喻秉鈞

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 預(yù)備知識

1994年,印度數(shù)學(xué)家Nambooripad在文獻(xiàn)[1]中利用一類特殊的有子對象范疇——正規(guī)范疇(normal categories)刻畫了正則半群的結(jié)構(gòu).Romeo和Muhammed在文獻(xiàn)[2-3]中將正規(guī)范疇推廣為“平衡范疇(balanced categories)”和“連貫范疇(consistent categories)”,把Nambooripad的結(jié)論推廣到一類特殊的富足半群——“一致半群(concordant semigroups)”;文獻(xiàn)[4-5]將他們的結(jié)論用簡化了的“平衡范疇”推廣到任意富足半群.本文將用“冪富范疇(idempotent ample categories)”把相關(guān)結(jié)論進(jìn)一步推廣到任意左富足半群.

本文討論的范疇都是“小范疇”,即其對象類和態(tài)射類均為集合的范疇;所用范疇論和半群理論的基本概念和記號都是標(biāo)準(zhǔn)的,關(guān)鍵概念和記號將在各節(jié)陸續(xù)介紹,其余的請讀者參看文獻(xiàn)[1,6-10],不再詳細(xì)列出.

f∈(c,d),g∈(c′,d′),

fg存在當(dāng)且僅當(dāng)d=c′,且fg∈(c,d′),該部分合成滿足結(jié)合律.特別地,態(tài)射集(c,c)中有單位態(tài)射1c,從而(c,c)是幺半群.顯然,每個幺半群都是僅有一個對象的范疇.

凡未特別聲明,文中半群S都指冪等元集E(S)不空的任意半群.S的雙序集是三元組(E(S),ω,ωr),其中E(S)是S的冪等元集,2個擬序定義為:

ω={(e,f)∈E(S)×E(S)|ef=e},

ωr={(e,f)∈E(S)×E(S)|fe=e},

并有以下基本性質(zhì)(參看文獻(xiàn)[7]):

1)ω=ω∩ωr是E(S)上偏序；

3) ?e,f∈E(S),有

eωf?efeωf,eωrf?eefωf.

半群S中的*-Green關(guān)系*、*定義(參看文獻(xiàn)[11])如下:

*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,

ax=ay?bx=by},

*={(a,b)∈S×S|?x,y∈S1,

xa=ya?xb=yb},

并有以下基本性質(zhì)：

?*,?*.

表示元素a所在*-(*-)類中的冪等元.這樣的*-(*-)類中的元素稱為是左(右)富足的,既左又右富足的元素稱為富足元,每個元素都(左,右)富足的半群稱為(左,右)富足半群.

3) 設(shè)e,f∈E(S),a∈Sf(eS)左(右)富足,則

為避免在術(shù)語使用上引起矛盾,規(guī)定范疇中態(tài)射和自然變換的合成都是從左至右施行的.以下術(shù)語都是在這樣規(guī)定下定義的(參看文獻(xiàn)[1,4-5,7])：范疇中的態(tài)射f稱為是一個單態(tài)射(monomorphism),若它右可消,即gf=hf蘊涵g=h；f稱為右可裂(right split),若有g(shù)∈,使得fg=1dom f,稱這樣的g為收縮(retraction).顯然,右可裂的態(tài)射必為單態(tài)射,其逆一般不成立.分別與單、右可裂對偶的概念是滿(epimorphism)和左可裂,不再詳述.既單且滿的態(tài)射稱為平衡(balanced)態(tài)射.本文將揭示這幾個概念與半群中元素的(左,右)富足性的自然聯(lián)系.此外,既左可裂又右可裂的態(tài)射稱為同構(gòu)(isomorphism).Nambooripad在文獻(xiàn)[1,7]中已揭示,這是與半群中元素的正則性自然聯(lián)系的概念.

下述引理可由以上定義直接驗證,其證明略.

引理 1.1在范疇中,任二單(滿、平衡、左(右)可裂、同構(gòu))態(tài)射的合成,只要存在,仍為單(滿、平衡、左(右)可裂、同構(gòu))態(tài)射;任一單(滿)態(tài)射的左(右)因子仍是單(滿)態(tài)射.

2 有子對象的范疇和有冪等元的半群

熟知的擬序(滿足自反、傳遞的二元關(guān)系)和偏序(滿足反對稱性的擬序)都有自然的范疇表述,分別稱為前序(preorder)和嚴(yán)格前序(strict preorder)：稱范疇P是一個前序,若對其任二對象c、d,態(tài)射集P(c,d)最多包含一個元素；不含非平凡同構(gòu)的前序,即只有1c(c∈vP)這樣同構(gòu)的前序P,稱為嚴(yán)格前序.之所以需要這2個概念,因為半群S的冪等元雙序集中的2個擬序ω、ωr是要用范疇論手段來研究的重點,而它們與S中其余元素的關(guān)系,特別是對于左(右)富足半群、富足半群以及正則半群,全蘊涵在冪等元生成的主左理想與主右理想及其在包含關(guān)系下自然形成的偏序集中.為說明這種關(guān)系,需要“范疇的子對象關(guān)系”這個概念(參看文獻(xiàn)[1,6]).

定義 2.1稱范疇有子對象(subobject)P,若有一個子范疇P,滿足：

1)P是嚴(yán)格前序,且vP=v；

2)P中每個態(tài)射都是單態(tài)射；

3) 若態(tài)射f,g∈P,有h∈使得f=hg,則必有h∈P.

引理 2.1設(shè)S為半群,其冪等元集E(S)≠?.定義范疇L(S)如下：

vL(S)={Se|e∈E(S)},

L(S)(Se,Sf)={ρ:Se→Sf|

(?s,t∈Se)(st)ρ=s(tρ)}, ?e,f∈E(S),

那么有:

1) ?e,f∈E(S),L(S)(Se,Sf)≠?,且?u∈eSf,

xρ(e,u,f)=xu

是從eSf到L(S)(Se,Sf)上的雙射；

2) ?e,e′,f,f′∈E(S),u∈eSf,u′∈e′Sf′,ρ(e,u,f)=ρ(e′,u′,f′)?ee′,ff′,且u′=e′u;

3)ρ(e,u,f)、ρ(g,v,h)可合成的充要條件是fg,且此時有ρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=ρ(e,uv,h).

證明1) ?e,f∈E(S),ρ∈L(S)(Se,Sf),記eρ=u,不難驗證u∈eSf且

同時,易知對任意

必是L(S)(Se,Sf)中的一個態(tài)射.這說明

是從eSf到L(S)(Se,Sf)的滿射.如果

ρ(e,u,f)=ρ(e,v,f),u,v∈eSf,

那么

u=eu=eρ(e,u,f)=eρ(e,v,f)=ev=v.

因此,這是雙射.

2) 若ρ(e,u,f)=ρ(e′,u′,f′),則Se=Se′,Sf=Sf′,故ee′,ff′,進(jìn)而

u′=e′u′=e′ρ(e′,u′,f′)=

e′ρ(e,u,f)=e′u,

其逆易直接驗證.

3) 由范疇中部分合成的定義,ρ(e,u,f)、ρ(g,v,h)可合成的充要條件是Sf=Sg,即fg,且此時?x∈Se有

xρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=xuv=xρ(e,uv,h),

故

ρ(e,u,f)ρ(g,v,h)=ρ(e,uv,h).

注 2.1由引理2.1可知,?e∈E(S),L(S)(Se,Se)中的恒等態(tài)射有形

1Se=ρ(e,e,e)=ρ(e,e,f)=

ρ(f,f,e)=ρ(f,f,f), ?f∈E(Le).

應(yīng)當(dāng)指出,盡管右平移er和fr在Se=Sf上的限制也都是其上的恒等映射,但在態(tài)射集

L(S)(Se,Se)=L(S)(Se,Sf)=

L(S)(Sf,Se)=L(S)(Sf,Sf)

中沒有形為ρ(e,f,e)=ρ(e,f,f)和ρ(f,e,e)=ρ(f,e,f)的態(tài)射,因為當(dāng)ef但e≠f時,有e?fS且f?eS.這說明,不是任何右平移(在主左*-理想的限制)都是L(S)中的態(tài)射.

稱L(S)為S的主左*-理想范疇.該范疇中的態(tài)射與S的Green關(guān)系及*-Green關(guān)系有以下命題所述的緊密聯(lián)系.特別地,冪等元雙序中之?dāng)M序ω確定了L(S)有一個自然的子對象關(guān)系,即冪等元生成主左理想之包含關(guān)系?.

命題 2.1設(shè)S、L(S)定義如引理2.1,e,f∈E(S),u∈eSf,ρ=ρ(e,u,f),有:

1)e*u?ρ是單態(tài)射；eu?ρ右可裂.

2)u*f?ρ是滿態(tài)射；uf?ρ左可裂.

3)e*u*f?ρ是平衡態(tài)射；euf?ρ是同構(gòu).

4) 定義L(S)的子范疇P(S)為：vP(S)=vL(S)且?e,f∈E(S),

那么P(S)是L(S)的一個子對象選擇,其子對象關(guān)系為

?e,f∈E(S),Se?Sf?eω

5)L(S)中每個包含ρ(e,e,f)(eω)都右可裂；每個收縮恰有形ρ(f,g,e),g∈E(Le)∩ω(f).

證明1) 設(shè)e*u,可證ρ是單射,從而是單態(tài)射.事實上,?x,y∈Se,若

xρ(e,u,f)=yρ(e,u,f),

即xu=yu,那么由e*u和x,y∈Se立得

x=xe=ye=y.

若eu,則u正則,故有g(shù)′∈E(Lu).由uf=u得g′f=g′,如此

g=fg′∈E(Lg′)∩ω(f)=E(Lu)∩ω(f).

這樣,存在

u′∈V(u)∩Le∩Rg,

有

fu′e=fgu′e=gu′e=u′,

故

ρ(f,u′,e)∈L(S),

使得

ρ(e,u,f)ρ(f,u′,e)=ρ(e,uu′,e)=

ρ(e,e,e)=1Se.

這證明了ρ(e,u,f)右可裂.

2) 設(shè)u*f,為證明ρ是滿態(tài)射,設(shè)

ρ(e,u,f)ρ(f,x,g)=

ρ(e,u,f)ρ(f,y,g),x,y∈fSg,

即

ρ(e,ux,g)=ρ(e,uy,g).

因為ux,uy∈eSg,由引理2.1的1),得ux=uy,于是

x=fx=fy=y,

故

ρ(f,x,g)=ρ(f,y,g),

即ρ是滿態(tài)射.

若uf,則u正則,故有

g′∈E(Ru).

由eu=u得eg′=g′.如此

g=g′e∈E(Rg′)∩ω(e)=E(Ru)∩ω(e).

這樣,存在

u′∈V(u)∩Rf∩Lg,

有

fu′e=fu′ge=fu′g=u′,

故

ρ(f,u′,e)∈L(S),

使得

ρ(f,u′,e)ρ(e,u,f)=ρ(f,u′u,f)=

ρ(f,f,f)=1Sf.

這證明了ρ(e,u,f)左可裂.

3)是1)與2)的推論.

4) 由P(S)的定義易知它是以S的冪等元生成主左-理想之間的自然包含關(guān)系為偏序的偏序集,且每個包含

是Se向Sf?Se的單射,從而是單態(tài)射.為證明P(S)滿足定義2.1的3),設(shè)eω、gω且有

ρ(e,u,g)∈L(S),

使得

ρ(e,e,f)=ρ(e,u,g)ρ(g,g,f).

由引理2.1的1),易得e=ug,于是

eg=ug2=ug=e,

即eω,且因為u∈eSg,有

e=ug=u,

故得

5) 設(shè)eω,則有fe∈E(Le)∩ω(f).對任意

g∈E(Le)∩ω(f),

有ρ(f,g,e)∈L(S)且

jSfSeρ(f,g,e)=ρ(e,e,f)ρ(f,g,e)=

ρ(e,eg,e)=ρ(e,e,e)=1Se.

這證明了ρ(f,g,e)是從Sf到Se上的收縮.

反之,若

ρ=ρ(f,u,e)∈L(S)(Sf,Se),u∈fSe

是從Sf到Se上的收縮,即eω,且

ρ(e,e,f)ρ(f,u,e)=1Se,

易知u=fρ∈Se,且有

uf=uef=ue=u,

u2=u(fρ)=(uf)ρ=uρ=

ujSfSeρ=u1Se=u,

eu=e(fρ)=(ef)ρ=eρ=

ejSfSeρ=e1Se=e.

這證明了u∈E(Le)∩ω(f).這樣不但證明了

右可裂,且證明了從Sf到Se的收縮恰有形ρ(f,g,e),g∈E(Le)∩ω(f).

注 2.2eω時,從Sf到Se的收縮之集與{g∈E(Le)∩ω(f)}有雙射,故收縮一般不唯一.

定理 2.1設(shè)S、L(S)定義如引理2.1,ρ=ρ(e,u,f)∈L(S)(Se,Sf),有:

1) 若S右富足,則ρ是單態(tài)射?e*u；ρ右可裂?eu.

2) 若S左富足,則ρ是滿態(tài)射?u*f；ρ左可裂?uf.

3) 若S富足,則ρ是平衡態(tài)射?e*u*f；ρ是同構(gòu)?euLf.

證明因3)是1)、2)的推論且命題2.1已證明1)、2)中論述的充分性,只需證明它們的必要性.

從而

ρ(e,g,g)∈L(S)(Se,Sg),

ρ(g,u,f)∈L(S)(Sg,Sf)

滿足

?x∈Se,xρ(e,g,g)ρ(g,u,f)=

xgu=xu=xρ(e,u,f),

即

ρ(e,g,g)ρ(g,u,f)=ρ(e,u,f).

因為ρ(e,u,f)是單態(tài)射,其左因子ρ(e,g,g)也是單態(tài)射.另一方面,不難驗證

ρ(e,g,e)ρ(e,g,g)=ρ(e,e,e)ρ(e,g,g),

故由ρ(e,g,g)是單態(tài)射得

ρ(e,g,e)=ρ(e,e,e).

再由引理2.1的1)立得e=g,因而e*u.

設(shè)ρ=ρ(e,u,f)右可裂,即有v∈fSe,使得

ρ(e,u,f)ρ(f,v,e)=1Se=ρ(e,e,e),

那么有uv=e,但已有u=eu,故得eu.

于是ρ(e,u,h),ρ(h,h,f)∈L(S)使得

ρ(e,u,f)=ρ(e,u,h)ρ(h,h,f).

如此,作為滿態(tài)射ρ(e,u,f)的右因子,ρ(h,h,f)也是滿態(tài)射.另一方面,不難驗證

ρ(h,h,f)ρ(f,h,f)=ρ(h,h,f)ρ(f,f,f),

故得

ρ(f,h,f)=ρ(f,f,f),

即h=f,從而f*u.

設(shè)ρ=ρ(e,u,f)左可裂,即有v∈fSe使得

ρ(f,v,e)ρ(e,u,f)=1Sf=ρ(f,f,f),

那么有vu=f,但已有u=uf,故得uf.

□

對偶地,有主右*-理想范疇R(S)=L(Sop),其中,Sop=(S,·),a·b=ba.其定義和性質(zhì)如以下引理、命題和定理所示,其證明略.

引理 2.2設(shè)S為半群,其冪等元集E(S)≠?.定義范疇R(S)如下：

vR(S)={eS|e∈E(S)},

R(S)(eS,fS)={λ:eS→fS|

(?s,t∈eS)λ(st)=λ(s)t}, ?e,f∈E(S),

那么有:

1) ?e,f∈E(S),R(S)(eS,fS)≠?,且?u∈fSe,

λ(e,u,f)(x)=ux

是從fSe到R(S)(eS,fS)上的雙射；

2)?e,e′,f,f′∈E(S),u∈fSe,u′∈f′Se′,λ(e,u,f)=λ(e′,u′,f′)?ee′,ff′且u′=ue′；

3)λ(e,u,f)、λ(g,v,h)可合成的充要條件是fg,且此時有

λ(e,u,f)λ(g,v,h)=ρ(e,vu,h),

即?x∈eS有

(λ(e,u,f)λ(g,v,h))(x)=

λ(g,v,h)[λ(e,u,f)(x)]=

λ(g,v,h)(ux)=v(ux)=

(vu)x=λ(e,vu,h)(x).

命題 2.2設(shè)S、R(S)定義如引理2.2,e,f∈E(S),u∈fSe,λ=λ(e,u,f),有:

1)e*u?λ是單態(tài)射；eu?λ右可裂；

2)u*f?λ是滿態(tài)射；uf?λ左可裂；

3)e*u*f?λ是平衡態(tài)射；euf?λ是同構(gòu)；

4) 定義R(S)的子范疇Pr(S)為：vPr(S)=vR(S)且?e,f∈E(S),

那么Pr(S)是R(S)的一個子對象選擇,其子對象關(guān)系為

?e,f∈E(S),eS?fS?eωrf.

5)R(S)中每個包含λ(e,e,f)(eωrf)都右可裂；每個收縮恰有形λ(f,g,e),g∈E(Re)∩ω(f).

定理 2.2設(shè)S、R(S)定義如引理2.2,λ=λ(e,u,f)∈R(S)(eS,fS),有:

1) 若S左富足,則λ是單態(tài)射?e*u；λ左可裂?eu.

2) 若S右富足,則λ是滿態(tài)射?u*f；λ右可裂?uf.

3) 若S富足,則λ是平衡態(tài)射?e*u*f；λ是同構(gòu)?euf.

為了用范疇準(zhǔn)確描述半群的左、右富足性,需要討論有子對象范疇中態(tài)射的因子分解(factorization).

定義 2.2設(shè)是有子對象的范疇.稱態(tài)射f∈有“滿-包含因子分解”,若有滿態(tài)射p和包含j,使得f=pj.如果這樣的因子分解是唯一的,就稱該唯一的p為f的“滿成分”,記為fο；稱該唯一的j為f的包含成分,記為jf.此時,稱codp=domj為f的像,記為imf.

若態(tài)射f∈有因子分解f=euj,其中e是收縮,j是包含,而u是平衡態(tài)射,那么稱f=euj為f的平衡(balanced)因子分解.特別地,若u是同構(gòu),則稱f=euj為f的正規(guī)(normal)因子分解.2種情形下,均稱domu=code為f的一個余像(coimage),余像之集記為coimf.

熟知,在集合范疇Set中,每個態(tài)射(即集合間的通常映射)都有正規(guī)因子分解,有像(即映射的像集)一般有多個余像集.Nambooripad[7]證明,任一正則半群S的主左理想范疇L(S)也是有像的范疇,且每個態(tài)射有正規(guī)因子分解.有例說明,存在左富足半群,其主左*-理想范疇有像(有唯一因子分解),但有態(tài)射無平衡因子分解；也存在富足半群,其主左*-理想范疇有像(有唯一因子分解),每態(tài)射有平衡因子分解,但有態(tài)射無正規(guī)因子分解.這說明,范疇中態(tài)射的因子分解可以區(qū)分半群中元素的左(右)富足性、富足性和正則性.

命題 2.3設(shè)范疇有子對象P,每個態(tài)射有滿-包含因子分解且每個包含都右可裂,則:

2) 若p∈為滿態(tài)射,則jp=1cod p,從而

pο=p,imp=codp；

若p有平衡因子分解,則其平衡因子分解有形p=eu,其中e是收縮,u是平衡態(tài)射.

3) 每個單態(tài)射f∈都有平衡因子分解,形為f=ujf,u平衡,即u=fο,因而單態(tài)射f以domf為其唯一余像.

證明1) 設(shè)f=xj=yj′是f∈的任二滿-包含因子分解,x、y為滿態(tài)射,j、j′為包含.由j、j′右可裂,有v,v′∈使得

jv=1dom j,j′v′=1dom j′.

由此可得

xjv′j′=yj′v′j′=yj′=xj,

yj′vj=xjvj=xj=yj′.

由x、y為滿態(tài)射得

j=jv′j′,j′=j′vj.

記

i′=jv′,i=j′v.

由子對象P的定義,有i′,i∈P,且

xi′i=xjv′j′v=yj′v′j′v=yj′v=

yii′=yj′vjv′=xjvjv′=xjv′=yj′v′=

因為P是嚴(yán)格前序,無非平凡同構(gòu),得

domj=domj′,i=i′=1dom j,

從而j=j′,且由j=j′單得x=y.

2) 因為偏序?有自反性,按定義,對任意c∈v,應(yīng)有1c是(平凡)包含.p∈既是滿態(tài)射,而p=p1cod p自然是其一個“滿-包含因子分解”.這種因子分解既然唯一,當(dāng)然有pο=p,imp=codp且jp=1cod p.如此p的平衡因子分解若存在,則必有形p=eu,e為收縮,u為平衡態(tài)射.

3) 若f∈為單態(tài)射,由1)有f=fοjf為其唯一因子分解.但作為單態(tài)射的左因子,滿態(tài)射fο也必是單的,因而是平衡態(tài)射.由此知,f只有唯一平衡因子分解,其中的收縮左因子是1dom f,因而它只有唯一余像,即domf.

推論 2.1設(shè)范疇有子對象P,每個態(tài)射有滿-包含因子分解且每個包含都右可裂,則對任意f,g∈,若fg存在,則

(fg)ο=fο(jfg)ο,jfg=jjfg.

證明由命題2.3,中每個態(tài)射有唯一滿-包含因子分解,若fg有定義,則

(fg)οjfg=fg=(fοjf)g=

fο(jfg)=fο(jfg)οjjfg.

因滿態(tài)射之積仍滿且每個態(tài)射滿-包含因子分解唯一,得(fg)ο=fο(jfg)ο,jfg=jjfg.

半群S中元素的左(右)富足性與L(S)中態(tài)射的因子分解有自然聯(lián)系,如以下定理所述.

定理 2.3設(shè)e,f∈E(S),ρ=ρ(e,u,f)∈L(S),u∈eSf,有:

1) 若u左富足,則ρ有唯一因子分解

ρ=ρ(e,u,f)=ρ(e,u,u*)ρ(u*,u*,f),

ρο=ρ(e,u,u*),jρ=ρ(u*,u*,f),

分別是ρ的(唯一)滿成分和包含成分.

2) 若u右富足,且ρ是滿態(tài)射,則ρ有平衡因子分解,其所有平衡因子分解之集為

{ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*)|

3) 若S富足,則L(S)中每個態(tài)射都有唯一因子分解,從而有像.進(jìn)而,每個態(tài)射都有平衡因子分解,形為

ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*)ρ(u*,u*,f),

特別地,當(dāng)u∈eSf∩RegS時,ρ(e,u,f)的上述平衡分解實為正規(guī)分解.

由命題2.1的2)ρ(e,u,u*)∈L(S)是滿態(tài)射且

是包含,而

ρ=ρ(e,u,f)=ρ(e,u,u*)ρ(u*,u*,f).

注意到命題2.1的5)已證L(S)中每個包含都右可裂,故由命題2.2的1)知ρ有唯一因子分解.于是

ρο=ρ(e,u,u*),jρ=ρ(u*,u*,f),

分別是ρ的(唯一)滿成分和包含成分.

ρ(e,u+,u+),ρ(u+,u,f)∈L(S)

且

ρ(e,u,f)=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,f),

jSeSu+ρ(e,u+,u+)=ρ(u+,u+,e)ρ(e,u+,u+)=

ρ(u+,u+,u+)=1Su+.

因為ρ(e,u,f)是滿態(tài)射,由定理2.1的2),u*f,故ρ(u+,u,f)=ρ(u+,u,u*)是平衡態(tài)射.這就得到ρ有平衡因子分解.因為中任二不同元素不可能-相關(guān),因此以上平衡因子分解式之集恰與之間有雙射.

□

由于R(S)與L(S)具有左右對偶性,有以下對偶結(jié)論,其證明略.

定理 2.4設(shè)e,f∈E(S),λ=λ(e,u,f)∈R(S),u∈fSe,有:

1) 若u右富足,則λ有唯一因子分解

λ=λ(e,u,f)=λ(e,u,u+)λ(u+,u+,f),

λο=λ(e,u,u+),jλ=λ(u+,u+,f)=jfSu+S,

分別是λ的(唯一)滿成分和包含成分.

2) 若u左富足,且λ是滿態(tài)射,則λ有平衡因子分解,其所有平衡因子分解之集為

{λ(e,u,f)=λ(e,u*,u*)λ(u*,u,f)|

3) 若S富足,則R(S)中每個態(tài)射都有唯一因子分解,從而有像.進(jìn)而,每個態(tài)射都有平衡因子分解,形為

λ(e,u,f)=λ(e,u*,u*)λ(u*,u,u+)λ(u+,u+,f),

特別地,當(dāng)u∈fSe∩RegS時,λ(e,u,f)的上述平衡分解實為正規(guī)分解.

下面用幾個具體例子對以上概念和結(jié)論給出一些形象解釋.

|NNa|=|N|

的所有單射a與恒等映射e=1N所成子集.這里,N是所有自然數(shù)之集.由文獻(xiàn)[9]引理8.1和定理8.2,S=Mr{e}是右消右單無冪等元半群(Baer-Levi半群).為完整起見,驗證如下.

N?NNab?NNb,

故得

|NNab|=|NNb|=|N|.

其次,證明S右消右單.設(shè)a,b,c∈S有ac=bc,即?n∈N,((n)a)c=((n)b)c,c單蘊含(n)a=(n)b,?n∈N,即a=b,故S右消；

對任二a,b∈S,因

|NNa|=|N|=|NNb|,

由無限基數(shù)運算性質(zhì)知,存在NNb的一個劃分

滿足

|N1|=|N2|=|N|,N1∩N2=?.

顯然c∈N且滿足|NNc|=|N2|=|N|,由f為雙射知c單,有c∈S且對任意m∈N,因為有

(m)ac=((m)a)c=(m)b, ?m∈N,

故b=ac.這證明了S右單.顯然S右消蘊含Mr右消,從而每個元素都與e*-相關(guān),即Mr是右富足(幺)半群.

由上述c的構(gòu)作中雙射f的選擇無限多,可知有不同的c1,c2∈S使得ac1=b=ac2,故S不滿足左可消性.而Mr只有一個冪等元e且是Mr的單位元,故S中每個元素都不可能與e*-相關(guān),即Mr是右富足但非左富足的(幺)半群.顯然,Mr可視為只有一個對象的范疇,其中每個非e的態(tài)射均單而不滿.

將上述合成運算改變?yōu)閺挠业阶笫┬械玫降溺郯肴河洖镸,即

?a,b∈M, ?n∈N,ab(n)=a(b(n)),

則用和以上左右對偶的證明,可知M是左富足而非右富足的(幺)半群.稱這個左富足而非右富足的幺半群M為Baer-Levi幺半群.它亦可視為每個非e的態(tài)射均滿而不單的范疇,自然其態(tài)射無平衡因子分解,更無正規(guī)因子分解.

例 2.2設(shè)E=I×Λ是矩形帶,M是可消幺半群；S=E×M.易知,S是富足半群,有

E(S)=(I×Λ)×{1},

這里1是M的單位元(也是唯一冪等元)；對每個

e=(i,λ;1)∈E(S),

若f=(i′,λ′;1)∈E(S),則

eSf={i}×{λ′}×M.

又,S的每個主左*-理想都是極小的,故L(S)的子對象關(guān)系是平凡關(guān)系1vL(S)?1Λ.由此可知,L(S)中只有平凡包含ρ(e,e,e),它也是僅有的收縮；進(jìn)而,有

L(Se,Sf)=

{ρ(e,a,f)|a=(i,λ′;m),m∈M}.

因為對每個a∈eSf都有e*a*f,故L(S)中每個態(tài)射ρ(e,a,f)都是平衡態(tài)射,它是同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)a是幺半群M的單位(unit)；只要M不是群,則L(S)中存在非同構(gòu)的平衡態(tài)射.特別地,每個L(S)(Se,Se)是與M同構(gòu)的可消幺半群.

對R(S),關(guān)于L(S)所有結(jié)論的對偶都成立.

例 2.3設(shè)E是半格,M是可消幺半群,S=E×M,易驗證S也是富足半群.注意到,直積E×M中的冪等元有形(x,1),x∈E,知E(S)位于S的中心,故對任二e,f∈E(S),記g=ef=fe,則

eSf=gS=Sg.

如此有

vL(S)=vR(S).

對L(S)描述如下：

vL(S)={Se=eS|e∈E(S)},

L(S)(Se,Sf)=

{ρ(e,u,f)|u∈Sg=gS,g=ef=fe}.

它的子對象關(guān)系與半格E的自然偏序

x≤y?x=xy=yx

ρ(e,u,f)=ρ(e,g,g)ρ(g,u,g)ρ(g,g,f),

g=ef=fe,

其中,ρ(g,g,f)是包含,ρ(e,g,g)是收縮,而ρ(g,u,g)是平衡態(tài)射；當(dāng)且僅當(dāng)u=(x,m)中第二分量m是幺半群M的單位時,ρ(g,u,g)是同構(gòu).特別地,當(dāng)且僅當(dāng)M是群時,S為Clifford半群,上述分解是(Nambooripad在文獻(xiàn)[1]中定義的)正規(guī)因子分解(normal factorization).

3 冪富范疇與左(右)富足半群

本節(jié)定義本文的核心概念：冪富范疇(idempotent ample categories),它們與半群的左(右)富足性密切相關(guān).為此,先定義“有像范疇(categories with images)”.

定義 3.1稱范疇是有像的,若滿足以下4個性質(zhì)：

imf=codfο=domjf.

由命題2.1、2.2和定理2.1、2.2,每個左(右)富足半群S的主左(主右)*-理想范疇L(S)(R(S))是有像的范疇.但例2.1說明左(右)富足半群的主右(主左)*-理想范疇不一定是有像的.

在范疇和半群中間起到關(guān)鍵作用的是以下關(guān)于有像范疇的錐(cone)以及錐半群的概念.

定義 3.2設(shè)是有像的范疇.所謂的錐γ是從v到的映射γ:v→,滿足：

1) 存在唯一cγ∈v,對所有c∈v,有

γ(c)∈(c,cγ),

稱cγ為γ的尖(apex)；

2) 對任意c1,c2∈v,只要c1?c2,就有

稱錐γ是平衡(正規(guī))的,若

Mγ={c∈v|γ(c)有平衡因子分解}≠?,

(Mnγ={c∈v|γ(c)有正規(guī)因子分解}≠?);

當(dāng)Mγ=v(Mnγ=v)時,稱γ是強平衡(強正規(guī))的.

注 3.1用純范疇的語言敘述,一個錐γ是從嵌入函子j:P→到“常函子(constant functor)”Δcγ:P→的自然變換.所謂常函子Δcγ,是把每個對象c∈vP=v變?yōu)閏γ且把每個態(tài)射變?yōu)?cγ的特殊函子.

引理 3.1設(shè)γ是有像范疇的錐,f∈(cγ,c′),定義映射γ★fο:v→為

(γ★fο)(c)=γ(c)fο, ?c∈v,

(1)

則γ★fο也是的錐,有

cγ★fο=imf?c′,

且對任意f∈(cγ,c′),g∈(c′,c″),有

γ★(fg)ο=(γ★fο)★(jc′im fg)ο.

特別地,當(dāng)f、g均為滿態(tài)射時,有

γ★fg=(γ★f)★g.

證明顯然

是從v到的映射,有

cγ★fο=imf?c′；

對任意c1,c2∈v,若c1?c2,由γ是錐,有

(γ★fο)(c1)=γ(c1)fο=(jc2c1γ(c2))fο=

jc2c1(γ(c2)fο)=jc2c1((γ★fο)(c2)).

這證明了γ★fο是錐.

進(jìn)而,對任意c∈v,由推論2.1有

(γ★(fg)ο)(c)=γ(c)(fg)ο=

γ(c)(fο(jc′im fg)ο)=

((γ★fο)★(jc′imfg)ο)(c).

這證明了

當(dāng)f、g均為滿態(tài)射時,因為fg是滿態(tài)射且有jf=1,fο=f和gο=g,故有最后等式成立.

引理 3.2對有像范疇的任一錐γ和c,d∈v,若c?d,則imγ(c)?imγ(d).

γ(c)=pjcγim γ(c),γ(d)=p′jcγim γ(d),

于是有

pjcγim γ(c)=jdcp′jcγim γ(d)qjcγim γ(d)=pjcγim γ(c)qjcγim γ(d).

因p為滿態(tài)射,有

這就得到

imγ(c)?imγ(d).

□

本文核心概念“冪富范疇”是存在冪等錐所必須的,由它即可建立左富足半群的范疇刻畫.

定義 3.3稱范疇是冪富的(idempotent ample),若它有像且滿足以下性質(zhì):

本節(jié)其余部分建立冪富范疇與左富足半群之間的相互關(guān)聯(lián)理論.

命題 3.1左富足半群S的主左*-理想范疇L(S)是冪富范疇.

證明第二節(jié)中幾個引理、命題和定理的結(jié)論保證L(S)滿足性質(zhì)(P1)～(P4)(連通、有子對象、每包含可裂和每態(tài)射有像).為證明(P5)也成立,對每個Se∈vL(S),定義ρe:vL(S)→L(S)為

?Sf∈vL(S),ρe(Sf)=ρ(f,fe,e).

下證ρe是L(S)的錐：對任意

Sg?Sf∈vL(S),

因為

而

ρe(Sg)=ρ(g,ge,e)=ρ(g,gfe,e)=

ρ(g,g,f)ρ(f,fe,e)=jSfSgρe(Sf).

顯然,?e∈E(S),cρe=Se,而

ρe(Se)=ρ(e,e,e)=1Se,

即性質(zhì)(P5)也成立,故L(S)是冪富范疇.

□

由左右富足性是相互對偶的,而性質(zhì)(P5)是左右對稱的,顯然有以下結(jié)論.

命題 3.2右富足半群S的主右*-理想范疇R(S)是冪富范疇.

命題 3.31) 對有像范疇的任意錐γ1、γ2,定義

γ1·γ2=γ1★(γ2(cγ1))ο,

(2)

則γ1·γ2也是的錐;

證明1)是引理3.1的直接推論.若是冪富范疇,由性質(zhì)(P5),對每個c∈v存在錐滿足(c)=1c,由“·”定義,有

·=★((c))ο=★1=.

這證明了2).

定義 3.4設(shè)是冪富范疇,記

TC={γ=★f|(c)=1c,

f∈(c,cγ)是滿態(tài)射}.

(3)

命題 3.4對每個冪富范疇,錐集合TC≠?,且有:

1) TC對錐運算“·”封閉且cγ1·γ2?cγ2；

2) 對每個γ∈TC,對象集M0γ={c∈v|γ(c)是滿態(tài)射}不空；

3)E(TC)={γ∈TC|γ(cγ)=1cγ}；

4) (TC,·)是半群.

證明由性質(zhì)(P5),對每個c∈v,存在

=★1c∈TC,

故TC≠?.

1) 對γ1,γ2∈TC,有

cγ1·γ2=imγ2(cγ1)?cγ2.

進(jìn)而有γ1=1★f1,其中f1∈(c,cγ1)是滿態(tài)射,故

γ1·γ2=(1★f1)★(γ2(cγ1))ο=

由f1和(γ2(cγ1))ο∈(cγ1,cγ1·γ2)是滿態(tài)射,其積是(c,cγ1·γ2)中的滿態(tài)射,故γ1·γ2∈TC.

2) 對每個γ=★f∈TC,顯然γ(c)=f是滿態(tài)射,即c∈M0γ.

3) 若γ·γ=γ∈TC,由2),有c∈M0γ滿足

γ(c)(γ(cγ))ο=γ(c).

因為γ(c)滿,左可消,得(γ(cγ))ο=1cγ.這蘊含

滿足γ(cγ)=1cγ的錐顯然是冪等的,故有

E(TC)={γ∈TC|γ(cγ)=1cγ}.

4) 由1),只需驗證錐運算“·”滿足結(jié)合律.設(shè)γ1,γ2,γ3∈TC,記

ci=cγi,i=1,2,3,

c12=imγ2(c1)=cγ1·γ2,

c23=imγ3(c2)=cγ2·γ3,

c123=imγ3(c12)=c(γ1·γ2)·γ3.

由1)有c12?c2且由引理3.2有

c123=imγ3(c12)?imγ3(c2)=c23?c3.

對任意c∈v,有

((γ1·γ2)·γ3)(c)=

((γ1·γ2)(c))(γ3(cγ1·γ2))ο=

γ1(c)(γ2(c1))ο(γ3(c12))ο

和

(γ1·(γ2·γ3))(c)=

γ1(c)((γ2·γ3)(c1))ο=

γ1(c)(γ2(c1)(γ3(c2))ο)ο=

γ1(c)(γ2(c1))ο(jc2c12(γ3(c2))ο)ο.

由

且

(γ3(c2))ο=γ3(c2)p,

故

(jc2c12(γ3(c2))ο)ο=(jc2c12γ3(c2)p)ο=

(γ3(c12)p)ο(因jc2c12γ3(c2)=γ3(c12))=

((γ3(c12))οjc3c123p)ο=

((γ3(c12))οjc23c123jc3c23p)ο(因jc3c123=jc23c123jc3c23)=

((γ3(c12))οjc23c1231c23)ο=

((γ3(c12))οjc23c123)ο(因jc3c23p=1c23)=

(γ3(c12))ο.

這證明了

(γ1·γ2)·γ3=γ1·(γ2·γ3),

即TC是半群.

□

定理 3.1冪富范疇的錐半群TC是左富足半群,有偏序集同構(gòu)

(TC/*,?)?(E(TC)/,?)?

(,?),

(4)

其中,左邊2個?是主左*-理想和冪等元生成主左理想在通常集合包含意義下的偏序,第三個?是的子對象關(guān)系.

證明任取γ∈TC,由(P5),存在冪等錐∈E(TC)使得c=cγ.以下證明γ*.首先,有

γ·=γ★((cγ))ο=γ★((c))ο=

γ★1c=γ*1cγ=γ.

其次,對任意γ1,γ2∈TC1,分2種情形證明.

γ·γ1=γ·γ2?·γ1=·γ2.

(*)

若γ1,γ2∈TC,則有

γ★(γ1(cγ))ο=γ★(γ2(cγ))ο.

取c∈M0γ,得

γ(c)(γ1(cγ))ο=γ(c)(γ2(cγ))ο,

由γ(c)是滿態(tài)射,左可消,得

(γ1(c))ο=(γ1(cγ))ο=

(γ2(cγ))ο=(γ2(c))ο.

由此立得

·γ1=★(γ1(c))ο=

若γ·γ1=γ,則有

c=cγ=imγ1(c)?cγ1.

利用M0γ≠?易得γ1(c故有

·γ1=★(γ1(c))ο=

因為γ1=γ2=1?TC時,需要的蘊含式(*)是平凡的,故得到γ*,即γ左富足,從而TC是左富足半群.

1·2=1?c?c,

這得到第二個偏序同構(gòu)；第一個偏序同構(gòu)是左富足性保證的,因為每個錐既然左富足,它生成的主左*-理想就是它所在*-類中任一冪等錐生成的主左理想.

□

定理 3.2設(shè)是冪富范疇,定義

F:→L(TC)

的對象映射和態(tài)射映射為：

?c∈v,F(c)=TC,∈E(TC),c=c;

?f∈(c,d),F(f)=ρ(,★fο,δ),

那么,F是有子對象范疇的同構(gòu).

證明由定理3.1,vF就是偏序集同構(gòu)

(E(TC)/,?)?(v,?),

即vF是該二范疇對象集間的雙射,且保持偏序?.只需證明態(tài)射映射是雙射函子.

首先,證明對

f∈(c,d),F(f)∈L(TC)(F(c),F(d)),

c=imf?d=cδ,

可知

(★fο)·δ=(★fο)★(δ(imf))ο=

(★fο)★(jdim fδ(d))ο=

(★fο)★(jdim f1d)ο=★fο.

這證明了

F(f)∈L(TC)(TC,TCδ)=

L(TC)(F(c),F(d)).

其次,證明F(f)與、δ(c=c,cδ=d)的選擇無關(guān).若′,δ′∈E(TC),也有c=c,cδ′=d,由定理3.2的證明,有′,δ′δ,且

′·(★fο)=′★((c′)fο)ο=

由引理2.1的2)得

ρ(,★fο,δ)=ρ(′,′★fο,δ′).

進(jìn)而,若f,g∈使得fg有定義,記

F(f)=ρ(,★fο,δ),

F(g)=ρ(1,1★gο,δ1),

則因codf=d=domg,有δ1.由以上證明有

F(g)=ρ(δ,δ★gο,δ1).

由引理2.1的3)得

F(f)F(g)=ρ(,(★fο)·(δ★gο),δ1).

記c1=imf=c?d=domg=cδ,上式右端第二個分量為

(★fο)·(δ★gο)=

(★fο)★((δ★gο)(c1))ο=

(★fο)★(jdc1δ(d)gο)ο=

其中最后一個等號來自推論2.1.由此得到

F(f)F(g)=F(fg).

以下證明F保持包含態(tài)射,即c?d蘊含

·δ=★δ(c)ο=★★1c=,

F(jdc)=ρ(,★(jdc)ο,δ)=

ρ(,,δ)=jT Cδ=jF(d)F(c).

作為推論,F保持單位態(tài)射.

最后證明F全忠實,即對任意c,d∈v,態(tài)射映射F是從(c,d)到L(TC)(F(c),F(d))的雙射.首先,由態(tài)射的滿-包含因子分解的唯一性,ffο是(c,d)到其中滿態(tài)射子集的雙射；其次,fο★fο是這個滿射子集到TCδ(c=c,d=cδ)的雙射；最后,★fορ(,★fο,δ)是TCδ(c=c,d=cδ)到L(TC)(F(c),F(d))的雙射.F恰是這3個雙射的合成,故也是雙射.

□

從另一個角度來看,給定一個左(右)富足半群S,得到一個冪富范疇L(S)(R(S)),它的錐半群(L(S))((R(S)))也是一個左富足半群,那么S與這個錐半群是什么關(guān)系呢？為了探討這個問題,要引進(jìn)“規(guī)范左(右)富足半群”概念.

定義 3.5若左(右)富足半群S的每個元素都有冪等元為其左(右)單位元,則稱S是規(guī)范左(右)富足的.

顯然富足半群和正則半群都是規(guī)范左(右)富足的.任一左富足幺半群都是規(guī)范左富足的.特別地,例2.1中的幺半群M(合成從右至左)是規(guī)范左富足的非富足半群.冪富范疇的錐半群TC也是規(guī)范左富足的,因為其中每個錐有形★fο,顯然

·(★fο)=★fο,

不清楚是否存在不規(guī)范的左富足半群.

定理 3.3設(shè)S為規(guī)范左富足半群,定義

ρ:S→L(S),aρ(a)=ρa,

其中

ρa:vL(S)→L(S), ?Sf∈vL(S),

則ρ是從S到L(S)的同態(tài).當(dāng)S是規(guī)范左富足半群時,滿足Kerρ?.

證明首先證明對每個a∈S,ρa是一個錐(稱為主錐).事實上,ρa顯然是從vL(S)到L(S)的映射.設(shè)gω,有

ρa(Sg)=ρ(g,ga,a*)=ρ(g,gfa,a*)=

ρ(g,g,f)ρ(f,fa,a*)=jSfSgρa(Sf),

即ρa∈L(S),故ρa是錐.

對任意a,b∈S,由*是右同余,有

a*b*ab*(ab)*,

且因為abb*=ab有

(ab)*b*=(ab)*,

即(ab)*ω*.由此得

ρb(Sa*)=ρ(a*,a*b,b*)=

ρ(a*,a*(a*b),(ab)*)ρ((ab)*,(ab)*,b*)=

ρa*b(Sa*)jSb*S(ab)*,

即有

(ρb(Sa*))ο=ρa*b(Sa*).

由此立得

?Sf∈vL(S),ρab(Sf)=ρ(f,fab,(ab)*)=

ρ(f,faa*b,(ab)*)=

ρ(f,fa,a*)ρ(a*,a*b,(ab)*)=

ρ(f,fa,a*)ρ(a*,a*(a*b),(ab)*)=

ρa(Sf)ρa*b(Sa*)=ρa(Sf)(ρb(Sa*))ο=

(ρa★(ρb(Sa*))ο)(Sf)=(ρa·ρb)(Sf).

這證明了

ρ(ab)=ρab=ρa·ρb=ρ(a)ρ(b),

即ρ是同態(tài).再由e∈E(S),ea=a得

ρa=ρea=ρe·ρa=ρe★(ρa(Se)ο∈L(S),

故ρ是從S到L(S)的同態(tài).

若ρa=ρb,則當(dāng)然有

a*a*b**b.

如果S是規(guī)范左富足的,則因為e∈E(S),ea=a,有

ρ(e,a,a*)=ρa(Se)=

ρb(Se)=ρ(e,eb,b*)

這說明a=eb.同理,若e′b=b,則有b=e′a.因此,必有ab.這證明了Kerρ?.

推論 3.1對左富足幺半群S,有

S?(L(S)).

證明首先,因為幺半群S=S1本身是其最大主左理想,對任意γ∈L(S)和任意Sf∈vL(S),有

γ(Sf)=ρ(f,f,1)γ(S1)=

故γ=ρaγ,其中aγ∈S是由γ∈L(S)確定的唯一元素,這說明ρ是滿同態(tài).

其次,ρa=ρb顯然蘊含

ρ(1,a,a*)=ρa(S1)=ρb(S1)=ρ(1,b,b*).

注意到,R(S)=(Sop),這里

Sop=(S,·),a·b=ba,

則有以下對偶結(jié)論.

定理 3.4設(shè)S為規(guī)范右富足半群,定義

λ:S→R(S),aλ(a)=λa,

其中

λa:vR(S)→R(S), ?fS∈vR(S),

則λ是從S到R(S)的反同態(tài),有Kerλ?.

推論 3.2對右富足幺半群S,上述λ是從S到(R(S))的反同構(gòu).

4 平衡范疇與富足半群

本節(jié)進(jìn)一步擴(kuò)展前3節(jié)建立的理論,引入平衡范疇的概念,證明它與富足半群的關(guān)系恰是冪富范疇與左富足半群關(guān)系的自然延伸.這為以后建立富足半群范疇與“交連系范疇”的等價打下牢固的基礎(chǔ).

定義 4.1范疇稱為是平衡的(balanced),若它是冪富范疇且滿足下述性質(zhì)：

(P7) TC中的錐γ若有形

γ=δ★u,δ∈E(TC),

其中u∈為平衡態(tài)射(稱為γ的平衡表示),則下列蘊含式成立

?γ1,γ2∈TC1,γ1·γ=γ2·γ?

imδ(cγ1)=imδ(cγ2).

(5)

這里約定,當(dāng)γi=1?TC時,有imδ(cγi)=cδ.

定理 4.1富足半群S的主左、主右*-理想范疇L(S)、R(S)是平衡范疇.

證明富足半群有對稱的左右富足性,且R(S)=L(Sop),只需證明L(S)是平衡范疇.

富足半群S是左富足的,故L(S)是冪富范疇.定理2.2的3)保證它滿足性質(zhì)(P6),即對任意

γ=★f∈L(S),

由f∈L(S)(Se,Seγ)是滿態(tài)射,據(jù)定理2.2的2)有

f=ρ(e,u+,u+)ρ(u+,u,u*),

c=Se,u∈eSu*,

記δ=★ρ(e,u+,u+),因為cδ=Su+?Se,易知有δω和γ=δ★ρ(u+,u,u*).因為ρ(u+,u,u*)是平衡態(tài)射,且L(S)中任何平衡態(tài)射都有此形,稱其為γ的平衡表示.

下面證明對這個平衡表示,蘊含式(5)成立.設(shè)

γi∈L(S)1,i=1,2,

使得

γ1·γ=γ2·γ.

當(dāng)γ1,γ2∈L(S)時,記它們的平衡表示為

其中

則有

由L(S)中態(tài)射的結(jié)構(gòu),存在

使得

于是

由此有

上式成為

如此有(v1u)*(v2u)*.將上式兩端的錐分別作用在上,與上類似,有

使得

由

δi(cδi)=1cδi,i=1,2

可得

和

由(v1u)*(v2u)*,據(jù)引理2.1的1)得

u1v1u=w2u2v2u,u2v2u=w1u1v1u.

于是再由v1,v2∈Su+和u*u+得

u1v1=u1v1u+=w2u2v2u+=w2u2v2,

u2v2=u2v2u+=w1u1v1u+=w1u1v1.

即u1v1u2v2.由于和*是右同余,有

即v1*v2,或這就證明了

若γ1·γ=γ.設(shè)

γ=δ★ρ(u+,u,u*),

是它們的平衡表示,其中u,u1∈S,滿足

Su+=cδ,Su*=cγ,

使得

ρ(u+,u,u*)=

ρ(u+,w1u1v1u,(v1u)*).

這蘊含(v1u)*u*,且

u1v1u=w2u,u=w1u1v1u.

u1v1=u1v1u+=w2u+,

u+=w1u1v1u+=w1u1v1.

這說明u1v1u+.從而再由*是右同余推出

這就完成了蘊含式(5)的證明,因為在其他情形,蘊含式(5)是平凡成立的,故L(S)是平衡范疇.

定理 4.2冪富范疇的錐半群TC是富足半群的充要條件是為平衡范疇.

證明必要性 如果TC是富足半群,則由定理4.1,L(TC)是平衡范疇;再由定理3.2,有

由(P6),定理4.1證明的第一段說明,每個錐γ有平衡表示

γ=δ★u,δ∈E(TC),u∈(cδ,cγ)

為平衡態(tài)射.

證明γ*δ,從而γ右富足.

δ·γ=γ是顯然的.如果γ1,γ2∈TC1使得

γ1·γ=γ2·γ,

由于imδ(cγ1)=imδ(cγ2)?cδ,可記

即得

γ1★δ(cγ1)οfο=γ1★δ(cγ1)ο(jcδim δ(cγ1)u)ο=

γ1★(δ(cγ1)u)ο=γ1·γ=γ2·γ=

γ2★(δ(cγ2)u)ο=γ2★δ(γ2)ο(jcδim δ(cγ2)u)ο=

γ2★δ(γ2)οfο.

由u平衡知,f是2個單態(tài)射之積,故它和它的左因子fο都是單態(tài)射,即右可消.由此得

γ1·δ=γ1★δ(cγ1)ο=γ2★δ(cγ2)ο=γ2·δ.

這證明了γ*δ.

注 4.1例2.1的Baer-Levi幺半群M的主左*-理想范疇L(M)是冪富但非平衡的,因為其中不存在非ρ(e,e,e)的平衡態(tài)射,每個非ρ(e,e,e)的態(tài)射都沒有平衡因子分解,故(P6)不成立.Baer-Levi幺半群M左富足而非右富足進(jìn)一步說明,范疇的性質(zhì)(P6、P7)和(P1～P5)是相互獨立的.

推論 4.1對富足半群S,其主左*-理想范疇L(S)的錐半群L(S)是富足半群,且對每個γ∈L(S),有

而

對偶地,S的主右*-理想范疇R(S)的錐半群R(S)是富足半群,且對每個γ∈R(S),有

而

證明只需對L(S)證明,因為

R(S)=L(Sop).

γ=δ★ρ(u+,u,u*),

注 4.2由定理4.1、推論4.1以及文獻(xiàn)[1]中命題3.7和定理3.11,對平衡范疇及其任一冪等錐δ∈E(TC),可刻畫TC中含δ的*-類如下:

★u|u為中平衡態(tài)射},

這里每個集合均非空且有

由定理3.1、3.2和推論3.1、3.2,結(jié)合定理4.1、4.2易知,對富足半群S,直積

L(S)×R(S)

也是富足半群,其中的乘法定義為

?γi∈L(S),δi∈R(S),i=1,2,

(γ1,δ1)(γ2,δ2)=(γ1·γ2,δ2·δ1).

定理 4.3設(shè)S為富足半群.記

證明令φ:S→L(S)×R(S):?a∈S,φ(a)=(ρa,λa),其中ρ、λ由定理3.3和3.4分別定義.該二定理確保φ=(ρ,λ)是從S到的滿同態(tài),為證明其為同構(gòu),只需證明其單.

設(shè)φ(a)=φ(b),a,b∈S,即ρa=ρb且λa=λb.由定理3.3和3.4,有

(a,b)∈∩=,

故a+b+、a*b*.于是對任意

有a+b=b,且由

a∈a+Sa*,b∈b+Sb*=a+Sb*=a+Sa*,

有

ρ(a+,a,a*)=ρ(a+,a+a,a*)=ρa(Sa+)=

ρb(Sa+)=ρ(a+,a+b,b*)=ρ(a+,b,b*).

如此,據(jù)引理2.1的1)立得a=b.這就完成了證明.

作為本文的結(jié)束,將所得結(jié)論應(yīng)用于正則半群,可以說明本文的概念和結(jié)論恰是Nambooripad在文獻(xiàn)[1]中第二章到第三章第3節(jié)內(nèi)容向富足半群以至左、右富足半群的推廣.

定義 4.2稱一個富足半群S是“準(zhǔn)正則的(near regular)”,若其正則元集RegS構(gòu)成S的子半群.稱準(zhǔn)正則半群S是“對稱準(zhǔn)正則的”,若錐半群L(S)的每個*-類有主冪等錐.

因為富足幺半群M的錐都是主錐,故準(zhǔn)正則幺半群都是對稱準(zhǔn)正則的.例2.2和2.3中的半群S=E×M,只要幺半群M不是群都是對稱準(zhǔn)正則而非正則的.這類富足半群對應(yīng)的范疇可以用“準(zhǔn)正規(guī)(near normal)范疇”來刻畫.

定義 4.3稱平衡范疇是準(zhǔn)正規(guī)的,若滿足以下性質(zhì)：

命題 4.1準(zhǔn)正規(guī)范疇的錐半群TC是準(zhǔn)正則的.

證明設(shè)是準(zhǔn)正規(guī)的,,δ∈E(TC).由性質(zhì)(P8),存在滿足1(cδ)=euj,其中e∈(cδ,c1),c1?cδ是收縮,是包含,而u∈(c1,c2)是同構(gòu).記δ0=δ*e,有cδ0=c1且

δ0(c1)=δ(c1)e=jcδc1δ(cδ)e=jcδc1e=1c1.

這證明了δ0∈E(TC),而由是左同余,有

δ·δ·1=δ★(1(cδ))ο=

δ★(euj)ο=δ★e★u=δ0★u.

由u是同構(gòu)立得δ·δ·1δ0∈Reg TC.這證明了Reg TC是TC的子半群,故TC是準(zhǔn)正則半群,因為平衡保證TC是富足半群.

命題 4.2對稱準(zhǔn)正則半群S的主左*-理想范疇L(S)是準(zhǔn)正規(guī)的.

證明因為對稱準(zhǔn)正則半群S的錐半群L(S)中每個*-類有主冪等錐ρe,e∈E(S),只需證明ρe是強正規(guī)錐.事實上,對任意Sf∈vL(S),由

fe∈RegS,

有h∈S(f,e),即

h∈ω(f)∩ωr(e),

(fh)(fe)(he)=fhe=fe,

從而有

fh∈E(Rfe)∩ω(f),

he∈E(Lfe)∩ω(e).

如此可得

ρe(Sf)=ρ(f,fe,e)=

ρ(f,fh,fh)ρ(fh,fe,he)ρ(he,he,e).

由定理2.1,這是ρe(Sf)的正規(guī)因子分解.這就完成了證明.

定義 4.4平衡范疇稱為“正規(guī)范疇(normal category)”,若它滿足下述性質(zhì)：

定理 4.41) 正則半群S的主左*-理想范疇L(S)和主右*-理想范疇R(S)都是正規(guī)范疇；

故正規(guī)范疇來自正則半群；

3) 對正則半群S,有

證明1) 因為正則半群中、關(guān)系是對稱的,而R(S)=L(Sop),只需證明L(S)是正規(guī)的.首先,因正則半群富足,L(S)是平衡范疇.其次,ρ∈L(S)平衡的充要條件是有u∈S使得

ρ=ρ(u+,u,u*),

由正則半群中有

*=,*=,

此即u+uu*,由命題2.1的3)或定理2.1的3)立得ρ是同構(gòu),故L(S)是正規(guī)范疇.

u-1∈(cγ,cδ).

令γ′=★u-1,其中有c=cγ.于是有

γ·γ′·γ=(δ★(uγ′(cγ))ο)·γ=

(δ★(u(cγ)u-1)ο)·γ=

(δ★(u(c)u-1)ο)·γ=

(δ★(uu-1)ο)·γ=δ·γ=γ.

這證明了TC是正則半群.

2)中第二個結(jié)論是定理3.3的直接推論,而3)是定理4.3的直接推論.