宋國(guó)鑫, 李寶麟

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

作為微分系統(tǒng)的一個(gè)重要分支,脈沖微分系統(tǒng)兼具連續(xù)與離散的特征,能夠更精確地描述事物的瞬時(shí)變化規(guī)律,其理論研究始于20世紀(jì)60年代,在80年代以后得到了較大發(fā)展,已經(jīng)取得了大量成果,并實(shí)際應(yīng)用于生物、航天、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域.文獻(xiàn)[1-2]利用經(jīng)典常微分方程與泛函分析的相關(guān)理論研究了固定時(shí)刻脈沖微分方程

與依賴(lài)于狀態(tài)的脈沖微分方程,其中函數(shù)f關(guān)于2個(gè)變?cè)谝欢▍^(qū)域上連續(xù).

Kurzweil廣義常微分方程理論在研究測(cè)度微分方程,時(shí)間尺度上的動(dòng)態(tài)方程及脈沖微分方程等不連續(xù)系統(tǒng)時(shí)有重要作用,文獻(xiàn)[3]對(duì)Kurzweil積分與廣義常微分方程做了系統(tǒng)的研究,并考察了脈沖微分方程

與廣義常微分方程

的等價(jià)性,其中

a≤t1

文獻(xiàn)[4-5]分別證明了廣義常微分方程解關(guān)于初始條件與參數(shù)的可微性定理及廣義常微分方程的Massera定理,且分別應(yīng)用于固定時(shí)刻脈沖微分方程與其他不連續(xù)系統(tǒng).文獻(xiàn)[6]建立了一類(lèi)依賴(lài)于狀態(tài)的脈沖滯后型泛函微分方程與廣義常微分方程之間的關(guān)系,應(yīng)用廣義常微分方程理論考察了此類(lèi)脈沖滯后型泛函微分方程的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[7]建立了廣義線(xiàn)性常微分方程的二分法理論并以此考察了一類(lèi)線(xiàn)性脈沖微分方程有界解的存在性.文獻(xiàn)[8]研究了一般Banach空間中廣義常微分方程解的延拓,證明了一系列與常微分方程平行的結(jié)果,并應(yīng)用于測(cè)度微分方程和時(shí)間尺度上的動(dòng)態(tài)方程.對(duì)于不連續(xù)微分系統(tǒng)的研究背景及較新成果見(jiàn)文獻(xiàn)[9-12].

等價(jià)于一類(lèi)廣義常微分方程初值問(wèn)題,通過(guò)這種等價(jià)關(guān)系將文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)論應(yīng)用于此類(lèi)脈沖微分方程初值問(wèn)題,考察其解的延拓.

1 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)引入正則函數(shù)、Kurzweil積分及廣義常微分方程的相關(guān)定義與結(jié)論.

給定區(qū)間[a,b]與正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),稱(chēng)有限集D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}為區(qū)間[a,b]的一個(gè)δ-精細(xì)分劃,如果

a=α0<α1<…<αk=b,

αi-1≤τi≤αi,i=1,2,…,k,

且

[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

i=1,2,…,k.

事實(shí)上,給定區(qū)間[a,b]與正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),則[a,b]一定存在δ-精細(xì)分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k},

詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3]的引理1.4.

定義 1.1[3]稱(chēng)函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[a,b]上Kurzweil可積,如果存在向量I∈Rn,使得對(duì)任意的ε>0,存在正值函數(shù)δ:[a,b]→(0,+∞),使得對(duì)[a,b]的任何δ-精細(xì)分劃

D={(τi,[αi-1,αi]),i=1,2,…,k}

都有

定理 1.3[3]設(shè)對(duì)任意c∈(a,b],函數(shù)U:[a,b]×[a,b]→Rn在區(qū)間[c,b]上Kurzweil可積,且極限

存在,則U在[a,b]上Kurzweil可積,且

設(shè)非空開(kāi)集O?Rn,區(qū)間[t0,+∞)?R,Ω=O×[t0,+∞),給定函數(shù)F:Ω→Rn,對(duì)于廣義常微分方程的解,有以下定義及性質(zhì).

定義 1.4[3,8]設(shè)I?[t0,+∞)為非退化區(qū)間,稱(chēng)函數(shù)x:I→O為廣義常微分方程

(1)

在I上的解,如果

在I上的解,如果對(duì)任意s∈I都有

定義 1.5[8]設(shè)h:[t0,+∞)→R為單調(diào)不減函數(shù)且在(t0,+∞)中任一點(diǎn)處左連續(xù),稱(chēng)函數(shù)F:Ω→Rn屬于(Ω,h),如果F滿(mǎn)足:

(N1) 對(duì)一切(x,s1),(x,s2)∈Ω,

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|；

(N2) 對(duì)一切

(x,s1),(x,s2),(y,s1),(y,s2)∈Ω,

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|.

引理 1.6[8]設(shè)函數(shù)F:Ω→Rn滿(mǎn)足條件(N1),若函數(shù)x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則

‖x(s2)-x(s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對(duì)任意s1,s2∈[a,b]都成立.

引理 1.7[8]設(shè)函數(shù)F:Ω→Rn滿(mǎn)足條件(N1),若函數(shù)x:[a,b]?[t0,+∞)→O是廣義常微分方程(1)在[a,b]上的解,則x是[a,b]上的有界變差函數(shù).

定理 1.8[8]設(shè)F∈(Ω,h),若(x0,τ0)∈Ω且

則存在Δ>0,使得廣義常微分方程(1)在區(qū)間[τ0,τ0+Δ]上存在唯一的滿(mǎn)足初值條件x(τ0)=x0的解x:[τ0,τ0+Δ]→O.

性質(zhì) 1.9[3]設(shè)函數(shù)f:O×[t0,+∞)→Rn滿(mǎn)足以下條件:

(C1) 對(duì)任意固定的x∈O,函數(shù)f(x,·)在[t0,+∞)上Lebesgue可測(cè);

(C2) 存在局部Lebesgue可積函數(shù)m:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)‖≤m(s)

對(duì)一切(x,s)∈O×[t0,+∞)都成立;

(C3) 存在局部Lebesgue可積函數(shù)l:[t0,+∞)→R使得

‖f(x,s)-f(y,s)‖≤l(s)‖x-y‖

對(duì)一切(x,s),(y,s)∈O×[t0,+∞)都成立.

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞).

設(shè)x0∈O,對(duì)于廣義常微分方程初值問(wèn)題

(2)

解的延拓與飽和解,文獻(xiàn)[8]中有以下定義.

定義 1.10[8]設(shè)區(qū)間I滿(mǎn)足t0=minI,函數(shù)x:I→O是IVP(2)在I上的解,稱(chēng)IVP(2)的另一解y:J→O為x:I→O的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對(duì)任意t∈I,有x(t)=y(t).若IJ,則稱(chēng)y為x的(右行)真延拓.

定義 1.11[8]設(shè)區(qū)間J滿(mǎn)足t0=minJ,若IVP(2)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱(chēng)函數(shù)x:J→O為IVP(2)的飽和解.

因?yàn)閺V義常微分方程的解可能具有某些不連續(xù)特征,所以區(qū)別于一般常微分方程理論,文獻(xiàn)[8]中研究廣義常微分方程飽和解的性質(zhì)時(shí)未使用連續(xù)函數(shù)的部分性質(zhì).在后文的討論中,設(shè)

ΩF={(x,t)∈Ω|x+F(x,t+)-F(x,t)∈O},

以下為文獻(xiàn)[8]中所得廣義常微分方程初值問(wèn)題飽和解的存在唯一性定理與飽和解的性質(zhì)(本文中取Banach空間X=Rn時(shí)的情形).

定理 1.12[8]若F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.

定理 1.13[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,其中ω≤+∞,則對(duì)Ω中的任意緊集K,存在tK∈[t0,ω),使對(duì)任意t∈(tK,ω)都有(x(t),t)?K.

推論 1.14[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且存在緊集N?O使對(duì)一切t∈[t0,ω)有x(t)∈N,則ω=+∞.

推論 1.15[8]設(shè)F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,若函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(2)的飽和解,且ω<+∞,則極限x(ω-)存在且(x(ω-),ω)∈?Ω.

推論 1.16[8]設(shè)Ω=Rn×[t0,+∞),函數(shù)F∈(Ω,h),則IVP(2)存在唯一飽和解x:[t0,+∞)→Rn.

2 主要結(jié)果

(3)

等價(jià)轉(zhuǎn)化為廣義常微分方程初值問(wèn)題,再考察IVP(3)解的延拓,其中

(H1) 對(duì)每個(gè)i∈N+,存在Ki>0,使對(duì)一切x∈O都有

‖Ii(x)‖≤Ki;

(H2) 對(duì)每個(gè)i∈N+,存在Mi>0,使對(duì)一切x,y∈O都有

‖Ii(x)-Ii(y)‖≤Mi‖x-y‖.

對(duì)于IVP(3)的解及其延拓等,有以下定義.

定義 2.1設(shè)區(qū)間I滿(mǎn)足t0=minI,稱(chēng)函數(shù)x:I→O為IVP(3)在I上的解,如果

(i)x(t0)=x0;

(iv) 對(duì)每個(gè)ti∈(t0,supI)都有

定義 2.2設(shè)區(qū)間I滿(mǎn)足t0=minI,函數(shù)x:I→O是IVP(3)在I上的解,稱(chēng)IVP(3)的另一解y:J→O為x的(右行)延拓,如果t0=minJ,I?J且對(duì)任意t∈I都有x(t)=y(t).若IJ,則稱(chēng)y為x的(右行)真延拓.

定義 2.3設(shè)區(qū)間J滿(mǎn)足t0=minJ,若IVP(3)的解x:J→O不存在(右行)真延拓,則稱(chēng)x:J→O為IVP(3)的飽和解.

為便于后續(xù)的討論,先證明以下引理.

(4)

對(duì)任意t∈I都成立(上式右端所含積分項(xiàng)為L(zhǎng)ebesgue積分).

證明易知區(qū)間I只可能具有以下形式之一:

I=[t0,β],β<+∞,

或

I=[t0,β),β≤+∞.

必要性 先考慮I=[t0,+∞)時(shí)的情形.設(shè)函數(shù)x:I→O是IVP(3)在I上的解,由

及定義2.1,函數(shù)x在區(qū)間[t0,t1]上絕對(duì)連續(xù),于是

t∈[t0,t1],

(5)

考慮到

所以

t∈[t0,t1].

因此，函數(shù)x在區(qū)間[σ,t]上絕對(duì)連續(xù).于是

由此可得

t∈(tn,tn+1],n∈N+.

(6)

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明(4)式對(duì)任意t∈(t1,+∞)都成立.

(i) 由(6)式及定義2.1,對(duì)任意t∈(t1,t2]有

再由(5)式得

x(t)-x0=x(t)-x(t1)+x(t1)-x(t0)=

注意到

因此

t∈(t1,t2].

(ii) 假設(shè)對(duì)任意t∈(tn,tn+1]有

其中n∈N+,則

x(tn+1)-x0=

(7)

由(6)、(7)式及定義2.1,對(duì)任意t∈(tn+1,tn+2]有

即

仿照以上過(guò)程可類(lèi)似討論I=[t0,β]或I=[t0,β)時(shí)的情形,其中β<+∞.

充分性 先考慮I=[t0,β)時(shí)的情形,不妨設(shè)t1<β<+∞,則存在唯一的n∈N+,使得tn<β≤tn+1.設(shè)函數(shù)x:I→O滿(mǎn)足(4)式.

(i) 由(4)式得

且對(duì)任意k=1,2,…,n-1有

(8)

故x′(t)=f(x(t),t)a.e.于[t0,t1);令

t∈[tk,tk+1],k=1,2,…,n-1,

存在.設(shè)

φ(t)+In(x(tn)),

即

x(t)=φ(t)+In(x(tn))+x(tn),t∈(tn,β).

(ii) 設(shè)區(qū)間[a,b]?I滿(mǎn)足

則[a,b]?[t0,t1]或存在唯一的l∈N+,使得[a,b]?(tl,tl+1],由(4)式可知

或

t∈[a,b],

顯然,x在[a,b]上絕對(duì)連續(xù).

(iii) 由I=[t0,β),tn<β≤tn+1,n∈N+可知(t0,supI)中全體脈沖點(diǎn)所成之集為{t1,t2,…,tn},由(4)式容易計(jì)算

且對(duì)任意k=2,3,…,n有

由(i)～(iii)及定義2.1得知x:[t0,β)→O是IVP(3)在I上的解.

仿照以上步驟可證I=[t0,β],β<+∞或I=[t0,+∞)時(shí)的情形.

設(shè)

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中對(duì)每個(gè)i∈N+有

區(qū)別于文獻(xiàn)[3]中對(duì)脈沖微分方程僅考慮有限多個(gè)脈沖點(diǎn)的情形,以下將利用條件(C2)和(C3)中的函數(shù)m,l:[t0,+∞)→R與可列多個(gè)算子Ii:O→Rn,i∈N+構(gòu)造單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h).

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

則存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).

t∈[tn,tn+1],n∈N+,

其中

ρn=max{K1+M1,K2+M2,…,Kn+Mn}.

c構(gòu)造函數(shù)

則h:[t0,+∞)→[0,+∞)單調(diào)不減,且在(t0,+∞)中每一點(diǎn)處左連續(xù).

下證F∈(Ω,h).對(duì)任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞),由條件(C2)及(H1)有：

(i) 當(dāng)t0≤s1

(ii) 當(dāng)t0≤s1≤t1

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1);

(iii) 當(dāng)t1

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖=

h(s2)-h(s1).

綜上

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)‖≤|h(s2)-h(s1)|

對(duì)任意x∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立.

由條件(C3)及(H2),仿照以上過(guò)程可證

‖F(xiàn)(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|h(s2)-h(s1)|

對(duì)任意x,y∈O及任意[s1,s2]?[t0,+∞)都成立,故F∈(Ω,h).

在后文中,設(shè)

F(x,t)=F1(x,t)+F2(x,t),

(x,t)∈Ω=O×[t0,+∞),

其中

引理 2.6設(shè)區(qū)間[a,b]?[t0,+∞)滿(mǎn)足

則對(duì)任意函數(shù)x:[a,b]→O都有

[a,b]?(tl,tl+1],

因此,對(duì)任一函數(shù)x:[a,b]→O都有

F2(x(τ),t)≡0,τ,t∈[a,b];

或

由注1.2得

引理 2.7設(shè)k∈N+,任取η∈(tk,tk+1],則對(duì)任意函數(shù)x:[tk,η]→O都有

證明當(dāng)k∈N+,η∈(tk,tk+1]時(shí),對(duì)任意σ∈(tk,η)顯然有

由引理2.6,對(duì)任一函數(shù)x:[tk,η]→O有

再由定理1.3,當(dāng)k∈N+,k≥2時(shí)有

F2(x(tk),σ)-F2(x(tk),tk)]=

類(lèi)似可證

以下定理將呈現(xiàn)IVP(3)與一類(lèi)廣義常微分方程初值問(wèn)題之間的等價(jià)關(guān)系,其本質(zhì)上為文獻(xiàn)[3]的定理5.20的延伸與推廣.事實(shí)上,文獻(xiàn)[3]的定理5.20只是局部地肯定了脈沖微分方程與廣義常微分方程在某個(gè)閉區(qū)間上的等價(jià)性,同時(shí)所討論的脈沖點(diǎn)也是有限多個(gè),本文則考慮可列多個(gè)脈沖點(diǎn)的情形,且同時(shí)考慮上述2類(lèi)方程的初值問(wèn)題在閉區(qū)間[t0,d]、有界半開(kāi)區(qū)間[t0,β)以及無(wú)界區(qū)間[t0,+∞)上的等價(jià)性.

(9)

在I上的解,其中

(x,t)∈Ω.

證明必要性 設(shè)區(qū)間I滿(mǎn)足t0=minI,函數(shù)x:I→O為IVP(3)在I上的解,則由引理2.4得知x滿(mǎn)足(4)式.任取s1,s2∈I,s1

(10)

以下分2種情形討論:

(i) 若

則由(4)、(10)式及引理2.6得

s1∈(tn-1,tn),s2∈(tn+l,tn+l+1),

其中n,l∈N+,則由(4)式有

顯然區(qū)間[s1,s2]中所有脈沖點(diǎn)所成之集為{tn,tn+1,…,tn+l},由引理2.6及引理2.7有

由以上各式及(10)式可得

x(s2)-x(s1).

由上述討論及定義1.4,x:I→O為IVP(9)在I上的解.

充分性 設(shè)區(qū)間I滿(mǎn)足t0=minI,函數(shù)x:I→O為IVP(9)在I上的解,由定義1.4、性質(zhì)1.9、引理2.6及引理2.7,對(duì)任意s∈I,當(dāng)s∈[t0,t1]時(shí)有

當(dāng)s?[t0,t1]時(shí),必存在唯一的l∈N+,使得s∈(tl,tl+1],若l≥2,則

此時(shí)

類(lèi)似可討論l=1時(shí)的情形.綜上所述,對(duì)任意s∈I都有

由引理2.4,x:I→O為IVP(3)在I上的解.

注 2.9由定義1.11、定義2.3及定理2.8不難證明:函數(shù)x:J→O是IVP(3)的飽和解當(dāng)且僅當(dāng)x:J→O是IVP(9)的飽和解,其中區(qū)間J滿(mǎn)足t0=minJ.

對(duì)于IVP(3)有以下解的局部存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

由引理2.5,存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).另一方面,不難計(jì)算對(duì)任意(x,τ)∈Ω有

F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

(11)

其中

故

由定理1.8,存在Δ>0,使得IVP(9)在區(qū)間[t0,t0+Δ]上存在唯一解

x:[t0,t0+Δ]→O.

再由定理2.8,x:[t0,t0+Δ]→O是IVP(3)在區(qū)間[t0,t0+Δ]上的唯一解.

以下將證明IVP(3)飽和解的存在唯一性定理.

證明令

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5,存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→[0,+∞)使得F∈(Ω,h).根據(jù)(11)式,對(duì)任意(x,τ)∈Ω有

x+F(x,τ+)-F(x,τ)=

x+F2(x,τ+)-F2(x,τ)=

從而

x+F(x,τ+)-F(x,τ)∈O, ?(x,τ)∈Ω,

即Ω=ΩF.因此,由定理1.12,IVP(9)存在唯一飽和解x:[t0,ω)→O,其中ω≤+∞.再由注2.9,函數(shù)x:[t0,ω)→O是IVP(3)的唯一飽和解.

設(shè)函數(shù)

f:O×[t0,+∞)→Rn

(x,t)∈Ω,

則由引理2.5及定理2.11的證明過(guò)程可知存在單調(diào)不減的左連續(xù)函數(shù)h:[t0,+∞)→R使得F∈(Ω,h)且Ω=ΩF,于是由定理1.13至推論1.16及注2.9立即得到以下結(jié)論.