余敏

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版） 》要求：“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀和空間想象能力;增強運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識;形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì)?！薄霸趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)?！蹦敲矗咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的“直觀想象”素養(yǎng)呢？

一、理解直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版） 》指出：直觀想象主要表現(xiàn)為建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物?！爸庇^想象”素養(yǎng)主要涉及了兩個方面，即幾何直觀和空間想象。

（1）幾何直觀。幾何直觀主要是指借助圖形來描述和分析問題。孔凡哲、史寧中教授指出，幾何直觀是指借助見到的（或虛構(gòu)的）幾何的圖像關(guān)系，直接識別和掌握數(shù)學(xué)研究對象（空間形式或數(shù)量關(guān)系）的能力。它是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的手段，有利于學(xué)生了解問題的實質(zhì)，理清思路，探索解決問題的方向。此外，幾何直觀還可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，并在教學(xué)過程中發(fā)揮重要作用。

（2）空間想象。空間想象是數(shù)學(xué)的基本概念之一，而培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力更是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)之一，它包括以下三個方面的內(nèi)容：①能根據(jù)描述空間幾何形體的語言或圖片，可以在頭腦中形成相應(yīng)的幾何圖形，并得到其直觀圖，如一提到正方形，就能想起其模樣;②能根據(jù)所給出的直觀圖，在大腦中展現(xiàn)出相應(yīng)的幾何圖形，甚至包括其位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，例如學(xué)生學(xué)完三視圖后，能根據(jù)三視圖求某一空間圖形的體積等等;③能對頭腦中已有的空間幾何圖形進行拆分和組合，得到新的幾何圖形，并對它的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系以及直觀圖進行分析，如在學(xué)習(xí)棱臺時，學(xué)生能想象到棱臺是指一個棱錐被平行于它的底面的一個平面所截后，截面與底面之間的幾何形狀。

（3）幾何直觀、空間想象與直觀想象的關(guān)系。我們知道，幾何直觀是指用圖形來描述和分析問題，這是感性認識;而空間想象是學(xué)生對二維平面或三維空間的圖形的位置、數(shù)量關(guān)系及其性質(zhì)的理解，是一種理性認識。但是根據(jù)人們的認知過程，他們總是從感性知識中認識到理性的理解，然后從理性中認識到實踐的過程，而直觀想象的本質(zhì)是借助幾何圖形的直觀來拓展想象的思維能力。在實踐過程中，通常將幾何直觀思維和空間想象能力都調(diào)動起來，從而去尋求解決問題的方法和途徑。

二、把握直觀想象的基本特征

結(jié)合直觀想象的內(nèi)涵，其主要有如下基本特征。

（1）經(jīng)驗性。直觀想象必須基于已有的知識經(jīng)驗和活動經(jīng)驗，所運用的知識組塊和形象直感都是經(jīng)驗的積累和升華，并不斷地組合老經(jīng)驗、形成新經(jīng)驗，從而不斷提高直觀想象的水平。

（2）整體性。平時數(shù)學(xué)教學(xué)要確立整體聯(lián)系觀，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀了解數(shù)學(xué)知識之間的相同、相似、差異、不同等區(qū)別和聯(lián)系，形成網(wǎng)絡(luò)清晰、融會貫通的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

（3）邏輯性。平時數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生得出（發(fā)現(xiàn)、猜測）相關(guān)結(jié)論后，還必須要求學(xué)生做出合理的數(shù)學(xué)思考，依據(jù)已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗和相關(guān)程序步驟，通過嚴(yán)格的邏輯推理得出科學(xué)結(jié)論，以逐步發(fā)展學(xué)生的邏輯結(jié)構(gòu)。

（4）預(yù)見性。平時數(shù)學(xué)教學(xué)要向?qū)W生提供具有探索性和思考性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，引發(fā)學(xué)生深度的數(shù)學(xué)思考，拓展學(xué)生的想象空間，加強學(xué)生數(shù)學(xué)聯(lián)想和猜想能力的培養(yǎng)，促使學(xué)生自覺或不自覺地運用組塊與直覺，直接預(yù)測問題的結(jié)論。

三、通過數(shù)形轉(zhuǎn)化思想啟發(fā)直觀想象

數(shù)形轉(zhuǎn)化啟發(fā)直觀想象主要體現(xiàn)在函數(shù)、解析幾何與立體幾何方面，初中與高中的銜接過渡過程中，學(xué)生問題最多的就是函數(shù)，求函數(shù)的性質(zhì)，最值、單調(diào)性、對稱性等問題，學(xué)生感到難度大，比較抽象，但要是畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象，在定義域范圍內(nèi)截出部分圖象，一些性質(zhì)、最值，同學(xué)們將會一目了然。例如在研究三角函數(shù)y=sinx與y=cosx的性質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系時，在同一坐標(biāo)系中畫出兩者的圖象，這樣不僅直觀觀察出兩者的各種性質(zhì)的關(guān)系，而且還能形象說明由一個函數(shù)的圖象經(jīng)過適當(dāng)平移就能得到另一個函數(shù)的圖象。還有在統(tǒng)計問題中，讓學(xué)生將所調(diào)查的數(shù)據(jù)通過適當(dāng)分組列成頻率分布表或繪制成頻率分布直方圖，還可以轉(zhuǎn)化為莖葉圖，不用同學(xué)們計算，都可以比較直觀的分析這組數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，可以評價這組數(shù)據(jù)的各種性質(zhì)。數(shù)學(xué)是數(shù)與形的有機結(jié)合，也是一種美學(xué)，數(shù)與形是相互聯(lián)系而又對立的兩個方面，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀體現(xiàn)。“數(shù)缺少形變抽象，形缺少數(shù)難討論”，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一種基本思想，也是學(xué)生必須具備的一種能力素養(yǎng)。在教學(xué)中，要真正引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，要重視“數(shù)（式）”的幾何理解，“形”的代數(shù)表示;在數(shù)學(xué)解題中，要有意識地將"形″的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題來處理，以“數(shù)”論“形”;再將“數(shù)”的問題用“形”來直觀描述，達到數(shù)與形的有機結(jié)合。

四、數(shù)學(xué)模型展示促進直觀想象

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過對圖形過程中的認真細致觀察來為其直觀想象力的進一步發(fā)展提供諸多契機。比如：某教師在講解異面直線的概念知識點時，就引導(dǎo)學(xué)生在桌子上拿起兩支筆來表達不同平面內(nèi)的直線，然后基于對這兩條直線位置關(guān)系的直觀、形象演示過程，使得學(xué)生可以對異面空間內(nèi)容做出進一步了解，并對平行、相交，以及不相交也不平行的情況做到準(zhǔn)確、全面把握。這樣學(xué)生既可以實現(xiàn)對異面直線相關(guān)知識點的熟練掌握，也能夠?qū)ζ涓拍顑?nèi)容產(chǎn)生透徹理解。通過特殊模型的科學(xué)引用，既可以為學(xué)生圖形語言解決能力的科學(xué)培養(yǎng)提供諸多契機，也能夠進一步優(yōu)化幾何圖形、數(shù)學(xué)知識的有機整合，促使學(xué)生靈活引用數(shù)學(xué)語言來進行各類解題思路的深入探究，以此來促進學(xué)生直觀想象。