陳 旭, 湯小青

(衢州第三中學(xué)，浙江 衢州 324000)

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一[1].探究課需要學(xué)生體會數(shù)學(xué)探究的基本思路，在探究的過程中感悟數(shù)學(xué)探究的方法、體驗數(shù)學(xué)探究的魅力.正弦、余弦函數(shù)的單位圓定義將三角函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)和單位圓的幾何性質(zhì)有機融合，利用單位圓的幾何性質(zhì)進行正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)探究成為開展探究活動有效的著力點.筆者近期參加了一次地市比賽課，有幸得到專家評委的指點，在此就本課的幾點感想與大家交流.

1 教學(xué)分析

1.1 教學(xué)內(nèi)容

本課是2019年人教A版《數(shù)學(xué)(必修1)》三角函數(shù)章節(jié)的探究課.本課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的單位圓定義、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上開展的，利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性探究正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)及相關(guān)公式，并為后續(xù)正切函數(shù)圖像與性質(zhì)、推導(dǎo)各種三角公式做必要的準備.因此，本節(jié)課在內(nèi)容上發(fā)揮著承上啟下的功能.

1.2 教學(xué)目標

1)利用單位圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)實驗，集體探究正弦函數(shù)的已知性質(zhì)，獨立探究余弦函數(shù)的已知性質(zhì)，小組合作探究未知函數(shù)f(x)=sinxcosx的性質(zhì)、二倍角的正弦公式.

2)通過課堂探究活動，學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)探究活動四步曲、體驗探究未知問題三步曲、進一步理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)單位圓定義的本質(zhì)、體驗數(shù)形結(jié)合的魅力.

3)通過課堂探究活動，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.3 教學(xué)問題診斷

1)存在的問題：學(xué)生探究活動經(jīng)驗少，數(shù)學(xué)實驗?zāi)芰θ?，GeoGebra使用不熟練.

2)教學(xué)重點：熟悉數(shù)學(xué)探究的基本步驟，理解三角函數(shù)單位圓定義的數(shù)學(xué)本質(zhì).

3)教學(xué)難點：探究未知函數(shù)的性質(zhì)和論證二倍角的正弦公式.

2 教學(xué)過程(課堂實錄片段)

2.1 選題階段：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

師：同學(xué)們，大家好！今天我們要上一節(jié)數(shù)學(xué)探究課.

2021年9月17日神舟十二號飛船順利返航，這是中國航空史上的重要時刻.過去的3個月，神舟十二號飛船以每90分鐘繞地球一周的速度周而復(fù)始地轉(zhuǎn)動著.大到航天飛船，小到生活中的摩天輪、飛馳的車輪、旋轉(zhuǎn)的陀螺，到處都有圓周運動的身影.以圓周運動為背景我們抽象出了三角函數(shù)的單位圓定義.

在前面的學(xué)習(xí)中，我們利用三角函數(shù)的單位圓定義，得出了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像，并利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖像研究了相應(yīng)的函數(shù)性質(zhì)，知識結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1

師：基于三角函數(shù)單位圓定義的核心地位，在這個結(jié)構(gòu)中可以做怎樣的探究？

生(眾)：由單位圓的定義直接探究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).

師：非常好！今天我們要探究的問題是“利用單位圓的性質(zhì)探究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)”.

設(shè)計意圖通過生活中的圓周運動，結(jié)合已學(xué)知識，從單元設(shè)計的角度發(fā)現(xiàn)選題,突顯選題的意義，激發(fā)學(xué)生的探究精神，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.2 開題階段：搜集已有的研究背景，確定研究方案

師：給出問題之后，對于問題的研究需要做哪些準備呢？

生1：查閱相關(guān)的資料，并制定相應(yīng)的研究計劃.

師：非常好！首先請同學(xué)們回憶正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)(搜集已有的研究背景).

(學(xué)生敘述正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì).)

師：請同學(xué)們回憶如何利用單位圓的幾何性質(zhì)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式(搜集已有的研究背景).

(學(xué)生敘述如何利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性證明誘導(dǎo)公式.)

師：今天我們將利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性來研究正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生明確數(shù)學(xué)問題探究的一般思路，突顯開題對于問題探究的引領(lǐng)意義.

2.3 做題階段：利用單位圓的性質(zhì)研究正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)

2.3.1 論證已知

1)集體探究，明確思路.

師：定義域是函數(shù)的先決條件.利用周期性可以將無限的定義域變成研究有限的一個周期.請思考如何利用單位圓的幾何性質(zhì)描述正弦函數(shù)的定義域和周期性？

(教師利用GeoGebra讓單位圓上的點繞著圓心周而復(fù)始地轉(zhuǎn)動.)

生2：由角度大小的任意性，知正弦函數(shù)的定義域為R.單位圓上的點周而復(fù)始地運動，終邊相同的角的終邊和單位圓有相同的交點，因此sin(x+2kπ)=sinx，即正弦函數(shù)的最小正周期為2π.

師：那么如何理解正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域？

師：剛剛我們利用單位圓論證了正弦函數(shù)的定義域、周期性、值域、單調(diào)性，主要用了什么數(shù)學(xué)思想？

生4：用了數(shù)形結(jié)合的思想.

師：很好！我們從函數(shù)性質(zhì)(數(shù))→單位圓的幾何特征(形)→函數(shù)性質(zhì)(數(shù))進行思考，利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性得到了正弦函數(shù)的性質(zhì).那么，如何利用單位圓的幾何性質(zhì)描述正弦函數(shù)的奇偶性呢？

生5：從單位圓中構(gòu)造兩個方向相反、大小相等的角，這兩個角的終邊與單位圓的交點關(guān)于x軸對稱，故sin(-x)=-sinx成立，因此sinx是奇函數(shù).

設(shè)計意圖利用點在單位圓上運動時縱坐標變化的代數(shù)規(guī)律，從幾何角度抽象概括出正弦函數(shù)的性質(zhì).由于學(xué)生缺少探究經(jīng)驗，因此宜采用集體探究的模式，讓學(xué)生初步體驗利用單位圓幾何性質(zhì)探究的思路，為后續(xù)活動的開展做必要的鋪墊.引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)學(xué)性質(zhì)→幾何直觀→數(shù)學(xué)性質(zhì)”進行思考，并且關(guān)注如何用準確的數(shù)學(xué)語言抽象概括出幾何直觀中的數(shù)學(xué)性質(zhì)，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2)自主探究，內(nèi)化提升.

師：剛才我們一起利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性完成了正弦函數(shù)性質(zhì)的探究.現(xiàn)在請同學(xué)們再次利用單位圓的性質(zhì)，在研究報告上獨自完成余弦函數(shù)性質(zhì)的探究.

(結(jié)合余弦函數(shù)的單位圓定義，類比正弦函數(shù)的性質(zhì)進行分析.)

師：前面利用單位圓的幾何性質(zhì)完成了正弦、余弦函數(shù)已知性質(zhì)的證明.那么我們能不能利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性來探究相關(guān)的未知問題呢？

設(shè)計意圖利用點在單位圓上運動時橫坐標變化的代數(shù)規(guī)律，從幾何角度抽象概括出余弦函數(shù)的性質(zhì).以自主探究的形式開展探究，內(nèi)化探究思路，進一步提升思維品質(zhì).

2.3.2 探索新知

1)數(shù)學(xué)實驗，小試牛刀.

表1 sin x和x的大小關(guān)系

師：這位同學(xué)利用數(shù)據(jù)猜測了一個結(jié)果，請大家嘗試證明.

圖2

師：利用單位圓的幾何性質(zhì)，完成了猜想的證明.那么表格中第2組、第3組數(shù)據(jù)中x的值和sinx的值相同，如何解釋呢？

生9：是數(shù)據(jù)的精度不夠，提高精度后可以看到還是符合猜測的.

設(shè)計意圖學(xué)生初步體會利用數(shù)學(xué)實驗探索新知的三步曲，即直觀感知→提出猜想→論證猜想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).通過數(shù)據(jù)的誤差分析，體驗數(shù)學(xué)的嚴謹性.

2)類比遷移，更上臺階.

師：同學(xué)們利用數(shù)學(xué)實驗，直觀感知并猜測規(guī)律，最后結(jié)合單位圓的幾何特征論證規(guī)律.讓我們嘗試用剛才的思路探究f(x)=sinxcosx的函數(shù)性質(zhì).

(4位學(xué)生一組：一位學(xué)生操作GeoGebra，一位學(xué)生記錄數(shù)據(jù)，另外兩位學(xué)生分析數(shù)據(jù)變化中的規(guī)律并展示表2所示的數(shù)據(jù).)

表2 函數(shù)f(x)=sin xcos x的性質(zhì)

生10：1)函數(shù)的周期性.觀察數(shù)據(jù)0→-0.5→0→0.5→0的變化過程，猜測周期為π.因為f(x+π)=sin(x+π)cos(x+π)=sinxcosx=f(x)，所以猜測成立.

4)函數(shù)的奇偶性.在0的左、右兩側(cè)距離相等處，函數(shù)值相反，猜測f(x)是奇函數(shù).因為f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x)，所以猜想成立.

師：非常好！該小組同學(xué)結(jié)合數(shù)據(jù)和單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，給出了f(x)=sinxcosx的性質(zhì)探究，理清了對稱軸和對稱中心在單位圓中的特點.

設(shè)計意圖以數(shù)學(xué)實驗為載體，利用單位圓的幾何性質(zhì)，探索函數(shù)f(x)=sinxcosx的性質(zhì).通過小組合作探究，進一步熟悉利用數(shù)學(xué)實驗探究未知問題的三步曲.

3)大膽猜想，嚴謹論證.

師：問題引領(lǐng)前進的方向.請各小組討論，利用單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱性進行證明猜想是否成立.

生12(等面積法)：如圖3，過點C作CE⊥OA于點E，聯(lián)結(jié)AC交BO于點D，則CE=sin 2α，從而

又因為OD=cosα，AD=sinα,AC=2sinα,所以

故

師：將正弦、余弦函數(shù)的定義和三角形的面積有機融合，從形的角度證明了數(shù)的結(jié)果.

圖3 圖4

可得 cos 2α=1-2sin2α=cos2α-sin2α，

兩邊平方,得

cos22α=(1-2sinαcosα)(1+2sinαcosα)，

從而

1-cos22α=(2sinαcosα)2，

于是

sin22α=(2sinαcosα)2，

因此

sin 2α=2sinαcosα.

師：利用AC長度的兩種計算方法，得到了一個非常有意義的公式cos 2α=cos2α-sin2α，并通過合理變形得到了想證明的公式.我們從數(shù)學(xué)實驗出發(fā)，通過直觀感知提出猜想、論證猜想，較好地完成了對未知問題的探索.

設(shè)計意圖激勵學(xué)生勇于探究，發(fā)現(xiàn)新知，體會探究之妙.從經(jīng)驗走向規(guī)律，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從淺層走向深度.從長度和面積兩個角度體驗公式證明的多樣性，并為后續(xù)三角公式的探究埋下伏筆.

2.4 結(jié)題階段：反思過程、總結(jié)提升

師：問題探究的最后環(huán)節(jié)是結(jié)題，結(jié)題不僅需要從內(nèi)容上進行總結(jié)，更需要從思想方法上進行分析，還需要在不足中尋找進步的方向.

生15：了解了數(shù)學(xué)問題探究的基本思路：選題→開題→做題→結(jié)題.

生16：對于未知問題的探究，可以采用“直觀感知→提出猜想→論證猜想”的思路進行.

生17：GeoGebra在數(shù)學(xué)實驗的開展中具有很大的優(yōu)勢，需要進一步學(xué)習(xí).

師：本節(jié)課是一節(jié)探究課，我們經(jīng)歷了選題、開題、做題、解題的過程.首先作為一節(jié)探究課我們需要尋找一個有價值的目標；搜集與選題相關(guān)的研究成果，確定研究方案；大膽猜想、嚴謹論證是探究之路上非常寶貴的品質(zhì)；研究結(jié)束之后還需要將研究的成果撰寫報告，反思研究之道.

設(shè)計意圖結(jié)題是對內(nèi)容、過程的總結(jié)，更是對方法、思維的反思，是下次研究的基石，讓學(xué)生再次體驗探究之旅，領(lǐng)略研究之妙.

2.5 布置作業(yè):綜合評價,課堂拓展

師：請同學(xué)們課后按小組整理本組的研究報告，并利用單位圓的性質(zhì)探究更多的三角公式、更多新函數(shù)的性質(zhì)，并撰寫研究報告.我們將組織學(xué)科組對大家的報告進行綜合評定.

設(shè)計意圖“生命不息，探究不止”.教師要強化探究意識，從單元結(jié)構(gòu)設(shè)計上尋找新的探究點，完善知識的整體結(jié)構(gòu)，為后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準備.在數(shù)學(xué)探究的過程中養(yǎng)成獨立思考、合作研究的意識.在評價方面，改變以往的評價模式，采取學(xué)科組的綜合評價.

3 教學(xué)反思

3.1 基于探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計

本課是一節(jié)探究課，設(shè)計上以探究課的基本步驟“選題→開題→做題→結(jié)題”作為設(shè)計的主線，并在未知問題的探索中以“直觀感知→提出猜想→論證猜想”作為設(shè)計的思路，讓學(xué)生能夠“習(xí)探究之道，悟研究之妙”.

3.2 基于深度學(xué)習(xí)單元教學(xué)設(shè)計

圖5

如圖5，整個三角函數(shù)章節(jié)以“一核六翼”的結(jié)構(gòu)進行大單元設(shè)計.其中，“一核”是指三角函數(shù)的單位圓定義，“六翼”是指同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)性質(zhì)、三角恒等變換、三角函數(shù)綜合性質(zhì).本課是大單元設(shè)計中的一節(jié)探究課，目標是在教學(xué)中讓學(xué)生感悟三角函數(shù)單位圓定義的核心地位，建立以此為核心的六翼的關(guān)聯(lián)，最后形成“一核六翼”整體大單元思想.

本節(jié)課以“論證已知→探索未知”為線索展開，即在“論證已知”環(huán)節(jié)，從“集體探究→個人探究”逐步深入；在“探索未知”環(huán)節(jié)，從“小試牛刀→類比遷移→發(fā)現(xiàn)新知→多角度論證”引導(dǎo)學(xué)生從淺層走向深層，從猜測邁向規(guī)律，在深度學(xué)習(xí)的過程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.3 基于GeoGebra數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)實驗將抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化、具體化，能更好地詮釋數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和形成過程，更好地突顯數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性.GeoGebra的動態(tài)演示效果能較好地引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地探索數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及觀察、分析問題和解決問題的能力，而且十分有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，它為我們提供了一個探索數(shù)學(xué)問題的思想環(huán)境.這些優(yōu)勢都使得在GeoGebra環(huán)境下的數(shù)學(xué)實驗探究更加深入.

利用GeoGebra的動態(tài)演示效果創(chuàng)設(shè)單位圓的運動背景，結(jié)合GeoGebra的數(shù)據(jù)運算功能，能更好地突顯研究問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).從教師演示數(shù)學(xué)實驗到學(xué)生小組合作設(shè)計并演示數(shù)學(xué)實驗，并利用數(shù)學(xué)實驗在合作交流中發(fā)現(xiàn)和解決問題，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體性，實現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.