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        圓錐曲線中弦長(zhǎng)問(wèn)題的解法探究

        2022-03-27 22:27:08王慧敏
        文學(xué)天地 2022年2期

        王慧敏

        摘要:圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn),也是每年高考必考的熱門(mén)知識(shí)點(diǎn)。而弦長(zhǎng)問(wèn)題則是圓錐曲線中的經(jīng)典問(wèn)題,也是高考的熱門(mén)考點(diǎn)。弦長(zhǎng)問(wèn)題的解題過(guò)程中存在一些通用的技巧,可以適用于大部分弦長(zhǎng)問(wèn)題問(wèn)題解答。本文將通過(guò)一道高考改編題來(lái)探究這類(lèi)問(wèn)題的常用解法.

        關(guān)鍵詞:弦長(zhǎng)公式,焦半徑公式,點(diǎn)差法,伸縮變換

        題目:(2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅱ20(2))已知橢圓C的方程為x^2/3+y^2=1,右焦點(diǎn)F(√2,0),設(shè)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x^2+y^2=1(x>0)相切.當(dāng)M,N,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),證明:|MN|=√3.

        解法1:(利用弦長(zhǎng)公式)

        設(shè)M(x_1,y_1 ) ?,N(x_2,y_2 )直線MN的方程為x=my+√2,則圓心O(0,0)到直線MN的距離為d=√2/√(m^2+1)=1,解得m^2=1,聯(lián)立方程組{█(x=my+√2@x^2/3+y^2=1)┤,〖4y〗^2+2√2 my-1=0,由弦長(zhǎng)公式可得|MN|=√(1+m^2 )?√(8m^2+16)/4=√2×√24/4=√3,所以結(jié)論成立。

        點(diǎn)評(píng):對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō),圓錐曲線綜合性問(wèn)題雖思路清晰,容易切入,但常常受制于繁瑣而復(fù)雜的運(yùn)算,解法1是先聯(lián)立方程組,再利用弦長(zhǎng)公式,這是解決弦長(zhǎng)問(wèn)題的基本方法,運(yùn)用這種方法的最大問(wèn)題就是計(jì)算問(wèn)題,由于運(yùn)算量太大,導(dǎo)致選用解法1的學(xué)生大多數(shù)不能得出正確結(jié)果.但相對(duì)于利用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)說(shuō)計(jì)算量稍小。

        解法2:(利用焦半徑公式)

        同解法1得x_1+x_2=-√2/2 m^2+2√2,由焦半徑公式可得

        |MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2a-e(x_1+x_2 )=2√3-√6/3 (x_1+x_2 )=2√3-√6/3 (-√2/2 m^2+2√2)=√3,所以結(jié)論成立。

        點(diǎn)評(píng):解法2利用橢圓的焦半徑來(lái)解決,相對(duì)解法1來(lái)說(shuō)運(yùn)算量大大減少,并且容易理解。

        解法3:(利用點(diǎn)差法)

        由解法1可知m^2=1,設(shè)M(x_1,y_1 ) ?,N(x_2,y_2 )直線MN的方程為x=my+√2.則{█(〖x_1〗^2/3+〖y_1〗^2=1@〖x_2〗^2/3+〖y_2〗^2=1)┤,兩式相減,得1/m?(y_1+y_2)/(x_1+x_2 )=-1/3 ①.又因?yàn)镸N過(guò)點(diǎn)F(√2,0),所以1/m=((y_1+y_2)/2)/((x_1+x_2)/2-√2),即y_1+y_2=1/m (x_1+x_2-2√2)②,將②代入①得x_1+x_2=(6√2)/(m^2+3).由焦半徑公式得|MN|=|MF|+|NF|=a-ex_1+a-ex_2=2√3-√6/3 (-√2/2 m^2+2√2)=√3,所以結(jié)論成立;

        點(diǎn)評(píng):點(diǎn)差法是解決圓錐曲線中點(diǎn)弦問(wèn)題的基本方法,用點(diǎn)差法處理弦長(zhǎng)問(wèn)題,省略掉了聯(lián)立方程組這一步驟,計(jì)算簡(jiǎn)潔,事半功倍.但值得注意的是,若弦不過(guò)焦點(diǎn),則點(diǎn)差法失效[1].

        解法4:(利用伸縮變換)

        令x^'=x/√3,y^'=y,則直線MN的方程x=my+√2變?yōu)椤? x^'=my^'+√2,m變?yōu)閙^'=m/√3,橢圓C的軌跡方程變?yōu)椤紉^'〗^2+〖y^'〗^2=1,則|M^' N^' |=√(1+〖m^'〗^2 )?|y_1^'-y_2^' |=√(1+m^2/3)?|y_1^'-y_2^' |.又因?yàn)閨M^' N^' |=2√(R^2-d^2 )=√2,由解法1可知m^2=1,故√(1+1/3)?|y_1^'-y_2^' |=√2,即|y_1^'-y_2^' |=|y_1-y_2 |=√6/2,所以|MN|=√(1+m^2 )?|y_1-y_2 |=√3,所以結(jié)論成立;

        點(diǎn)評(píng):解法4利用橢圓與圓之間的伸縮變換構(gòu)造一個(gè)新的圓的方程,利用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決問(wèn)題.雖然這并不是最簡(jiǎn)單的解法,但是它可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)將知識(shí)融會(huì)貫通.

        小結(jié):在解決圓錐曲線的弦長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題時(shí),可采用弦長(zhǎng)公式、焦半徑公式、點(diǎn)差法和伸縮變換的方法來(lái)解決。一題多解可以使學(xué)生開(kāi)闊視野,把學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法融會(huì)貫通,使用自如。

        參考文獻(xiàn):

        [1]聶文喜.從一道高考題談圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題的求解策略[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2016(12):40-42.

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