用圖形進(jìn)行想象，學(xué)會(huì)用圖形的運(yùn)動(dòng)與變化的方式去認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所具備的能力，也是復(fù)習(xí)專題要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。

（徐德明）