劉慧娟,張 千,宋騰飛,張振洋

(北京交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，北京 100044)

長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)(Double-sided Linear Induction Motor，DLIM)的次級(jí)質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可靠性高，適用于航母艦載機(jī)電磁發(fā)射、無人機(jī)彈射、碰撞試驗(yàn)系統(tǒng)等短距離大加速度的應(yīng)用領(lǐng)域[1-2].

針對(duì)大推力電磁彈射用長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)，文獻(xiàn)[3-4]提出了多定子共用同一次級(jí)的電機(jī)結(jié)構(gòu)，并分析了定子之間的耦合作用.文獻(xiàn)[5]分析的十二相長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)，相較于多定子電機(jī)，降低了電機(jī)的損耗，提高了效率，并解決了彈射系統(tǒng)中電力電子器件容量和系統(tǒng)冗余等關(guān)鍵問題.文獻(xiàn)[6]提出的發(fā)卡式全填充繞組及開槽次級(jí)結(jié)構(gòu)提升了長(zhǎng)初級(jí)DLIM的功率密度，減小了推力波動(dòng).文獻(xiàn)[7]對(duì)比了柵格次級(jí)和平板次級(jí)電機(jī)的性能，得出采用柵格次級(jí)能有效規(guī)范橫向氣隙磁場(chǎng)，提高電機(jī)的力功比[7].求解直線感應(yīng)電機(jī)電磁性能、對(duì)電機(jī)性能優(yōu)化設(shè)計(jì)主要采用有限元法(Finite Element Method，F(xiàn)EM)和解析計(jì)算兩種方法[8-9].其中等效電路是解析計(jì)算的主要方法[3,5,10]，能直觀反映電機(jī)的阻抗參數(shù)[11].對(duì)長(zhǎng)初級(jí)直線感應(yīng)電機(jī)的研究，次級(jí)長(zhǎng)通常為整數(shù)極距，且以初級(jí)作為運(yùn)動(dòng)參考坐標(biāo)系建立其矢量磁位方程[12-15]，求解等效電路參數(shù)并計(jì)算其性能.采用初級(jí)作為運(yùn)動(dòng)參考系雖能有效地反映電機(jī)的穩(wěn)態(tài)推力性能，由于沒有考慮邊界條件隨次級(jí)運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)生變化，導(dǎo)致解析計(jì)算求解的推力波動(dòng)頻率主要為兩倍電源頻率，與實(shí)際為兩倍滑差頻率不符[16-17]，且計(jì)算電機(jī)推力忽略了后退行波磁場(chǎng)的影響[16].文獻(xiàn)[18]通過解析計(jì)算說明了后退行波磁場(chǎng)在調(diào)速范圍內(nèi)對(duì)氣隙磁場(chǎng)以及推力特性的影響.

與短初級(jí)直線電機(jī)結(jié)構(gòu)不同，長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)的次級(jí)為長(zhǎng)度有限的金屬板，因此其長(zhǎng)度可為非整數(shù)極距的任意值.然而，次級(jí)的長(zhǎng)度對(duì)電機(jī)推力性能的影響，鮮有學(xué)者關(guān)注.長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)的次級(jí)長(zhǎng)為非整數(shù)極距時(shí)，正常行波磁場(chǎng)產(chǎn)生的電磁推力還包含一定幅值的推力波動(dòng).因此，為考慮次級(jí)的長(zhǎng)度對(duì)長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)穩(wěn)態(tài)推力以及推力波動(dòng)的影響，以長(zhǎng)初級(jí)DLIM的次級(jí)為運(yùn)動(dòng)參考系建立求解模型，基于文獻(xiàn)[18]，本文作者首先推導(dǎo)了恒流源供電時(shí)非整數(shù)極距次級(jí)DLIM的氣隙磁場(chǎng)、次級(jí)電密的實(shí)數(shù)域表達(dá)式，并分析氣隙行波磁場(chǎng)和次級(jí)電密的分布特點(diǎn).其次，求解了氣隙磁場(chǎng)分量和次級(jí)電密分量?jī)蓛上嗷プ饔卯a(chǎn)生的電磁推力以及其波動(dòng)的表達(dá)式.計(jì)算了各電磁推力分量的特性曲線，定量分析了由端部效應(yīng)產(chǎn)生的推力對(duì)合成電磁推力的作用.最后，通過有限元電機(jī)模型計(jì)算的結(jié)果驗(yàn)證解析方法求解的電磁推力表達(dá)式的正確性.

1 氣隙磁密

1.1 氣隙磁通密度表達(dá)式

非整數(shù)極距次級(jí)DLIM截面如圖1所示，圖1中，L1為每段初級(jí)長(zhǎng)度，L2為次級(jí)長(zhǎng)度.根據(jù)假設(shè)條件[16]建立的以次級(jí)板為運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的電機(jī)數(shù)學(xué)模型如圖2所示，模型由初、次級(jí)耦合區(qū)Ⅰ，無次級(jí)的非耦合區(qū)Ⅱ和Ⅲ組成.

圖1 非整數(shù)極距次級(jí)DLIM橫截面示意圖Fig.1 Cross section of long primary DLIM with secondary of non-integral pole pitch length

圖2 非整數(shù)極距次級(jí)電機(jī)數(shù)學(xué)模型Fig.2 Mathematical model of DLIM with secondary of non-integral pole pitch length

根據(jù)麥克斯韋方程組[21]，建立氣隙磁場(chǎng)微分方程，并帶入相應(yīng)邊界條件，求得耦合區(qū)域0

(1)

(2)

式中：s為滑差率；ω為電源角頻率；μ0為真空磁導(dǎo)率；δ為等效電磁氣隙長(zhǎng)度；m1為相數(shù)；τ為極距；σs為次級(jí)導(dǎo)體面電導(dǎo)率；J1為初級(jí)電流層密度；G為電機(jī)的品質(zhì)因數(shù).

非整數(shù)極距次級(jí)DLIM耦合區(qū)I中的氣隙磁場(chǎng)與整數(shù)極距次級(jí)電機(jī)的磁場(chǎng)相似[18]，其中B1y1為正常行波磁場(chǎng)，B1y2為前進(jìn)行波磁場(chǎng)，B1y3為后退行波磁場(chǎng).不同的是，整數(shù)極距次級(jí)長(zhǎng)為2pτ，極對(duì)數(shù)p為整數(shù)，后退磁場(chǎng)B1y3相位中kL2=2pπ，因而可忽略不計(jì).

非耦合區(qū)域Ⅱ、Ⅲ中氣隙磁場(chǎng)與次級(jí)長(zhǎng)無關(guān)，其實(shí)數(shù)域表達(dá)式為

(3)

1.2 氣隙磁場(chǎng)分布

以表1中電機(jī)參數(shù)為例，分析非整數(shù)極距次級(jí)電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布特征以及力特性.

表1 長(zhǎng)初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)參數(shù)

耦合區(qū)Ⅰ以及次級(jí)兩端非耦合區(qū)Ⅱ、Ⅲ的氣隙磁通密度分布如圖3所示，端部效應(yīng)導(dǎo)致耦合區(qū)域氣隙磁場(chǎng)在縱向存在畸變，氣隙磁場(chǎng)的端部效應(yīng)分量集中在次級(jí)兩端一對(duì)極距范圍內(nèi).

圖3 氣隙磁場(chǎng)分布Fig.3 Distribution of air gap flux density

不同滑差率時(shí),合成氣隙磁場(chǎng)幅值包絡(luò)線如圖4所示，圖中0≤x≤0.48 m為初、次級(jí)耦合區(qū)域.耦合區(qū)內(nèi)磁通密度幅值隨滑差增大而減小，由于非耦合區(qū)域存在激勵(lì)，次級(jí)兩端的磁通密度幅值接近空載氣隙磁通密度幅值.x<0 m以及x>0.48 m的非耦合區(qū)內(nèi)氣隙磁通密度幅值與滑差大小無關(guān).

由于氣隙磁通密度中僅B1y3的相位與次級(jí)長(zhǎng)度相關(guān)，因此次級(jí)長(zhǎng)僅影響合成氣隙磁場(chǎng)出端相位，而不影響其幅值.與文獻(xiàn)[18]對(duì)比分析表明，非整數(shù)極距次級(jí)DLIM與常規(guī)整數(shù)極距次級(jí)DLIM在耦合區(qū)內(nèi)的氣隙磁通密度的分布規(guī)律一致.

圖4 合成氣隙磁通密度包絡(luò)線Fig.4 Envelopes of air gap flux density

2 次級(jí)電密

2.1 次級(jí)電密表達(dá)式

根據(jù)建立的磁場(chǎng)微分方程求得次級(jí)電密實(shí)數(shù)域表達(dá)式為

(4)

次級(jí)電密由正常分量j21、前進(jìn)分量j22和后退分量j23組成.前進(jìn)電密分量和后退電密分量的衰減時(shí)間常數(shù)均為1/α.

2.2 次級(jí)電密分布

根據(jù)式(4)可得次級(jí)電密的時(shí)間、空間分布如圖5所示.次級(jí)電密為時(shí)間的正弦函數(shù)，空間上由于存在端部效應(yīng)，在次級(jí)的出端和入端一對(duì)極距范圍內(nèi)存在較顯著的畸變.

圖5 次級(jí)電密分布Fig.5 Secondary current density distribution

滑差變化時(shí)次級(jí)電密幅值沿次級(jí)運(yùn)動(dòng)方向(縱向)分布如圖6(a)所示，滑差s=0時(shí)，次級(jí)與初級(jí)磁場(chǎng)無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，次級(jí)板中電密為0 A/m2.滑差率較小時(shí)，次級(jí)電密的后退分量增加出端電密幅值，前進(jìn)分量減小了入端電密幅值，由于衰減時(shí)間常數(shù)1/α較大，前進(jìn)和后退電密分量衰減較慢.滑差較大時(shí)，端部效應(yīng)同時(shí)增大出端和入端電密幅值，此時(shí)衰減時(shí)間常數(shù)1/α較小，次級(jí)電密較快衰減至正常電密分量幅值；電機(jī)堵動(dòng)，即s=1時(shí)，次級(jí)電密最大幅值在次級(jí)出端，其值超過正常分量的幅值兩倍以上.

滑差率為0.2時(shí)，不同長(zhǎng)度次級(jí)的電密縱向分布見圖6(b).由于次級(jí)電密的正常分量幅值為恒定值，前進(jìn)、后退分量幅值在次級(jí)兩端一對(duì)極距范圍內(nèi)均能衰減至較小值，而衰減時(shí)間常數(shù)1/α與次級(jí)長(zhǎng)度無關(guān)，因此，不同長(zhǎng)度次級(jí)電機(jī)的電密分布趨勢(shì)是一致的.

圖6 次級(jí)電密縱向分布Fig.6 Longitudinal distribution of secondary current density

3 電磁推力

非整數(shù)極距次級(jí)的雙邊直線感應(yīng)電機(jī)的電磁推力為

(5)

式中：2a為初級(jí)鐵心寬度.推力表達(dá)式中除了含有恒定的推力Fem外，還含有不產(chǎn)生時(shí)間平均推力波動(dòng)分量Fe.

3.1 穩(wěn)態(tài)電磁推力表達(dá)式

求解式(5)可得，考慮縱向端部效應(yīng)前進(jìn)行波磁場(chǎng)和后退行波磁場(chǎng)所產(chǎn)生的總穩(wěn)態(tài)電磁推力可表示為

(6)

其中，基本行波磁場(chǎng)與正常電密、前進(jìn)電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem11、Fem12、Fem13分別為

(7)

f11為正常行波推力密度，正常行波推力Fem11與次級(jí)板的長(zhǎng)度成正比.

前進(jìn)行波磁場(chǎng)與正常電密、前進(jìn)電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem21、Fem22、Fem23分別為

(8)

后退行波磁場(chǎng)與正常電密、前進(jìn)電密、后退電密分量產(chǎn)生的電磁推力Fem31、Fem32、Fem33分別為

(9)

式中

(10)

推力分量Fem12、Fem13、Fem21、Fem31中包含衰減系數(shù)e-α的項(xiàng)的數(shù)值接近0N，可忽略不計(jì).所有推力分量均可由正常行波推力密度表示.

除正常行波推力Fem11外，各推力分量之和為端部效應(yīng)力Fend.

Fend=Fem12+Fem13+Fem21+Fem22+

Fem23+Fem31+Fem32+Fem33

(11)

滑差率s≠0時(shí)，端部效應(yīng)力不為0，表明縱向端部效應(yīng)影響電機(jī)的輸出推力.

3.2 穩(wěn)態(tài)推力特性分布

由式(7)～(11)可得，次級(jí)長(zhǎng)度為0.48 m時(shí)，端部效應(yīng)力及各分量、正常行波電磁推力Fem11以及輸出電磁推力Fem等電磁力特性曲線如圖7所示.

正常行波磁場(chǎng)與次級(jí)電密的前進(jìn)、后退分量產(chǎn)生的電磁力Fem12、Fem13與正常行波推力Fem11方向相反，為減弱正常行波推力的制動(dòng)力.由衰減方向相反的氣隙磁場(chǎng)和次級(jí)電密分量積分得到的電磁力分量Fem23、Fem32的數(shù)值遠(yuǎn)小于其他電磁力分量，約等于0N，對(duì)合力貢獻(xiàn)可忽略不計(jì).Fem21的方向與k-α有關(guān)，α

因此，電機(jī)的穩(wěn)態(tài)電磁推力求解可簡(jiǎn)化為

Fem=Fem11+Fem12+Fem13+Fem21+Fem31

(12)

端部效應(yīng)力Fend可簡(jiǎn)化為

Fend=Fem12+Fem13+Fem21+Fem31

(13)

隨滑差增大，端部效應(yīng)力Fend，先增大后減小，主要表現(xiàn)為阻礙次級(jí)運(yùn)動(dòng)的制動(dòng)力.

圖7 電磁力特性曲線Fig.7 Characteristic curves of electromagnetic force components

保持磁動(dòng)勢(shì)幅值和次級(jí)長(zhǎng)度不變，極距變化時(shí)，可知次級(jí)長(zhǎng)度不恒為整數(shù)極距.不同極距電機(jī)的推力特性曲線如圖8所示.

圖8 不同極距電機(jī)的推力特性曲線Fig.8 Thrust characteristic curves of motors with different pole pitch

由于初級(jí)電流層密度與極距成反比[17-18]，系數(shù)k與極距成反比，等效電磁氣隙隨極距增大有較小幅度減小，由式(7)可知，對(duì)推力起主導(dǎo)作用的正常行波推力最大值與極距成反比，正常行波推力與滑差以及極距的關(guān)系為

(14)

因此推力特性隨極距變大而變軟，最大電磁推力隨著極距增大而減小.

3.3 推力波動(dòng)表達(dá)式

求解式(5)可得，推力波動(dòng)Fe包含的9種分量為

(15)

基本行波磁場(chǎng)與正常、前進(jìn)、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動(dòng)Fe11、Fe12、Fe13分別為

(16)

前進(jìn)行波磁場(chǎng)與正常、前進(jìn)、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動(dòng)Fe21、Fe12、Fe23分別為

(17)

后退行波磁場(chǎng)與正常、前進(jìn)、后退電密分量產(chǎn)生的推力波動(dòng)Fe31、Fe12、Fe23分別為

(18)

氣隙磁場(chǎng)分量與次級(jí)電密分量?jī)蓛上嗷プ饔卯a(chǎn)生的推力波動(dòng)分量可使用正常行波推力密度f(wàn)11表示，推力波動(dòng)頻率均為兩倍滑差頻率，與短初級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)推力波動(dòng)頻率為兩倍頻不同[17].

3.4 推力波動(dòng)

根據(jù)式(16)～(18)繪制的推力波動(dòng)的瞬時(shí)波形如圖9所示.當(dāng)次級(jí)長(zhǎng)度為非整數(shù)極距時(shí)，正常行波磁場(chǎng)與次級(jí)電密正常分量作用產(chǎn)生的正常行波推力波動(dòng)Fe11不為0，即正常行波磁場(chǎng)也產(chǎn)生一定幅值推力波動(dòng)，而當(dāng)次級(jí)長(zhǎng)度為整數(shù)極距時(shí)，該項(xiàng)值為0N.波動(dòng)分量中Fe23和Fe32分別由衰減方向相反的前進(jìn)行波磁場(chǎng)與電密后退分量、后退行波磁場(chǎng)與電密前進(jìn)分量相互作用產(chǎn)生，二者的波動(dòng)幅值近似為0N，對(duì)總推力波動(dòng)基本無影響.

正常和后退行波磁場(chǎng)產(chǎn)生的推力波動(dòng)Fe11+Fe12+Fe13、Fe31+Fe33構(gòu)成了總推力波動(dòng)Fe主要部分，前進(jìn)行波磁場(chǎng)產(chǎn)生的波動(dòng)幅值較小.各推力波動(dòng)分量中，由正常行波磁場(chǎng)與電密后退分量產(chǎn)生波動(dòng)Fe13以及后退行波磁場(chǎng)與電密正常分量產(chǎn)生波動(dòng)Fe31幅值較大，是推力波動(dòng)主要來源.

圖9 推力波動(dòng)的瞬時(shí)波形Fig.9 Transient waveform of thrust ripple

保持磁動(dòng)勢(shì)幅值和次級(jí)長(zhǎng)度不變，極距變化時(shí)，推力波動(dòng)隨極距增大呈現(xiàn)發(fā)散上升趨勢(shì)，如圖10所示.次級(jí)長(zhǎng)度不變時(shí)，減小極距，極數(shù)相應(yīng)增多，可減小推力波動(dòng).減小極距雖然能降低推力波動(dòng)，但過小的極距會(huì)給電機(jī)制造帶來困難，因此極距的選擇需要綜合考慮各方面約束條件.

圖10 不同極距電機(jī)的推力波動(dòng)Fig.10 Thrust ripple of motors varies with pole pitch

4 推力特性比較驗(yàn)證

通過FEM瞬態(tài)場(chǎng)仿真模型計(jì)算了非整數(shù)極距次級(jí)雙邊直線感應(yīng)電機(jī)的電磁推力和推力波動(dòng)特性曲線，以驗(yàn)證解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性.

4.1 計(jì)算電磁推力比較

次級(jí)長(zhǎng)度分別為整數(shù)極距528 mm和非整數(shù)極距480 mm時(shí)，通過解析表達(dá)式計(jì)算的推力特性曲線與有限元計(jì)算的結(jié)果如圖11(a)所示，解析法與有限元法計(jì)算結(jié)果吻合.有限元仿真計(jì)算的推力證實(shí)了推導(dǎo)的電磁推力解析表達(dá)式的正確性.

滑差率分別為0.1和0.2時(shí)，兩種方法計(jì)算的電磁推力隨次級(jí)長(zhǎng)度變化如圖11(b).由于次級(jí)長(zhǎng)度通常大于2對(duì)極，端部效應(yīng)力幅值與次級(jí)長(zhǎng)度無關(guān)，端部效應(yīng)力基本不受次級(jí)長(zhǎng)度影響，且正常行波推力正比于次級(jí)長(zhǎng)度，因此推力隨次級(jí)長(zhǎng)度線性增加.

圖11 推力有限元驗(yàn)證Fig.11 Verification of analytical thrust by FEM

4.2 計(jì)算推力波動(dòng)比較

次級(jí)長(zhǎng)度分別528 mm和480 mm時(shí)的推力波動(dòng)特性曲線如圖12所示.

圖12 電磁推力波動(dòng)驗(yàn)證Fig.12 Verification of thrust ripple by FEM

兩種次級(jí)長(zhǎng)度電機(jī)的推力波動(dòng)滑差特性曲線的趨勢(shì)與推力特性曲線一致，在電機(jī)穩(wěn)定工作區(qū)，推力波動(dòng)隨滑差增大而增大.

電源頻率和滑差率一定時(shí)，推力波動(dòng)值是次級(jí)長(zhǎng)度的正弦函數(shù)，其周期為一個(gè)極距.次級(jí)長(zhǎng)度為非整數(shù)極距，若長(zhǎng)度取值合適，正常行波推力波動(dòng)可抵消一部分端部效應(yīng)推力波動(dòng)，從而獲得比次級(jí)長(zhǎng)為整數(shù)極距時(shí)更小的推力波動(dòng)值.

由于在解析計(jì)算過程中做了一定合理的假設(shè)，因而解析法計(jì)算的電磁推力、推力波動(dòng)與仿真結(jié)果之間存在一定的誤差.

5 結(jié)論

1)氣隙磁通密度的時(shí)空分布規(guī)律與次級(jí)長(zhǎng)度無關(guān)；端部效應(yīng)的存在增加次級(jí)出端電密幅值，減小入端電密幅值.

2)次級(jí)長(zhǎng)度為非整數(shù)極距時(shí)，端部效應(yīng)電磁力在電機(jī)穩(wěn)定工作區(qū)表現(xiàn)為阻礙次級(jí)前進(jìn)的制動(dòng)力.正常行波磁場(chǎng)和后退行波磁場(chǎng)是推力波動(dòng)的重要來源.

3)次級(jí)長(zhǎng)度不為整數(shù)極距時(shí)，正常行波磁場(chǎng)和電密正常分量產(chǎn)生一定幅值的波動(dòng)分量.極距一定時(shí)，合適的次級(jí)長(zhǎng)度可有效減小電機(jī)的推力波動(dòng).次級(jí)長(zhǎng)一定時(shí)，合適的極距也可有效減小推力波動(dòng).