趙 豐, 顏 駿, 周良建, 詹 路, 黃 憶

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 四川 成都 610066)

泛函積分方法來源于量子場論和粒子物理的研究,目前在物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.泛函積分是一種非常靈活的數(shù)學(xué)工具,也是現(xiàn)代理論物理中最強(qiáng)有力的方法之一[1-4],這類方法特別適用于計(jì)算統(tǒng)計(jì)物理中的集體激發(fā)譜,如庫侖相互作用粒子系統(tǒng)中的等離子體振蕩,有限溫度下的玻色凝聚,超流和超導(dǎo)理論中的量子渦旋和長波聲子,極化子的自能等問題.泛函積分方法還可以使相變、激光、Kondo效應(yīng)、伊辛模型等理論中的復(fù)雜問題變得相對(duì)簡單.俄羅斯學(xué)者Popov[1-2]和德國學(xué)者Kleinert[4]曾對(duì)泛函積分方法進(jìn)行過比較系統(tǒng)的研究并做出了重要貢獻(xiàn).

近年來,四川師范大學(xué)課題組將泛函積分方法應(yīng)用于物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,取得了一系列的研究成果.在統(tǒng)計(jì)物理和凝聚態(tài)物理方面,有原子光學(xué)中的Dicke模型[5],高溫超導(dǎo)中的Boson-Fermion模型[6-7],費(fèi)米凝聚中的sine-Gordon-Thirring模型[8-12],反鐵磁體中的三帶Hubbard模型[13-14],主要研究了上述模型中的激發(fā)譜、自由能、費(fèi)米子凝聚譜等物理性質(zhì),還計(jì)算了隨機(jī)散射通道模型中傳遞函數(shù)的概率分布函數(shù)[15].在引力物理和相對(duì)論天體物理方面,根據(jù)泛函積分方法研究了非對(duì)易時(shí)空中費(fèi)米物質(zhì)的集體激發(fā)譜[16],導(dǎo)出了點(diǎn)物質(zhì)黑洞背景下物質(zhì)的量子漲落和關(guān)聯(lián)函數(shù)[17-19],計(jì)算了暗能量混合的費(fèi)米孤子星的質(zhì)量和物態(tài)參量[20].在研究這些物理問題的過程中,形成了一種新的變分泛函積分方法,這一方法可以有效地研究模型在強(qiáng)耦合區(qū)間的的物理性質(zhì).

金屬氫是超高壓環(huán)境中形成的一種特殊物質(zhì),通常存在固態(tài)金屬氫和液態(tài)金屬氫2種物態(tài).固態(tài)金屬氫中離子能保持晶格結(jié)構(gòu),具有一定導(dǎo)電性質(zhì),在更強(qiáng)的壓力下固態(tài)金屬氫中晶格結(jié)構(gòu)被破壞并轉(zhuǎn)化為液態(tài)形式的金屬氫,所以在高壓環(huán)境下的金屬氫密度比普通氫的密度更大.在地球上不存在自然的金屬氫,人們只有在實(shí)驗(yàn)室通過人工合成固態(tài)金屬氫,這是目前高壓凝聚態(tài)物理中具有挑戰(zhàn)性的研究課題.

木星是太陽系中存在的一種重型的巨行星,在巨大壓力下其內(nèi)部可能形成液態(tài)形式的金屬氫,在木星較快的自轉(zhuǎn)作用下金屬氫中的電子將形成較強(qiáng)的電流,從而對(duì)木星的磁場的形成和強(qiáng)度產(chǎn)生重要的影響.瑞士天體物理學(xué)家Mayor和Queloz[21]由于發(fā)現(xiàn)了系外巨行星獲得了2019年度諾貝爾物理獎(jiǎng),這些巨行星中也可能存在不同形式的金屬氫物質(zhì)[22],因此,研究金屬氫對(duì)理解巨行星的各種天文學(xué)觀測性質(zhì)就具有重要的物理意義.

本文將根據(jù)泛函積分方法研究金屬氫的物態(tài)關(guān)系,并進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)動(dòng)巨行星中的流體力學(xué)性質(zhì),磁場強(qiáng)度漲落和溫度漲落等物理效應(yīng).

1 泛函積分與致密電子-離子系統(tǒng)的晶體結(jié)構(gòu)

本節(jié)將在泛函積分方法框架下探討晶體結(jié)構(gòu)的微觀理論,該方法由Popov[1]于1981年提出,之后加以推廣[2].晶體理論的泛函積分方法還可用來研究稠密電子-離子系統(tǒng)的周期晶格,這一方法由Anisimov等[23]于1986年提出.一個(gè)具有庫倫相互作用的電子和離子組成的系統(tǒng)中,晶體的性質(zhì)是由集體激發(fā)聲子決定的,一個(gè)微觀理論必須描述聲子-電子和離子系統(tǒng)的相互作用,泛函積分方法可以完成這項(xiàng)工作.主要操作思想是將電子和離子的原始作用量轉(zhuǎn)為用電勢(shì)場φ(x,τ)描述的有效泛函作用量,再從有效泛函作用量的穩(wěn)定條件找到定態(tài)場φ0(x),并考慮Seff穩(wěn)定點(diǎn)附近的漲落效應(yīng).

金屬氫模型中電子和離子系統(tǒng)的泛函作用量為

其中

(2)

(3)

(4)

其中,p=(k,ω)是動(dòng)量,松原頻率為ω=(2n+1)π/β,β-1=T是有限溫度,λi是化學(xué)勢(shì).首先將庫侖相互作用轉(zhuǎn)換為電勢(shì)玻色場φ(x,τ)的作用,引入如下高斯積分:

(5)

再對(duì)φ(x,τ)進(jìn)行移位變換

(6)

(7)

Seff[pl,α,ql,α,φ(x,τ)]=

2lndet[?τ+(2m)-12+λe+ieφ(x,τ)]/?τ+

(2m)-12+λe+

ieφ(ql,α(τ),τ)],

(8)

(9)

其中p0和ρ5/3成正比,(7)式中第3項(xiàng)可以展開為

(10)

其中Π是格林函數(shù)的極化算子,所以有

(11)

(12)

exp(-ηπn2+2πi(n,γ-δ))+

|m+γ-δ|)-ηs-2η-1/2},

(13)

其中

(14)

C1=2.837 297 479 482,

體心立方晶格(bcc)中

C2=2.888 461 503 050,

面心立方晶格(fcc)中

C3=2.888 282 119 020,

六角密堆晶格(hcp)中

C4=2.888 168 750 480,

(7)式最后1項(xiàng)修正項(xiàng)表示零點(diǎn)能,在大壓強(qiáng)下滿足

2 金屬氫中的晶體-液體轉(zhuǎn)化

利用金屬理論的泛函積分方法可證明,隨著壓強(qiáng)進(jìn)一步增加,晶體系統(tǒng)可能變?yōu)橐簯B(tài),這時(shí)晶格的零點(diǎn)振動(dòng)將被破壞.為了計(jì)算固態(tài)金屬氫轉(zhuǎn)化為液態(tài)金屬的臨界密度,應(yīng)先計(jì)算液態(tài)金屬氫的壓強(qiáng),然后再與第1節(jié)已計(jì)算的固態(tài)金屬氫的壓強(qiáng)進(jìn)行比較,這一壓強(qiáng)前3項(xiàng)的表達(dá)式[23]為

(15)

參數(shù)M-1/2的存在確保了零點(diǎn)振動(dòng)能帶來的影響,液態(tài)金屬氫的壓強(qiáng)[24]為

(16)

其中

(17)

是理想費(fèi)米電子氣體和等離子氣體的混合壓強(qiáng),Z是具有庫侖作用的電中性等離子體的配分函數(shù).為了計(jì)算(βV)-1ln(Z/Z0),可采用如下等離子體作用量

其中電荷密度ρ(x,τ)為

ρ(x,τ)=ρi(x,τ)-ρe(x,τ)=

再進(jìn)行下列移位變換后消去非局域庫侖項(xiàng)

最后得到如下作用量

ieφ(x,τ))ψes(x,τ)+

ieφ(x,τ))ψi(x,τ)}.

(22)

對(duì)電子、離子費(fèi)米場進(jìn)行泛函積分后得到的有效作用量為

(23)

并引入記號(hào)

Me=?τ+(2m)-12+λ+ieφ(x,τ),

Me0=Me|φ=0;

Mi=?τ+(2m)-12+μ-ieφ(x,τ),

Mi0=Mi|φ=0.

(24)

考慮了電子自旋后lndet前會(huì)出現(xiàn)2,將(23)式中φ的冪展開到2階后得自由電子的格林函數(shù)Ges,以及離子的格林函數(shù)Gi,對(duì)φ?qǐng)龇e分后得如下壓強(qiáng)的修正表達(dá)式

(25)

其中矩陣元K與電子和的離子的格林函數(shù)極化算符有關(guān),這里極化算符表示電子和離子的自由電子的格林函數(shù)乘積之和.再將lndet展開并取低溫極限后壓強(qiáng)的修正表達(dá)式為

根據(jù)(17)和(26)式得如下液體金屬氫的物態(tài)關(guān)系

(27)

(28)

與不同類型晶格中常數(shù)Ci有關(guān)系,其余常數(shù)的數(shù)值分為

A=1.914 156 000,B=1.477 117 533,

D=1.534 990 062,

所以不同類型晶格的金屬氫轉(zhuǎn)化為液態(tài)金屬氫時(shí)的臨界粒子數(shù)密度有一定的差異.

3 轉(zhuǎn)動(dòng)星體中的流體力學(xué)性質(zhì)

轉(zhuǎn)動(dòng)情況下的星體平衡方程[25-26]為

(29)

(30)

其中,

此時(shí)徑向微分方程(29)的解為

(31)

其中

N=(4πGβ2d2-2ω2d),

M=4πGβ2d2·(5/3ρc)>0.

所以積分常數(shù)應(yīng)取C1=C2=0,根據(jù)(31)式可進(jìn)一步導(dǎo)出粒子數(shù)密度的漲落比值為

(32)

(33)

(34)

將(33)式代入方程(34)可導(dǎo)出如下修正形式的Lane-Emden方程

(35)

其中,ξ=Dr,U=Φ/k1,f=(ω/D)2×(1/3k1).文獻(xiàn)[29]采用變參數(shù)法討論了Lane-Emden方程的近似解,文獻(xiàn)[30-31]分析了木星中多方指數(shù)n=1,2時(shí)Lane-Emden方程密度的解析解,下面進(jìn)一步研究2階非線性微分方程(35)的級(jí)數(shù)解.這時(shí)邊界條件設(shè)為:當(dāng)ξ=0時(shí),U=0,dU/dξ=0,確定星體半徑的條件為:當(dāng)ξ=ξn時(shí),U=0.將方程的解用級(jí)數(shù)展開為

U=a0+a1ξ+a2ξ2+

a3ξ3+a4ξ4+a5ξ5+a6ξ6,

(36)

根據(jù)邊界條件可以定出其中的系數(shù)分別為

(37)

擾動(dòng)時(shí)行星表面附近的流體元的運(yùn)動(dòng)方程[32]為

(38)

(39)

由此可以得到聲波在星體內(nèi)部的傳播時(shí)間約為

(40)

聲波的傳播速度約為

(41)

液態(tài)金屬氫的物態(tài)方程為

(42)

其中,

k1=α1/α,α=C/M,k2=α2/α4/5,

α1=(1/me+1/M)A,α2=e2B,

(43)

其中數(shù)值常數(shù)

A=1.914 156 000,B=1.477 117 533,

C=2.871 230 000.

根據(jù)(40)和(43)式可以計(jì)算出4種類型金屬氫星體中聲波傳播時(shí)間的比值約為

τ1∶τ2∶τ3∶τ4=

1.218 61∶1.218 60∶1.218 60∶1.218 60.(44)

所以不同類型的金屬氫星體的聲波傳播時(shí)間幾乎一致,如木星中sc晶格的聲波傳播時(shí)間約為1 958.355 0 s,bcc晶格,fcc晶格和hcp晶格的聲波傳播時(shí)間約為1 958.338 5 s,其中SC晶格和其余3種晶格的傳播時(shí)間只有微小差別.

4 星體中磁場和溫度的漲落關(guān)系

設(shè)星體內(nèi)矢勢(shì)A滿足的方程為

2A=-μ0J,A=0,

(45)

其中J是流密度,那么方程的解為

(46)

其中x′是源點(diǎn),x是場點(diǎn),r為x′到x的距離,對(duì)解求旋度即可導(dǎo)出磁場感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式,即

B=×A=

(48)

在具體計(jì)算中可設(shè)星體半徑為R,總電荷量為Q,則Q=(4πR3/3)ne,這里ne表示電荷的粒子數(shù)密度.在球坐標(biāo)下J(x′)=neω×r′,ω是星體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.當(dāng)r

(49)

(50)

δB1∶δB2∶δB3∶δB4≈

51 105.53∶50 955.75∶50 926.57∶50 908.22,(51)

這時(shí),磁場強(qiáng)度的比值逐漸變小,文獻(xiàn)[31]給出的木星內(nèi)部的磁場強(qiáng)度和角速度及密度之間的關(guān)系式為B～(ρω)1/2,這與本文討論的類似關(guān)系在定性上是一致的.

如果轉(zhuǎn)動(dòng)的木星處在太陽恒星的輻射場之中,那么邊界條件要求在木星的表面上輸入遠(yuǎn)處太陽的能流密度,這時(shí)傳播到木星表面上的輻射波為平面波,表面上的能流密度為I=I0sinθcos(ωt-φ),這里ω是木星的自轉(zhuǎn)角速度,I0是常數(shù).

星體內(nèi)部溫度場T(r)滿足的擴(kuò)散微分方程為[33]

(52)

將這一方程的解設(shè)為T(r)=R(r)Y(θ,φ)e-iωt,其中D=k/ρc是熱擴(kuò)散率,其中k是熱導(dǎo)率,ρ是物質(zhì)密度,c是物質(zhì)的比熱.分離變量后的徑向微分方程變?yōu)?/p>

當(dāng)l=1時(shí),方程(53)的徑向解為

(54)

其中,j1是第1類1階球貝塞爾函數(shù),所以木星內(nèi)部溫度分布的解可表示為

(55)

其中系數(shù)A可以由邊界條件確定,即

(56)

因此星體內(nèi)部的溫度分布的完整解為

T(r,θ,φ,t)=

(57)

(58)

δT1∶δT2∶δT3∶δT4≈

1.481∶1.491∶1.493∶1.494,

(59)

這時(shí)溫度的漲落比值由小逐漸變大,如果木星內(nèi)部溫度取為T=2 000 K,sc晶格對(duì)應(yīng)的溫度漲落為δT1/T=5%,那么δT1=100 K,此時(shí)hcp晶格對(duì)應(yīng)的溫度漲落為δT2=100.88 K,所以不同類型晶格對(duì)應(yīng)的溫度漲落相差都較小.

5 結(jié)論與討論

本文根據(jù)泛函積分方法研究了金屬氫的物態(tài)性質(zhì),在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了木星的流體力學(xué)性質(zhì),以及磁場和溫度的漲落關(guān)系.

本文首先簡述了泛函積分方法在物理學(xué)各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用,介紹了金屬氫和木星內(nèi)部的物理性質(zhì).其次,本文采用泛函積分方法推導(dǎo)了致密電子-離子系統(tǒng)的壓強(qiáng)和有效作用量,給出了各種晶格作用量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,另外,還導(dǎo)出了液態(tài)金屬氫的有效作用量和壓強(qiáng)表達(dá)式.隨著壓強(qiáng)的增大,固態(tài)金屬氫將轉(zhuǎn)化為液態(tài)金屬氫,其臨界粒子數(shù)密度不僅和離子質(zhì)量M有關(guān),而且很依賴于不同類型的晶格常數(shù)Ci,在固體物理中通常的晶格有:sc簡單立方晶格、bcc體心立方晶格、fcc面心立方晶格以及hcp六角密堆晶格.

另外,本文還將金屬氫的物態(tài)關(guān)系應(yīng)用于木星的表觀物理性質(zhì)研究,重點(diǎn)研究了木星的流體力學(xué)性質(zhì),電磁學(xué)和熱力學(xué)性質(zhì).根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)星體的平衡方程的解分析了均勻密度下的粒子數(shù)密度漲落,結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)漲落δ<0時(shí),星體處于平衡狀態(tài),δ>0時(shí),星體呈現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài).本文還根據(jù)金屬氫的物態(tài)方程推導(dǎo)了修正的Lane-Emden方程,給出了方程的6階級(jí)數(shù)解,計(jì)算了木星的角速度和其密度的比值,結(jié)果表明木星的自轉(zhuǎn)角速度ω對(duì)L-E方程的解影響很小,所以計(jì)算木星的質(zhì)量和密度時(shí)可忽略角速度這一因素.

本文還采用流體元的運(yùn)動(dòng)方程和液態(tài)金屬氫的物態(tài)關(guān)系,估算了聲波的傳播時(shí)間的比值,這一比值與不同類型晶格的有效物態(tài)參量有關(guān),但其數(shù)值僅有很小的差別.另外,在均勻密度星體中磁場強(qiáng)度的漲落和其溫度和晶格常數(shù)呈一定的比例關(guān)系,4種不同類型晶格對(duì)應(yīng)的磁場強(qiáng)度的漲落比值也比較接近.

本文根據(jù)擴(kuò)散方程的解分析了星體內(nèi)部的溫度分布,給出了溫度漲落的表達(dá)式,結(jié)果發(fā)現(xiàn)溫度漲落也與晶格常數(shù)呈一定的比例關(guān)系,在溫度漲落中是負(fù)指數(shù),在磁場漲落中是正指數(shù),所以溫度漲落逐漸變大,磁場漲落逐漸變小.

本文主要研究一種理想狀態(tài)下的均勻金屬氫星體模型,分析和討論了星體內(nèi)部的力學(xué)、電磁學(xué)和熱力學(xué)等表觀物理性質(zhì),本文的研究結(jié)果具有一定的定性意義,對(duì)進(jìn)一步研究木星等巨行星內(nèi)部的物理性質(zhì)提供一種研究思路和方法上的啟示.