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        非交換剩余格上的n重PMTL濾子及其刻畫

        2022-03-27 06:59:50左衛(wèi)兵張一旎
        關(guān)鍵詞:定義

        左衛(wèi)兵, 張一旎

        (華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 鄭州 450046)

        為給不確定性信息處理理論提供可靠且合理的邏輯基礎(chǔ),許多學(xué)者研究了各種非經(jīng)典邏輯系統(tǒng).同時(shí),作為非經(jīng)典邏輯系統(tǒng)的語義系統(tǒng)的各種邏輯代數(shù)也被廣泛研究,如剩余格、MTL代數(shù)、BL代數(shù)、MV代數(shù)和R0代數(shù)等[1-5],以及它們的各種非交換版本,如非交換剩余格、偽MTL代數(shù)、偽BL代數(shù)、偽MV代數(shù)等[6-10].這些邏輯代數(shù)中剩余格和非交換剩余格是最基本且最重要的代數(shù)結(jié)構(gòu),其他邏輯代數(shù)均是它們的特殊情況.

        在邏輯代數(shù)的研究中,濾子理論起到了非常重要的作用.目前,在剩余格、非交換剩余格以及其他邏輯代數(shù)中,各種特殊濾子已被引入,如正規(guī)濾子、布爾濾子、蘊(yùn)涵濾子、正蘊(yùn)涵濾子、奇異濾子等[11-19],并獲得了許多重要結(jié)果.

        受文獻(xiàn)[20-21]的啟發(fā),本文在非交換剩余格上引入n重PMTL濾子的概念,得到這類濾子的一系列刻畫,提出n重PMTL代數(shù)的定義,從n重PMTL濾子的角度證明n重PMTL代數(shù)的若干特征定理,并通過提出n重素濾子的定義,給出n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫.

        1 預(yù)備知識(shí)

        定義 1.1[22]代數(shù)系統(tǒng)

        稱為非交換剩余格,如果:

        1) (L,∧,∨,0,1)為有界格;

        2) (L,?,1)是非交換幺半群;

        3) 對(duì)任意x,y,z∈L,則

        在非交換剩余格L,對(duì)?x∈L,定義

        定義 1.2[7]非交換剩余格L若滿足

        則稱L為偽MTL代數(shù).

        定義 1.3[8]一個(gè)偽MTL代數(shù)L若滿足

        則稱L為偽BL代數(shù).

        引理 1.1[22]設(shè)L是非交換剩余格,那么對(duì)于任意x,y,z∈L,以下性質(zhì)成立:

        9)x?(y∨z)=(x?y)∨(x?z),(y∨z)?x=(y?x)∨(z?x);

        10)x→(y∨z)≥(x→y)∨(x→z)和

        (y∧z)→x≥(y→x)∨(z→y),

        11) (y→z)?(x→y)≤x→z和

        12)x?y≤x∧y,特別地,x2≤x.

        定義 1.4[22]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集,如果:

        1)x∈F,y∈F?x?y∈F;

        2)x∈F,x≤y?y∈F,則稱F為非交換剩余格L的濾子.

        引理 1.2[22]設(shè)F為非交換剩余格L的非空子集,則以下條件等價(jià):

        1)F是L的濾子;

        2) 1∈F,x,y∈L,(x∈F,x→y∈F)?y∈F;

        2 n重PMTL濾子

        定義 2.1設(shè)F為非交換剩余格L的濾子,若對(duì)任何

        x,y∈L,n∈N+,

        (xn→y)∨(y→x)∈F,

        則稱F為L(zhǎng)的n重PMTL濾子.

        注意到,當(dāng)n=1且F為正規(guī)濾子時(shí),1重PMTL濾子就是文獻(xiàn)[23]所提到的PMTL濾子.

        下面例子表明非交換剩余格上每個(gè)濾子并不都是n重PMTL濾子,即n重PMTL濾子是非交換剩余格上的特殊濾子.

        例 2.1設(shè)

        L={0,a,b,c,d,1},

        0

        0abcd10000000a00a0aab00b0bbc0aacccd0abcdd10abcd1

        →0abcd10111111ab11111b0c1c11cbbb111d0abc1110abcd1

        0abcd10111111ac11111bcc1c11c0bb111d0abc1110abcd1

        則L為非交換剩余格[15].容易驗(yàn)證F={1}是L上的濾子但不是2重PMTL濾子,因?yàn)?/p>

        (b2→c)∨(c→b)=d?F.

        命題 2.1每個(gè)1重PMTL濾子都是n重PMTL濾子,但反之不一定成立.

        證明由不等式

        (x→y)∨(y→x)≤(xn→y)∨(y→x),

        可知,顯然成立.

        0abcd10000000a00000ab00000bc00000cd0abcdd10abcd1

        →0abcd10111111ac1c111bcc1111cccc111dcccc1110abcd1

        0abcd10111111ad1d111bdd1111cddd111d0abc1110abcd1

        則L是非交換剩余格[24].容易驗(yàn)證F={1}是n重PMTL濾子(n≥2),但不是PMTL濾子,因?yàn)?/p>

        (a→b)∨(b→a)=c?F.

        命題 2.2每個(gè)n重PMTL濾子都是(n+1)重PMTL濾子,但反之不一定成立.

        證明因?yàn)?/p>

        xn→y≤xn+1→y

        則有

        (xn→y)∨(y→x)≤(xn+1→y)∨(y→x)

        從而結(jié)論成立.

        由數(shù)學(xué)歸納法可以得到下面的命題.

        命題 2.3每個(gè)n重PMTL濾子都是(n+k)重PMTL濾子,但反之不一定成立,其中k∈N+.

        n重PMTL濾子具有如下擴(kuò)張定理.

        定理 2.1設(shè)F和E是非交換剩余格L的濾子且滿足F?E.如果F是n重PMTL濾子,那么E是n重PMTL濾子.

        證明因?yàn)镕是L的n重PMTL濾子,所以

        ?x,y∈L,

        (xn→y)∨(y→x)∈F,

        又F?E,故

        (xn→y)∨(y→x)∈E,

        因此,E是n重PMTL濾子.

        3 n重PMTL濾子的刻畫

        定理 3.1F是非交換剩余格L的濾子,則對(duì)于任意x,y,z∈L,以下條件等價(jià):

        1)F是n重PMTL濾子;

        2)x→(yn∨z)∈F蘊(yùn)含

        (x→y)∨(x→z)∈F,

        3) [x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F,

        證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

        x→(yn∨z)∈F,

        那么由引理1.1的9)、1)和11)、12)可以得到如下2個(gè)不等式鏈:

        [(yn→z)∨(z→y)]?[x→(yn∨z)]=

        {(yn→z)?[x→(yn∨z)]}∨

        {(z→y)?[x→(yn∨z)]}=

        {[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

        {[(y∨z)→y]?[x→(yn∨z)]}≤

        {[(yn∨z)→z]?[x→(yn∨z)]}∨

        {[(y∨z)→y]?[x→(y∨z)]}≤

        (x→z)∨(x→y),

        因此,

        2)?3) 設(shè)u=x→(yn∨z),由引理1.1的8)可知

        u→u=(u?x)→(yn∨z)∈F,

        蘊(yùn)含

        [(u?x)→y]∨[(u?x)→z]∈F.

        利用引理1.1的8) 和10)有不等式

        [(u?x)→y]∨[(u?x)→z]=

        [u→(x→y)]∨[u→(x→z)]≤

        u→[(x→y)∨(x→z)].

        因此,

        [x→(yn∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]∈F.

        蘊(yùn)含

        利用引理1.1的8)和10)有不等式

        因此,

        3)?1) 令x=yn∨z,則結(jié)論成立.

        定理 3.2F是非交換剩余格L的濾子,則對(duì)于任意x,y,z∈L,以下條件等價(jià):

        1)F是n重PMTL濾子;

        2) (y∧z)→x∈F蘊(yùn)含

        (yn→x)∨(z→x)∈F,

        蘊(yùn)含

        證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

        那么由引理1.1的9)、12)、2)和11)可以得到如下2個(gè)不等式鏈:

        [(y∧z)→x]?[(yn→z)∨(z→y)]=

        {[(y∧z)→x]?(yn→z)}∨

        {[(y∧z)→x]?(z→y)}≤

        {[(yn∧z)→x]?(yn→z)}∨

        {[(y∧z)→x]?(z→y)}=

        {[(yn∧z)→x]?[yn→(yn∧z)]}∨

        {[(y∧z)→x]?[z→(y∧z)]}≤

        (yn→x)∨(z→x),

        因此

        (yn→x)∨(z→x)∈F,

        2)? 3) 設(shè)u=(y∧z)→x,由引理1.1的5)可知,

        蘊(yùn)含

        利用引理1.1的5)和10) 有不等式

        因此,

        蘊(yùn)含

        利用引理1.1的5)和10) 有不等式

        因此

        3)?1) 令x=y∧z,則結(jié)論成立.

        定理 3.3F是非交換剩余格L的濾子,則對(duì)于任意x,y,z∈L,以下條件等價(jià):

        1)F是n重PMTL濾子;

        2)x→zn∈F蘊(yùn)含

        (x→y)∨(y→z)∈F,

        蘊(yùn)含

        3)

        (x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F,

        證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,且

        那么由引理1.1的9)、11)和12),可以得到如下2個(gè)不等式鏈:

        [(zn→y)∨(y→z)]?(x→zn)=

        [(zn→y)?(x→zn)]∨

        [(y→z)?(x→zn)]≤

        [(zn→y)?(x→zn)]∨(y→z)≤

        (x→y)∨(y→z),

        因此

        (x→y)∨(y→z)∈F,

        2)?3) 設(shè)u=x→zn,由引理1.1的(8)可知,

        u→u=(u?x)→zn∈F

        蘊(yùn)含

        [(u?x)→y]∨(y→z)∈F,

        利用引理1.1的8)、4)和10)有不等式

        [(u?x)→y]∨(y→z)=

        [u→(x→y)]∨(y→z)≤

        [u→(x→y)]∨[u→(y→z)]≤

        u→[(x→y)∨(y→z)].

        因此

        (x→zn)→[(x→y)∨(y→z)]∈F;

        蘊(yùn)含

        利用引理1.1的(8)(4) 和(10) 有不等式

        因此,

        3)?1)令x=zn,則結(jié)論成立.

        定理 3.4F是非交換剩余格L的濾子,則對(duì)于任意x,y,z∈L,以下條件等價(jià):

        1)F是n重PMTL濾子;

        證明1)?2) 設(shè)F是n重PMTL濾子,則由引理1.1的3)、1)、12)、7)和8)可得以下不等式:

        (xn→y)∨(y→x)≤

        從而

        2)?3) 如果

        那么由定理3.4的2)和引理1.2顯然可得

        3)?1) 令

        z=(xn→y)∨(y→x),

        從而

        由定理3.4的3)得

        又由引理1.1的10)和7)得

        [(xn→y)∨(y→x)]≤(xn→y)∨(y→x),

        (xn→y)∨(y→x)∈F.

        同理,令

        可得

        從而F是n重PMTL濾子.

        4 n重PMTL代數(shù)及其特征定理

        定義 4.1非交換剩余格L如果對(duì)任何

        x,y∈L,

        則稱L為n重PMTL代數(shù).

        根據(jù)定理2.1的擴(kuò)張性質(zhì),可以得到n重PMTL代數(shù)的如下特征定理.

        定理 4.1設(shè)F是非交換剩余格L的濾子,則下列條件等價(jià):

        1) {1}是n重PMTL濾子;

        2) 每個(gè)濾子是n重PMTL濾子;

        3)L是n重PMTL代數(shù).

        證明1)?2) 由定理2.1顯然成立.

        2)?3) 因?yàn)槊總€(gè)濾子都是n重PMTL濾子,特別地,{1}是n重PMTL濾子.因此,對(duì)任何

        x,y∈L,

        (xn→y)∨(y→x)∈{1},

        從而L是n重PMTL代數(shù).

        3)?1) 顯然成立.

        定理 4.2設(shè)L是非交換剩余格,則以下各條件等價(jià):

        1)L是n重PMTL代數(shù);

        2)x≤(yn∨z)蘊(yùn)含

        4) (y∧z)≤x蘊(yùn)含

        6)x≤zn蘊(yùn)含

        證明由定理3.1~3.4和定理4.1的1)和3) 知,顯然成立.

        推論 4.1設(shè)L是非交換剩余格,則以下各條件等價(jià):

        1)L是偽MTL代數(shù);

        2)x≤(y∨z)蘊(yùn)含

        4) (y∧z)≤x蘊(yùn)含

        6)x≤z蘊(yùn)含

        5 n重素濾子及n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫

        素濾子是研究邏輯代數(shù)的一類重要濾子,學(xué)者們?cè)诓煌倪壿嫶鷶?shù)中提出并研究了素濾子的概念和性質(zhì),得到了一系列結(jié)果[25-32]. 在這些研究的基礎(chǔ)上,Gasse等[33]提出,對(duì)于任何交換剩余格L,若素濾子和并素濾子一致,則L為MTL代數(shù).隨后,Kondo等[34]給出了確切的證明;文獻(xiàn)[35]將結(jié)果推廣到非交換剩余半格上,通過素濾子之集來刻畫偽MTL代數(shù).基于此,考慮提出n重素濾子的概念,并用n重素濾子的類來刻畫n重PMTL代數(shù).

        定義 5.1設(shè)F是非交換剩余格L的濾子,如果x∨y∈F,那么x∈F或y∈F,則稱F是L的并素濾子.

        定義 5.2設(shè)F是非交換剩余格L的濾子.對(duì)

        ?x,y∈L,

        xn→y∈F,

        y→x∈F,

        則稱F為L(zhǎng)的n重→素濾子; 若

        定義 5.3設(shè)L為非交換剩余格.對(duì)

        ?x,y∈L,

        (xn→y)∨(y→x)=1,

        則稱L為n重→ MTL 代數(shù); 若

        定理 5.1設(shè)L為非交換剩余格,則

        1)L為n重→MTL代數(shù),則

        PF∨(L)?NPF→(L);

        3)L為n重PMTL代數(shù),則

        PF∨(L)?NPF(L).

        證明1)L為n重→MTL代數(shù),設(shè)

        F∈PF∨(L),x,y∈L.

        因?yàn)?/p>

        (xn→y)∨(y→x)=1∈F,

        xn→y∈F,

        y→x∈F,

        F∈PF→(L),

        從而

        PF∨(L)?NPF→(L).

        2) 證明過程與1)類似.

        3)L為n重PMTL代數(shù),則由1)和2)可得

        下面例子表明L為n重PMTL代數(shù),但

        NPF(L)PF∨(L).

        例 5.1如例2.2所示的非交換剩余格L,因?yàn)閧1}是n重PMTL濾子,則由定理4.1可知L為n重PMTL代數(shù).容易驗(yàn)證{1}是n重素濾子,但不是并素濾子,因?yàn)?/p>

        c∨d=1∈{1},

        c?{1},d?{1}.

        定理 5.2設(shè)L為非交換剩余格,則

        1)L為n重→MTL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

        PF∨(L)?NPF→(L);

        3)L為n重PMTL代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

        PF∨(L)?NPF(L).

        證明1) 定理5.1已證明了必要性.

        充分性 假設(shè)

        PF∨(L)?NPF→(L)

        且L不是n重→ MTL 代數(shù).因此,存在

        a,b∈L,

        使得

        (an→b)∨(b→a)≠1.

        G1=∩{G∈(L)|G≠{1}}.

        首先,設(shè)G1={1},則由文獻(xiàn)[35]中的定理5.5可知,存在一個(gè)并素濾子P,使得

        (an→b)∨(b→a)?P,

        又因?yàn)镻也是n重→素濾子,則

        (an→b)∈P

        (b→a)∈P,

        (an→b)∨(b→a)∈P,

        與上式矛盾,故假設(shè)不成立.其次,設(shè)

        G1≠{1},

        則{1}是并素濾子也是n重→素濾子,則

        (an→b)∈{1}

        (b→a)∈{1},

        (an→b)∨(b→a)=1.

        與假設(shè)矛盾.綜上,L是n重→MTL代數(shù).

        2) 證明過程與(1)類似.

        3) 定理5.1已證明了必要性.

        充分性 因?yàn)?/p>

        則由1)和2)易得L為n重PMTL代數(shù).

        6 總結(jié)

        本文在非交換剩余格上引入了n重PMTL濾子的概念,通過研究其特征和性質(zhì),獲得了這類濾子的一系列等價(jià)條件,提出了n重PMTL代數(shù)的概念,得到了n重PMTL代數(shù)的若干特征定理,同時(shí)提出n重素濾子的定義,給出了n重PMTL代數(shù)的另一種刻畫.相關(guān)結(jié)果豐富了非交換剩余格上的濾子理論.

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