曹寶

“全等三角形”的學習中，教師要有針對性地引導學生樹立四種意識，即通過“邊角定形”意識實現元素到“三角形”的跨越，通過“利用全等”意識認識全等的作用，通過“推陳出新”意識增強推理能力，通過“全等變換”意識理解全等的實質。

一、“邊角定形”意識

邊、角是三角形的基本要素。初學時，學生理解題意中提到的“邊”“角”相關條件時，往往不能由角及形、由線及形。在復雜圖形中，因為有干擾條件或位置關系不易觀察，即使兩個全等三角形已經存在，學生依靠直覺也不易發(fā)現。在需要做輔助線構造全等三角形時，學生無處著手。造成上述現象的主要原因是，學生缺乏以條件中的“邊”或“角”來確定目標三角形的意識，即“邊角定形”意識。因此，教師要培養(yǎng)學生由條件或問題中的“邊”“角”確定相關三角形，再通過發(fā)現或構造全等三角形來解決問題的意識和能力，進而實現從局部到整體的思維提升。

全等三角形的五個判定定理（SSS、ASA、SAS、AAS、HL）中都有“等邊”條件。存在“等邊”是兩個三角形全等的基礎，也是“定形”的重要依據。教師可引導學生用圖形分離法或涂色法主動“定形”。

如圖1，在△ABC中，AC=BC，直線EF交AC于F，交AB于E，交BC的延長線于D，連接AD、BF，若CF=CD，BF=AD。求證：BF⊥AD。

此題直觀上不易發(fā)現全等三角形，從求證中也難以確定全等的目標圖形，但條件中給出了三對相等的線段，教師應利用這些“等邊”，引導學生通過“定形”猜想并證明△BFC≌△ADC，再通過全等帶來的等角證出∠BCF=∠ACD=90°，從而得出∠BMD=90°。

二、“利用全等”意識

全等三角形可提供等邊、等角，在解決等量關系問題中有重要作用。很多時候，學生由于缺乏“利用全等”的意識，不能有效利用全等帶來的等邊或等角構想解決問題的思路。

如何促進學生主動利用全等三角形提供的條件解決問題呢？有一類題目，需要證明兩對甚至三對全等三角形，在根據條件得到第一對三角形全等后，可利用其提供的等邊或等角，為證明第二對三角形全等服務。教師引導學生掌握此類問題，能強化學生“利用全等”的意識。

如圖2，在四邊形ABDC中，∠BAC+∠BDC=180°，BD=CD，DE⊥AB于E，求[AB+ACAE]的值。

此題條件中給出了BD=CD，作DF⊥AC于F，根據四邊形ABDC對角互補可以證出外角等于內對角，即∠DCF=∠DBE，從而得△DCF≌△DBE。通過這對三角形全等，不僅能得到BE=CF，為后續(xù)代換線段做準備，而且提供了DE=DF，可用于證明第二對三角形全等，即△ADE≌△ADF，進而得出AE=AF，推知[AB+ACAE=（AE+EB）+（AF-CF）AE=2AEAE=2]。

還有一類題目，問題指向“全等”的方向不明顯，學生不易想到通過證明或構造全等三角形解決問題。事實上，當全等三角形出現后，就能帶來相等的量，再通過代換找到更多量之間的關系，為解決線段或角的相關問題提供條件。

如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，邊AB上的點D從頂點A出發(fā)，向頂點B運動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發(fā)，向頂點C運動，D、E兩點運動速度相等。設x=AD，y=AE+CD，y關于x的函數圖象如圖4，圖象經過（0，2），則圖象最低點的橫坐標是________ 。（2021武漢市中考T16）

由題可知AD=BE，構造△FBE≌△CAD（如圖5），得出EF=CD，可將問題轉化為求AE+EF取最小值時AD的長度，即當A、E、F共線時BE的值。再由圖象信息可知：AD=0時，y=AE+CD=AB+AC=2，得AB=1，最后求得BE=[2]-1=AD。

三、“推陳出新”意識

“等量”是研究全等三角形的關鍵，當條件給出或題中證出一些等量時，往往可以利用等式的性質代換出新的等量。

如圖6，銳角∠AOC，OA=OC，D、B兩點分別在線段OA、OC上，且OD=OB。設∠A=α，將△ODC繞點O逆時針旋轉一定的角度，使∠BOD=α（如圖7），過B作BE∥CD交OC于E，求證：BE=AO。

由條件可得△AOB≌△COD，所以∠1=∠2，∠4=∠C=∠BEO。根據目標線段BE、OA，考慮以邊BE、∠BEO為基礎構造一個三角形與△OAB全等。由條件知∠3=∠4，作∠BFO=∠BOF（F在CO上），得BO=BF，并由∠BFO+∠BFE=180°，∠BOF+∠OBA=∠1+∠3+∠OBA=∠2+∠4+∠OBA=180°，證出∠BFE=∠OBA，從而△BEF≌△OAB，得BE=AO。

四、“全等變換”意識

當題目給出的條件顯得不夠、不明顯，或者條件及目標中的線段、角等元素不好利用時，我們可以將圖形做一定的變換，使學生發(fā)現隱含條件，構造新的三角形，從而解決問題。

教師引導學生從變換的角度認識全等，借助平移變換、對稱變換、旋轉變換等方法，整體把握圖形，經歷圖形的抽象、分類、運動、位置確定、性質探討等過程，能促進學生對“全等”問題的深度理解。

如圖8，D為等邊△ABC外一點，且∠CDB=60°，E為邊BC的中點，連接DE、DA，求證：AD=2DE。

根據要證結論及條件“E為邊BC的中點”，易想到通過“倍長中線”DE，構造△DEB≌△FEC。這樣做的實質是將△DEB繞E點旋轉180°，通過旋轉變換得到△FEC，出現DF=2DE。在嘗試證明DA=DF時，圖中找不到已有的全等三角形，必須通過全等變換轉移線段，構造新的三角形。抓住△DCF，在已知等邊△ABC的基礎上，作等邊△DBG，將△ABD旋轉變換為△CBG，將AD轉換為CG，構造出△GDC。隨之發(fā)現DG=DB=CF，∠FCD=∠GDC=120°，CD=DC，發(fā)現對稱變換的兩個全等三角形，即△FCD≌△GDC，從而證出AD=CG=DF=2DE。

（作者單位：武漢經濟技術開發(fā)區(qū)教育局教研室）

責任編輯? 劉佳