劉 超，劉文光

（南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

0 引 言

功能梯度材料（Functionally Graded Materials，簡(jiǎn)稱FGMs）作為一種新型復(fù)合材料，由于其物理屬性沿著空間位置梯度分布，具有耐高溫、高強(qiáng)度、低質(zhì)量、有效緩解熱應(yīng)力集中等諸多優(yōu)點(diǎn)[1-3]，在航空航天和機(jī)械工程等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

因?yàn)閳A柱殼大量應(yīng)用于客機(jī)的機(jī)身、輪船推進(jìn)系統(tǒng)等領(lǐng)域，而且這些結(jié)構(gòu)通常服役于復(fù)雜的多場(chǎng)耦合環(huán)境中，所以FGMs 圓柱殼的設(shè)計(jì)得到研究者的關(guān)注[4-5]。FGMs 作為一種先進(jìn)材料，受其制造技術(shù)的限制，材料內(nèi)部可能存在諸如氣孔等缺陷[6-7]。氣孔的存在不僅影響材料的聲學(xué)特性和傳熱性能，而且還影響材料的力學(xué)行為。近年來，越來越多的研究者開始分析材料孔隙率對(duì)功能梯度殼力學(xué)行為的影響。利用一種新的半解析法，Li等[8]研究了任意邊界條件下含孔隙FGMs殼的自由振動(dòng)行為；基于正弦剪切理論和Rayleigh-Ritz 法，Wang 等[9]研究了不同孔隙分布形式下FGMs 殼的自由振動(dòng)特性；基于一階剪切變形理論和修正的偶應(yīng)力理論，Ghadiri等[10]研究了熱環(huán)境下含多孔FGMs殼的自由振動(dòng)問題。

由于FGMs 的性質(zhì)受體積分?jǐn)?shù)定律的支配，調(diào)整FGMs的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)即可改變結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和熱傳導(dǎo)性能，所以研究者通過提出不同體積分?jǐn)?shù)模型來設(shè)計(jì)FGMs以滿足工程結(jié)構(gòu)在特定環(huán)境下的功能需求?，F(xiàn)行研究中，基于冪律分布體積分?jǐn)?shù)模型的FGMs 應(yīng)用最為廣泛[11]。以此為基礎(chǔ)，研究者陸續(xù)提出了新的FGMs模型。Arshad等[12]將冪律分布體積分?jǐn)?shù)模型修改為底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)分布模型；進(jìn)一步地，Shah 等[13]把指數(shù)體積分?jǐn)?shù)模型修改為廣義的指數(shù)體積分?jǐn)?shù)模型。但是，由于基于冪律分布或指數(shù)分布體積分?jǐn)?shù)模型設(shè)計(jì)的FGMs結(jié)構(gòu)可能在連續(xù)但快速變化的材料界面上出現(xiàn)應(yīng)力集中，所以Chi 等[14]提出了一種Sigmoid 型分段體積分?jǐn)?shù)模型，該模型結(jié)構(gòu)可以在一定程度上降低應(yīng)力集中的影響。以Sigmoid 型FGMs（S-FGM）圓柱殼為對(duì)象，Nguyen 等[15]采用三階剪切變形理論研究了含孔隙S-FGMs圓柱殼的非線性動(dòng)力響應(yīng)；Wang等[16]采用伽遼金法及諧波平衡法研究了縱向運(yùn)動(dòng)S-FGMs板的非線性受迫振動(dòng)特性。

工程實(shí)際應(yīng)用中，因?yàn)镕GMs圓柱殼經(jīng)常與一些彈性介質(zhì)接觸，比如航天飛機(jī)推進(jìn)劑罐、裝滿固體推進(jìn)劑的彈道導(dǎo)彈外殼、地上和地下的儲(chǔ)液罐、地下管道以及換熱器/冷凝器等，在影響FGMs 圓柱殼振動(dòng)特性的諸多因素中，彈性基礎(chǔ)是其中之一。因此，有必要了解FGMs 圓柱殼與彈性地基間的相互作用，分析彈性基礎(chǔ)作用下FGMs 圓柱殼的振動(dòng)特性[17-18]。盡管如此，很少有研究者探討彈性介質(zhì)作用下含孔隙S-FGMs圓柱殼的自由振動(dòng)行為。本文利用Sanders殼體理論和Rayleigh-Ritz 法研究含孔隙S-FGMs圓柱殼在熱載荷和軸向荷載作用下的模態(tài)頻率，并分析非線性溫升、孔隙率、S型體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和彈性基礎(chǔ)參數(shù)等對(duì)S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。

1 功能梯度圓柱殼的幾何模型

如圖1 所示，假設(shè)FGMs 圓柱殼環(huán)向均勻分布Winkler 型彈簧，彈性系數(shù)為Rw，且圓柱殼內(nèi)部存在均勻分布的孔隙I模型或者非均勻分布的孔隙II模型。圓柱殼的幾何參數(shù)包括：長(zhǎng)度L、厚度h和中面半徑R。分析時(shí)，圓柱殼的材料屬性只沿厚度方向連續(xù)變化，圓柱殼的外表面為純金屬，內(nèi)表面為純陶瓷。取圓柱殼的中面建立如圖1所示的正交曲面坐標(biāo)系（x,θ,z），坐標(biāo)系x、θ、z方向的位移分量分別用u、v、w表示。

圖1 含孔隙FGMs圓柱殼Fig.1 FGMs cylindrical shell with porosity

2 功能梯度材料的熱物理屬性

式中，N是體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，取值0≤N＜∞，V1m和V2m分別表示不同區(qū)間段的體積分?jǐn)?shù)，該體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向的變化趨勢(shì)如圖2所示。

圖2 S-FGMs殼分段體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向變化趨勢(shì)Fig.2 Piecewise volume fraction of S-FGMs shell along the thickness direction

結(jié)合Sigmoid 型分段體積分?jǐn)?shù)，S-FGMs 的有效物性參數(shù)表達(dá)式為

熱環(huán)境下，假設(shè)S-FGMs 圓柱殼內(nèi)沿厚度方向非線性分布溫升，殼內(nèi)表面（z=-h/2）的溫度為Tc、外表面（z=h/2）的溫度為Tm。取環(huán)境溫度Tm=300 K，圓柱殼內(nèi)部無熱應(yīng)力。由穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程以及熱邊界條件得到沿厚度方向分布的溫升T（z）為

式中，kcm=kc-km，且kc和km分別表示陶瓷和金屬的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

通過式（9）和式（10）可計(jì)算S-FGMs圓柱殼沿厚度方向的溫差ΔT=T（z）-Tm。鑒于彈性模量相對(duì)于熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度等參數(shù)對(duì)S-FGMs 殼剛度的影響更大，下面只探討非線性溫升Tcm=200 K 下S-FGMs殼彈性模量與空間位置和孔隙率之間的關(guān)系。如圖3所示，無孔隙S-FGMs的彈性模量總是大于含孔隙的S-FGMs，而非均勻分布孔隙S-FGMs的彈性模量基本大于均勻分布孔隙的S-FGMs。

圖3 含孔隙S-FGMs有效彈性模量變化趨勢(shì)Fig.3 Effective elastic modulus of S-FGMs with porousity

3 S-FGMS圓柱殼的自由振動(dòng)

式中，gi（i=1，…，4）為方程系數(shù)。

假設(shè)S-FGMs 殼由不銹鋼和氧化鋯組成，材料參數(shù)見表1。忽略環(huán)向彈性基礎(chǔ)、溫度載荷以及軸向荷載的作用，取N=1，L/R=20，h/R=0.05?；跍囟瓤刂频木€性離散分層建模方法，利用Abaqus 建立S-FGMs殼的有限元模型。表2顯示了無孔隙S-FGMs殼在自由邊界條件下模態(tài)頻率和環(huán)向波數(shù)的關(guān)系，結(jié)果表明，采用式（25）求解的模態(tài)頻率與有限元求解的模態(tài)頻率基本吻合，誤差在一定范圍內(nèi)，即S-FGMs 殼模態(tài)頻率方程可行。進(jìn)一步地，假設(shè)FGMs 殼由不銹鋼和鎳組成，體積分?jǐn)?shù)采用Vm=（z/h+0.5）N。取N=0.5，h/R=0.002，L/R=20，n=1，λ=mπ/L，Rw=1.5×107N/m2，圖4 顯示了FGMs 殼在環(huán)向彈性基礎(chǔ)下模態(tài)頻率與軸向參數(shù)λ之間的關(guān)系。結(jié)果表明，本文模型分析結(jié)果與文獻(xiàn)[20]結(jié)果十分吻合，驗(yàn)證了模型的合理性。

表1 ZrO2-SUS304溫敏特性系數(shù)[2,4]Tab.1 Temperature-dependent coefficients for ZrO2-SUS304[2,4]

圖4 環(huán)向彈性基礎(chǔ)下FGMs殼模態(tài)頻率比較Fig.4 Comparison of the modal frequencies of an FGMs shell surrounded by elastic foundation

表2 S-FGMs殼模態(tài)頻率對(duì)比分析Tab.2 Comparison of the modal frequencies for an S-FGMs shell

4 結(jié)果與討論

本章以含孔隙S-FGMs圓柱殼為對(duì)象，圓柱殼由不銹鋼和氧化鋯組成，分析熱荷載、彈性荷載以及軸向載荷作用下圓柱殼的模態(tài)頻率。

數(shù)值計(jì)算時(shí)，除特別說明外，圓柱殼的幾何參數(shù)均取L=10 m，h=0.01 m，R=1 m，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1，溫度梯度Tcm=700 K，（m，n）=（1，1）。

圖5顯示了不同孔隙率體積分?jǐn)?shù)時(shí)，溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析發(fā)現(xiàn)：

（1）χ一定時(shí)，增大Tcm會(huì)減小S-FGMs 圓柱殼的模態(tài)頻率；增大振動(dòng)波數(shù)（m，n）會(huì)減小Tcm對(duì)SFGMs 圓柱殼模態(tài)頻率的影響；振動(dòng)波數(shù)（m，n）=（4，4）時(shí)Tcm對(duì)模態(tài)頻率的影響非常小，但是χ對(duì)模態(tài)頻率的影響隨振動(dòng)波數(shù)(m,n)的增大而增大。

（2）Tcm一定時(shí)，S-FGMs 的模態(tài)頻率會(huì)隨著χ的增大而增大；χ為零時(shí)，I型孔隙圓柱殼的模態(tài)頻率等于II 型孔隙圓柱殼的模態(tài)頻率；χ不為零時(shí)，I 型孔隙的模態(tài)頻率總是大于II 型孔隙的模態(tài)頻率，同時(shí)I型孔隙模態(tài)頻率的增長(zhǎng)率也比II型孔隙模態(tài)頻率的增長(zhǎng)率高。究其原因，孔隙的出現(xiàn)對(duì)圓柱殼剛度的影響主要體現(xiàn)在材料的有效彈性模量和有效密度上；其中，II型孔隙模型的有效彈性模量總是大于I型孔隙模型的有效彈性模量，而I型孔隙模型的有效質(zhì)量密度總是小于II型孔隙模型的有效質(zhì)量密度。換而言之，I型孔隙對(duì)圓柱殼質(zhì)量削減造成結(jié)構(gòu)整體剛度上升的貢獻(xiàn)大于II型孔隙彈性模量對(duì)圓柱殼剛度提升的貢獻(xiàn)。

（3）由圖3 已知含II 型孔隙S-FGMs 的彈性模量大于含I 型孔隙S-FGMs 的彈性模量，結(jié)合圖5 可以說明I 型孔隙對(duì)S-FGMs 圓柱殼剛度的影響更大。分析認(rèn)為，這主要是由于S-FGMs 殼內(nèi)孔洞的出現(xiàn)類似于一種桁架結(jié)構(gòu)，一定程度上孔隙率的出現(xiàn)不僅減少了S-FGMs 殼結(jié)構(gòu)的重量，而且提高了圓柱殼的剛度。因此，設(shè)計(jì)I型孔隙圓柱殼，可為工程應(yīng)用中如何降低自重和提高結(jié)構(gòu)剛度提供重要的參考依據(jù)。

圖5 不同孔隙率體積分?jǐn)?shù)時(shí)溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.5 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different porous volume fractions

圖6顯示了不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，溫度梯度對(duì)含孔隙S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析表明：

圖6 不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.6 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different volume fraction indexes

（1）N對(duì)I型和II型孔隙圓柱殼模態(tài)頻率的影響規(guī)律相似，只是在數(shù)值上有差異。

（2）Tcm較小時(shí)，N對(duì)模態(tài)頻率的影響很小，N對(duì)模態(tài)頻率的影響隨著Tcm的增大越來越顯著，且Tcm對(duì)N較小時(shí)的模態(tài)頻率的影響更大。

（3）N等于0 時(shí)，垂直于厚度方向所有平面的組分含量由50%的金屬和50%的陶瓷組成，對(duì)應(yīng)的圓柱殼模態(tài)頻率比N等于0.2時(shí)大，而比N等于1時(shí)??；隨著N的增大，S-FGMs殼的模態(tài)頻率也越來越大。這是因?yàn)檩^小的Tcm對(duì)材料內(nèi)部總體剛度影響不大，模態(tài)頻率基本無差異；Tcm較大時(shí)，隨著N的增大，圓柱殼內(nèi)表面陶瓷的含量越來越多，外表面金屬的含量也越來越多；由于陶瓷的隔熱性、耐熱性較好，與金屬比較，受熱的影響更小。因此，當(dāng)FGMs 應(yīng)用到高溫領(lǐng)域，采用S 型分段體積分?jǐn)?shù)并增大N，不僅結(jié)構(gòu)的剛度不會(huì)隨著溫度的升高而減小，而且組分含量中有一定量的金屬具備足夠的強(qiáng)度，能夠抵抗一定的破壞。

假設(shè)軸向荷載受壓為正，受拉為負(fù)，圖7顯示了不同軸向載荷下，溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析表明：

圖7 不同軸向荷載時(shí)溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.7 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different axial loads

（1）無論是I型還是II型孔隙，軸向壓力Na都會(huì)讓S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率升高。

（2）當(dāng)Na小于S-FGMs 圓柱殼屈曲載荷Ncr時(shí)，模態(tài)頻率的變化非常小。究其原因，Na遠(yuǎn)小于圓柱殼的自身剛度，因此對(duì)模態(tài)頻率的影響很?。划?dāng)Na大于S-FGMs殼的Ncr且逐漸增大時(shí)，S-FGMs殼的模態(tài)頻率會(huì)產(chǎn)生較為顯著的變化，主要在于Na對(duì)S-FGMs圓柱殼剛度的影響逐漸增大并趨近于S-FGMs殼的自身剛度。

（3）I 型和II 型孔隙S-FGMs 殼的剛度隨著溫度的升高逐漸減小，導(dǎo)致模態(tài)頻率逐漸減小，并呈現(xiàn)非線性的變化規(guī)律。

圖8顯示了不同彈性基礎(chǔ)時(shí)，溫度梯度S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。分析表明：

圖8 不同彈性基礎(chǔ)下溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.8 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different elastic foundations

（1）I型孔隙總是大于II型孔隙的模態(tài)頻率。

（2）溫度梯度對(duì)不同彈性基礎(chǔ)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響較小。

（3）含彈性基礎(chǔ)S-FGMs 圓柱殼的模態(tài)頻率是無彈性基礎(chǔ)殼模態(tài)頻率的8～10 倍。應(yīng)用中，當(dāng)SFGMs 殼的幾何尺寸、邊界條件等不便改變時(shí)，可施加彈性基礎(chǔ)提高S-FGMs 殼剛度，防止低頻共振等危害。但隨著彈性基礎(chǔ)參數(shù)的不斷增大，S-FGMs殼的模態(tài)頻率呈現(xiàn)收斂的趨勢(shì)。

由于I型和II型孔隙對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響規(guī)律相似，下文只考慮I型孔隙對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。圖9 顯示了不同孔隙率、軸向荷載及彈性基礎(chǔ)等參數(shù)時(shí)，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)S-FGMs 殼模態(tài)頻率的影響。分析表明：

圖9 不同參數(shù)下體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.9 Effects of volume fraction index on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

（1）不同孔隙率和軸向荷載下，隨著N的逐漸增大，圓柱殼模態(tài)頻率均呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì)，并且在N等于0.5左右時(shí)出現(xiàn)頻率最低值。

（2）不同彈性基礎(chǔ)參數(shù)下，N對(duì)S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率基本無影響。

（3）調(diào)控N不僅可以提高圓柱殼的剛度和耐熱性，而且S-FGMs殼模態(tài)頻率的變化率很小，這說明采用S型分段體積分?jǐn)?shù)材料更容易使圓柱殼結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定服役的狀態(tài)。

圖10分別顯示了不同長(zhǎng)徑比下孔隙率、軸向荷載和彈性參數(shù)對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率的影響。分析表明：

圖10 不同參數(shù)下長(zhǎng)徑比對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.10 Effects of L/R on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

（1）隨著圓柱殼長(zhǎng)徑比的逐漸增大，模態(tài)頻率逐漸減小且最終呈現(xiàn)收斂性。

（2）長(zhǎng)徑比較小時(shí)，孔隙率體積分?jǐn)?shù)和軸向荷載對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率的影響更為顯著。隨著彈性參數(shù)逐漸增大至0.5左右，模態(tài)頻率呈現(xiàn)快速增大后趨于穩(wěn)定的規(guī)律。

5 結(jié) 論

本文基于Sanders 薄殼殼體理論和Rayleigh-Ritz 法推導(dǎo)了含孔隙金屬陶瓷功能梯度圓柱殼的自由振動(dòng)方程，探討了熱荷載、彈性基礎(chǔ)以及軸向荷載作用下模態(tài)頻率的變化趨勢(shì)。主要結(jié)論如下：

（1）在同一孔隙率體積分?jǐn)?shù)下，I型孔隙模型相較II型孔隙模型對(duì)剛度更為敏感，提高結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率更為明顯，工程應(yīng)用中可注重采用I型孔隙模型。

（2）S-FGMs 殼在低振動(dòng)波數(shù)下，溫度梯度相較孔隙率體積分?jǐn)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響更大，而在高振動(dòng)波數(shù)下，孔隙率對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響起主導(dǎo)地位；采用S 型分段體積分?jǐn)?shù)，并增大該體積分?jǐn)?shù)指數(shù)不僅能夠削弱圓柱殼剛度受溫度梯度的影響，而且組分含量中有一定量的金屬而具備足夠的強(qiáng)度，有利于結(jié)構(gòu)長(zhǎng)時(shí)間服役于復(fù)雜的熱環(huán)境，但應(yīng)避免體積分?jǐn)?shù)指數(shù)等于0.5 時(shí)出現(xiàn)的模態(tài)頻率最低值現(xiàn)象。

（3）對(duì)S-FGMs殼施加彈性基礎(chǔ)，不僅溫度梯度對(duì)含彈性基礎(chǔ)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響較小，而且含彈性基礎(chǔ)殼的模態(tài)頻率是無彈性基礎(chǔ)殼模態(tài)頻率的8～10倍，添加彈性基礎(chǔ)有利于提高結(jié)構(gòu)剛度避免低頻共振，但當(dāng)無量綱彈性基礎(chǔ)增大至0.5，模態(tài)頻率將逐漸趨于穩(wěn)定。