丁少杰, 楊亢爾

(1．奉化中學(xué)，浙江 寧波 315500；2．奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，浙江 寧波 315500)

鱉臑最早進(jìn)入高考命題是在2015年的湖北省數(shù)學(xué)高考理科試卷，第19題出現(xiàn)了含有“陽(yáng)馬”“鱉臑”古詞的立體幾何解答題，一時(shí)成為熱門話題.由于“鱉臑”與“別鬧”發(fā)音近似，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友對(duì)命題者喊出了：“別鬧(鱉臑)，回家養(yǎng)馬(陽(yáng)馬)吧.”時(shí)隔多年，鱉臑幾何體已逐漸被人們所接受，并用于立體幾何教學(xué)，鱉臑數(shù)學(xué)文化價(jià)值也廣泛滲透到高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)與高考試題的命制之中.鱉臑的特殊構(gòu)造使得它的頂點(diǎn)、棱和面具有豐富的位置關(guān)系，從而它成為搭起發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的一個(gè)“腳手架”.

1 鱉臑的幾何內(nèi)涵

鱉臑最早出現(xiàn)在《九章算術(shù)》中，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)·商功》中注釋：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，其形有似鱉肘，故以名云.”也就是說(shuō)鱉臑的命名源于它形似甲魚的前肢[1].因此，通常定義鱉臑為4個(gè)面均為直角三角形的三棱錐.這個(gè)定義也可等價(jià)敘述為：底面為直角三角形，且在底面銳角頂點(diǎn)處有一條側(cè)棱與底面垂直的三棱錐叫作鱉臑[2].圖1為劉徽斜分長(zhǎng)方體過程的示意圖，自左往右的第2幅圖到第4幅圖分別為壍堵、陽(yáng)馬和鱉臑.

圖1

2 鱉臑的教學(xué)價(jià)值

鱉臑蘊(yùn)涵了立體幾何中點(diǎn)、線、面的各種位置關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)文化背景.筆者從領(lǐng)悟垂直關(guān)系、掌握“補(bǔ)形”技巧、溝通3類空間角等方面開發(fā)鱉臑?zāi)Ｐ偷慕虒W(xué)價(jià)值，從而探索發(fā)展學(xué)生直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的有效途徑.

2.1 領(lǐng)悟垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系是立體幾何學(xué)習(xí)的主線.學(xué)生可以在鱉臑幾何體中討論線線垂直、線面垂直和面面垂直以及它們的相互轉(zhuǎn)化，加深這3類垂直關(guān)系的理解.

圖2

例1如圖2，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC．求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．

(2020年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第19題)

解如圖2，過點(diǎn)D作DO⊥AC于點(diǎn)O，聯(lián)結(jié)OB．過點(diǎn)O作OH⊥BD于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)CH．

由∠ACD=45°，DO⊥AC，得

由平面ACFD⊥平面ABC，得

DO⊥平面ABC，

從而

DO⊥BC．

BO⊥BC，

從而

BC⊥平面BDO，

于是

BC⊥DB,

因此，三棱錐D-OBC是一個(gè)鱉臑?zāi)Ｐ?

由三棱臺(tái)ABC-DEF，得

DF∥CO，

從而直線DF與平面DBC所成的角等于直線CO與平面DBC所成的角.

由BC⊥平面BDO，得

OH⊥BC，

從而

OH⊥平面BCD，

故∠OCH為直線OC與平面DBC所成的角.

從而

本題求解的關(guān)鍵點(diǎn)在于：1)注意到三棱錐D-BCO為鱉臑，找到目標(biāo)平面DBC的垂面BDO；2)目標(biāo)直線DF要平移到直線CO，因?yàn)榫€段CO的長(zhǎng)度是可求的.而這兩點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)得益于對(duì)鱉臑?zāi)Ｐ投x的理解.

圖3

例2如圖3，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥PB于點(diǎn)E，AF⊥PC于點(diǎn)F．若PA=AB=2，且平面AEF與平面PAC所成銳二面角為60°，求∠BAC的大小.

變式1刪去例2中“平面AEF與平面PAC所成銳二面角為60°”這一條件，求三棱錐P-AEF體積的最大值及此時(shí)cos∠BAC的值.

解由已知條件可得

并且PE⊥平面AEF.設(shè)AF=x，得

故

例3在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，鱉臑是指4個(gè)面都是直角三角形的四面體．如圖4，在Rt△ABC中，AD為斜邊BC上的高，AB=3，AC=4．現(xiàn)將△ABD沿AD翻折成△AB′D，使四面體AB′CD為一個(gè)鱉臑，則直線B′D與平面ADC所成角的余弦值是______．

圖4

(2021年1月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第21題)

本題中翻折形成四面體的過程實(shí)際上是教材中線面垂直判定定理的探究實(shí)驗(yàn)，其巧妙地與中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的鱉臑概念融合起來(lái)，極大地開發(fā)了教材資源，全面地考查了學(xué)生對(duì)空間中垂直關(guān)系的理解.

2.2 掌握“補(bǔ)形”技巧典例

鱉臑是切割長(zhǎng)方體后形成的幾何體，逆向思維，這意味著也可以將鱉臑“補(bǔ)形”成一個(gè)長(zhǎng)方體(如圖5所示).

圖5

在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，注意到PA，AB，BC兩兩垂直，故構(gòu)造長(zhǎng)方體使得PA，AB，BC也為長(zhǎng)方體的棱.容易看到，補(bǔ)形后長(zhǎng)方體的體積是原來(lái)鱉臑體積的6倍，長(zhǎng)方體的外接球即鱉臑的外接球，鱉臑的最長(zhǎng)棱即長(zhǎng)方體的體對(duì)角線.因此，鱉臑的最長(zhǎng)棱是其外接球的一條直徑.這樣，就可命制如下問題.

例4《九章算術(shù)》中將4個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，且該鱉臑外接球表面積為9π，則該鱉臑表面積為______．

解由鱉臑外接球表面積為9π，得鱉臑的最長(zhǎng)棱為3．又PA⊥平面ABC，則底面只有兩種情況：

2)∠ACB=90°(圖5中B,C標(biāo)識(shí)對(duì)調(diào))．此時(shí)最長(zhǎng)棱為PB=3，而PA=AB=2，這與PA⊥平面ABC矛盾！此種情形舍去.

“補(bǔ)形”是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單幾何體的重要技巧，然而要掌握它需要學(xué)生具備較高層次的直觀想象素養(yǎng).因此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)積累幾種經(jīng)典的補(bǔ)形模型來(lái)把握補(bǔ)形的方向.當(dāng)學(xué)生從數(shù)學(xué)史中了解到鱉臑是切割長(zhǎng)方體所得的三棱錐，也就容易理解鱉臑的補(bǔ)形方向是長(zhǎng)方體，從而利用長(zhǎng)方體來(lái)解決鱉臑中的問題.

2.3 架構(gòu)3類空間角橋梁

由于鱉臑的每個(gè)面都是直角三角形，鱉臑中每條棱的計(jì)算方法并不唯一.這實(shí)際上就溝通了3類空間角：兩直線所成角(“線線角”)、直線和平面所成角(“線面角”)以及兩平面所成角(“面面角”).為方便說(shuō)明，用表示兩個(gè)圖形所成角，其中x,y可以為直線或平面．它們的關(guān)系可由下面兩個(gè)公式進(jìn)行刻畫.

1)三余弦公式：若l是平面α的一條斜線，b為平面α內(nèi)的一條直線，l在α內(nèi)的射影為a，則

cos=coscos．

在圖6中，AC⊥平面α，CD⊥b′，b∥b′，得三棱錐A-BCD為鱉臑，∠ABC,∠CBD,∠ABD分別為,,．對(duì)BD“算兩次”得

BD=ABcos=ABcoscos，

三余弦公式得證.

圖6 圖7

2)三正弦公式：若α∩β=l，a?α，則

sin=sinsin<α,β>．

在圖7中，AH⊥平面β，HG⊥l，得三棱錐A-HGB為鱉臑，∠ABH,∠AGH,∠ABG分別為,<α,β>,．對(duì)AH“算兩次”,得

AH=ABsin=ABsinsin<α，β>，

三正弦公式得證.

通過構(gòu)造鱉臑幾何體能優(yōu)雅而不失條理地對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行“無(wú)字”證明.進(jìn)一步挖掘三余弦公式，還有兩個(gè)“副產(chǎn)物”：

1)三垂線定理及其逆定理，即a⊥b?l⊥b；

2)線面角是最小的線線角，即≥=，當(dāng)且僅當(dāng)b平行或重合于l在α內(nèi)的射影a時(shí)取等號(hào)．

而對(duì)于三正弦公式，有推論：面面角是最大的線面角，即≤<α,β>，當(dāng)且僅當(dāng)a垂直于α,β的交線l時(shí)取等號(hào)．

通過上面的證明過程，可以看到鱉臑?zāi)Ｐ徒沂玖丝臻g角的本質(zhì)規(guī)律：三余弦公式定量地刻畫了線面角和線線角的關(guān)系，而三正弦公式定量地刻畫了面面角和線線角的關(guān)系.運(yùn)用三余弦、三正弦公式及它們的推論可以解決高考試題中空間角的比大小與求最值問題.

例5已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1

C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1

(2018年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第8題)

圖8

解如圖8，取AB的中點(diǎn)M，正方形ABCD的中心O，則SO⊥平面ABCD，OM⊥EM,從而θ1=，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO，于是

又由三余弦公式知

cosθ1=cos

=coscos

cosθ1≤cosθ3， sinθ2≤sinθ3

故

θ2≤θ3≤θ1．

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M不重合時(shí)，三棱錐S-OME為鱉臑.

例6如圖9，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練．已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大?。鬉B=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值是______(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角).

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

圖9

當(dāng)tanθ取最大值時(shí)，三棱錐P-ADC為一個(gè)鱉臑，PD⊥平面ABC．

借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是直觀想象素養(yǎng)的重要表現(xiàn)形式[3].因此，要進(jìn)一步提升直觀想象素養(yǎng)水平，就需要鱉臑這種形式簡(jiǎn)單但內(nèi)涵豐富的空間形式作為媒介發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著的鱉臑，是中華民族的文化瑰寶，隨著新課程改革的深入，很多學(xué)者專家將其融入立體幾何教材和高考評(píng)價(jià)命題之中.立足教材中的經(jīng)典例題，彰顯例題中隱含的數(shù)學(xué)文化背景，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣[4].研究鱉臑的教學(xué)價(jià)值在于可以加深空間中垂直關(guān)系的理解；鱉臑所衍生的內(nèi)涵足以讓學(xué)生細(xì)細(xì)品味垂直關(guān)系，讓學(xué)生深刻感受復(fù)雜與簡(jiǎn)單幾何體的互化，也讓學(xué)生順利破解千變?nèi)f化的空間角問題.