陳耀明，許鋒，羅雄麟

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）信息科學(xué)與工程學(xué)院自動(dòng)化系，北京 102249）

引 言

在進(jìn)行化工過(guò)程設(shè)計(jì)時(shí)，為了彌補(bǔ)過(guò)程不確定性對(duì)化工裝置正常運(yùn)行的不利影響，一般設(shè)計(jì)人員在過(guò)程設(shè)計(jì)時(shí)需要對(duì)設(shè)計(jì)變量增加設(shè)計(jì)裕量。設(shè)計(jì)裕量通常會(huì)降低裝置的經(jīng)濟(jì)性能，增加設(shè)備投資和操作費(fèi)用，因此設(shè)計(jì)裕量應(yīng)盡可能越小越好。Seider 等[1]提出在設(shè)計(jì)中給設(shè)備尺寸增加裕量(overdesign)，以保證裝置能夠在出現(xiàn)不確定性的條件下安全運(yùn)行，并且主張協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)、操作和控制優(yōu)化，以減少化工過(guò)程的設(shè)計(jì)裕量。Narraway 等[2]、Barton等[3]、Lear等[4]和Perkins[5]提出了經(jīng)濟(jì)效益下降量(back-off)的概念，其大小表示過(guò)程動(dòng)態(tài)特性對(duì)經(jīng)濟(jì)效益的影響，此經(jīng)濟(jì)效益下降量可以作為評(píng)價(jià)裕量大小的依據(jù)。隨后Bahri 等[6]進(jìn)一步發(fā)展了Narraway 的理論，提出了一種分別計(jì)算在控制系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)條件下計(jì)算經(jīng)濟(jì)效益動(dòng)態(tài)下降量的方法，將穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)方法擴(kuò)展到動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，并加入對(duì)模型不確定性的分析。在化工領(lǐng)域尤其是石油深度加工領(lǐng)域，許鋒等[7]提出了一種基于一階靈敏度分析的對(duì)裝置總體裕量進(jìn)行評(píng)價(jià)的方法，以催化裂化裝置作為典型對(duì)象，進(jìn)行了完整的裕量分析；之后又利用混合整數(shù)動(dòng)態(tài)優(yōu)化，分析操作裕量、工藝裕量和控制性能之間存在的關(guān)系，找到兼顧工藝和控制要求的工藝操作點(diǎn)和控制設(shè)計(jì)方案[8]。

目前，實(shí)際化工過(guò)程中的設(shè)計(jì)裕量一般通過(guò)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)濟(jì)優(yōu)化給出。首先，設(shè)計(jì)人員根據(jù)自身的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定設(shè)計(jì)裕量的大小，并確定出在此設(shè)計(jì)裕量下的操作點(diǎn)，但設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法保證經(jīng)濟(jì)性能的優(yōu)化，且具有很大的盲目性。出于對(duì)操作安全性的高度要求，設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)給出的設(shè)計(jì)裕量一般偏大。

其次，通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題解決設(shè)計(jì)裕量和操作點(diǎn)的問(wèn)題，以最小的經(jīng)濟(jì)損失代價(jià)抵消過(guò)程中不確定參數(shù)的影響，理論上可以保證設(shè)計(jì)結(jié)果經(jīng)濟(jì)性能的最優(yōu)。經(jīng)典最優(yōu)化算法包括用于非線性規(guī)劃的序列二次規(guī)劃法(SQP)[9-10]、用于整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法[11-12]等。這些方法數(shù)學(xué)理論成熟，但難以對(duì)復(fù)雜模型進(jìn)行求解，或求解效果較差，容易陷入局部極值，初值影響取優(yōu)結(jié)果等。隨著人工智能的發(fā)展，一系列模擬自然生命演化現(xiàn)象的現(xiàn)代啟發(fā)式算法相繼提出，如遺傳算法(genetic algorithm)[13-14]，粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimiztion)[15-17]，蟻群優(yōu)化算法(ant colony optimization)[18-20]在內(nèi)的群智能 優(yōu) 化 算 法 (swarm intelligence optimization algorithm)，此類算法主要是基于種群迭代的全局搜索算法，不依賴于所求問(wèn)題的梯度信息，較高概率收斂于全局最優(yōu)解；又如模擬退火(simulated annealing)算法[21-22]，基于固體物質(zhì)的退火過(guò)程與一般組合優(yōu)化問(wèn)題之間的相似性，是一種依靠Monte Carlo 迭代求解的全局概率型搜索算法。這些現(xiàn)代啟發(fā)式算法在經(jīng)典優(yōu)化方法不能或者難以求解的復(fù)雜問(wèn)題上取得了令人矚目的成就。

但是求解最優(yōu)化問(wèn)題的方法用于裕量設(shè)計(jì)也不是完美的，主要存在以下問(wèn)題。

(1)當(dāng)化工過(guò)程規(guī)模增大，需要進(jìn)行全流程工藝設(shè)計(jì)時(shí)，涉及的變量和參數(shù)眾多，需要求解復(fù)雜的大規(guī)模非線性優(yōu)化問(wèn)題，計(jì)算復(fù)雜。經(jīng)典優(yōu)化算法容易陷入局部極值點(diǎn)，啟發(fā)式算法計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)，優(yōu)化算法的內(nèi)部機(jī)理不清楚，設(shè)置優(yōu)化參數(shù)時(shí)無(wú)從下手，有一定概率出現(xiàn)明顯錯(cuò)誤的優(yōu)化結(jié)果。

(2) 絕大多數(shù)過(guò)程變量在過(guò)程設(shè)計(jì)時(shí)的“參與度”是很低的，有經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)人員只需要少數(shù)的幾個(gè)關(guān)鍵過(guò)程變量即可確定出設(shè)計(jì)裕量和操作點(diǎn)。如果求解最優(yōu)化問(wèn)題得到一個(gè)涉及到大部分變量的“一攬子”優(yōu)化結(jié)果，其中包含了許多“參與度”低的過(guò)程變量，并且優(yōu)化值對(duì)于設(shè)計(jì)變量的調(diào)整處于一個(gè)十分微小的程度，甚至低于可調(diào)整的“最小刻度”，達(dá)到了可以忽略不計(jì)的程度，那么這種“雜而小”的優(yōu)化結(jié)果是十分有悖于設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)的。

(3)過(guò)程約束中并非所有約束都有效，設(shè)計(jì)人員只需要調(diào)整若干設(shè)計(jì)變量或操作變量就可以使操作點(diǎn)遠(yuǎn)離約束邊界，設(shè)計(jì)人員根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)只關(guān)注幾個(gè)關(guān)鍵的過(guò)程變量。純粹的經(jīng)濟(jì)優(yōu)化方法只能得到一個(gè)大而全、多而雜的數(shù)值優(yōu)化結(jié)果，需要調(diào)整的過(guò)程變量眾多，找不到關(guān)鍵設(shè)計(jì)變量和關(guān)鍵操作變量，并不能給設(shè)計(jì)人員一種具有“方向感”和“協(xié)調(diào)感”的有效指導(dǎo)。

本文從靈敏度的角度提供了一種尋找對(duì)經(jīng)濟(jì)性能影響小并能有效移動(dòng)操作點(diǎn)的關(guān)鍵過(guò)程變量的工具。這是一種不依賴于求解優(yōu)化問(wèn)題，但卻能簡(jiǎn)單便捷地給出系統(tǒng)的設(shè)計(jì)裕量和操作點(diǎn)的方法。其核心思路是給出操作變量和設(shè)計(jì)變量各自的優(yōu)先級(jí)順序，這個(gè)優(yōu)先級(jí)反映了調(diào)整各操作變量和各設(shè)計(jì)變量使系統(tǒng)操作點(diǎn)返回約束條件以內(nèi)的優(yōu)先級(jí)。

劃分優(yōu)先級(jí)主要用到的數(shù)學(xué)工具為相對(duì)增益陣。相對(duì)增益陣(relative gain array,RGA)是Bristol[23]提出的，Grosdidier等[24]進(jìn)一步給出了RGA 數(shù)學(xué)性質(zhì)的相關(guān)證明，相對(duì)增益是一種雙向靈敏度，能夠更精確反映出自變量與因變量的相關(guān)性。Chang 等[25]將RGA 推廣到非方系統(tǒng)中得到非方相對(duì)增益陣(nonsquare relative gain array,NRGA)，Skogestad 等[26]總結(jié)了NRGA 的性質(zhì)，Xiong 等[27]、He 等[28]和任麗紅等[29]在相對(duì)增益中引入動(dòng)態(tài)信息，形成了穩(wěn)態(tài)信息與動(dòng)態(tài)信息相結(jié)合的動(dòng)態(tài)RGA。

本文將自變量劃分為操作變量和設(shè)計(jì)變量，將因變量劃分為經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和約束變量。擬應(yīng)用相對(duì)增益的雙向靈敏度特性，分析操作變量和設(shè)計(jì)變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和約束變量的敏感程度，根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和約束變量分別對(duì)操作變量和設(shè)計(jì)變量的相對(duì)增益劃分優(yōu)先級(jí)，針對(duì)過(guò)程不確定性的大小按照優(yōu)先級(jí)依次調(diào)整各操作變量和設(shè)計(jì)變量，找到對(duì)過(guò)程經(jīng)濟(jì)性能影響最小并有效移動(dòng)操作點(diǎn)、遠(yuǎn)離約束邊界的裕量設(shè)計(jì)方案。

當(dāng)然本文所給出的這種不需要求解最優(yōu)化問(wèn)題的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)方法，相對(duì)于求解最優(yōu)化問(wèn)題，自然要承擔(dān)一定經(jīng)濟(jì)性能上的犧牲。本文以串聯(lián)反應(yīng)釜為例對(duì)該設(shè)計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證，與求解經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問(wèn)題的裕量設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比。

1 靈敏度分析與相對(duì)增益陣

1.1 靈敏度分析

理想的過(guò)程設(shè)計(jì)應(yīng)在滿足所有約束條件下達(dá)到經(jīng)濟(jì)最優(yōu)，優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為

式中，F(xiàn)為最優(yōu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，包括設(shè)備投資費(fèi)用、過(guò)程操作費(fèi)用等；f表示系統(tǒng)的過(guò)程狀態(tài)方程組；g表示系統(tǒng)的約束方程組；x為狀態(tài)變量；u為操作變量；d為設(shè)計(jì)變量；p為不確定參數(shù)；c為約束變量；cb為對(duì)應(yīng)的約束限；u與d是優(yōu)化問(wèn)題的決策變量。在最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)處的系統(tǒng)標(biāo)稱值記作x*,u*,d*,c*，在最優(yōu)設(shè)計(jì)時(shí)不確定參數(shù)維持其標(biāo)稱值p*不變。

對(duì)非線性模型式(1)～式(3)在最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)附近線性化，得到目標(biāo)函數(shù)對(duì)操作變量u、設(shè)計(jì)變量d的穩(wěn)態(tài)靈敏度[30]為

式中，下角標(biāo)0表示取最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)，下文含義相同。

設(shè)計(jì)變量d和不確定參數(shù)p對(duì)約束變量c無(wú)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，約束變量c對(duì)設(shè)計(jì)變量d和不確定參數(shù)p的穩(wěn)態(tài)靈敏度[30]為

操作變量u對(duì)約束變量c存在動(dòng)態(tài)響應(yīng)，不宜用穩(wěn)態(tài)靈敏度描述。當(dāng)系統(tǒng)改用微分方程描述時(shí)，式(2)轉(zhuǎn)化為

對(duì)式(8)在最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)附近線性化，得到操作變量u對(duì)約束變量c的動(dòng)態(tài)靈敏度為

在不確定參數(shù)p發(fā)生波動(dòng)時(shí)，應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案使約束變量返回約束區(qū)間內(nèi)，并應(yīng)盡可能對(duì)目標(biāo)函數(shù)產(chǎn)生最小的影響。在操作變量u的所有調(diào)節(jié)方案均無(wú)法很好地補(bǔ)償（即目標(biāo)函數(shù)的性能下降無(wú)法令人滿意）時(shí)，設(shè)計(jì)變量d應(yīng)該增加裕量Δd，抵消不確定參數(shù)p的影響，保證約束不被突破，在滿足系統(tǒng)允許變動(dòng)的范圍內(nèi)，使目標(biāo)函數(shù)偏離最優(yōu)值最小。

本文對(duì)設(shè)計(jì)合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案和設(shè)計(jì)裕量方案，提出以下三點(diǎn)要求。

(1)對(duì)經(jīng)濟(jì)性能的敏感程度。在基于靈敏度模型設(shè)計(jì)操作變量的調(diào)節(jié)方案和設(shè)計(jì)裕量方案時(shí)，此時(shí)的調(diào)節(jié)方案為操作變量和設(shè)計(jì)變量的線性組合，應(yīng)盡可能對(duì)目標(biāo)函數(shù)（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)）產(chǎn)生較低負(fù)面影響。

(2)對(duì)（突破）約束的敏感程度。如果實(shí)際問(wèn)題中需要使超出約束界限的變量組合盡快返回界限以內(nèi)，應(yīng)該根據(jù)約束變量距離約束的距離確定需要優(yōu)先考慮哪些約束變量應(yīng)當(dāng)遠(yuǎn)離約束邊界。

(3)操作變量對(duì)約束變量的響應(yīng)速度快慢和設(shè)計(jì)變量對(duì)約束的敏感程度。應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇對(duì)約束變量靈敏度高的操作變量和設(shè)計(jì)變量，使得操作變量和設(shè)計(jì)變量以較小的變化就能使約束變量遠(yuǎn)離約束邊界。

本文所提出的方法是，在進(jìn)行操作變量和設(shè)計(jì)變量的協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，首先根據(jù)操作變量u和設(shè)計(jì)變量d對(duì)約束變量c和目標(biāo)函數(shù)F（經(jīng)濟(jì)指標(biāo)）的靈敏度來(lái)確定u和d的優(yōu)先級(jí)，對(duì)每一個(gè)約束變量按照優(yōu)先級(jí)依次選擇對(duì)應(yīng)的操作變量和設(shè)計(jì)變量，最后根據(jù)操作點(diǎn)對(duì)約束變量的要求將約束變量和操作變量/設(shè)計(jì)變量分別組成方程組，按照先操作變量后設(shè)計(jì)變量的順序依次求取操作變量和設(shè)計(jì)變量，從而確定設(shè)計(jì)裕量。

1.2 相對(duì)增益陣（RGA）

靈敏度僅僅反映了化工過(guò)程系統(tǒng)中自變量對(duì)因變量的單向敏感信息，而相對(duì)增益陣不但包含了自變量對(duì)因變量的正向敏感程度，還包含了因變量對(duì)自變量的反向敏感程度，同時(shí)反映自變量和因變量的雙向敏感信息，是一種雙向靈敏度。與靈敏度相比，相對(duì)增益陣還具有無(wú)量綱化和歸一化的特點(diǎn)，避免靈敏度因量綱不同無(wú)法比對(duì)的弊端，能夠更加精確反映出自變量與因變量的相關(guān)性。

下面給出相對(duì)增益陣RGA 的定義及性質(zhì)。對(duì)于自變量U(U∈Rm)和因變量Y(Y∈Rr)，其靈敏度關(guān)系為

式中，Λ為自變量U對(duì)因變量Y的相對(duì)增益陣；S為自變量U對(duì)因變量Y的靈敏度矩陣；?表示矩陣Schur乘積，即矩陣相同位置的元素的乘積。

對(duì)于相對(duì)增益陣元素λij而言，相對(duì)增益為

因此，相對(duì)增益λij等于自變量Uj對(duì)因變量Yi的靈敏度與因變量Yi對(duì)自變量Uj的靈敏度的乘積，反映出自變量和因變量的雙向靈敏度信息。

相對(duì)增益陣RGA 是尺度變換保持不變的，即D1SD2的相對(duì)增益陣與S的相對(duì)增益陣是相同的，D1,D2均為對(duì)角陣。該性質(zhì)反映出相對(duì)增益具有無(wú)量綱化的特點(diǎn)，可以避免靈敏度因量綱不同無(wú)法比對(duì)的弊端。

由于化工過(guò)程系統(tǒng)中經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和約束變量與操作變量和設(shè)計(jì)變量的維數(shù)一般不相等，對(duì)于非方系統(tǒng)，可以用偽逆的概念將相對(duì)增益陣推廣到非方系統(tǒng)，非方相對(duì)增益陣(NRGA)表示為

式中，+表示非方陣的偽逆。

當(dāng)r＞m時(shí)，因變量維數(shù)大于自變量維數(shù)，稱為瘦系統(tǒng)，如果S列滿秩，則

當(dāng)r＜m時(shí)，因變量維數(shù)小于自變量維數(shù)，稱為胖系統(tǒng)，如果S行滿秩，則

對(duì)于相對(duì)增益陣（包括非方相對(duì)增益陣）中的元素λij，如果λij= 1，說(shuō)明自變量Uj對(duì)因變量Yi的影響最為顯著，自變量Uj只影響因變量Yi，不影響其他因變量，同樣，因變量Yi只受自變量Uj影響，不受其他自變量影響。因此，欲對(duì)因變量進(jìn)行調(diào)整，應(yīng)當(dāng)選擇最接近于1 的相對(duì)增益對(duì)應(yīng)的自變量進(jìn)行調(diào)節(jié)，這樣對(duì)其他因變量和自變量的影響最小。但是，如果λij= 0，則表明自變量Uj和因變量Yi之間毫無(wú)關(guān)系，就不能選擇自變量Uj對(duì)因變量Yi進(jìn)行調(diào)節(jié)。

1.3 相對(duì)能量增益陣（REGA）

設(shè)計(jì)變量和操作變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響，以及設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量的影響，都是穩(wěn)態(tài)關(guān)系，可以用靈敏度S表示；但是，操作變量對(duì)約束變量的影響具有動(dòng)態(tài)特性，與時(shí)間有關(guān)，必須用動(dòng)態(tài)靈敏度S(t)來(lái)描述，才能與實(shí)際過(guò)程相符合。

穩(wěn)態(tài)靈敏度S可以求解穩(wěn)態(tài)RGA，但對(duì)于動(dòng)態(tài)靈敏度S(t)，在計(jì)算RGA 時(shí)必須考慮動(dòng)態(tài)時(shí)域特性的影響，因此，需要在相對(duì)增益中引入動(dòng)態(tài)信息，本文采用相對(duì)能量增益陣(relative energy gain array,REGA)[29]解決這一問(wèn)題。

對(duì)于動(dòng)態(tài)靈敏度S(t)，將動(dòng)態(tài)過(guò)程中的靈敏度S(t)和動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束時(shí)的穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)的偏差歸一化，得

將eij(t)的平方積分定義為自變量Uj對(duì)因變量Yi進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)的能量消耗，用來(lái)表征動(dòng)態(tài)過(guò)程的特征，得

綜合穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)和能量消耗Eij，就可以兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)信息和動(dòng)態(tài)特性。將穩(wěn)態(tài)靈敏度S(∞)和能量消耗Eij組合，得到能量靈敏度Sˉij

將所有自變量對(duì)因變量的能量靈敏度Sˉij組合起來(lái)，得到能量靈敏度矩陣Sˉ，采用Sˉ計(jì)算相對(duì)增益陣，對(duì)非方系統(tǒng)計(jì)算非方相對(duì)能量增益陣(nonsquare REGA,NREGA)

NREGA具有與非方相對(duì)增益陣相同的性質(zhì)，需要對(duì)因變量Yi進(jìn)行調(diào)整時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇與1 最接近的λij對(duì)應(yīng)的自變量Uj進(jìn)行調(diào)節(jié)，這樣對(duì)整個(gè)過(guò)程系統(tǒng)的影響最?。煌瑫r(shí)，不能選擇與0最接近的λij對(duì)應(yīng)的自變量Uj進(jìn)行調(diào)節(jié)。

2 基于NRGA 和NREGA 的裕量協(xié)調(diào)優(yōu)化方法

首先根據(jù)存在過(guò)程不確定性時(shí)約束變量距離約束邊界的距離確定約束變量的優(yōu)先級(jí)，確定需要調(diào)整其工作點(diǎn)的約束變量；然后根據(jù)操作變量和設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的相對(duì)增益陣確定操作變量和設(shè)計(jì)變量的優(yōu)先級(jí)，按照先操作變量后設(shè)計(jì)變量的順序依次對(duì)約束變量進(jìn)行調(diào)節(jié)，保證對(duì)過(guò)程的經(jīng)濟(jì)性能影響最小并有效移動(dòng)操作點(diǎn)，將其調(diào)整到約束邊界以內(nèi)。

2.1 約束變量?jī)?yōu)先級(jí)

由于實(shí)際的化工問(wèn)題常常是瘦系統(tǒng)，約束變量的維數(shù)往往大大高于操作變量維數(shù)和設(shè)計(jì)變量維數(shù)。各個(gè)約束變量距離約束邊界的程度確定出約束變量的優(yōu)先級(jí)。如果系統(tǒng)約束變量穩(wěn)態(tài)值已知，結(jié)合約束范圍，就可以得到系統(tǒng)關(guān)于約束變量的優(yōu)先級(jí)向量為

式中，η為不確定參數(shù)Δp的變化范圍，Δc為在不確定參數(shù)Δp影響下約束變量變化量，γi為約束變量在Δp影響下與臨近約束邊界的距離歸一化后的數(shù)值。

根據(jù)γi從大到小的順序確定約束變量的優(yōu)先級(jí)，當(dāng)γi≤0，約束未被破壞，γi數(shù)值越大，表明約束變量越接近約束限制；當(dāng)γi＞0，約束被破壞。γi＞0對(duì)應(yīng)的約束變量被確定為需要調(diào)整的約束變量，需要通過(guò)操作變量和設(shè)計(jì)變量的調(diào)節(jié)將其調(diào)整到約束范圍以內(nèi)。

2.2 操作變量?jī)?yōu)先級(jí)

在確定需要對(duì)其調(diào)整的約束變量以后，優(yōu)先采用操作變量對(duì)其進(jìn)行調(diào)整。需要調(diào)整的約束變量與所有的操作變量組成一個(gè)非方系統(tǒng)，按照第1.3節(jié)的方法計(jì)算操作變量對(duì)約束變量的NREGA，記作Λcu。

Λcu每行中越接近于1 的元素，在該行所對(duì)應(yīng)的約束變量需要進(jìn)行調(diào)整時(shí)，其對(duì)應(yīng)位置的操作變量越優(yōu)先進(jìn)行調(diào)節(jié)。

在操作變量對(duì)約束變量進(jìn)行調(diào)整時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量避免對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)產(chǎn)生影響，使經(jīng)濟(jì)指標(biāo)與最優(yōu)設(shè)計(jì)的偏差越小越好，對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)影響更小的操作變量將獲得更高的操作優(yōu)先級(jí)。因此，在確定操作變量?jī)?yōu)先級(jí)時(shí)還應(yīng)該按照第1.2 節(jié)的方法計(jì)算操作變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的NRGA，記作ΛFu。

操作變量對(duì)約束變量的調(diào)整使約束變量遠(yuǎn)離約束邊界，同時(shí)也會(huì)使操作點(diǎn)偏離最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)，造成經(jīng)濟(jì)指標(biāo)下降。為了讓操作變量對(duì)約束變量的調(diào)節(jié)靈敏，同時(shí)減少對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響，將操作變量對(duì)約束變量的NREGA 每行元素減掉操作變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的NRGA的對(duì)應(yīng)元素，得到綜合REGA

2.3 設(shè)計(jì)變量?jī)?yōu)先級(jí)

當(dāng)操作變量到達(dá)自身約束上下限，約束變量仍無(wú)法被調(diào)整到約束邊界以內(nèi)時(shí)，需要進(jìn)一步調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)變量，才能將約束變量調(diào)整到約束邊界以內(nèi)。選取設(shè)計(jì)變量的優(yōu)先級(jí)排序與選取操作變量的優(yōu)先級(jí)排序是類似的。設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響均為穩(wěn)態(tài)模型，可以通過(guò)NRGA 確定不同的設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的靈敏度關(guān)系。

在設(shè)計(jì)變量進(jìn)行調(diào)節(jié)時(shí)，同樣會(huì)對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)同時(shí)產(chǎn)生影響，增大設(shè)計(jì)裕量，能夠使約束變量返回約束邊界內(nèi)，同時(shí)也會(huì)增大設(shè)備投資和操作費(fèi)用，造成經(jīng)濟(jì)指標(biāo)下降。理想的設(shè)計(jì)變量應(yīng)該對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)不敏感，而對(duì)約束變量有足夠的靈敏度，因此，將設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量的NRGA每行減掉設(shè)計(jì)變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的NRGA向量，得到綜合RGA

2.4 操作變量與設(shè)計(jì)變量的協(xié)調(diào)優(yōu)化

在不確定參數(shù)發(fā)生波動(dòng)引起約束變量超出約束邊界時(shí)，應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案或者增加設(shè)計(jì)裕量使約束變量返回約束區(qū)間內(nèi)，并應(yīng)盡可能對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)產(chǎn)生最小的影響，保證增加裕量后的設(shè)計(jì)方案與不確定參數(shù)未發(fā)生波動(dòng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案偏離最小。

首先，根據(jù)第2.1 節(jié)確定約束變量?jī)?yōu)先級(jí)，根據(jù)約束優(yōu)先級(jí)向量Γ將約束變量排序，依次選擇γi＞0 的約束變量組成違反約束的約束變量集合ce，違反約束的約束變量需要通過(guò)操作變量調(diào)整到約束范圍以內(nèi)，其調(diào)整量為Δce=[Δce,i]。

對(duì)于約束變量的調(diào)整量集合Δce，首先應(yīng)動(dòng)用操作變量對(duì)其進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)第2.2 節(jié)計(jì)算操作變量對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的綜合REGA，違反約束的約束變量選擇相應(yīng)的操作變量組成需要調(diào)節(jié)的操作變量集合ue。但是操作變量的變化范圍也是受到限制的，當(dāng)操作變量的調(diào)節(jié)量到達(dá)其上下限后就不能再發(fā)生變化，操作變量調(diào)節(jié)量計(jì)算如下

當(dāng)操作變量到達(dá)其上下限，約束變量仍然違反約束，此時(shí)約束變量的值為

對(duì)此時(shí)的約束變量c′根據(jù)第2.1 節(jié)計(jì)算約束優(yōu)先級(jí)向量Γ，依次選擇γi＞0 的約束變量組成違反約束的約束變量集合c′e，c′e的調(diào)整量為Δc′e=[Δc′e,i]。

對(duì)于Δc′e，需要對(duì)設(shè)計(jì)變量增加裕量繼續(xù)對(duì)約束變量進(jìn)行調(diào)整，直到約束變量返回到約束范圍以內(nèi)。根據(jù)第2.3 節(jié)計(jì)算設(shè)計(jì)變量對(duì)約束變量和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的綜合RGA，對(duì)違反約束的約束變量選擇相應(yīng)的設(shè)計(jì)變量組成需要增加裕量的設(shè)計(jì)變量集合de，設(shè)計(jì)變量需要增加的裕量計(jì)算如下

通過(guò)以上步驟，針對(duì)不確定性對(duì)約束的影響，選擇對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)影響小、被破壞的約束影響大的操作變量和設(shè)計(jì)變量，對(duì)操作變量進(jìn)行合理調(diào)節(jié)，對(duì)設(shè)計(jì)變量增加裕量，不需要進(jìn)行優(yōu)化，也可以獲得合理的化工過(guò)程設(shè)計(jì)。以上步驟可以歸結(jié)為流程圖如圖1所示。

圖1 化工過(guò)程協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)流程Fig.1 Flow chart of the coordinated optimal margin design method

3 實(shí)例分析

以串聯(lián)反應(yīng)釜為例對(duì)本文基于相對(duì)增益和優(yōu)先級(jí)的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并與求解經(jīng)濟(jì)最優(yōu)化問(wèn)題的裕量設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了對(duì)比。

串聯(lián)連續(xù)反應(yīng)釜由兩個(gè)液相全返混床反應(yīng)器(continuous stirred tank reactor, CSTR)和一個(gè)中間混合槽構(gòu)成，如圖2 所示。液相物料1 進(jìn)入反應(yīng)釜1，而液相物料2 進(jìn)入一個(gè)混合槽與反應(yīng)釜1 的出料混合進(jìn)入反應(yīng)釜2。液相物料在攪拌器的攪拌作用下發(fā)生一階不可逆放熱反應(yīng)。由于該反應(yīng)為放熱反應(yīng)，因此需要在反應(yīng)釜設(shè)置循環(huán)冷卻水取走熱量，保證反應(yīng)器的熱穩(wěn)定性。

圖2 串聯(lián)CSTR工藝流程Fig.2 Process flow diagram of 2 CSTR in series

在建模時(shí)需要作如下簡(jiǎn)化假定：

(1) 混合物的密度是恒定的，與溫度和濃度無(wú)關(guān)；

(2)液相物料的比熱容也是常數(shù)，與其溫度和組成無(wú)關(guān)；

(3)兩個(gè)CSTR 的液體體積不是恒定的，與入口流量有關(guān)。

根據(jù)化工生產(chǎn)方面的知識(shí)，通過(guò)物料衡算和熱量衡算，引入反應(yīng)速率方程，通過(guò)機(jī)理分析建立串聯(lián)液相連續(xù)反應(yīng)釡的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

反應(yīng)速率按照一階反應(yīng)建模，得

系統(tǒng)的輸出變量為兩個(gè)CSTR 的物料濃度Ci=1,2，溫度Ti=1,2和液體體積Vi=1,2。操作變量為第一個(gè)CSTR 的進(jìn)料流量Qf1，中間混合罐的進(jìn)料流量Qf2，以及兩個(gè)CSTR 的冷卻劑流量Qcw1和Qcw2。設(shè)計(jì)變量為兩個(gè)CSTR反應(yīng)器體積Vd1和Vd2。

過(guò)程系統(tǒng)需要滿足的約束如下：

(1)為了避免失控和生成不希望的副產(chǎn)品,限制兩個(gè)反應(yīng)器的溫度

以上約束轉(zhuǎn)化為約束變量c和約束邊界cb的形式

式中，F(xiàn)為經(jīng)濟(jì)效益[31]。

利用gPROMS 軟件求解該最優(yōu)化問(wèn)題，得到最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益F為1390。設(shè)計(jì)變量最優(yōu)值為

根據(jù)γi＞0選定c2和c5為需要調(diào)整的約束變量，約束變量的調(diào)整量為

應(yīng)確定合適的操作變量的調(diào)節(jié)方案Δu或增加設(shè)計(jì)裕量Δd使約束不被破壞。期望Δc2、Δc5向負(fù)方向移動(dòng)距離應(yīng)至少為2，以抵消不確定參數(shù)p的不利影響。優(yōu)先調(diào)節(jié)操作變量u來(lái)達(dá)到上述目的，當(dāng)u到達(dá)其上限或下限時(shí)，則應(yīng)預(yù)先增加設(shè)計(jì)裕量Δd來(lái)補(bǔ)齊，最終使約束變量回到約束范圍以內(nèi)。

操作變量對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的NRGA為

結(jié)合調(diào)節(jié)靈敏度和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的操作變量綜合NREGA為

很明顯如此操作，Qf1和Qf2超出了約束限制，得到的Δue是不符合要求的，實(shí)際可以投入的Δue應(yīng)卡住操作變量的約束下限，即

操作變量調(diào)節(jié)到達(dá)約束邊界后，約束變量c2和c5的值為1.469 和1.239，仍大于0，超出約束范圍。此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有合適的操作變量來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)約束變量到達(dá)約束以內(nèi)，所以需要增加設(shè)計(jì)裕量Δd進(jìn)一步調(diào)節(jié)約束變量。約束變量c2和c5的調(diào)整量為

結(jié)合調(diào)節(jié)靈敏度和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的設(shè)計(jì)變量綜合NRGA為

最終通過(guò)施加操作變量的調(diào)節(jié)方案和增加設(shè)計(jì)裕量，系統(tǒng)到達(dá)了新的穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)點(diǎn)，該設(shè)計(jì)點(diǎn)可以抗衡不確定參數(shù)變化的影響。在新的穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)點(diǎn)，其經(jīng)濟(jì)性能有所損失，系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)F為1215。但是這樣的設(shè)計(jì)卻保證了約束變量在約束范圍以內(nèi)，可以克服進(jìn)料量波動(dòng)的影響，保證裝置安全運(yùn)行。

如果利用gPROMS 軟件求解最優(yōu)化問(wèn)題，所確立的最優(yōu)化問(wèn)題包含29 個(gè)模型方程，6 個(gè)優(yōu)化變量（其中4個(gè)操作變量，2個(gè)設(shè)計(jì)變量）。考慮進(jìn)料量波動(dòng)的條件下，通過(guò)調(diào)節(jié)操作變量和增加設(shè)計(jì)裕量滿足過(guò)程約束，經(jīng)濟(jì)指標(biāo)F為1239。最優(yōu)化方法和本文方法的求解結(jié)果及性能的對(duì)比如表1所示。

表1 求解方法性能及結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparison of algorithm performance and results between two methods

本文提出的方法不需要求解優(yōu)化問(wèn)題，所需消耗的計(jì)算機(jī)時(shí)間忽略不計(jì)，與最優(yōu)化結(jié)果相比經(jīng)濟(jì)指標(biāo)僅下降了1.96%，其他數(shù)值結(jié)果也基本接近，因此本文提出的基于相對(duì)增益和優(yōu)先級(jí)的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)方法直觀明了，操作性更好。本實(shí)例中的串聯(lián)CSTR 模型規(guī)模僅為29 個(gè)方程和6 個(gè)優(yōu)化變量，采用gPROMS 軟件求解最優(yōu)化問(wèn)題所需求解時(shí)間為4.0 s。現(xiàn)實(shí)化工過(guò)程的規(guī)模要比串聯(lián)CSTR 系統(tǒng)規(guī)模大得多，對(duì)于大型化工過(guò)程求解最優(yōu)化問(wèn)題，其時(shí)間成本將非常龐大，本文所提出方法則更為輕量便捷。

4 結(jié) 論

本文提出了一種不需要求解最優(yōu)化問(wèn)題的協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)方法，該方法以一定的經(jīng)濟(jì)性能犧牲為代價(jià)，以NRGA 和NREGA 作為主要數(shù)學(xué)工具，描述化工過(guò)程設(shè)計(jì)的自變量和因變量的靈敏度關(guān)系。根據(jù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)和約束變量的相對(duì)增益對(duì)操作變量和設(shè)計(jì)變量劃分優(yōu)先級(jí)，按照優(yōu)先級(jí)依次調(diào)整各操作變量和設(shè)計(jì)變量，可以協(xié)調(diào)地給定合適的操作點(diǎn)方案和設(shè)計(jì)裕量。本文以串聯(lián)反應(yīng)釜為例論證了該設(shè)計(jì)方法的可行性和便捷性，相對(duì)于求解最優(yōu)化問(wèn)題的方法，直觀明了，操作性好，計(jì)算簡(jiǎn)單，無(wú)須求解最優(yōu)化問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)性能也犧牲不大。

最后，需要指出本文所提方法也存在一定的局限性。本文所計(jì)算出的靈敏度都是基于穩(wěn)態(tài)最優(yōu)點(diǎn)處的系統(tǒng)標(biāo)稱值而生成的。靈敏度模型本質(zhì)上是線性的，因此當(dāng)不確定參數(shù)p變化范圍過(guò)大，導(dǎo)致系統(tǒng)偏離標(biāo)稱工作點(diǎn)過(guò)大時(shí)，求出的靈敏度模型就會(huì)存在過(guò)大的誤差，計(jì)算出的Δu和Δd將不夠準(zhǔn)確。在這種情況下，可考慮采用“分片線性化”的方法。首先限定p的變化量，將約束變量需調(diào)整量減至一個(gè)較小的程度，計(jì)算相應(yīng)的操作變量調(diào)整量和設(shè)計(jì)變量裕量，將其應(yīng)用到設(shè)計(jì)對(duì)象上，重新確立一個(gè)新的穩(wěn)態(tài)點(diǎn)；然后逐步增加p的變化量，更新約束變量需調(diào)整量，計(jì)算增加的操作變量調(diào)整量和設(shè)計(jì)變量裕量，重復(fù)此過(guò)程，逐漸得到符合p的變化范圍要求的設(shè)計(jì)結(jié)果。此改進(jìn)方法實(shí)質(zhì)上是用多個(gè)分段線性化模型對(duì)非線性模型進(jìn)行擬合，用擬合后的分段線性化模型進(jìn)行本文的化工過(guò)程協(xié)調(diào)優(yōu)化裕量設(shè)計(jì)。

符 號(hào) 說(shuō) 明

A——傳熱面積，m2

C——反應(yīng)釜原料A的濃度，mol·m-3

Cf——進(jìn)料中原料A的濃度，mol·m-3

Cm——混合槽原料A的濃度，mol·m-3

cp——反應(yīng)物比定壓熱容，J·kg-1·K-1

cpc——冷卻水比定壓熱容，J·m-3·K-1

E——化學(xué)反應(yīng)活化能，J·mol-1

F——經(jīng)濟(jì)效益

ΔH——反應(yīng)熱，J·mol-1

K——反應(yīng)速率，mol·s-1

k——反應(yīng)釜出口閥門常數(shù)，m3/2·s-1

k0——Arrhenius關(guān)系式指前因子，s-1

Q——反應(yīng)釜出口流量，m3·s-1

Qcw——冷卻水流量，m3·s-1

Qf——入口流量，m3·s-1

Qm——混合槽出口流量，m3·s-1

qcool——單位時(shí)間冷卻水吸收的熱量，J·s-1

R——理想氣體常數(shù)，J·mol-1·K-1

T——反應(yīng)釜物料溫度，K

Tc——冷卻水溫度，K

Tf——進(jìn)料溫度，K

Tm——混合槽物料溫度，K

U——總傳熱系數(shù)，J·m-2·K-1·s-1

V——反應(yīng)釜物料體積，m3

ρ——反應(yīng)物密度，kg·m-3

ρc——冷卻水密度，kg·m-3

下角標(biāo)

in——冷卻水進(jìn)料

out——冷卻水出料

1——第1個(gè)CSTR

2——第2個(gè)CSTR