黃 晉，李保強(qiáng)，王學(xué)軒，胡苗苗，李云飛

(中國民用航空飛行學(xué)院 空中交通管理學(xué)院，四川 廣漢 618307)

自動相關(guān)監(jiān)視廣播(ADS-B)系統(tǒng)是國際民用航空組織(ICAO)推薦的下一代空中交通管制系統(tǒng)的CNS/ATM的關(guān)鍵組成部分。ADS-B向附近區(qū)域的其他飛機(jī)、地面車輛和地面站廣播一架飛機(jī)的識別、位置數(shù)據(jù)和運(yùn)行信息。ADS-B航跡是指飛機(jī)的運(yùn)動軌跡，由飛機(jī)的機(jī)載ADS-B設(shè)備報告的點(diǎn)連接而成。數(shù)據(jù)傳輸過程中存在不可避免的誤差或干擾，造成信息的不精確或者錯誤，需要通過濾波方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測和修正，使航跡更加精確[1]。

隨著中國空中交通量增加，航空器之間發(fā)生碰撞的風(fēng)險概率也隨之增大。因此，航空器碰撞預(yù)測在空中交通管制具有重要意義[2-3]。為了判斷兩架飛機(jī)是否有相撞風(fēng)險，傳統(tǒng)的研究一般通過算法計算概率的方法來預(yù)測航空器可能發(fā)生的沖突[4]。Paielli和Erzberge提出了假設(shè)兩個航空器的速度保持不變，計算當(dāng)前時刻量航空器瞬間碰撞概率的方法[5-6]。

近幾年關(guān)于航空器沖突風(fēng)險預(yù)測與評估的研究多基于模型的仿真計算。文獻(xiàn)[7]采用了Reich模型對具體的碰撞概率進(jìn)行了量化計算。其中，基于Reich模型的研究衍生出的基于Event的航空器沖突計算模型，以及隨后研究發(fā)展的改進(jìn)方法和模型[8-10]。以上方法碰撞概率主要基于計算關(guān)于航空器盒式模型之間的穿越概率。此外，還有另外一種基于航跡仿真和數(shù)據(jù)處理和可視化以及飛機(jī)性能和通信導(dǎo)航監(jiān)視系統(tǒng)性能的碰撞概率計算模型[7-13]。同時，基于航空器動力學(xué)模型和概率模型建模和碰撞概率計算的研究進(jìn)一步發(fā)展[14-15]。本文提出了一種基于飛機(jī)狀態(tài)參數(shù)和飛行模型的線性的混合系統(tǒng)來表示飛機(jī)的航線模型。采用相互作用多模型(IMM)來判斷飛機(jī)機(jī)動(飛行模型)[16]。以航空器飛行模型中的等速模型和盤旋模型作為多模型。從含有飛機(jī)位置、速度信息的ADS-B信號估計飛機(jī)的位置和速度，判斷航空器的飛行模型及所處狀態(tài)[17]。根據(jù)ADS-B信號顯示的飛機(jī)的位置，速度與航空器信息，在一定時間后由相互作用多模型來預(yù)測各飛行模型下的航空器的碰撞概率。

1 基于IMM的線性混合系統(tǒng)

1.1 飛機(jī)的兩種動力學(xué)模型

研究采用勻速運(yùn)動模型(CV)和盤旋轉(zhuǎn)彎模型(CT)兩種獨(dú)立的動力學(xué)模型來描述飛機(jī)在二維平面上的航線[18]。其中CV模型表示勻速直線運(yùn)動，CT模型中運(yùn)動速度不變，機(jī)頭以一定的轉(zhuǎn)彎率變化的機(jī)動運(yùn)動。飛機(jī)航線模型的狀態(tài)參數(shù)為

(1)

每個模型用離散線性系統(tǒng)狀態(tài)方程表示為

X(k+1)=FjX(k)+Gjwj(k)

(2)

Y(k)=HX(k)+v(k)

(3)

CV模型和CT模型的系統(tǒng)矩陣分別為

(4)

(5)

ADS-B信號包含了飛機(jī)的位置高度、航向和速度信息，根據(jù)ADS-B數(shù)據(jù)格式規(guī)定，模型中表示飛機(jī)運(yùn)動狀態(tài)數(shù)據(jù)的矩陣為[19-20]

H=I4×4

(6)

當(dāng)m(k)代表時間k時的飛行狀態(tài)時，可以將躍遷矩陣轉(zhuǎn)換為馬爾科夫鏈，即

πij?Prob{m(k+1)=i∣m(k)=j}

(7)

(8)

這種動力學(xué)系統(tǒng)模型也稱為線性混合系統(tǒng)。

1.2 交互多模型(IMM)

為了通過線性混合系統(tǒng)表示的飛機(jī)動力學(xué)模型來估計飛機(jī)的位置和速度，本文采用了交互多模型(IMM)?；诮换ザ嗄Ｐ蜆?gòu)造了符合線性混合系統(tǒng)模型的卡爾曼濾波器，以濾波器估計的模型概率為權(quán)重，計算飛機(jī)狀態(tài)變量的估計值。通過IMM估計可得狀態(tài)變量和協(xié)方差為

(9)

(10)

(11)

(12)

式中，μi|j(k|k)表示從模型i到模型j的轉(zhuǎn)移概率，可以從模型轉(zhuǎn)移矩陣和模型概率μj(k)中得到。計算過程為

(13)

(14)

模型概率μj(k)在每個模型的卡爾曼濾波中以計算出的殘差rj和殘差的協(xié)方差Sj所得似然函數(shù)j為權(quán)重值，計算公式為

(15)

(16)

式中，模型概率的初值μj(0)與系統(tǒng)的初始情況有關(guān)。

2 飛機(jī)碰撞概率預(yù)測

2.1 飛機(jī)的兩種動力學(xué)模型

假定兩架飛機(jī)A和B在時間k上分別在位置χA(k)、χB(k)上的概率為二維正態(tài)分布，即

(17)

(18)

如果兩架飛機(jī)之間的相對距離為XAB，則相對距離的概率為

(19)

χAB(k)=χA(k)-χB(k)

(20)

PAB(k)=PA(k)+PB(k)

(21)

兩個航空器的碰撞定義為兩個航空器之間的相對距離小于用戶定義的圓(安全區(qū))半徑，模型體現(xiàn)為

D={|χAB|

(22)

式中，rsafe為安全區(qū)的半徑，取決于飛機(jī)適用的法規(guī)規(guī)定。兩架飛機(jī)在時間k上的碰撞概率為

(23)

PAB=LLT

(24)

T=L-1

(25)

通過上述坐標(biāo)變換，以REF航空器為中心的安全區(qū)由圓變形為橢圓，如圖1所示。在兩航空器速度向量恒定的情況下，使用一維正態(tài)分布進(jìn)行積分計算碰撞概率，可得出基于速度向量擴(kuò)展的矩形安全區(qū)域[21-23]。

圖1 傳統(tǒng)擴(kuò)展沖突保護(hù)區(qū)模型

在此基礎(chǔ)上，將上述REF的外接橢圓改進(jìn)為矩形區(qū)域。在矩形安全區(qū)內(nèi)使用正態(tài)分布求積分，最終計算得出兩航空器的碰撞概率。通過這種改進(jìn)后的方法可計算航空器之間的碰撞概率，原理如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的矩形沖突保護(hù)區(qū)模型

(26)

(27)

式中，Z1(δ;·)代表一維正態(tài)分布的累積分布包含數(shù)，其值通過式(28)進(jìn)行計算，公式中的erf為誤差函數(shù)。

(28)

2.2 碰撞概率預(yù)測

Xj(k+1)=FjX(k)

(29)

(30)

本文分別從傳播的狀態(tài)變量和協(xié)方差計算碰撞概率p[C(k+nT)]j。時間k+nT中，沖突概率由時間k的模型概率μj(k)為權(quán)重的各模型的沖突概率(時間k+nT)之和確定。

(31)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)前面提出的碰撞概率預(yù)測算法，通過MATLAB進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證碰撞概率預(yù)測算法。圖3顯示了兩架可能相撞的飛機(jī)的相對軌跡。

圖3 兩個航空器的運(yùn)動幾何模型

當(dāng)STO航空器發(fā)現(xiàn)REF航空器后，以一定的轉(zhuǎn)彎率[1.5(°)/s]進(jìn)行轉(zhuǎn)彎回避。STO航空器從40 s開始盤旋，10 s后返回到巡航直線運(yùn)動。安全區(qū)半徑設(shè)定為2 km；安全區(qū)圓心位于REF航空器的中心，STO航空器安全區(qū)由周圍的橢圓表示?？梢杂墒?21)計算兩航空器相對距離的誤差協(xié)方差。實(shí)際應(yīng)用中，算法的安全區(qū)半徑可根據(jù)空域具體情況規(guī)劃大小，根據(jù)航空器型號對應(yīng)的法規(guī)或管制員的指令使用來確定。本實(shí)驗(yàn)對10 s后兩架飛機(jī)之間的碰撞概率進(jìn)行預(yù)測。

圖4給出了基于交互多模型(IMM)算法預(yù)測得到的STO航空器各飛行模型的碰撞概率。假設(shè)CV模型初始碰撞概率為0.8，CT模型初始碰撞概率為0.2。計算可知：從開始盤旋的50 s開始，進(jìn)入CT模型的碰撞概率逐漸增大；從開始盤旋的110 s開始，進(jìn)入CV模型的碰撞概率明顯增加。

圖4 預(yù)測兩航空器碰撞沖突概率

實(shí)驗(yàn)提出算法仿真預(yù)測的碰撞概率結(jié)果如圖5所示。實(shí)線表示時間T上的瞬時碰撞概率。點(diǎn)線是航空器在CV模型下，15 s后預(yù)測的碰撞概率。點(diǎn)線表示CT模型下預(yù)測所得，15 s后的碰撞概率。算法預(yù)測的碰撞概率隨時間變化，同時與實(shí)際的瞬時碰撞概率進(jìn)行比較。

圖5 預(yù)測所得兩機(jī)的沖突概率對比

由圖5可知，在轉(zhuǎn)彎前航空器處于勻速運(yùn)動狀態(tài)，CT模型預(yù)測所得碰撞概率小于實(shí)際碰撞概率?？梢钥吹剑瑥霓D(zhuǎn)彎的15 s以后，利用CV模型和CT模型預(yù)測的碰撞概率大于實(shí)際碰撞概率。盤旋15 s后，隨著飛機(jī)的機(jī)動飛行，多模型(IMM)算法的預(yù)測值與實(shí)際瞬間碰撞概率值在數(shù)值上大小較為接近，但多模型(IMM)算法預(yù)測存在10 s左右時延。從波形的擬合度來看，多模型(IMM)算法優(yōu)于CT模型，CT模型與CV模型預(yù)測效果相差不大。側(cè)面證明了本文提出的相互作用多模型(IMM)算法的有效性。

由表1可知,多模式交互算法與其他傳統(tǒng)運(yùn)動學(xué)模型的均方誤差相比明顯降低。對比體現(xiàn)了多模型(IMM)算法性能優(yōu)于其他傳統(tǒng)模型。

表1 算法性能對比

4 結(jié)語

基于多模型(IMM)算法，提出一種考慮航空器運(yùn)動狀態(tài)的兩航空器碰撞概率預(yù)測方法。碰撞概率計算創(chuàng)新采用了近似正態(tài)分布積分的方法。預(yù)測模型仿真中使用ADS-B數(shù)據(jù)格式對3種運(yùn)動模型下的碰撞概率預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了對比分析，證明了基于多模型可以明顯減少傳統(tǒng)基于單模型碰撞概率預(yù)測中的誤差。本文研究結(jié)果對ADS-B航跡下一定時延內(nèi)兩航空器沖突概率預(yù)測研究具有一定借鑒意義。