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        含孔隙金屬陶瓷功能梯度圓柱殼的模態(tài)頻率研究

        2022-03-24 06:26:52劉文光
        船舶力學(xué) 2022年3期
        關(guān)鍵詞:溫度梯度圓柱孔隙

        劉 超,劉文光

        (南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院,南昌 330063)

        0 引 言

        功能梯度材料(Functionally Graded Materials,簡(jiǎn)稱FGMs)作為一種新型復(fù)合材料,由于其物理屬性沿著空間位置梯度分布,具有耐高溫、高強(qiáng)度、低質(zhì)量、有效緩解熱應(yīng)力集中等諸多優(yōu)點(diǎn)[1-3],在航空航天和機(jī)械工程等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

        因?yàn)閳A柱殼大量應(yīng)用于客機(jī)的機(jī)身、輪船推進(jìn)系統(tǒng)等領(lǐng)域,而且這些結(jié)構(gòu)通常服役于復(fù)雜的多場(chǎng)耦合環(huán)境中,所以FGMs 圓柱殼的設(shè)計(jì)得到研究者的關(guān)注[4-5]。FGMs 作為一種先進(jìn)材料,受其制造技術(shù)的限制,材料內(nèi)部可能存在諸如氣孔等缺陷[6-7]。氣孔的存在不僅影響材料的聲學(xué)特性和傳熱性能,而且還影響材料的力學(xué)行為。近年來,越來越多的研究者開始分析材料孔隙率對(duì)功能梯度殼力學(xué)行為的影響。利用一種新的半解析法,Li等[8]研究了任意邊界條件下含孔隙FGMs殼的自由振動(dòng)行為;基于正弦剪切理論和Rayleigh-Ritz 法,Wang 等[9]研究了不同孔隙分布形式下FGMs 殼的自由振動(dòng)特性;基于一階剪切變形理論和修正的偶應(yīng)力理論,Ghadiri等[10]研究了熱環(huán)境下含多孔FGMs殼的自由振動(dòng)問題。

        由于FGMs 的性質(zhì)受體積分?jǐn)?shù)定律的支配,調(diào)整FGMs的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)即可改變結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能和熱傳導(dǎo)性能,所以研究者通過提出不同體積分?jǐn)?shù)模型來設(shè)計(jì)FGMs以滿足工程結(jié)構(gòu)在特定環(huán)境下的功能需求?,F(xiàn)行研究中,基于冪律分布體積分?jǐn)?shù)模型的FGMs 應(yīng)用最為廣泛[11]。以此為基礎(chǔ),研究者陸續(xù)提出了新的FGMs模型。Arshad等[12]將冪律分布體積分?jǐn)?shù)模型修改為底數(shù)為e的指數(shù)函數(shù)分布模型;進(jìn)一步地,Shah 等[13]把指數(shù)體積分?jǐn)?shù)模型修改為廣義的指數(shù)體積分?jǐn)?shù)模型。但是,由于基于冪律分布或指數(shù)分布體積分?jǐn)?shù)模型設(shè)計(jì)的FGMs結(jié)構(gòu)可能在連續(xù)但快速變化的材料界面上出現(xiàn)應(yīng)力集中,所以Chi 等[14]提出了一種Sigmoid 型分段體積分?jǐn)?shù)模型,該模型結(jié)構(gòu)可以在一定程度上降低應(yīng)力集中的影響。以Sigmoid 型FGMs(S-FGM)圓柱殼為對(duì)象,Nguyen 等[15]采用三階剪切變形理論研究了含孔隙S-FGMs圓柱殼的非線性動(dòng)力響應(yīng);Wang等[16]采用伽遼金法及諧波平衡法研究了縱向運(yùn)動(dòng)S-FGMs板的非線性受迫振動(dòng)特性。

        工程實(shí)際應(yīng)用中,因?yàn)镕GMs圓柱殼經(jīng)常與一些彈性介質(zhì)接觸,比如航天飛機(jī)推進(jìn)劑罐、裝滿固體推進(jìn)劑的彈道導(dǎo)彈外殼、地上和地下的儲(chǔ)液罐、地下管道以及換熱器/冷凝器等,在影響FGMs 圓柱殼振動(dòng)特性的諸多因素中,彈性基礎(chǔ)是其中之一。因此,有必要了解FGMs 圓柱殼與彈性地基間的相互作用,分析彈性基礎(chǔ)作用下FGMs 圓柱殼的振動(dòng)特性[17-18]。盡管如此,很少有研究者探討彈性介質(zhì)作用下含孔隙S-FGMs圓柱殼的自由振動(dòng)行為。本文利用Sanders殼體理論和Rayleigh-Ritz 法研究含孔隙S-FGMs圓柱殼在熱載荷和軸向荷載作用下的模態(tài)頻率,并分析非線性溫升、孔隙率、S型體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和彈性基礎(chǔ)參數(shù)等對(duì)S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。

        1 功能梯度圓柱殼的幾何模型

        如圖1 所示,假設(shè)FGMs 圓柱殼環(huán)向均勻分布Winkler 型彈簧,彈性系數(shù)為Rw,且圓柱殼內(nèi)部存在均勻分布的孔隙I模型或者非均勻分布的孔隙II模型。圓柱殼的幾何參數(shù)包括:長(zhǎng)度L、厚度h和中面半徑R。分析時(shí),圓柱殼的材料屬性只沿厚度方向連續(xù)變化,圓柱殼的外表面為純金屬,內(nèi)表面為純陶瓷。取圓柱殼的中面建立如圖1所示的正交曲面坐標(biāo)系(x,θ,z),坐標(biāo)系x、θ、z方向的位移分量分別用u、v、w表示。

        圖1 含孔隙FGMs圓柱殼Fig.1 FGMs cylindrical shell with porosity

        2 功能梯度材料的熱物理屬性

        式中,N是體積分?jǐn)?shù)指數(shù),取值0≤N<∞,V1m和V2m分別表示不同區(qū)間段的體積分?jǐn)?shù),該體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向的變化趨勢(shì)如圖2所示。

        圖2 S-FGMs殼分段體積分?jǐn)?shù)沿厚度方向變化趨勢(shì)Fig.2 Piecewise volume fraction of S-FGMs shell along the thickness direction

        結(jié)合Sigmoid 型分段體積分?jǐn)?shù),S-FGMs 的有效物性參數(shù)表達(dá)式為

        熱環(huán)境下,假設(shè)S-FGMs 圓柱殼內(nèi)沿厚度方向非線性分布溫升,殼內(nèi)表面(z=-h/2)的溫度為Tc、外表面(z=h/2)的溫度為Tm。取環(huán)境溫度Tm=300 K,圓柱殼內(nèi)部無熱應(yīng)力。由穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程以及熱邊界條件得到沿厚度方向分布的溫升T(z)為

        式中,kcm=kc-km,且kc和km分別表示陶瓷和金屬的熱傳導(dǎo)系數(shù)。

        通過式(9)和式(10)可計(jì)算S-FGMs圓柱殼沿厚度方向的溫差ΔT=T(z)-Tm。鑒于彈性模量相對(duì)于熱傳導(dǎo)系數(shù)、密度等參數(shù)對(duì)S-FGMs 殼剛度的影響更大,下面只探討非線性溫升Tcm=200 K 下S-FGMs殼彈性模量與空間位置和孔隙率之間的關(guān)系。如圖3所示,無孔隙S-FGMs的彈性模量總是大于含孔隙的S-FGMs,而非均勻分布孔隙S-FGMs的彈性模量基本大于均勻分布孔隙的S-FGMs。

        圖3 含孔隙S-FGMs有效彈性模量變化趨勢(shì)Fig.3 Effective elastic modulus of S-FGMs with porousity

        3 S-FGMS圓柱殼的自由振動(dòng)

        式中,gi(i=1,…,4)為方程系數(shù)。

        假設(shè)S-FGMs 殼由不銹鋼和氧化鋯組成,材料參數(shù)見表1。忽略環(huán)向彈性基礎(chǔ)、溫度載荷以及軸向荷載的作用,取N=1,L/R=20,h/R=0.05?;跍囟瓤刂频木€性離散分層建模方法,利用Abaqus 建立S-FGMs殼的有限元模型。表2顯示了無孔隙S-FGMs殼在自由邊界條件下模態(tài)頻率和環(huán)向波數(shù)的關(guān)系,結(jié)果表明,采用式(25)求解的模態(tài)頻率與有限元求解的模態(tài)頻率基本吻合,誤差在一定范圍內(nèi),即S-FGMs 殼模態(tài)頻率方程可行。進(jìn)一步地,假設(shè)FGMs 殼由不銹鋼和鎳組成,體積分?jǐn)?shù)采用Vm=(z/h+0.5)N。取N=0.5,h/R=0.002,L/R=20,n=1,λ=mπ/L,Rw=1.5×107N/m2,圖4 顯示了FGMs 殼在環(huán)向彈性基礎(chǔ)下模態(tài)頻率與軸向參數(shù)λ之間的關(guān)系。結(jié)果表明,本文模型分析結(jié)果與文獻(xiàn)[20]結(jié)果十分吻合,驗(yàn)證了模型的合理性。

        表1 ZrO2-SUS304溫敏特性系數(shù)[2,4]Tab.1 Temperature-dependent coefficients for ZrO2-SUS304[2,4]

        圖4 環(huán)向彈性基礎(chǔ)下FGMs殼模態(tài)頻率比較Fig.4 Comparison of the modal frequencies of an FGMs shell surrounded by elastic foundation

        表2 S-FGMs殼模態(tài)頻率對(duì)比分析Tab.2 Comparison of the modal frequencies for an S-FGMs shell

        4 結(jié)果與討論

        本章以含孔隙S-FGMs圓柱殼為對(duì)象,圓柱殼由不銹鋼和氧化鋯組成,分析熱荷載、彈性荷載以及軸向載荷作用下圓柱殼的模態(tài)頻率。

        數(shù)值計(jì)算時(shí),除特別說明外,圓柱殼的幾何參數(shù)均取L=10 m,h=0.01 m,R=1 m,體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N=1,溫度梯度Tcm=700 K,(m,n)=(1,1)。

        圖5顯示了不同孔隙率體積分?jǐn)?shù)時(shí),溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析發(fā)現(xiàn):

        (1)χ一定時(shí),增大Tcm會(huì)減小S-FGMs 圓柱殼的模態(tài)頻率;增大振動(dòng)波數(shù)(m,n)會(huì)減小Tcm對(duì)SFGMs 圓柱殼模態(tài)頻率的影響;振動(dòng)波數(shù)(m,n)=(4,4)時(shí)Tcm對(duì)模態(tài)頻率的影響非常小,但是χ對(duì)模態(tài)頻率的影響隨振動(dòng)波數(shù)(m,n)的增大而增大。

        (2)Tcm一定時(shí),S-FGMs 的模態(tài)頻率會(huì)隨著χ的增大而增大;χ為零時(shí),I型孔隙圓柱殼的模態(tài)頻率等于II 型孔隙圓柱殼的模態(tài)頻率;χ不為零時(shí),I 型孔隙的模態(tài)頻率總是大于II 型孔隙的模態(tài)頻率,同時(shí)I型孔隙模態(tài)頻率的增長(zhǎng)率也比II型孔隙模態(tài)頻率的增長(zhǎng)率高。究其原因,孔隙的出現(xiàn)對(duì)圓柱殼剛度的影響主要體現(xiàn)在材料的有效彈性模量和有效密度上;其中,II型孔隙模型的有效彈性模量總是大于I型孔隙模型的有效彈性模量,而I型孔隙模型的有效質(zhì)量密度總是小于II型孔隙模型的有效質(zhì)量密度。換而言之,I型孔隙對(duì)圓柱殼質(zhì)量削減造成結(jié)構(gòu)整體剛度上升的貢獻(xiàn)大于II型孔隙彈性模量對(duì)圓柱殼剛度提升的貢獻(xiàn)。

        (3)由圖3 已知含II 型孔隙S-FGMs 的彈性模量大于含I 型孔隙S-FGMs 的彈性模量,結(jié)合圖5 可以說明I 型孔隙對(duì)S-FGMs 圓柱殼剛度的影響更大。分析認(rèn)為,這主要是由于S-FGMs 殼內(nèi)孔洞的出現(xiàn)類似于一種桁架結(jié)構(gòu),一定程度上孔隙率的出現(xiàn)不僅減少了S-FGMs 殼結(jié)構(gòu)的重量,而且提高了圓柱殼的剛度。因此,設(shè)計(jì)I型孔隙圓柱殼,可為工程應(yīng)用中如何降低自重和提高結(jié)構(gòu)剛度提供重要的參考依據(jù)。

        圖5 不同孔隙率體積分?jǐn)?shù)時(shí)溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.5 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different porous volume fractions

        圖6顯示了不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),溫度梯度對(duì)含孔隙S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析表明:

        圖6 不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.6 Effects of temperature gradient on modal frequencies of an S-FGMs shell under different volume fraction indexes

        (1)N對(duì)I型和II型孔隙圓柱殼模態(tài)頻率的影響規(guī)律相似,只是在數(shù)值上有差異。

        (2)Tcm較小時(shí),N對(duì)模態(tài)頻率的影響很小,N對(duì)模態(tài)頻率的影響隨著Tcm的增大越來越顯著,且Tcm對(duì)N較小時(shí)的模態(tài)頻率的影響更大。

        (3)N等于0 時(shí),垂直于厚度方向所有平面的組分含量由50%的金屬和50%的陶瓷組成,對(duì)應(yīng)的圓柱殼模態(tài)頻率比N等于0.2時(shí)大,而比N等于1時(shí)??;隨著N的增大,S-FGMs殼的模態(tài)頻率也越來越大。這是因?yàn)檩^小的Tcm對(duì)材料內(nèi)部總體剛度影響不大,模態(tài)頻率基本無差異;Tcm較大時(shí),隨著N的增大,圓柱殼內(nèi)表面陶瓷的含量越來越多,外表面金屬的含量也越來越多;由于陶瓷的隔熱性、耐熱性較好,與金屬比較,受熱的影響更小。因此,當(dāng)FGMs 應(yīng)用到高溫領(lǐng)域,采用S 型分段體積分?jǐn)?shù)并增大N,不僅結(jié)構(gòu)的剛度不會(huì)隨著溫度的升高而減小,而且組分含量中有一定量的金屬具備足夠的強(qiáng)度,能夠抵抗一定的破壞。

        假設(shè)軸向荷載受壓為正,受拉為負(fù),圖7顯示了不同軸向載荷下,溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。分析表明:

        圖7 不同軸向荷載時(shí)溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.7 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different axial loads

        (1)無論是I型還是II型孔隙,軸向壓力Na都會(huì)讓S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率升高。

        (2)當(dāng)Na小于S-FGMs 圓柱殼屈曲載荷Ncr時(shí),模態(tài)頻率的變化非常小。究其原因,Na遠(yuǎn)小于圓柱殼的自身剛度,因此對(duì)模態(tài)頻率的影響很?。划?dāng)Na大于S-FGMs殼的Ncr且逐漸增大時(shí),S-FGMs殼的模態(tài)頻率會(huì)產(chǎn)生較為顯著的變化,主要在于Na對(duì)S-FGMs圓柱殼剛度的影響逐漸增大并趨近于S-FGMs殼的自身剛度。

        (3)I 型和II 型孔隙S-FGMs 殼的剛度隨著溫度的升高逐漸減小,導(dǎo)致模態(tài)頻率逐漸減小,并呈現(xiàn)非線性的變化規(guī)律。

        圖8顯示了不同彈性基礎(chǔ)時(shí),溫度梯度S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率的影響。分析表明:

        圖8 不同彈性基礎(chǔ)下溫度梯度對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.8 Effects of temperature gradient on the modal frequencies of an S-FGMs shell under different elastic foundations

        (1)I型孔隙總是大于II型孔隙的模態(tài)頻率。

        (2)溫度梯度對(duì)不同彈性基礎(chǔ)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響較小。

        (3)含彈性基礎(chǔ)S-FGMs 圓柱殼的模態(tài)頻率是無彈性基礎(chǔ)殼模態(tài)頻率的8~10 倍。應(yīng)用中,當(dāng)SFGMs 殼的幾何尺寸、邊界條件等不便改變時(shí),可施加彈性基礎(chǔ)提高S-FGMs 殼剛度,防止低頻共振等危害。但隨著彈性基礎(chǔ)參數(shù)的不斷增大,S-FGMs殼的模態(tài)頻率呈現(xiàn)收斂的趨勢(shì)。

        由于I型和II型孔隙對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響規(guī)律相似,下文只考慮I型孔隙對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響。圖9 顯示了不同孔隙率、軸向荷載及彈性基礎(chǔ)等參數(shù)時(shí),體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)S-FGMs 殼模態(tài)頻率的影響。分析表明:

        圖9 不同參數(shù)下體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.9 Effects of volume fraction index on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

        (1)不同孔隙率和軸向荷載下,隨著N的逐漸增大,圓柱殼模態(tài)頻率均呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢(shì),并且在N等于0.5左右時(shí)出現(xiàn)頻率最低值。

        (2)不同彈性基礎(chǔ)參數(shù)下,N對(duì)S-FGMs圓柱殼模態(tài)頻率基本無影響。

        (3)調(diào)控N不僅可以提高圓柱殼的剛度和耐熱性,而且S-FGMs殼模態(tài)頻率的變化率很小,這說明采用S型分段體積分?jǐn)?shù)材料更容易使圓柱殼結(jié)構(gòu)處于穩(wěn)定服役的狀態(tài)。

        圖10分別顯示了不同長(zhǎng)徑比下孔隙率、軸向荷載和彈性參數(shù)對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率的影響。分析表明:

        圖10 不同參數(shù)下長(zhǎng)徑比對(duì)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響Fig.10 Effects of L/R on modal frequencies of an S-FGMs shell under different parameters

        (1)隨著圓柱殼長(zhǎng)徑比的逐漸增大,模態(tài)頻率逐漸減小且最終呈現(xiàn)收斂性。

        (2)長(zhǎng)徑比較小時(shí),孔隙率體積分?jǐn)?shù)和軸向荷載對(duì)圓柱殼模態(tài)頻率的影響更為顯著。隨著彈性參數(shù)逐漸增大至0.5左右,模態(tài)頻率呈現(xiàn)快速增大后趨于穩(wěn)定的規(guī)律。

        5 結(jié) 論

        本文基于Sanders 薄殼殼體理論和Rayleigh-Ritz 法推導(dǎo)了含孔隙金屬陶瓷功能梯度圓柱殼的自由振動(dòng)方程,探討了熱荷載、彈性基礎(chǔ)以及軸向荷載作用下模態(tài)頻率的變化趨勢(shì)。主要結(jié)論如下:

        (1)在同一孔隙率體積分?jǐn)?shù)下,I型孔隙模型相較II型孔隙模型對(duì)剛度更為敏感,提高結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率更為明顯,工程應(yīng)用中可注重采用I型孔隙模型。

        (2)S-FGMs 殼在低振動(dòng)波數(shù)下,溫度梯度相較孔隙率體積分?jǐn)?shù)對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響更大,而在高振動(dòng)波數(shù)下,孔隙率對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響起主導(dǎo)地位;采用S 型分段體積分?jǐn)?shù),并增大該體積分?jǐn)?shù)指數(shù)不僅能夠削弱圓柱殼剛度受溫度梯度的影響,而且組分含量中有一定量的金屬而具備足夠的強(qiáng)度,有利于結(jié)構(gòu)長(zhǎng)時(shí)間服役于復(fù)雜的熱環(huán)境,但應(yīng)避免體積分?jǐn)?shù)指數(shù)等于0.5 時(shí)出現(xiàn)的模態(tài)頻率最低值現(xiàn)象。

        (3)對(duì)S-FGMs殼施加彈性基礎(chǔ),不僅溫度梯度對(duì)含彈性基礎(chǔ)S-FGMs殼模態(tài)頻率的影響較小,而且含彈性基礎(chǔ)殼的模態(tài)頻率是無彈性基礎(chǔ)殼模態(tài)頻率的8~10倍,添加彈性基礎(chǔ)有利于提高結(jié)構(gòu)剛度避免低頻共振,但當(dāng)無量綱彈性基礎(chǔ)增大至0.5,模態(tài)頻率將逐漸趨于穩(wěn)定。

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