王 涵, 張映輝

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣西 桂林 541006)

1 本文主要成果

本文研究一個模擬趨化現(xiàn)象的三維雙曲-拋物系統(tǒng)解的時間衰減率,該系統(tǒng)可表示為如下形式：

(1)

初值為

(2)

(3)

該模型由Othmer等[1]以及 Levine等[2]通過大量生物學(xué)估計和數(shù)值計算得到。式中：p(x,t)表示粒子密度;w(x,t)表示化學(xué)物質(zhì)濃度;D表示粒子擴(kuò)散速率且D>0；Φ表示化學(xué)勢能。

類似文獻(xiàn)[3-9],假設(shè)Φ(w)=w-α,α是大于零的常數(shù),系統(tǒng)(3)可以改寫為

(4)

進(jìn)一步，假設(shè)

系統(tǒng)(4)可改寫為

(5)

最后,正常數(shù)A、B和c1由以下式子給出。令τ=At,ξ=Bx,u=p,v=c1q, 則將系統(tǒng)(5)改寫為

(6)

若在式(6)中取

即,

那么易知u和v滿足

(7)

用變量(x,t)替換(τ,ξ),則式(7)恰好是式(1)。

(8)

(9)

本文旨在對上述問題給出一個明確答案，更精確地說，本文得到Cauchy問題(1)、(2)的解及其各階空間導(dǎo)數(shù)(1階到最高階N階)的最優(yōu)時間衰減速率。值得一提的是,本文得到解的任一階空間導(dǎo)數(shù)的衰減速率都與熱方程的衰減速率一樣，證明方法是基于高頻-低頻分解和精細(xì)的能量估計。

類似文獻(xiàn)[4],重新改寫Cauchy問題(1)、(2)。假設(shè)

(10)

本文假設(shè)C為大于零的常數(shù),符號ab表示a≤Cb,式中C只依賴于問題參數(shù)，且C>0。設(shè)存在徑向函數(shù)當(dāng)|ξ|≤1時滿足φ(ξ)=1,當(dāng)|ξ|≥2時滿足φ(ξ)=0。定義f的低頻部分和高頻部分分別為

本文主要結(jié)果如下。

(11)

則Cauchy問題(10)存在一個唯一全局解(v,u)，使得對所有t≥0,以下衰減估計成立:

(12)

現(xiàn)在簡單給出本文分析要點(diǎn)?；谖墨I(xiàn)[18]結(jié)果,只需要證明式(12)中關(guān)于解(v,u)的最高階(N)空間導(dǎo)數(shù)的L2衰減速率。證明主要包括如下3個步驟。

首先得到解的能量估計:

(13)

其次,注意到上述能量估計中不包含v的耗散。因此,為了揭示v的耗散,可以利用文獻(xiàn)[14]方法, 即通過構(gòu)造v和u之間的相互作用能量泛函，得

(14)

(15)

于是，取足夠大的T0和D0，定義能量泛函

(16)

最后, 利用Plancherel定理、Hausdorff-Young不等式和Duhamel原理可得到解的最高階空間導(dǎo)數(shù)的低頻衰減速率。

(17)

結(jié)合式(16)、(17)，并利用Gronwall不等式可得到解的最高階空間導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)衰減速率,從而完成定理1的證明。

2 非線性能量估計

本節(jié)將推導(dǎo)式(10)的先驗非線性能量估計。假設(shè)對足夠小的δ>0,有先驗估計

本節(jié)將廣泛使用Gagliardo-Nirenberg Sobolev插值不等式。

以下引理是文獻(xiàn)[19]第125頁定理的特例。

引理1假設(shè)0≤i,j≤k,則

式中θ滿足

引理2假設(shè)整數(shù)k≥1,則

式中p、p2、p3∈[1,+∞],且

證明對p=p2=p3=2,可以利用引理1證明,詳情可參看文獻(xiàn)[20]第98頁。對于一般情形,參看文獻(xiàn)[21]中引理3.1。

引理3若對任意2≤p≤∞,f∈Lp(R3),則

證明對2≤p≤∞, 根據(jù)卷積的Young不等式,對于低頻可得

因此，

證畢。

接下來給出一類包含u耗散估計的能量估計。

引理4假設(shè)0≤k≤N-1, 則

(18)

(19)

下面估計等式(19)的右邊項,由分部積分、H?lder不等式、Cauchy-Schwarz不等式和引理1、2,可得

(20)

結(jié)合式(19)、(20)即可證得式(18)成立。證畢。

最后,考慮以下線性系統(tǒng)：

(21)

給出線性系統(tǒng)(21)的L2時間衰減速率。

以下引理5見文獻(xiàn)[4]。

引理6在定理1的假設(shè)條件下,非線性系統(tǒng)(10)的解(v,u)滿足以下衰減估計

(22)

(23)

(24)

將式(24)代入式(23)即可證式(22)。證畢。

3 定理1的證明

本章將利用低頻和高頻分解完成定理1的證明。定理1中l(wèi)≤N-1的情形在文獻(xiàn)[14]已證明,只需證明當(dāng)l=N時

(25)

成立，即可完成定理1的證明。

又因為

于是，

(26)

下面對等式(25)右邊進(jìn)行估計。首先估計I1。由分部積分得

其次估計I2。根據(jù)H?lder不等式和Young不等式，得

最后估計I3。根據(jù)H?lder不等式、引理3、引理2、引理1、式(8)、(9)和Young不等式，得

因此，

步驟2式(12)的證明。在式(18)中取k=N-1，得

(28)

取足夠大的T1和D1，定義能量泛函

結(jié)合式(22)與Gronwall不等式,得

故式(25)成立。

綜上所述,定理1得證。