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        利用“等和線”解題

        2022-03-27 21:59:30鐘建新

        鐘建新

        摘 要:本文介紹利用“等和線”求解向量線性表示中的系數(shù)和問題,方法直觀、簡潔、高效.

        關(guān)鍵詞:等和線;基底;系數(shù)和;構(gòu)造

        中圖分類號:G632?? 文獻標識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2022)04-0067-02

        平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP,OP=

        λOA+μOB(λ,μ∈R),若點P在直線AB上或者在平行于AB的直線上,則λ+μ=k(定值),反之也成立.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線(如圖1).

        圖1

        當?shù)群途€恰為直線AB時,k=1;

        當?shù)群途€在點O和直線AB之間時,k∈(0,1);

        當直線AB在點O和等和線之間時,k∈(1,+∞);

        當?shù)群途€過點O時,k=0;

        當?shù)群途€與直線AB在點O的兩側(cè)時,則k<0.

        利用等和線求解數(shù)值k(k>0)的基本步驟如下:

        ①連接AB,構(gòu)造直線AB;

        ②連接(有時需延長)OP交直線AB于點Q,則k=OPOQ;

        ③求OPOQ的取值范圍,在動點P的軌跡內(nèi)分別作l1∥AB,l2∥AB,且l1,l2分別為距離點O最近與最遠的兩條平行線,下面記d,d1,d2分別為點O到直線AB,l1,l2的距離,記d′為點O到等和線的距離.又由平面幾何知識可得OPOQ=

        d′d,因為d1<d′<d2,所以k∈d1d,d2d.

        例1 (2009安徽理14)給定兩個長度為1的平面向量OA和OB,它們的夾角為120°,點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x+y的最大值是.

        圖2

        解析 如圖2所示,點O到直線AB距離d=12,記l為距離點O最遠的與直線AB平行的平行線,OC1⊥l,記d′為點O到直線l距離,則d′=1.

        所以d′d=2.

        所以由等和線結(jié)論得x+y的最大值是2.

        例2 在ABCD中,E,F(xiàn)分別為CD和BC的中點,若AB=xAE+yAF(x,y∈R),則x+y=.

        圖3

        解析 如圖3所示,連接EF,延長AB交直線EF于點B′. 因為E,F(xiàn)為中點,所以由等和線結(jié)論,得x+y=ABAB′=23.

        變式 在ABCD中,E,F(xiàn)分別為CD和BC的中點,若AB=xAE+12yAF(x,y∈R),則x+y=.

        解析 因為AB=xAE+12yAF=xAE+y(12AF),記線段AF中點為G,連接EG交邊AB于點B′,則由平面幾何知識可得點B′為邊AB的中點.

        由等和線結(jié)論,得x+y=ABAB′=21=2.

        評注 若待求和的兩個數(shù)不全為題設(shè)中基底的兩系數(shù),此時可構(gòu)造一組新基底,使待求和的兩個數(shù)分別為新基底的兩系數(shù).

        例3 正方形ABCD中,E為邊AB中點,P是以A為圓心,AB為半徑的圓弧BD上的一動點.設(shè)AC=xDE+yAP,則x+y的取值范圍為.

        圖4

        解析 如圖4所示,過點A作AE′=DE,連接PE′交AC(延長線)于點C′,

        則AC=xDE+yAP=xAE′+yAP.

        故x+y=ACAC′.

        當點P運動到點D時,因為四邊形ADEE′為平行四邊形,再結(jié)合三角形相似,得到AMMC=14.

        所以ACAC′=ACAM=5.

        即此時x+y取到最大值5.

        當點P運動到點B時,連接CE,易證得CE∥BE′.

        因為E為邊AB中點,

        所以C為邊AN中點.

        所以ACAC′=ACAN=12.

        即此時x+y取到最小值12.

        綜上,x+y的取值范圍為12,5.

        評注 等和線所描述的結(jié)論要求表達式中的三個向量共起點,若起點不一致,則可考慮利用向量的減法法則或者平移相關(guān)向量去統(tǒng)一它們的起點.

        G·波利亞在《怎樣解題》指出:“對于一個題目,首先要熟悉題目,我應(yīng)該從哪里開始?我能做什么?這樣做我能得到什么?然后深入了解題目”.只要我們對相關(guān)問題進行全面深入的研究,就會發(fā)現(xiàn)其解法還是有跡可循.

        參考文獻:

        [1]

        G·波利亞.怎樣解題[M].上海:上??萍冀逃霭嫔纾?007.

        [責任編輯:李 璟]

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