丁榮樂(lè),侯 旋,孫文建,3

(1.南京機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自動(dòng)化系,江蘇 南京 211306;2.運(yùn)城職業(yè)技術(shù)大學(xué) 印刷工程系,山西 運(yùn)城 044000;3.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院,山西 太原 030024)

0 引 言

機(jī)械臂作為重要的末端執(zhí)行器,在自動(dòng)化裝配、搬運(yùn)、焊接等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。在實(shí)際工程中,尤其是在執(zhí)行物料搬運(yùn)等任務(wù)時(shí),機(jī)械臂的有效載荷往往隨時(shí)間變化。因此,研究變有效載荷條件下,機(jī)械臂的高效、魯棒控制方法具有重要意義[2,3]。

機(jī)械臂系統(tǒng)具有高非線性、強(qiáng)耦合性的特征。當(dāng)考慮變有效載荷條件時(shí),其動(dòng)力學(xué)行為會(huì)發(fā)生顯著改變,控制復(fù)雜度高。

由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,增益系數(shù)含義明確,PID控制在工業(yè)控制過(guò)程中得到了廣泛應(yīng)用。但是,對(duì)于非線性受控對(duì)象而言,傳統(tǒng)的PID控制的控制效果較差[4]。目前,已有研究人員將PID控制與模糊邏輯、最優(yōu)控制以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等技術(shù)相結(jié)合,以實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂末端軌跡進(jìn)行精確控制[5-7]。

然而,上述方法通常需要機(jī)械臂的精確動(dòng)力學(xué)模型,且其實(shí)施過(guò)程復(fù)雜,會(huì)在很大程度上削弱PID控制在結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單性和模型獨(dú)立性方面的優(yōu)勢(shì),因而其難以在實(shí)際工程中得到有效利用。

同時(shí),針對(duì)變有效載荷條件下的機(jī)械臂精確控制問(wèn)題,研究人員也已提出了相應(yīng)的自適應(yīng)PID控制方法,以克服傳統(tǒng)PID由于增益系數(shù)恒定而產(chǎn)生的控制性能劣化問(wèn)題。

ZHANG D等人[8]4-6研究了基于模型參考自適應(yīng)(model reference adaptive control,MRAC)的PID控制(PID+MRAC);但其需要采用自適應(yīng)算法對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行估計(jì),因而增加了其對(duì)控制結(jié)構(gòu)和計(jì)算的復(fù)雜性,降低了其自適應(yīng)的速率。KUMAR V等人[9]研究了基于分?jǐn)?shù)階算子的模糊PID控制方法;但模糊PID規(guī)則復(fù)雜,需要依靠專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn),且其分?jǐn)?shù)階算子摒棄了PID控制的標(biāo)準(zhǔn)形式,因而也不利于工程應(yīng)用。

可見(jiàn),在變有效載荷情況下,采用具有恒定增益的傳統(tǒng)PID方法的控制性能較差,而已有的多數(shù)自適應(yīng)PID方法又存在實(shí)現(xiàn)困難的問(wèn)題。為此,學(xué)術(shù)界提出了基于時(shí)延控制(TDC)的機(jī)械臂PID增益確定方法。

CHANG P H等人[10]研究了經(jīng)典TDC和標(biāo)準(zhǔn)PID控制之間的等價(jià)關(guān)系,完成了對(duì)PID控制增益的高效選擇;然而,在有效載荷變化較大的情況下,由于恒定增益PID控制存在局限性,導(dǎo)致該方法的控制精度明顯下降。LEE J Y等人[11]研究了具有非線性阻尼項(xiàng)的TDC,并推導(dǎo)出了具有可變?cè)鲆娴腜ID控制方法;然而,阻尼項(xiàng)旨在解決非線性摩擦問(wèn)題,并不適用于對(duì)有效載荷變化條件下的機(jī)械臂進(jìn)行控制。JIN M等人[12]研究了PID控制的自動(dòng)增益整定方法,并將其自適應(yīng)規(guī)則和TDC技術(shù)相結(jié)合;然而,該方法并未考慮有效載荷的顯著變化情況。

綜上所述,針對(duì)變有效載荷條件下的機(jī)械臂魯棒控制問(wèn)題,筆者提出一種全新的自適應(yīng)PID控制器,即首先建立變有效載荷條件下的n自由度(n-DOF)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型;然后基于該模型,利用PID與TDC的等價(jià)關(guān)系,構(gòu)建其自適應(yīng)PID控制律,通過(guò)參數(shù)匹配確定PID控制器中相應(yīng)的增益系數(shù),并利用Lyapunov方法證明所提控制策略對(duì)于變有效載荷條件的魯棒性;最后,利用仿真分析和物理實(shí)驗(yàn),對(duì)所提方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 變有效載荷條件下機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型

n-DOF機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型可表示為[13]:

(1)

在考慮有效載荷變化的情況下,筆者建立各關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程如下:

(2)

式中:下標(biāo)“m”,“l(fā)”,“p”—電機(jī)、連桿及有效載荷的表征符號(hào);I—轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Nratio—傳動(dòng)比;m—質(zhì)量;g—重力加速度;l—連桿長(zhǎng)度;Ff—摩擦項(xiàng)。

由于有效載荷的變化直接反映在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化中,并通過(guò)Nratio傳輸?shù)溅觤,當(dāng)末端執(zhí)行器的實(shí)際慣性矩增加,或當(dāng)Nratio減小時(shí),考慮有效載荷的變化對(duì)于關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的控制尤為重要。

此外,Ip是其自身關(guān)節(jié)以及其他關(guān)節(jié)的非線性函數(shù),因此進(jìn)一步增加了恒定增益PID控制處理大量有效載荷變化的難度。盡管經(jīng)典PID控制中的各增益具有明確的物理意義,但通常會(huì)采用試錯(cuò)法將三者調(diào)整為恒定值。因此,在考慮有效載荷顯著變化的前提下,自適應(yīng)地確定上述各增益,是提高PID控制有效性的關(guān)鍵。

2 自適應(yīng)PID控制器設(shè)計(jì)

在離散域中,PID控制和TDC之間存在等價(jià)關(guān)系,筆者基于該關(guān)系導(dǎo)出自適應(yīng)PID控制律。

2.1 離散域中PID與TDC的等價(jià)性

離散域中的PID增量(速度)算法可表示為[14]3-4:

(3)

式中:下標(biāo)“k”—離散時(shí)間指標(biāo);L—采樣時(shí)間;K—n階維比例增益矩陣;TD,TI—n階微分、積分時(shí)間矩陣;e—n維關(guān)節(jié)位置誤差向量,e=qd-q;qd—n維關(guān)節(jié)期望位置向量。

LEE J Y等人[15]提出了一種自適應(yīng)時(shí)延控制(TDC)方法,并證明其能夠充分應(yīng)對(duì)顯著的有效載荷變化。

TDC的離散形式如下:

(4)

(5)

(6)

對(duì)比式(5,6)可以看出,除某些參數(shù)不同外,兩者具有完全相同的功能結(jié)構(gòu)。因此,可通過(guò)參數(shù)集匹配使得上述兩種控制律等效。

2.2 自適應(yīng)PID控制方法

將式(5,6)中的參數(shù)進(jìn)行匹配,可立即導(dǎo)出所需的PID增益,即:

(7)

(8)

(9)

圖1 由式(7)及式(8)確定的閉環(huán)系統(tǒng)

(10)

其中:

ΔK(s)?K(s)-K-≥0

(11)

筆者提出的控制律(10)可分為兩部分:(1)名義PID控制,其實(shí)質(zhì)為一個(gè)恒定增益的PID控制;(2)補(bǔ)償有效載荷變化的自適應(yīng)PID控制,其中,ΔK隨著有效載荷的顯著變化而進(jìn)行自適應(yīng)變化。

該P(yáng)ID控制的優(yōu)勢(shì)在于:

(1)基于式(7),該方法繼承了TDC方法的無(wú)模型特性以及對(duì)有效載荷變化的魯棒性,無(wú)需對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)和有效載荷進(jìn)行任何計(jì)算;

(2)由于保持了經(jīng)典PID控制的結(jié)構(gòu),該P(yáng)ID控制可以應(yīng)用于現(xiàn)有的PID控制器中。

為便于實(shí)際應(yīng)用,該自適應(yīng)PID控制的參數(shù)整定過(guò)程需要滿足如下條件:

(1)PID增益TD和TI由誤差動(dòng)力學(xué)公式確定,即:

(12)

(2)采樣周期L由控制硬件的計(jì)算能力決定,L越小,控制性能越好。由于L必須為常數(shù),可以保證式(7);

(4)在無(wú)有效載荷情況下,僅需對(duì)參數(shù)αii進(jìn)行試錯(cuò)調(diào)節(jié),參數(shù)從一個(gè)較小的正值開(kāi)始增大,直到系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩。

在實(shí)際工業(yè)控制過(guò)程中,可使用腕部傳感器對(duì)機(jī)械臂有效載荷是否存在及其變化情況進(jìn)行監(jiān)測(cè)。當(dāng)有效載荷變化時(shí),需要將自適應(yīng)增益和控制輸入重置為初始值。

2.3 自適應(yīng)PID控制方法穩(wěn)定性驗(yàn)證

由于該自適應(yīng)PID控制與自適應(yīng)TDC相同,要采用等效方法對(duì)此進(jìn)行證明。首先,筆者結(jié)合式(9),將閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程重寫(xiě)為:

(13)

引入Lyapunov候選函數(shù)V為:

(14)

其中:

(15)

且當(dāng)si和ΔKii非零時(shí),有V>0。

取V的時(shí)間導(dǎo)數(shù),并將式(5,6,13)代入,得到:

(16)

(17)

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真分析

為驗(yàn)證該控制方法在機(jī)械臂有效載荷顯著變化時(shí)的自適應(yīng)性能,筆者首先采用單自由度機(jī)械臂進(jìn)行仿真分析。

Nratio=1的單自由度機(jī)械臂簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2 Nratio=1的單自由度機(jī)械臂簡(jiǎn)圖

圖2中,筆者設(shè)定系統(tǒng)所涉及的動(dòng)力學(xué)參數(shù)值為:連桿質(zhì)量ml=1.0 kg,l=1.0 m,g=9.8 m/s2,黏性摩擦系數(shù)fV=10.0 N·m·s,庫(kù)侖摩擦系數(shù)fC=10.0 N·m。

機(jī)械臂的期望運(yùn)行軌跡如圖3所示。

圖3 機(jī)械臂期望運(yùn)行軌跡

由上述參數(shù)可得出跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)方程為:

(18)

在采樣周期L=2 ms的條件下,筆者利用跟蹤誤差的均方根值來(lái)表征其跟蹤精度。

該案例中,有效載荷mp的變化規(guī)律為:0～20 s內(nèi)為0 kg,20 s時(shí)變?yōu)? kg,40 s時(shí)變?yōu)? kg,60 s時(shí)變?yōu)? kg;并假設(shè)有效載荷的變化由腕部傳感器檢測(cè),以便識(shí)別其瞬時(shí)變化。

筆者將該方法與兩種具有恒定增益的PID控制方法進(jìn)行比較:第一種為經(jīng)典PID控制PIDconventional,其增益在無(wú)有效載荷變化的情況下通過(guò)試錯(cuò)方法進(jìn)行調(diào)整;第二種為PIDretuned,通過(guò)將PIDconventional和所提方法進(jìn)行比較,修改了PIDconventional的增益K和TD。

在本例中,PIDconventional的增益分別為K=70 000,TD=0.1,TI=0.2;而PIDretuned的增益分別為K=149 600,TD=0.05,TI=0.2。

該方法的自適應(yīng)增益K及變量s的變化曲線如圖4所示。

圖4 所提方法的自適應(yīng)增益K及變量s的變化曲線

圖4(a)中,當(dāng)機(jī)械臂有效載荷分別在20 s、40 s、60 s處發(fā)生變化時(shí),增益K對(duì)應(yīng)進(jìn)行自適應(yīng)變化;同時(shí),在圖4(c)中,根據(jù)式(7～9),增益K的自適應(yīng)調(diào)節(jié)源于變量s的“驅(qū)動(dòng)”。在本例中,即圖4(b)中,K的自適應(yīng)時(shí)間約為0.2 s。

該方法與PIDconventional及PIDretuned的控制效果對(duì)比如圖5所示。

圖5 所提方法與PIDconventional及PIDretuned的控制效果對(duì)比

圖5(a)中,該方法的增益K依據(jù)有效負(fù)載變化而進(jìn)行自適應(yīng)變化,而PIDconventional和PIDretuned的增益為恒定值;

圖5(b)中,經(jīng)過(guò)自適應(yīng)過(guò)程,該P(yáng)ID控制具有更加優(yōu)良的跟蹤精度。此外,該方法的控制誤差在有效載荷變化瞬間具有較大的跳躍,這是由于自適應(yīng)過(guò)程的初始化所導(dǎo)致,而初始化對(duì)于以自適應(yīng)過(guò)程的速率和穩(wěn)定性是必要的[17]。

進(jìn)一步,筆者將所提方法與帶MRAC的PID控制(PID+MRAC)進(jìn)行對(duì)比。

在PID+MRAC中,筆者設(shè)置參考模型為100/(j2+20j+100),其中:j是拉普拉斯變量,PID增益分別為K=40、TD=0.05以及TI=4;MRAC的參數(shù)設(shè)置為Cv=20、Cp=100、Fv=20、Fp=100,自適應(yīng)增益γ=8 000。

該方法與PID+MARC的控制效果對(duì)比如圖6所示。

圖6 所提方法與PID+MRAC的控制效果對(duì)比

圖6中,在有效載荷變化條件下,盡管PID+MRAC也可保證其魯棒性,但其跟蹤誤差該方法明顯增大;同時(shí),其瞬態(tài)相應(yīng)相較于該方法過(guò)于緩慢,且在0 s時(shí)出現(xiàn)了較大幅度的振蕩。

最后,筆者將該方法分別與文獻(xiàn)[18]中的BP-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID(BP-PID)及文獻(xiàn)[19]中的模糊PID(F-PID)控制方法進(jìn)行對(duì)比。

對(duì)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制[20],網(wǎng)絡(luò)采用3-5-3型結(jié)構(gòu),輸入節(jié)點(diǎn)分別為跟蹤誤差、超調(diào)量及調(diào)節(jié)時(shí)間,傳遞函數(shù)為tansig函數(shù),輸出節(jié)點(diǎn)為PID控制器的比例分量、積分時(shí)間、微分時(shí)間的單次調(diào)整量;

對(duì)于模糊PID控制,將關(guān)節(jié)位置誤差與誤差變化量(輸入?yún)?shù))、以及PID控制器3個(gè)增益(輸出參數(shù))量化至論域{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},論域和模糊子集相對(duì)應(yīng),用負(fù)大[NB]、負(fù)中[NM]、負(fù)小[NS]、零[ZO]、正小[PS]、正中[PM]、正大[PB]等7個(gè)檔次的語(yǔ)言變量值進(jìn)行表達(dá),輸入量和輸出量的隸屬度函數(shù)均選擇為高斯函數(shù)。

該方法與BP-PID及F-PID控制器的控制效果對(duì)比如圖7所示。

圖7 所提方法與BP-PID及F-PID控制器的控制效果對(duì)比

由圖7可以看出:在有效載荷發(fā)生較大變化條件下,由于BP-PID的梯度下降算法和數(shù)據(jù)及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的依賴(lài)性,以及F-PID在隸屬度函數(shù)及模糊準(zhǔn)則方面的經(jīng)驗(yàn)性依賴(lài)等缺陷,相較于BP-PID及F-PID,該方法在跟蹤精度與位置誤差收斂速度方面均有較大優(yōu)勢(shì)。

上述各方法的控制效果定量對(duì)比如表1所示。

表1 上述各方法的控制效果定量對(duì)比(×10-3deg)

綜上所述,自適應(yīng)PID控制方法的自適應(yīng)速率較快,且一旦完成增益確定過(guò)程,其控制效果更為優(yōu)良;同時(shí),即使有效載荷發(fā)生顯著變化,自適應(yīng)PID控制的跟蹤精度依然保持不變。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的實(shí)際應(yīng)用效果,筆者利用了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備,模擬實(shí)際工程中的有效載荷變化條件。

筆者選擇WAM機(jī)械臂作為研究對(duì)象,其具有低傳動(dòng)比特性,機(jī)械臂末端裝載有機(jī)械手(0.94 kg)和一支球棒(1.06 kg),并配有2 kg的有效載荷。

實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖如圖8所示。

圖8 實(shí)驗(yàn)裝置簡(jiǎn)圖

圖8中,機(jī)械臂關(guān)節(jié)J1～J3的傳動(dòng)比分別為42.0 ∶1、28.25 ∶1和18.0 ∶1,2 kg的點(diǎn)質(zhì)量有效載荷可使關(guān)節(jié)J3的慣性增加59.4%,1.06 kg的球棒可使關(guān)節(jié)J3的慣性增加124.4%,球棒和點(diǎn)質(zhì)量載荷的引入使得機(jī)械臂的有效載荷發(fā)生大幅度變動(dòng);機(jī)械臂關(guān)節(jié)電機(jī)由Barrett電機(jī)控制單元驅(qū)動(dòng),控制單元中集成有分辨率為4 096 pulse/r的旋轉(zhuǎn)編碼器、放大器、轉(zhuǎn)矩控制器及電源;

由于控制回路在500 Hz下運(yùn)行,采樣周期L為0.002 s。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中采用的機(jī)械臂末端軌跡為:

qd=qinit+20·[1+sin(0.4πt+3π/2)]deg

(19)

其中:

qinit=[0.0 -115.6 90]Tdeg

(20)

誤差動(dòng)力學(xué)方程為:

(21)

從而可知:λ=diag(10.0,10.0,10.0)。

筆者利用兩種實(shí)驗(yàn)條件對(duì)該控制方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證:

(1)為研究PID控制對(duì)有效載荷變化的適應(yīng)性,通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)將增益α調(diào)整為α=diag(0.23,0.01,0.005)。參數(shù)M和δ分別選擇為M=0.005 1和δ=0.000 1。TI和TD分別設(shè)置為T(mén)I=0.2I以及TD=0.05I(I—單位矩陣);

(2)將PID控制與文獻(xiàn)[8]6所提出的PID控制(PIDAL)進(jìn)行比較?？衫檬?5,6)的等價(jià)性選擇PIDAL增益:在無(wú)有效載荷條件下,選擇K=diag(500,300,60),TI=0.2I,TD=0.05I,此時(shí)的PIDAL記為PIDAL-1;在有效載荷作用條件下,選擇K=diag(650,440,183),TI=0.2I,TD=0.05I,此時(shí)的PIDAL記為PIDAL-2。

在有/無(wú)有效載荷條件下,該方法增益K及誤差函數(shù)J的變化曲線如圖9所示。

圖9 所提方法在有/無(wú)有效載荷條件下增益K及誤差函數(shù)J的變化曲線

圖9(b,d,f)中,當(dāng)引入有效載荷時(shí),控制方法的跟蹤誤差就會(huì)隨之增大,從而導(dǎo)致函數(shù)J(以跟蹤誤差為自變量的函數(shù))也會(huì)變大。同時(shí),在圖9(a,c,e)中,式(7～9)的自適應(yīng)過(guò)程提高了比例增益K;且當(dāng)K經(jīng)過(guò)自適應(yīng)過(guò)程收斂后,跟蹤誤差與無(wú)有效載荷情況十分接近,表明了所提PID控制對(duì)有效載荷變化的魯棒性。

該方法與PIDAL的控制效果對(duì)比[21]如圖10所示。

圖10(a,c,e)中,在無(wú)有效載荷的條件下,該方法與PIDAL-1的控制效果十分接近,此時(shí)由于PIDAL-2的增益K較高,控制穩(wěn)定性無(wú)法保證,未在圖中進(jìn)行對(duì)比;另一方面,當(dāng)引入有效載荷時(shí),所提PID方法的控制效果變化不明顯,而PIDAL-1的跟蹤精度顯著下降,此時(shí)必須通過(guò)調(diào)整(多次試錯(cuò))增益矩陣K保證方法的跟蹤精度,如圖10(b,d,f)中PIDAL-2曲線所示。

該控制方法與PIDAL控制效果定量對(duì)比(有/無(wú)有效載荷)如表2所示。

綜上所述,在有效載荷變化較大的條件下,PID方法能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié)比例增益K且提供恒定增益TI和TD,從而在負(fù)載變化下保持跟蹤精度;相比之下,PIDAL方法需要針對(duì)有效載荷的變化情況確定兩個(gè)不同的增益集。

圖10 所提方法與PIDAL的控制效果對(duì)比

表2 所提控制方法與PIDAL控制效果定量對(duì)比(有/無(wú)有效載荷)

因此,在保證跟蹤精度的條件下,該控制方法的自適應(yīng)性強(qiáng),實(shí)施過(guò)程中無(wú)需針對(duì)有效載荷變化進(jìn)行增益的人為試錯(cuò)調(diào)節(jié)。

4 結(jié)束語(yǔ)

筆者針對(duì)變有效載荷條件下的機(jī)械臂魯棒控制問(wèn)題,提出了一種自適應(yīng)PID控制方法,即基于離散時(shí)域內(nèi)TDC與PID的等價(jià)性,通過(guò)參數(shù)匹配確定了所提PID控制方法的增益,得出了相應(yīng)的自適應(yīng)控制律,最后通過(guò)仿真分析和物理實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了所提方法的有效性。

研究結(jié)果表明:

(1)所提PID控制方法具有無(wú)模型性以及在變有效載荷條件下的魯棒性?xún)蓚€(gè)特點(diǎn),無(wú)需對(duì)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)和有效載荷變化進(jìn)行任何計(jì)算;

(2)所提方法的自適應(yīng)過(guò)程集中于比例增益,保證了在機(jī)械臂有效載荷變化條件下的控制魯棒性,當(dāng)有效載荷增大時(shí),PID增益相應(yīng)增大,反之亦然。該結(jié)果表明,在有效載荷顯著變化的情況下,所提出的自適應(yīng)PID控制相較于已有方法具有更好的跟蹤精度;

(3)所提方法可以在不了解TDC的情況下進(jìn)行實(shí)施,且由于其具有典型的PID結(jié)構(gòu),可以廣泛適用于現(xiàn)有的PID控制器。

由于庫(kù)侖摩擦和速度反向過(guò)程中的粘滯現(xiàn)象,跟蹤誤差可能出現(xiàn)周期性急劇增加。在后續(xù)的研究中,筆者將結(jié)合非線性阻尼、模糊邏輯、以及滑?？刂频确椒?以此來(lái)進(jìn)一步提高所提自適應(yīng)PID控制策略的魯棒性。