傅景禮 陸曉丹 項(xiàng) 春

* (山東外事職業(yè)大學(xué)信息與控制工程學(xué)院，山東威海 264504)

? (浙江水利水電學(xué)院機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，杭州 310018)

** (浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)物理研究所，杭州 310018)

1 引言

柔性機(jī)器人可以應(yīng)用到很多復(fù)雜和危險(xiǎn)的環(huán)境中.關(guān)于柔性機(jī)器人的研究已經(jīng)逐漸成為數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)等學(xué)科的熱門(mén)研究課題[1-7].

在柔性機(jī)器人的研究中,一種爬壁機(jī)器人受到關(guān)注.21 世紀(jì)初期,人們揭示了壁虎能夠攀爬在墻面上的原理[8],并掀起了制造爬壁機(jī)器人的浪潮.在國(guó)際上,爬壁機(jī)器人制造原理主要是通過(guò)模仿壁虎的運(yùn)動(dòng)[9].目前爬壁機(jī)器人按移動(dòng)功能區(qū)分主要有吸盤(pán)式、車(chē)輪式和履帶式三種機(jī)器人.吸盤(pán)式能跨越很小的障礙,但移動(dòng)速度慢;車(chē)輪式移動(dòng)速度快、控制靈活,但維持一定的吸力較困難;履帶式對(duì)壁面適應(yīng)性強(qiáng),著地面積大,但不易轉(zhuǎn)彎[10].斯坦福大學(xué)通過(guò)模仿壁虎的行走原理,研發(fā)了StickyBot 以及StickyBotⅢ[11]的仿壁虎機(jī)器人,模仿的是壁虎自身的行走原理[12-13],該機(jī)器人從吸附原理、運(yùn)動(dòng)形式都比較接近真實(shí)的壁虎.CMU (Carnegie Mellon University)微小型機(jī)器人實(shí)驗(yàn)室研制了兩種結(jié)構(gòu)形式的爬壁機(jī)器人[14],即Waalbot 機(jī)器人和履帶式爬壁機(jī)器人,其中Waalbot 機(jī)器人是想尋求一種可以借助新的材料,利用粘附原理使爬壁機(jī)器人在豎直面上行走;另外一種履帶式壁虎機(jī)器人,試圖找到一種可以粘附在接觸面上的材料,使得履帶機(jī)器人像壁虎一樣在墻面上行走.雖然履帶式爬壁機(jī)器人可以承受較大的負(fù)載,但不能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎.加州大學(xué)伯克利分校與 iRobot 合作開(kāi)發(fā)了Mecho-Gecko 爬壁機(jī)器人,它是兩輪驅(qū)動(dòng)的四輪式機(jī)器人,通過(guò)在足上預(yù)裝粘合劑和剝離粘合劑來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)壁面的吸附,其結(jié)構(gòu)相對(duì)比較復(fù)雜,他們后面又設(shè)計(jì)了6 腿的爬壁機(jī)器人Hexa-Gecko[9].美國(guó)克利夫蘭大學(xué)設(shè)計(jì)了一種輪腿式爬壁機(jī)器人Mini-Whegs[15],這是一種輪式機(jī)器人但只能前進(jìn)不能夠后退和轉(zhuǎn)彎等,所以幾乎不能夠在實(shí)際中應(yīng)用.為了實(shí)現(xiàn)各種法向面的靈活過(guò)渡,東京工藝研究院和 Isikawajima-Harima 重工業(yè)有限公司聯(lián)合設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)了“忍者 ”機(jī)器人[16],這是一種吸盤(pán)式爬壁機(jī)器人,該機(jī)器人可以很方便地實(shí)現(xiàn)前進(jìn)后退,也可以橫向移動(dòng),也很容易實(shí)現(xiàn)墻面過(guò)渡,但是控制的過(guò)程特別復(fù)雜.

國(guó)內(nèi)在關(guān)于爬壁機(jī)器人的研究上也做了很多工作.中科院采用模板法已經(jīng)成功制成了類(lèi)似壁虎絨毛的微納米分叉結(jié)構(gòu)[17].上海大學(xué)設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)的采用真空吸附方式和腿足式移動(dòng)機(jī)構(gòu),可以適應(yīng)不同曲率半徑的曲面,并可以跨越300 mm 的障礙[18].北京航空航天大學(xué)研究的“藍(lán)天潔士”系列是采用真空吸附技術(shù)的爬壁清洗機(jī)器人[19].南京航空航天大學(xué)研制了每個(gè)腿具有三個(gè)自由度的 IBSS 系列機(jī)器人[20-22],但這個(gè)機(jī)器人質(zhì)量比較大,載重能力不足,且身體的柔性不足,限制過(guò)多.近幾年中國(guó)科學(xué)院合肥物理科學(xué)研究院和中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)聯(lián)合提出“抓取+粘附+吸附”的爬壁機(jī)器人,相對(duì)于先前的爬壁機(jī)器人,該機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)在壁面上穩(wěn)定的附著同時(shí)可以滿足在多個(gè)壁面上爬行.操縱過(guò)程也得到進(jìn)一步的優(yōu)化[23-24].

爬壁機(jī)器人在進(jìn)入環(huán)境復(fù)雜的壁面進(jìn)行工作時(shí),它的柔性狀態(tài)尤其重要.要建立柔性爬壁機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程,必須對(duì)爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)形態(tài)進(jìn)行分析.雖然國(guó)內(nèi)外有很多實(shí)驗(yàn)室開(kāi)發(fā)研究做出了不同類(lèi)型的爬壁機(jī)器人.但是對(duì)于爬壁機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)研究基本上僅限于牛頓力學(xué)方法,由于爬壁機(jī)器人結(jié)構(gòu)復(fù)雜,約束過(guò)多,使得研究十分困難.而基于能量和廣義坐標(biāo)的拉格朗日力學(xué)方法對(duì)于解決復(fù)雜和多約束的問(wèn)題具有優(yōu)勢(shì).邵潔[25]利用Lagrange 方法建立了爬壁機(jī)器人后肢的Lagrange 方程,這個(gè)工作顯然很不完善.

另一方面,李群理論為求解復(fù)雜的微分方程提出了對(duì)稱性分析方法[26].其中兩種基本的Noether對(duì)稱性方法和Lie 對(duì)稱性方法已經(jīng)成為求解復(fù)雜工程問(wèn)題的有效工具[27].眾所周知,Noether 對(duì)稱性方法是基于系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性給出的一種對(duì)稱性,來(lái)尋找系統(tǒng)存在的守恒量,Noether 對(duì)稱性方法給出了系統(tǒng)存在的對(duì)稱性和守恒量(即第一積分,運(yùn)動(dòng)常數(shù))之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.近年來(lái)復(fù)雜約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性理論已趨于完善[28-39],并在物理、連續(xù)體,量子力學(xué)及諸多工程中得到應(yīng)用[40-42].

本文擬研究接近于真實(shí)壁虎爬行運(yùn)動(dòng)的腿式爬壁機(jī)器人的Lagrange 方程和Noether 對(duì)稱性理論.首先,建立爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的四肢的一個(gè)平面簡(jiǎn)化模型,對(duì)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)引入恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo),并將直角坐標(biāo)表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù),給出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能從而給出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù),采用不定乘子法,推導(dǎo)出非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 方程;其次,引入關(guān)于時(shí)間和廣義坐標(biāo)的無(wú)限小變換,給出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)Noether 對(duì)稱性的定義、判據(jù)和存在的Noether 守恒量;再者,基于爬壁機(jī)器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出了該系統(tǒng)的精確解;最后,以在圓錐壁面上爬壁機(jī)器人為例,很好地驗(yàn)證了給出的爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的對(duì)稱性理論,并進(jìn)一步給出了該爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)身精確解以及四肢的數(shù)值解,即得到了該爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

2 爬壁機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析

爬壁機(jī)器人大體上分為履帶式,輪式,腿式.其中運(yùn)動(dòng)原理最接近壁虎行走過(guò)程的是腿式機(jī)器人,該機(jī)器人是通過(guò)模仿壁虎在行走過(guò)程中的形態(tài)建立起的爬壁機(jī)器人模型.本文主要研究腿式機(jī)器人,一方面腿式機(jī)器人較其他類(lèi)型機(jī)器人的應(yīng)用范圍要廣;另一方面,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中腿式機(jī)器人是最貼合壁虎的運(yùn)動(dòng)過(guò)程的.本文將分析腿式爬壁機(jī)器人(如圖1所示)的運(yùn)動(dòng).

圖1 斯坦福大學(xué)的StickyBotIII 機(jī)器人Fig.1 StickyBotIII robot at Stanford University

爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)可以看成是四肢帶動(dòng)身體的一種運(yùn)動(dòng),每條腿上有四個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng),腿部采用桿來(lái)連接.該爬壁機(jī)器人從運(yùn)動(dòng)形式和吸附原理都接近于真實(shí)的壁虎.爬壁機(jī)器人的工作環(huán)境一般是在豎直面,圓柱面以及圓錐面等.本文所討論的爬壁機(jī)器人的工作環(huán)境為圓錐壁面,因?yàn)閳A錐壁面較其他壁面更為復(fù)雜,因此只要爬壁機(jī)器人可以實(shí)現(xiàn)在圓錐壁面上的行走,那么在其余的工作環(huán)境也可以行走.

2.1 爬壁機(jī)器人四肢運(yùn)動(dòng)學(xué)

首先計(jì)算爬壁機(jī)器人在圓錐壁面上四肢相對(duì)于身體的坐標(biāo)和速度.

考慮爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng),根據(jù)爬壁機(jī)器人的肢體形態(tài)特點(diǎn),為簡(jiǎn)化起見(jiàn),將爬壁機(jī)器人四肢各關(guān)節(jié)看成是一個(gè)自由度的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié).并將爬壁機(jī)器人的單支腿簡(jiǎn)化為如圖2 所示,簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)由身體0、股骨1、脛骨2 和腳掌3 組成.構(gòu)件1 和構(gòu)件0 的連接處為髖關(guān)節(jié),構(gòu)件1 和構(gòu)件2 的連接處為膝關(guān)節(jié),構(gòu)件2 和構(gòu)件3 的連接處為踝關(guān)節(jié).θ1,θ2,θ3分別為股骨1、脛骨2 和腳掌3 與鉛垂線的夾角(規(guī)定關(guān)節(jié)與鉛垂線逆時(shí)針的夾角為正,順時(shí)針的夾角為負(fù)).股骨1、脛骨2 和腳掌3 的質(zhì)心坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) .令qi=θi(i=1,2,3) 作為廣義坐標(biāo),并用廣義坐標(biāo)表示直角坐標(biāo).

圖2 爬壁機(jī)器人單腿簡(jiǎn)化圖Fig.2 Simplified view of a single leg of a wall-climbing robot

為簡(jiǎn)便起見(jiàn),假設(shè)爬壁機(jī)器人腿部股骨、脛骨和腳掌長(zhǎng)度,質(zhì)量相等.分別記為 2l和m′.那么,爬壁機(jī)器人的股骨相對(duì)于身體的質(zhì)心坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

脛骨相對(duì)于身體的質(zhì)心坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

腳掌相對(duì)于身體的坐標(biāo)可用廣義坐標(biāo)表示為

因此股骨相對(duì)于身體的速度為

脛骨相對(duì)于身體的速度為

腳掌相對(duì)于身體的速度為

2.2 爬壁機(jī)器人機(jī)身運(yùn)動(dòng)學(xué)

接下來(lái)研究爬壁機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)身重心位置坐標(biāo)以及重心位置的速度變化.爬壁機(jī)器人的工作壁面為圓錐曲面,如圖3 所示.

圖3 圓錐曲面上的爬壁機(jī)器人Fig.3 A wall-climbing robot on a conical surface

在地面中心創(chuàng)建一個(gè)固定的笛卡爾坐標(biāo)系{x,y,z},則在圓錐壁面工作環(huán)境下,爬壁機(jī)器人的質(zhì)心位置根據(jù)幾何學(xué)可以表示為

其中,a為圓錐壁面底面圓的半徑,b為圓錐壁面頂面圓的半徑,h為圓錐壁面的高度,α 為圓錐頂角的一半,θ4為爬壁機(jī)器人在底面投影與原點(diǎn)距離的連線與坐標(biāo)系x軸之間的夾角.其中

選取q4=θ4,q5=θ5,q6=z為爬壁機(jī)器人在圓錐壁面上爬行的機(jī)身重心廣義坐標(biāo),其中 θ5為爬壁機(jī)器人機(jī)身的轉(zhuǎn)動(dòng)角,則爬壁機(jī)器人的機(jī)身重心位置的速度為

2.3 爬壁機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

通過(guò)對(duì)壁虎運(yùn)動(dòng)的研究發(fā)現(xiàn)[33],在攀爬的過(guò)程中,壁虎的四條腿并不是同時(shí)運(yùn)動(dòng),而是以圖4 這種方式向上爬行.

圖4 壁虎的爬行運(yùn)動(dòng)Fig.4 The creeping movement of a gecko

圖中黃色圓點(diǎn)表示腳掌與壁面接觸.因?yàn)樗芯康呐辣跈C(jī)器人系統(tǒng)是建立在壁虎的仿生學(xué)基礎(chǔ)上,所以對(duì)壁虎的運(yùn)動(dòng)步態(tài)研究就等價(jià)于對(duì)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的步態(tài)研究.圖2～圖4 表明,爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在攀爬過(guò)程中始終有兩個(gè)腳掌是與壁面接觸的,并且在爬行過(guò)程中均采用的是對(duì)角步態(tài),即左側(cè)前腳與右側(cè)后腳同時(shí)運(yùn)動(dòng),右側(cè)前腳與左側(cè)后腳同時(shí)運(yùn)動(dòng).同時(shí),通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn),爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,支撐腿在運(yùn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)身體運(yùn)動(dòng),同時(shí)另外對(duì)角兩條腿也運(yùn)動(dòng).并且發(fā)現(xiàn),兩條支撐腿相對(duì)應(yīng)的各個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)廣義坐標(biāo)角度基本上是相等的.因此為簡(jiǎn)便起見(jiàn)可將四肢的動(dòng)能看成是相等的.

設(shè)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在爬壁中不發(fā)生滑動(dòng),只存在靜摩擦,那么可以得到爬壁機(jī)器人的非完整約束條件為

為方便起見(jiàn),假設(shè)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在爬壁過(guò)程中四肢的動(dòng)能相同.由此非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)能為

其中,T1為非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相對(duì)于身體單條腿的動(dòng)能,T′為爬壁機(jī)器人系統(tǒng)機(jī)身的動(dòng)能,分別為

由式(10)可得

在式(12)和式(13)中,m′為單條腿一關(guān)節(jié)的質(zhì)量,m為爬壁機(jī)器人系統(tǒng)機(jī)身的質(zhì)量,J為爬壁機(jī)器人系統(tǒng)身體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,J1為爬壁機(jī)器人系統(tǒng)單條腿中關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(本文假設(shè)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)單支腿各個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等).

非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的勢(shì)能為

由此非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 函數(shù)為

非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,即Routh方程為

為廣義約束反力.方程(20)為非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange方程.非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程的解可在方程(20)的解中找到.當(dāng)爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足非完整約束條件(10),則方程(20)的解便可給出非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(17)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

3 爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性和Noether 守恒量

引入關(guān)于時(shí)間和廣義坐標(biāo)的無(wú)限小變換

方程(22)可展開(kāi)為

引入爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量

其中,γ 為某曲線,L為爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),q=(q1,q2,···,q6) .在變換式(23)下,曲線 γ 將變?yōu)橄嗫拷那€ γ?,爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)的Hamilton作用量變換為

作用量S的變分 ?S為差S(γ?)?S(γ) 的相對(duì) ε 的主線性部分,根據(jù)全變分和等時(shí)變分之間關(guān)系,有

將式(23)代入式(27)并注意到

得到

式(28)和式(30)就是完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量變分的基本公式.

定義1如果爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量是無(wú)限小變換式(22)或式(23)下的不變量,即無(wú)限小變換滿足

則無(wú)限小變換是完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性變換.

定義2對(duì)于受到非勢(shì)廣義力和廣義非完整約束力的非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量是無(wú)限小變換式(22)或式(23)下的不變量,即無(wú)限小變換滿足

由定義公式(31)和基本公式(28)和(30)可以得到完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的如下判據(jù):

判據(jù) 1對(duì)于無(wú)限小群變換式(22),如果滿足條件

則變換式(22)是完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱變換.

判據(jù) 2對(duì)于無(wú)限小群變換式(23),如果滿足條件

則變換式(23)為完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱變換.

利用關(guān)系(24),由于 ε 獨(dú)立性可以得到完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 恒等式

Noether 定理1如果無(wú)限小變換式(23)是完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理1 也可以表示為Noether 定理2.

Noether 定理2:對(duì)于完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng),如果無(wú)限小變換式(22)或式(23)滿足Noether 恒等式(35),則完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)存在守恒量(36).

用定義公式(32)及基本公式(28)和(30)可以得到非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(20)廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性的如下判據(jù):

判據(jù) 3對(duì)于無(wú)限小群變換式(22),如果滿足條件

則變換式(22)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換.

判據(jù) 4對(duì)于無(wú)限小群變換式(23),如果滿足條件

則變換式(23)為非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換.

利用關(guān)系(24),由于 ε 獨(dú)立性可以得到非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(20)的Noether 恒等式

Noether 定理3:如果存在規(guī)范函數(shù)G,使得無(wú)限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(20)的廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換,則該系統(tǒng)存在如下形式的守恒量

Noether 定理3 可以表示為Noether 定理4.

Noether 定理4:對(duì)于非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(20),如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無(wú)限小變換式(22)或式(23)滿足Noether 恒等式(39),則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

定義3如果無(wú)限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性變換,且變換還滿足條件

則稱變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的強(qiáng)廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換.

Noether 定理5:如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無(wú)限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的強(qiáng)廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

當(dāng)條件(41)放寬為以下條件

便可以得出非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換.

定義4如果無(wú)限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱性變換,且變換還滿足條件(42)則稱變換式(23)為非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noehter 準(zhǔn)對(duì)稱變換.

Noether 定理6:如果存在規(guī)范函數(shù)G使得無(wú)限小變換式(23)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)(10)和(17)的弱廣義Noether 準(zhǔn)對(duì)稱變換,則該系統(tǒng)存在守恒量(40).

由Noether 守恒量(40)再給定初始條件便可得出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上爬壁過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

4 利用爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 守恒量求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律

在分析力學(xué)領(lǐng)域,近30 年來(lái)我國(guó)梅鳳翔教授帶領(lǐng)眾多學(xué)者從事約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性和Lie 對(duì)稱性的研究工作[27,43-59],并提出了約束力學(xué)系統(tǒng)的形式不變性(也稱梅對(duì)稱性)理論[60,61],建立了約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性理論,在國(guó)際上產(chǎn)生一定影響.然而在先前的工作中,一般是根據(jù)系統(tǒng)的某種對(duì)稱性給出系統(tǒng)存在的守恒量(第一積分或運(yùn)動(dòng)常數(shù)),很少進(jìn)一步由守恒量給出系統(tǒng)的精確解.事實(shí)上,當(dāng)?shù)贸龅谝环e分(守恒量,它是一階微分方程),那么守恒量的求解已經(jīng)沒(méi)有困難,對(duì)于專門(mén)從事于對(duì)稱性理論研究的人員來(lái)說(shuō),關(guān)于守恒量的求解不需繼續(xù)進(jìn)行.然而,近幾年來(lái)一些學(xué)者對(duì)此提出異議,并建議將約束力學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱性理論應(yīng)用于多體系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)和工程實(shí)際中,因?yàn)樵摲椒蔀閺?fù)雜系統(tǒng)提供一個(gè)更好的解決思路和方向.下面以復(fù)雜的非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)為例,由爬壁機(jī)器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的解,即給出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

Bluman 對(duì)從微分方程的對(duì)稱性給出特征方程,再得到方程對(duì)應(yīng)的多個(gè)第一積分方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究[26].方法表明,如果微分方程的階數(shù)和守恒量的數(shù)目相等,便可積分給出微分方程的解.

前面爬壁機(jī)器人系統(tǒng)給出的Noether 守恒量都是一階方程,當(dāng)給定初始條件時(shí),利用直接積分的方法,便可解出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的解,即給出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

5 算例

通過(guò)以上討論,已經(jīng)得出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Lagrane 函數(shù)以及非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程,并給出了爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性理論,下面以圓錐壁面上爬壁機(jī)器人為例,給出相應(yīng)的Lagrange 方程,Noether 對(duì)稱性和Noether 守恒量,Noether 定理,以驗(yàn)證爬壁機(jī)器人Noether 對(duì)稱性理論.并由圓錐壁面上爬壁機(jī)器人的守恒量給出精確解,即運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

5.1 圓錐面上爬壁機(jī)器人的Lagrange 方程

將式(10),式(16)及式(19)代入到式(17)和式(18)中得

式(43)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程.但如果直接對(duì)式(43) 求Lagrang 乘子 λ 是非常復(fù)雜的.為了簡(jiǎn)便起見(jiàn),現(xiàn)假設(shè)在圓錐面上爬壁機(jī)器人單支腿任意兩個(gè)廣義坐標(biāo)中有如下關(guān)系

此時(shí)非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程(43)可化簡(jiǎn)為

式(45)～ 式(50)便是化簡(jiǎn)后非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的Routh 方程.

由式(45)～ 式(47)解出Lagrange 乘子 λ 即

將乘子(51)代入到方程式(45)～ 式(47),即可得到 非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 方程

5.2 爬壁機(jī)器人的Noether 等式和Noether 守恒量

將式(10)、式(16)、式(19)和式(51)代入式(39),并由假設(shè)(44)得到非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 恒等式為

取無(wú)限小變換生成元和規(guī)范函數(shù)為

以上得到的生成元和規(guī)范函數(shù)是對(duì)應(yīng)于非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整圓錐壁面上爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換.

將無(wú)限小變換式(59)～ 式(64)分別代入到式(41)和式(42)中.其中無(wú)限小變換式(59)～ 式(61)不滿足式(41)及式(42),無(wú)限小變換式(62)～ 式(64)滿足式(41).因此無(wú)限小變換式(62)～ 式(64)對(duì)應(yīng)非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的強(qiáng)廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換.

對(duì)無(wú)限小變換式(59)～ 式(61),由Noether 定理3 的守恒量(40)分別給出為

對(duì)無(wú)限小變換式(62)～ 式(64),由Noether 定理4 的守恒量(40)分別給出為

顯然,守恒量I6是平庸的.其中守恒量I1,I2,···,I5是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.I4,I5是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.

下面驗(yàn)證I1,I2,···,I5的守恒性.式(65)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

即I1是一個(gè)守恒量.

將式(66)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由式(53)得

即I2是一個(gè)守恒量.

將式(67)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由式(54)得

即I3是一個(gè)守恒量.

將式(68)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由式(55)得

即I4是一個(gè)守恒量.

將式(69)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由式(56)得

即I5是一個(gè)守恒量.

可見(jiàn)式(65)～ 式(67)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether守恒量.式(68)～ 式(70)是非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 守恒量.

5.3 圓錐壁面上爬壁機(jī)器人機(jī)身的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

利用非保守非完整爬壁機(jī)器人的守恒量(68)和(69),可以得出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上機(jī)身的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

對(duì)Noether 守恒量(69)積分可得

其中,c5為Noether 守恒量(69)的常數(shù),c為不定積分常量.由上式可以看出,爬壁機(jī)器人在圓錐壁面上機(jī)身的旋轉(zhuǎn)角與時(shí)間成正比.

由式(68)得

其中,c4為Noether 守恒量(68)中的常數(shù).將式(82)代入到式(57)中得

對(duì)式(84)利用泰勒公式展開(kāi)同時(shí)精確到一階無(wú)窮小量可以得到

求解式(87)得

假設(shè)非保守非完整爬壁機(jī)器人在t=0 時(shí)以初速度v沿著壁面從底部向上爬行.即t=0 時(shí),q6=0,=vcosα根據(jù)初始條件可得

為分析運(yùn)動(dòng)規(guī)律將式(88)化簡(jiǎn)得

同樣利用泰勒公式展開(kāi)式(83)得

將式(90)代入到式(91)可得

對(duì)式(92)積分可得

從式(90)可以看到非保守非完整爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中高度q6和初始速度v,爬壁機(jī)器人總體的重量,圓錐壁面的頂角以及底面圓的半徑有關(guān).并且該式的周期為,一般情況下,爬壁機(jī)器人機(jī)身的重量是非常大的,并且圓錐壁面 α 角一般來(lái)說(shuō)比較小,即T是一個(gè)非常大的數(shù),不妨假設(shè)爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中在T/4 時(shí)間內(nèi)就足以爬到頂峰.這個(gè)結(jié)論說(shuō)明,爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中的高度隨時(shí)間呈非線性遞增.

從式(93)可以看出非保守非完整爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中,非保守非完整爬壁機(jī)器人在底面投影與原點(diǎn)距離的連線與坐標(biāo)系x軸之間的夾角q4和時(shí)間之間呈非線性關(guān)系.

5.4 圓錐壁面上爬壁機(jī)器人四肢運(yùn)動(dòng)規(guī)律

利用非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的守恒量(65)～ (67),便可以得出非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上四肢的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

為方便研究非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)在圓錐壁面上的四肢運(yùn)動(dòng)規(guī)律,將爬壁機(jī)器人系統(tǒng)四肢的各個(gè)關(guān)節(jié)看成是細(xì)直桿.由細(xì)直桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[62]可以得知各關(guān)節(jié)中心位置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

將式(94)代入式(65)～式(67)得

通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)[35],同時(shí)考慮到計(jì)算的簡(jiǎn)便可設(shè)相應(yīng)參數(shù)的值為

同時(shí)假設(shè)式(65)～ 式(67)中守恒量的常數(shù)為

將式(98)和式(99)代入到式(95)～ 式(97)后可得

假設(shè)初始狀態(tài)下

可以得到圖5 所示的數(shù)值解.

圖5 四肢各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)律Fig.5 The motion rule of each joint of limbs

通過(guò)圖5 可以得出在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨著時(shí)間的增加,非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的股骨,脛骨與鉛垂線的夾角q1和q2越來(lái)越小并單調(diào)遞減.這里負(fù)值表示爬壁機(jī)器人的各關(guān)節(jié)與鉛垂線順時(shí)針?lè)较虻膴A角.因此單看廣義坐標(biāo)q1和q2夾角的度數(shù)來(lái)說(shuō)是先減少后增加,即爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中的股骨和脛骨是左右擺動(dòng)的.

最后,非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)中腳掌與鉛垂線的夾角呈單調(diào)遞增.并且通過(guò)圖像發(fā)現(xiàn),廣義坐標(biāo)q3的夾角的增長(zhǎng)速度呈現(xiàn)指數(shù)上升的趨勢(shì).這也就說(shuō)明爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中,其腳掌的靈活性要比股骨和脛骨的靈活性高,同時(shí)表現(xiàn)出爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中的四肢各個(gè)關(guān)節(jié)中,腳掌的作用力起著重要作用.這也與文獻(xiàn)[43]中壁虎四肢的運(yùn)動(dòng)規(guī)律一致.

6 結(jié)論

綜合本文的研究,給出如下結(jié)論.

(1) 對(duì)爬壁機(jī)器人這一復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),本文基于其動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)建了Lagrange 函數(shù),選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo),建立了系統(tǒng)的Lagrange 方程;引入Lie 群方法,基于爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性,建立了系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性理論,找到了系統(tǒng)存在的一系列守恒量;基于給出的守恒量進(jìn)行了詳細(xì)的求解,給出了爬壁機(jī)器人系統(tǒng)機(jī)身的精確解和四肢的數(shù)值解,發(fā)現(xiàn)了在圓錐壁面上爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

(2) 爬壁機(jī)器人是一個(gè)多體非完整約束系統(tǒng),采用的Lagrange 力學(xué)方法比牛頓力學(xué)方法優(yōu)勢(shì)明顯,方法簡(jiǎn)介:首次將Lie 群分析方法用于復(fù)雜的爬壁機(jī)器人系統(tǒng),建立了Noether 對(duì)稱性理論,發(fā)現(xiàn)了該系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在的守恒量,為L(zhǎng)ie 群分析方法應(yīng)用于其他機(jī)器人系統(tǒng)奠定了基礎(chǔ);通過(guò)利用爬壁機(jī)器人系統(tǒng)存在的守恒量,給出了系統(tǒng)的精確解和數(shù)值解,為約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性理論應(yīng)用于其他機(jī)器人系統(tǒng)展示了美好前景.

(3) 提出爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Routh 方程,求出Lagrange 乘子(51),建立了圓錐曲面上爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 方程(52)～ (57).

(4) 系統(tǒng)建立了爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性理論.定義爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量,給出了Hamilton 作用量的基本變分公式(28)和(30);引入關(guān)于爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)和時(shí)間的無(wú)限小變換(Lie 群變換),基于Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性,提出了完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 定理1 和Noether 定理2,在此基礎(chǔ)上提出了非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)相應(yīng)于非保守完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 定理3 和Noether 定理4,同時(shí)提出了非保守非完整爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 定理5 和Noether 定理6;基于給出的Noether定理,求出圓錐面上爬壁機(jī)器人的Noether 恒等式(58)和一系列對(duì)稱性的變換Lie 群(59)～ (64);發(fā)現(xiàn)了圓錐面上爬壁機(jī)器人存在的守恒量I1,I2,···,I6.

(5) 基于給出的守恒量I1,I2,···,I6,給出了圓錐曲面上爬壁機(jī)器人機(jī)身運(yùn)動(dòng)的精確解(81)、(90)和(93)以及四肢在特定參數(shù)下運(yùn)動(dòng)的數(shù)值解(100),即解圖5.發(fā)現(xiàn)了圓錐曲面上爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中的股骨和脛骨是左右擺動(dòng)的,其腳掌的靈活性要比股骨和脛骨的靈活性高,同時(shí)表現(xiàn)出爬壁機(jī)器人在爬壁過(guò)程中的四肢各個(gè)關(guān)節(jié)中,腳掌的作用力起著重要作用,這個(gè)結(jié)論與壁虎爬壁過(guò)程中四肢運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)論一致.

(6) 研究表明對(duì)于一般的爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange 方程存在突出的非線性項(xiàng),要給出對(duì)稱性的一般解(精確解)是困難的,只能給出對(duì)稱性的數(shù)值解.

(7) 本文基于爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Hamilton 作用量在變換Lie 群下的不變性建立了系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性理論,接下來(lái)考慮爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Lagrange方程在變換Lie 群下的不變性,建立系統(tǒng)的Lie 對(duì)稱性理論,并研究在相空間中爬壁機(jī)器人系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱性理論和Lie 對(duì)稱性理論.

(8) 本文給出的方法可以推廣應(yīng)用于其他柔性機(jī)器人系統(tǒng).