龔 闖，劉志強(qiáng)，2，陸 葉，周 鵬，武康康，李傳起，3

(1.廣西師范大學(xué) 電子工程學(xué)院， 廣西 桂林 541004；2.中國電子科技集團(tuán)公司 第三十四研究所， 廣西 桂林 541004； 3.南寧師范大學(xué) 物理與電子學(xué)院， 廣西 南寧 530001)

在單模光纖中，基模的群速度與頻率相關(guān)，脈沖不同的頻譜分量以略微不同的群速度傳輸，導(dǎo)致光脈沖在傳輸過程中展寬從而引起碼間串?dāng)_(intersymbol interference,ISI)，影響信號的傳輸距離和傳輸質(zhì)量。

實(shí)際光通信系統(tǒng)中，受外界因素影響，色散信道模型并不是恒定的，一般會在接收機(jī)數(shù)字信號處理(digital signal processing, DSP)模塊中加入采用自適應(yīng)的思想設(shè)計的均衡濾波器用于估計變化參數(shù)。重疊-保留法采用光纖色散理想期望傳輸函數(shù)[1]對色度色散(chromatic dispersion,CD)進(jìn)行補(bǔ)償，將信號分塊，變換到頻域上，截斷分塊后的兩端部分序列，對殘余色散進(jìn)行補(bǔ)償，計算復(fù)雜度大，同時無法完全消除其他因素對信號的擾動。恒模算法(constant modulus algorithm，CMA)及其改進(jìn)類算法在信道變化劇烈時，穩(wěn)態(tài)誤差較大，收斂速度較慢，一般迭代次數(shù)需大于8 000次[2-6]，難以滿足實(shí)際傳輸系統(tǒng)的需求?；跈C(jī)器學(xué)習(xí)的色散補(bǔ)償模塊，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-9]、支持向量機(jī)[10-13](support vector machine,SVM)等技術(shù)訓(xùn)練相應(yīng)的映射網(wǎng)絡(luò)，在一定程度上能估計出信道模型，但訓(xùn)練計算量大、系統(tǒng)延時高，一般需對數(shù)據(jù)樣本遍歷150 000 次左右，無法適應(yīng)高速光系統(tǒng)。

本文構(gòu)建基于動量因子的判決引導(dǎo)的最小均方(momentum decision-directed least means-square，MDD-LMS)算法，從理論上論證了動量因子對此算法收斂性的影響，推導(dǎo)了動量因子與迭代步長之間的關(guān)系。結(jié)果表明，在基于OptiSystem的56 Gbaud雙偏振非歸零正交相移鍵控(non return zero-quadrature phase shift keying，NRZ-QPSK)相干光傳輸系統(tǒng)中，相比于其他盲均衡算法，MDD-LMS收斂速度明顯加快；在面對色散常數(shù)變化時，此算法具有良好的均衡性能。

1 算法結(jié)構(gòu)

在采用QPSK調(diào)制格式的光纖傳輸系統(tǒng)中，通過相干接收機(jī)前端完成光電轉(zhuǎn)換、模數(shù)轉(zhuǎn)換、正交歸一化、時鐘恢復(fù)等步驟后，在用于補(bǔ)償光纖線性損傷的接收機(jī)中進(jìn)行數(shù)字信號處理(流程如圖1所示)。

圖1 數(shù)字相干光接收機(jī)中DSP流程Fig. 1 DSP flow chart in digital coherent optical receiver

在數(shù)字相干光接收機(jī)中，CD對光纖通信系統(tǒng)的影響被建模[12]為

H(ω,z)=exp[-jK(ωT)2]，

(1)

(2)

式(1)和式(2)中：ω為等效基帶信號的角頻率，T為信號采樣周期,D為光纖色度色散常數(shù),λ為傳輸波長，z為傳輸距離，c為光速。

1.1 時域色散補(bǔ)償均衡器

高速光通信系統(tǒng)一般采用有限長單位沖激響應(yīng)(finite impulse response,FIR)的濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)償。補(bǔ)償可在頻域或時域進(jìn)行。將式(1)進(jìn)行傅里葉反變換，可得時域均衡器(time domain equalizer,TDE)的沖激響應(yīng)為

(3)

考慮到對信號的采樣頻率需滿足奈奎斯特抽樣定理，可得FIR濾波器抽頭系數(shù)為

(4)

N=2[2πK]+1。

對于色散常數(shù)恒定光纖模型，時域色散均衡器的抽頭權(quán)重模值恒定，其實(shí)部和虛部呈周期性變化。實(shí)際應(yīng)用中，F(xiàn)IR濾波器由于截斷效應(yīng)，導(dǎo)致經(jīng)過TDE后的信號中依然會存在一定值的殘余色散，一般通過后續(xù)自適應(yīng)均衡算法去除。

1.2 MDD-LMS算法理論與實(shí)現(xiàn)

圖2 TDE抽頭權(quán)值Fig. 2 TDE tap weights

DSP處理模塊中的均衡算法通過對接收信號x(n)抽樣后的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行“迫零”處理，從而消除ISI影響，下面推導(dǎo)其原理。

設(shè)發(fā)射信號s(n),經(jīng)過長度為L的離散信道傳輸后的接收信號可表示為

(5)

式中：hl為FIR離散信道單位沖激響應(yīng)；v(n)為加性高斯白噪聲(additive white gaussian noise,AWGN)?？紤]到抽頭數(shù)為2M+1的均衡濾波器單位沖激響應(yīng)為

(6)

(7)

將式(5)代入式(7)得

(8)

經(jīng)過變量代換l=k+i，得

(9)

式中f(n)為h(n)與w(n)線性卷積和；式中第一項(xiàng)與發(fā)射信號成比例，第二項(xiàng)為碼間串?dāng)_值，第三項(xiàng)為噪聲影響。為消除ISI，f(n)應(yīng)滿足

(10)

基于靜態(tài)色散補(bǔ)償?shù)腗DD-LMS算法流程如圖3所示。

圖3 MDD-LMS算法原理Fig. 3 Schematic diagram of MDD-LMS algorithm

利用信道盲均衡原理，構(gòu)建代價函數(shù)

(11)

JM(n)=J[w(n)]+αJ[w(n-1)]。

(12)

式(12)可化為

(13)

根據(jù)經(jīng)典維納濾波器理論，可求得橫向?yàn)V波器迭代公式為

(14)

w(n+1)=w(n)+μu(n)e*(n)+α[w(n)-w(n-1)]。

(15)

考慮到MDD-LMS算法性能以及動量因子α的選取，設(shè)ξwi=w(n+1)-w(n)，式(15)可表示為ξwi(n)=μe(n)u(n)+αξwi(n-1)，設(shè)γ(n)=e(n)u(n)，可得

(16)

式中引入α的冪次累加項(xiàng)，MDD-LMS算法初期收斂速度加快，追蹤能力加強(qiáng)；迭代近穩(wěn)態(tài)時，動量的引入可以幫助穩(wěn)定誤差曲線。由于存在非線性項(xiàng)，前向累加誤差難免會對收斂穩(wěn)態(tài)值產(chǎn)生一定波動。

本文在MATLAB中搭建224 Gbps NRZ-QPSK光纖傳輸信道，設(shè)置色散常數(shù)為16 ps/(nm·km-1)，傳輸距離為100 km，在OSNR為10 dB的情況下，比較傳統(tǒng)定步長DD-LMS算法與MDD-LMS算法的誤差曲線，如圖4和圖5所示。

圖4 MDD-LMS誤差曲線Fig. 4 MDD-LMS error curves

圖5 DD-LMS誤差曲線Fig. 5 DD-LMS error curves

可以看出，MDD-LMS算法收斂性優(yōu)于DD-LMS算法，然而穩(wěn)態(tài)誤差稍大一些。綜合來說，引入動量項(xiàng)的DD-LMS算法性能優(yōu)于傳統(tǒng)的DD-LMS算法。

增加動量項(xiàng)后，當(dāng)n→∞時，設(shè)理想抽頭權(quán)重為w0，定義權(quán)向量誤差為

ε(n)=wi(n)-w0。

(17)

由MDD-LMS算法迭代公式

(18)

考慮到高次動量項(xiàng)對收斂性能影響不大，保留一次動量項(xiàng)后可得

E{ε(n+1)}=E{ε(n)}-(μ+α)RE{ε(n)}。

(19)

即E{ε(n+1)}=[I-(μ+α)R]E{ε(n)}，其中I為單位矩陣，R為輸入向量u(n)的自相關(guān)矩陣?？傻貌介Lμ和α的關(guān)系為

(20)

式中λmax為R的最大特征值。

考慮到動量因子α決定MDD-LMS算法收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，迭代初期收斂速度是首要因素，待算法趨近穩(wěn)定后，使用動量因子幫助穩(wěn)定誤差。因此不同類型的動量因子對算法的優(yōu)化性能不盡相同，本文探究指數(shù)動量因子(exponential momentum factor)、線性動量因子(line momentum factor)、乘冪動量因子(power momentum factor)和有理函數(shù)動量因子(rational momentum factor)對DD-LMS算法收斂性的提升。不同類型的動量因子模型如圖6所示。

圖6 不同函數(shù)模型的動量因子Fig. 6 Momentum factors of different functional models

本文通過中心抽頭的收斂性，比較了MDD-LMS算法、傳統(tǒng)DD-LMS算法以及變步長DD-LMS算法(variable step-decision-directed least mean-square，VS-DD-LMS)。設(shè)置橫向?yàn)V波器抽頭數(shù)為13，迭代步長μ為0.000 1，α區(qū)間為[2×10-7，2×10-5],仿真結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，指數(shù)因子MDD-LMS算法迭代次數(shù)在4 000左右即可達(dá)到穩(wěn)態(tài)，而其他類型動量因子的DD-LMS需迭代近30 000次才趨近收斂。引入動量項(xiàng)對盲均衡算法收斂性的改善顯而易見。在高速光接收機(jī)中，盲均衡算法需在迭代前期快速收斂，動量項(xiàng)的引入提升了盲均衡算法的追蹤能力，動量因子α取值越大，收斂速度和追蹤性能提升越大，但這種優(yōu)化并非沒有代價，算法趨近穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)中會引入一定量的殘余誤差，此時可以通過迭代步長μ和動量加權(quán)因子α來改善穩(wěn)態(tài)性能，因此盲均衡算法迭代初期采用較大的α用于提升算法跟蹤速度；待系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，通過動量因子α的衰減來控制穩(wěn)態(tài)誤差。由圖5和圖6可得，對比不同類型的動量因子，無論是在收斂速度還是在穩(wěn)態(tài)誤差控制方面，指數(shù)動量因子衰減模型相較于其他類型動量因子模型更加契合盲均衡算法。

圖7 動量因子對自適應(yīng)均衡器中心抽頭收斂性影響Fig. 7 Influence of momentum factor on center tap convergence of adaptive equalizer

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 誤碼率分析

本文數(shù)字相干光接收機(jī)采用單載波224 Gib/s的傳輸方案。仿真實(shí)驗(yàn)基于Matlab和OptiSystem光學(xué)仿真軟件，考慮到實(shí)際相干光系統(tǒng)，采用標(biāo)準(zhǔn)單模光纖(single mode fiber,SMF)，使其工作波長位于1 550 nm處，SMF中一般色度色散常數(shù)為16 ps/(nm·km-1)，考慮到傳輸距離增大時，二階色散對傳輸信號影響加劇，設(shè)置二階色散常數(shù)為0.075 ps/(nm2·km-1)。由光纖Kerr效應(yīng)引起的非線性損傷[14-18]，在傳輸光功率較小時忽略不計，其他仿真參數(shù)如表1所示。

表1 相干傳輸系統(tǒng)仿真參數(shù)

在未添加前向糾錯碼[19-22](forward error correction,FEC)的情況下,設(shè)置光纖長度為500 km，MDD-LMS算法迭代步長為0.000 1，動量因子為指數(shù)模型，忽略偏振模色散(polarization mode dispersion,PMD)的影響，測試所得光信噪比與誤碼率如圖8所示。

圖8 光信噪比與BER的關(guān)系Fig. 8 Relation diagram of OSNR ratio and BER

圖8分別對比了時域色散補(bǔ)償FIR濾波器性能和添加DD-LMS或MDD-LMS自適應(yīng)濾波器后色散均衡器的性能，同時對比參考了背靠背(back-to-back,BTB)情況下系統(tǒng)的誤碼率?？梢钥闯觯诘蚈SNR情況下，各類算法差距不大，而TDE模塊由于其本身FIR濾波器特性限制，無法完全均衡靜態(tài)色散影響，在OSNR為10 dB之后性能逐漸下降，20 dB情況下誤碼率達(dá)到4.57×10-3。在TDE后端增加MDD-LMS算法模塊后，隨著OSNR增大，系統(tǒng)的誤碼率下降較為明顯，在20 dB時，BER降低到3.707×10-5，相比傳統(tǒng)TDE模塊，系統(tǒng)誤碼率下降了約2 dB。結(jié)果證明添加MDD-LMS算法后的均衡方案對光纖信道中的靜態(tài)色散損傷具有較好的補(bǔ)償作用。圖8同時對比了DD-LMS算法和MDD-LMS算法的BER性能。由于本身的盲均衡特性，MDD-LMS的BER浮動在-0.354 8 dB左右,與DD-LMS算法類似，2種算法的BER曲線圖存在一定的波動，但總體差異不大。從實(shí)際工程角度而言，指數(shù)因子MDD-LMS算法由于在收斂速度和追蹤性能上的優(yōu)勢，更適用于實(shí)際高速光傳輸系統(tǒng)。

圖9 光信噪比為15 dB情況下光纖長度與誤碼率的關(guān)系Fig. 9 Relation diagram of fiber length and bit error rate at optical signal-to-noise ratio of 15 dB

考慮到單模光纖中色散參數(shù)D與光纖長度有關(guān)，本文同時測試了傳輸距離對MDD-LMS算法的影響，結(jié)果如圖9所示。圖9對比了在光信噪比為15 dB的情況下，添加MDD-LMS算法模塊對TDE的影響。TDE模塊隨著傳輸距離逐漸增大，誤碼率有一定的上升趨勢。而MDD-LMS由于其本身具有較強(qiáng)的抗干擾能力，總體誤碼率處在一定范圍之內(nèi)，在色散信道中具有較好的魯棒性。在傳輸距離為1 000 km時，其誤碼率可達(dá)到10-2。

2.2 計算復(fù)雜度比較

本文從各類算法的均衡過程來分析TDE、DD-LMS、MDD-LMS算法實(shí)現(xiàn)的計算復(fù)雜度，設(shè)輸入信號長度為M，自適應(yīng)橫向?yàn)V波器長度為L，分析結(jié)果如表2所示。

表2 各類均衡算法計算復(fù)雜度

本文所搭建的單載波56 Gbaud PM-QPSK系統(tǒng)中，在傳輸距離為1 000 km的情況下，由式(4)計算出TDE所需抽頭數(shù)為N=1 683個，其均衡靜態(tài)色散所需計算量為N與信號長度M的卷積運(yùn)算。后續(xù)添加的DD-LMS算法所設(shè)置的抽頭數(shù)為L=13，根據(jù)經(jīng)典盲均衡算法迭代過程，單次迭代所需計算量僅為2L次乘法運(yùn)算和2L-1次加法運(yùn)算。MDD-LMS算法引入動量因子后在原有DD-LMS算法的基礎(chǔ)上僅增加了2L次加法運(yùn)算和L次乘法運(yùn)算，增加后的計算總量約為TDE的1.5%。在幾乎沒有提升接收機(jī)計算復(fù)雜度的條件下，MDD-LMS算法有效地抑制了殘余色散的影響，證明本算法在實(shí)際系統(tǒng)中的可行性。

3 結(jié)語

本文采用動量因子改進(jìn)了盲信號處理理論中的判決引導(dǎo)算法，通過仿真實(shí)現(xiàn)了MDD-LMS算法模塊在單載波傳輸速率為224 Gib/s的高速光接收機(jī)色度色散補(bǔ)償中的應(yīng)用。指數(shù)因子MDD-LMS算法與傳統(tǒng)DD-LMS算法在色散均衡方面性能相近，能有效地降低光纖中色度色散的影響;但指數(shù)因子MDD-LMS算法的收斂速度僅約為DD-LMS算法的1/10，其跟蹤能力方面遠(yuǎn)優(yōu)于VS-DD-LMS和其他類型MDD-LMS算法，更適合高速光接收機(jī)。由于實(shí)際光纖通信系統(tǒng)信道的復(fù)雜度和當(dāng)前電子器件工作頻率限制，后續(xù)改進(jìn)算法還需針對系統(tǒng)的穩(wěn)定性加以研究。