馬 宸，張 鈺

(昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500)

0 引 言

阿爾伯特·愛因斯坦發(fā)表廣義相對(duì)論幾個(gè)月后，卡爾·史瓦西便首次推導(dǎo)出廣義相對(duì)論的一個(gè)靜態(tài)球?qū)ΨQ穩(wěn)定黑洞解[1].人們對(duì)r=2m處，即史瓦西視界處的奇異性做了許多研究，并確定其為坐標(biāo)奇點(diǎn)而非時(shí)空奇點(diǎn)[2-3].直到1960年，克魯斯卡才提出史瓦西流形的最大延拓，即克魯斯卡坐標(biāo)系[4].另外，人們對(duì)extended scalar-tensor-Gauss-Bonnet(ESTGB)理論的各個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)研究.在文獻(xiàn)[5]中，該理論可以描述當(dāng)前處于加速膨脹階段的宇宙，并可以導(dǎo)出一個(gè)物質(zhì)主導(dǎo)的時(shí)代會(huì)過渡到后期的加速膨脹階段[6].文獻(xiàn)[7]考慮了給定標(biāo)度因子的耦合和勢函數(shù)的可能重構(gòu)，而在文獻(xiàn)[8]也考慮了膨脹宇宙中ESTGB理論的結(jié)果.本文所研究的黑洞是Caate和Bergliaffa提出的3+1維ESTGB理論與一種特殊形式的非線性電動(dòng)力學(xué)(NLED)耦合場方程的第一個(gè)精確黑洞解[9]，其度規(guī)為：

ds2=-f(r)dt2+f(r)-1dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2)

(1)

其中：

(2)

對(duì)于這種結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[9]給出了分析，實(shí)標(biāo)量場構(gòu)成了一根第二類合法的毛，因?yàn)樗碾姾膳c黑洞的磁荷成正比，在弱場近似下，NLED可以回到線性電動(dòng)力學(xué).通過要求有效能動(dòng)張量和NLED張量都滿足弱能量條件，表明此黑洞解只允許m>0，q<0的值.本文的分析也僅僅約束在這種情況下.此時(shí)，黑洞解類似于RN黑洞增加了標(biāo)量毛：它可以有兩個(gè)、一個(gè)或沒有視界，在零磁荷的極限下，恢復(fù)為史瓦西解.

1 光子的有效勢和徑向測地線

首先考慮黑洞時(shí)空(1)式中光子的測地線.在彎曲時(shí)空中，光子的測地線方程為：

(3)

其中λ為仿射參數(shù).由于此黑洞時(shí)空具有時(shí)間平移對(duì)稱性和空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，即存在Killing矢量場?t和?φ，它們分別對(duì)應(yīng)能量守恒和角動(dòng)量守恒.能量和角動(dòng)量分別定義為：

(4)

由于角動(dòng)量守恒，其方向不會(huì)改變，意味著光子的運(yùn)動(dòng)總在一個(gè)平面內(nèi).不失一般性，可以選擇θ=π/2平面.因此在后文的討論中，只討論θ=π/2平面上的運(yùn)動(dòng).此時(shí)，守恒量變?yōu)椋?/p>

(5)

對(duì)于光子，考慮到零曲線條件，有：

(6)

對(duì)于黑洞(1)式，此關(guān)系給出：

(7)

將(5)式代入(7)式，可得到：

(8)

其中Veff(r)為有效勢，定義為：

(9)

對(duì)于徑向運(yùn)動(dòng)的光子，有L=0，此時(shí)有效勢為Veff(r)=0.若取仿射參數(shù)為時(shí)間t，光子的徑向運(yùn)動(dòng)方程為：

(10)

其解析解為：

(11)

其中κ是量綱為[L]-1的常數(shù)，且：

(12)

作出了這簇解在m=1，q=-1的圖像，如圖1所示.

圖1 m = 1, q =-1時(shí)，光子在時(shí)空圖中的世界線構(gòu)成的Caate-Bergliaffa黑洞時(shí)空光錐

由圖1可以看出，當(dāng)m=1，q=-1時(shí)，黑洞有兩個(gè)視界，時(shí)空區(qū)域被兩個(gè)黑洞視界分為3部分.在最外層部分或最內(nèi)層部分，即r>r+或rr+或r

然而這個(gè)黑洞時(shí)空在上述坐標(biāo)系看來，似乎在r=r+和r=r-處有奇異性，光子從外界運(yùn)動(dòng)到視界處似乎需要無窮多的時(shí)間.

原則上可以直接用第1節(jié)求出的解析解來作坐標(biāo)變換，但由于解析解的復(fù)雜性，直接代進(jìn)去后的結(jié)果太混亂了，沒有啟發(fā)性.為了使結(jié)果顯示得更為簡潔，對(duì)于非極端黑洞，可以將(2)式改寫為如下形式：

(13)

引入烏龜坐標(biāo)變換：

(14)

即：

(15)

其中：

(16)

引入兩個(gè)類光坐標(biāo)分別為u=t+r*和v=t-r*，分別在r=r+和r=r-附近構(gòu)造克魯斯卡坐標(biāo).

在r=r+附近，克魯斯卡坐標(biāo)為：

U+=eκ+u,V+=?e-κ+v

(17)

當(dāng)r>r+時(shí)，即外視界之外處，V+取負(fù)號(hào)；當(dāng)r

(18)

其中r2dΩ2表示球?qū)ΨQ項(xiàng)，而r由U+V+隱式表出：

(19)

由此可見，r>r+時(shí)，等r線類時(shí)；r-

圖2 在Caate-Bergliaffa黑洞外視界r=r+附近的克魯斯卡坐標(biāo)系

在r=r-附近，克魯斯卡坐標(biāo)為：

U-=-eκ-u,V+=?e-κ-v

(20)

當(dāng)r>r-時(shí)，即內(nèi)視界之外處，V-取負(fù)號(hào)；當(dāng)r

(21)

其中r由U-V-隱式表出：

(22)

由此可見，r

圖3 在Caate-Bergliaffa黑洞內(nèi)視界r=r-附近的克魯斯卡坐標(biāo)系

3 結(jié) 論