陸曉丹，張港

（1.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018；2.浙江同濟科技職業(yè)學(xué)院，杭州 311231）

0 引言

爬壁機器人可以協(xié)助人們在復(fù)雜危險的環(huán)境中進行工作，應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，因此在材料學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、現(xiàn)代科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域等受到廣泛關(guān)注。研制爬壁機器人有兩個最需要考慮的因素：一個是爬壁機器人的移動方式；另一個是爬壁機器人的吸附方式[1]。從爬壁機器人的吸附方式上來說，主要可以分為真空吸附、磁吸附、仿生吸附、背推式吸附[2-5]。本文主要從運動機能上研究爬壁機器人。根據(jù)移動方式的不同，爬壁機器人主要分為輪式、履帶式和足式[6]。各種移動方式的對比如表1所示。

表1 不同移動方式對比

未來爬壁機器人的研制將朝著靈活性高、體型小、操作智能化等方向發(fā)展。目前，輪式和履帶式爬壁機器人已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，而四足式仿壁虎型爬壁機器人具有得天獨厚的優(yōu)勢，從而在實際的應(yīng)用中能得到更為廣闊的發(fā)展[7]，因此本文以美國斯坦福大學(xué)研制的四足式仿壁虎型StickyBot III爬壁機器人[8]（如圖1）為研究對象。

圖1 StickyBotIII爬壁機器人

爬壁機器人系統(tǒng)動力學(xué)模型的建立，有助于分析爬壁機器人的性能，設(shè)計控制算法及評估機器人移動位置所需要的關(guān)節(jié)力矩等，可以為未來爬壁機器人的動態(tài)優(yōu)化、控制算法、智能化和路徑規(guī)劃等提供強有力的理論支撐[9]。建立動力學(xué)方程的方法有很多種，許多國內(nèi)外學(xué)者對不同類型的爬壁機器人采用多樣的方法進行動力學(xué)分析并得到相應(yīng)的動力學(xué)方程，在此做一些簡單介紹。Xu等[10]利用牛頓力學(xué)的方法建立了輪式爬壁機器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程，分別對系統(tǒng)處于光滑面和越障兩種不同狀態(tài)進行受力分析，建立了越障過程中系統(tǒng)的車輪和機身動力學(xué)方程；岳榮剛等[11]以City-Climber履帶式爬壁機器人為原型，利用牛頓力學(xué)的方法，建立了該機器人在地面、垂直墻壁和天花板不同環(huán)境下的動力學(xué)方程，該方程的建立為City-Climber機器人的路徑規(guī)劃和避障問題提供了良好的解決方案，但上述兩個建模過程都較為復(fù)雜。徐亞茹等[12-13]利用U-K方程建立了輪式爬壁機器人的解析動力學(xué)方程。事實上，利用U-K方程進行建模需先利用Lagrange力學(xué)法建立系統(tǒng)在未受約束情況下的動力學(xué)方程[14]，進而利用U-K方程建立該系統(tǒng)的動力學(xué)方程；并且徐在建模過程中并未考慮輪子與壁面之間摩擦力和輪子的轉(zhuǎn)動慣量，但在實際情況中，這兩個是必須考慮的因素，因此本文將該因素考慮其中，以增強模型的適應(yīng)性。此外還有學(xué)者利用D-H法、牛頓-歐拉法等[15-18]建立了爬壁機器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

以上幾個典例是構(gòu)建爬壁機器人系統(tǒng)動力學(xué)方程的幾種常見的方法，但可以看到，其過程都較為復(fù)雜，且爬壁機器人系統(tǒng)是一個復(fù)雜的多體約束力學(xué)系統(tǒng)，利用牛頓力學(xué)法對其受力分析時也較容易出錯。本文利用Lagrange力學(xué)分析法，將爬壁機器人看作一個系統(tǒng)，選用廣義坐標，計算該系統(tǒng)的動能和勢能，定義系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)，寫出系統(tǒng)的非完整約束方程，并計算系統(tǒng)受到的外力和耗散函數(shù)，最后給出爬壁機器人系統(tǒng)的廣義Lagrange方程。

1 爬壁機器人的動力學(xué)分析

1.1 爬壁機器人四肢動力學(xué)分析

首先計算爬壁機器人系統(tǒng)四肢相對于身體的坐標和速度。

根據(jù)爬壁機器人的肢體形態(tài)特點，考慮爬壁機器人的運動形態(tài)，為簡化起見，將爬壁機器人系統(tǒng)四肢各關(guān)節(jié)看成是1個自由度的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，并將爬壁機器人的單支腿簡化為如圖2所示，簡化結(jié)構(gòu)由身體0、股骨1、脛骨2和腳掌3組成。

圖2 單肢結(jié)構(gòu)簡圖

其中構(gòu)件1和構(gòu)件0的連接處為髖關(guān)節(jié)，構(gòu)件1和構(gòu)件2的連接處為膝關(guān)節(jié)，構(gòu)件2和構(gòu)件3的連接處為踝關(guān)節(jié)。定義θ3j-1、θ3j-2、θ3j等四肢各關(guān)節(jié)的傾斜角度（其中j為爬壁機器人四肢的數(shù)量）。為方便起見，假設(shè)爬壁機器人系統(tǒng)四肢各關(guān)節(jié)長度相等為l，質(zhì)量相等為m′，同時引入qi=θi（i=1，2，…，15）作為廣義坐標，并用廣義坐標表示直角坐標。

那么，爬壁機器人的股骨相對于身體的質(zhì)心坐標可用廣義坐標表示為：

脛骨相對于身體的質(zhì)心坐標可用廣義坐標表示為：

1.2 爬壁機器人機身動力學(xué)分析

接下來研究運動過程中爬壁機器人機身中心位置坐標及速度變化。

爬壁機器人的工作環(huán)境一般為豎直的平面、圓柱面和圓錐面等，本文基于圓錐壁面的工作環(huán)境下討論，因為圓錐壁面較其他壁面復(fù)雜，所以只要解決了爬壁機器人在圓錐壁面上的運動學(xué)原理，那么在其余工作環(huán)境下的運動學(xué)問題也就迎刃而解?，F(xiàn)將爬壁機器人的工作壁面的圖形簡要畫出（如圖3）。

圖3 爬壁機器人工作壁面簡圖

在地面中心創(chuàng)建一個固定的笛卡爾坐標系{x，y，z}，則在圓錐壁面工作環(huán)境下，爬壁機器人的質(zhì)心位置根據(jù)幾何學(xué)可用下面的公式表示：

1.3 爬壁機器人系統(tǒng)動力學(xué)分析

設(shè)爬壁機器人在攀爬過程中不發(fā)生側(cè)滑，只存在靜摩擦，可以得到非完整約束條件為

2 爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程

2.1 爬壁機器人系統(tǒng)的Routh方程

采用Lagrange乘子法，得到非完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程，即Routh方程為：

式中：Qi=Qi（t，q，q˙）為非完整爬壁機器人系統(tǒng)的非勢廣義力；F為爬壁機器人4條腿各關(guān)節(jié)之間的摩擦耗散函數(shù)，假設(shè)爬壁機器人系統(tǒng)腳掌與地面之間的平動和轉(zhuǎn)動的摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，因此爬壁機器人系統(tǒng)的摩擦耗散函數(shù)為

其中，vc3j-2、vc3j-1、vc3j分別為爬壁機器人系統(tǒng)中四肢各關(guān)節(jié)中心位置的速度。

2.2 爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange方程

設(shè)系統(tǒng)（16）非奇異，即det（?2L/?q˙s?q˙k）≠0（s，k=1，2，…，15），則由式（10）和式（16）可求出所有λj=λj（t，q，q˙），（j=1，2，3，4），式（16）便可寫為

式中：

式中，Λi為廣義約束反力。

式（19）為非完整爬壁機器人系統(tǒng)方程式（10）和式（16）相應(yīng)的完整系統(tǒng)的運動微分方程，即Lagrange方程。

3 爬壁機器人系統(tǒng)的廣義Lagrange算例

通過以上討論，已經(jīng)得出非完整爬壁機器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Lagrange函數(shù)及非完整爬壁機器人系統(tǒng)Routh方程式（16）和相應(yīng)完整系統(tǒng)的Lagrange方程式（19）?，F(xiàn)給出圓錐壁面上具體的廣義Lagrange方程。將式（10）、式（15）、式（18）代入式（16）得：

4 結(jié)論

本文將Lagrange力學(xué)法引入到四足式爬壁機器人系統(tǒng)，根據(jù)爬壁機器人系統(tǒng)運動過程分析了爬壁機器人系統(tǒng)的動能、勢能及所受的非完整約束，給出爬壁機器人系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)并建立了該系統(tǒng)廣義Lagrange方程。在最后給出爬壁機器人系統(tǒng)廣義Lagrange算例，求出在圓錐壁面上非完整爬壁機器人的Lagrange乘子（24），得到非完整爬壁機器人系統(tǒng)相應(yīng)完整爬壁機器人系統(tǒng)的運動微分方程即Lagrange方程。利用Lagrange力學(xué)方法研究四足式爬壁機器人系統(tǒng)更為簡便，形式上也具有較高的統(tǒng)一性。

在本文取得成果的基礎(chǔ)上，可以引入Lie群分析法，建立該系統(tǒng)的對稱性理論，得到相應(yīng)守恒量，從而得出爬壁機器人系統(tǒng)的運動規(guī)律。