李新慧

不等式恒成立問題是使不等式在某個條件下恒成立的問題，常與函數、方程、三角函數、導數、線性規(guī)劃等知識相結合.解答此類問題可以從多個角度探究，尋找合適的解題思路.下面以一道題為例，探究一下解答不等式恒成立問題的方法.

題目：已知函數 fx=ax2+bx+c 的圖象過點-1，0，問當 a， b， c 為何值時，不等式 x ≤fx≤（1+x2）對一切實數 x 都成立？

仔細分析題目不難發(fā)現，需從函數的解析式和目標不等式出發(fā)，建立關于常數a 、b 、c 之間的關系式，以確定使不等式恒成立的條件.通過研究，筆者找到了以下兩種思路.

一、運用方程思想求解

不等式與方程的關系緊密.在解答不等式恒成立問題時，我們可將不等式與方程關聯(lián)起來，根據題意構造方程，如通過賦值，令不等式或其中的某一部分式子為0等方式來構造方程，然后通過解方程或者方程組，利用一元二次方程的根與系數的關系、判別式來解題.對于本題，我們可從特例出發(fā)，分別令x =0、1，構造關于a、b、c 的方程組，建立關于a、b、c 的關系式，求得使不等式恒成立的a、b、c 的值.

解：因為函數 fx=ax2+bx +c 的圖象過點-1，0，

所以 a -b +c =0.又因為 x ≤fx≤1+x2對一切實數 x 都成立，令 x =0，有0≤ c ≤;令 x =1，則1≤ a +b +c ≤1，所以 a +b +c =1.聯(lián)立方程組a（a） b（b） c（c） 得 b = ，c = -a，所以0≤ -a ≤，所以0≤ a ≤ .將 b = ，c = -a ，代入 x ≤fx≤（1+x2）中，可得?（ì） x-2-2a 1--x 其解集為 R .當 a =0或 時，上述不等式不能對一切實數 x 都成立，所以0<a<.又因為Δ1=1-8a1-2a≤0，Δ2=1-8a（1-2a）≤0得出4a -12≤0，所以 a =c = .綜上所述，當 a =，b =， c = 時不等式x ≤fx≤1+x2對一切實數x 都成立.

二、數形結合

數形結合是解答不等式問題的重要手段.在解答不等式恒成立問題時，可根據不等式的結構特征，構造合適的函數模型，然后畫出函數的圖象，通過分析函數圖象的交點、增減性、對稱性、最高點、最低點、切點等，建立使不等式恒成立的關系式，即可解題.對于本題，需分別構造函數 gx=x 、hx=1+x2，根據兩函數的圖象討論 fx=ax2+bx+c 的位置，與新構造的兩個函數圖象的交點、切點，建立關系式求得a 的值，進而得到b 、c 的值.

解：

可見，解答不等式恒成立問題，需展開聯(lián)想，善于遷移知識，運用發(fā)散性思維，將不等式與方程、函數等知識關聯(lián)起來，從不同的角度尋找解題的方案.解答不等式恒成立問題的方法還有很多種，同學們在日常學習中要注意總結、積累解題的經驗.

本文系甘肅省“十三五”教育規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)導向和高考評價體系的高中數學情境教學策略開發(fā)與研究》研究成果，課題編號GS【2020】GHB2144.

（作者單位：甘肅省酒泉中學）