谷洋

（浙江大學(xué)建筑工程學(xué)院，杭州 310058）

0 引言

隨著智慧水務(wù)城市建設(shè)的逐漸推進(jìn)，以被動(dòng)檢漏為主的傳統(tǒng)技術(shù)手段和以經(jīng)驗(yàn)為主的管理模式已經(jīng)無法適應(yīng)日趨龐大和復(fù)雜的供水管網(wǎng)。作為管網(wǎng)漏損控制的最小管理單元，獨(dú)立計(jì)量區(qū)域（District Metered Areas,DMAs）逐漸成為了漏損主動(dòng)管理最有效的途徑之一，通過關(guān)閉管道閥門將部分管段截?cái)?，把供水管網(wǎng)劃分成若干個(gè)相對(duì)獨(dú)立的區(qū)域，并在每個(gè)區(qū)域入口和出口管道上加裝流量計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)各分區(qū)流量的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)供水管網(wǎng)漏損點(diǎn)的位置，并修復(fù)止損，提升管網(wǎng)的精細(xì)化和網(wǎng)格化管理水平[1]。

DMA 分區(qū)管理的基礎(chǔ)在于分區(qū)邊界管段的確定，根據(jù)目前的研究，主要有人工經(jīng)驗(yàn)分區(qū)和算法自動(dòng)分區(qū)兩種方法。其中，人工經(jīng)驗(yàn)分區(qū)是指根據(jù)管理者的主觀經(jīng)驗(yàn)，綜合考慮行政邊界、河流道路、用戶數(shù)量等要素劃定DMA 邊界，并利用水力模型檢驗(yàn)分區(qū)效果。但實(shí)踐表明對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的大型環(huán)狀管網(wǎng)，使用人工經(jīng)驗(yàn)分區(qū)存在諸多局限性。一來管網(wǎng)規(guī)模的增大會(huì)增加分區(qū)校驗(yàn)的難度和時(shí)間；二來經(jīng)驗(yàn)法沒有充分考慮到供水管網(wǎng)的水力運(yùn)行條件，難以確定邊界閥門的最佳安裝位置。因此，很多學(xué)者進(jìn)行了算法自動(dòng)分區(qū)的研究。算法分區(qū)方法通常以圖論為基礎(chǔ)，通過將復(fù)雜的管網(wǎng)結(jié)構(gòu)等效成拓?fù)鋱D模型，再借助算法完成DMA分區(qū)。

Sempewo[2]等以節(jié)點(diǎn)需水量和管段長(zhǎng)度作為節(jié)點(diǎn)權(quán)重，以管徑作為邊的權(quán)重構(gòu)建管網(wǎng)的加權(quán)拓?fù)鋱D，利用METIS 圖劃分軟件進(jìn)行分區(qū)，使得各DMA 間邊界管段數(shù)量最小化。Di Nardo[3]等先提出了一種基于圖論和遺傳算法的DMA 分區(qū)方法，該方法指出節(jié)點(diǎn)和管段的最佳權(quán)重組合是需水量和耗散功率，并以耗散功率最小化為優(yōu)化目標(biāo)確定了閥門和水表的安裝位置；之后又提出使用譜聚類算法進(jìn)行分區(qū)[4]，使用平均割和規(guī)范割兩種劃分方式，尋找最佳分區(qū)方案。Herrera[5]等先是以需水量和管徑作為節(jié)點(diǎn)和管段的權(quán)重構(gòu)建相似矩陣，但運(yùn)算效率較低。為了改進(jìn)這一問題，又提出了一種多智能體自適應(yīng)譜聚類算法[6]，該方法以水源為起始點(diǎn)，迭代搜索與之相似的節(jié)點(diǎn)形成DMA，但受水源數(shù)量的限制，計(jì)算得到的分區(qū)數(shù)量不能多于水源點(diǎn)數(shù)量。Diao[7]等提出了一種基于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化的DMA 分區(qū)方法，該方法依據(jù)復(fù)雜系統(tǒng)分解原理研究管網(wǎng)的社區(qū)結(jié)構(gòu)（即DMA），并使用模塊度指標(biāo)量化分區(qū)效果，使得社區(qū)內(nèi)部連接邊密集，社區(qū)之間連接邊較少。

文中提出了一種基于節(jié)點(diǎn)高程差的供水管網(wǎng)DMA 邊界劃分方法，引入管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的高程差改進(jìn)相似矩陣并使用譜聚類算法求解。通過選定合適的分區(qū)數(shù)量，使得改進(jìn)結(jié)果在不影響分區(qū)規(guī)模均衡性的基礎(chǔ)上，改善同一分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)高程的均衡性。

1 供水管網(wǎng)DMA 分區(qū)邊界模型的建立與求解

1.1 基于節(jié)點(diǎn)高程差的相似矩陣的構(gòu)造

在供水管網(wǎng)圖模型中，選取合適的管網(wǎng)屬性定義節(jié)點(diǎn)相似度（即管段權(quán)值），進(jìn)而構(gòu)建相似矩陣是求解DMA 劃分邊界最基礎(chǔ)、也是最關(guān)鍵的一步。

傳統(tǒng)譜聚類算法通常用高斯核函數(shù)構(gòu)造相似矩陣，但在實(shí)際供水管網(wǎng)DMA 分區(qū)中，還要考慮地理?xiàng)l件、分區(qū)規(guī)模、供水安全性等因素對(duì)分區(qū)的影響。文中主要考慮地形高程這一因素，將地形高程的變化等效成管網(wǎng)標(biāo)高的變化，因?yàn)樵诠┧芫W(wǎng)布置中，通常是順著地形高程的變化敷設(shè)供水管道地形的高程很大程度上決定了管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的高程[8]。而節(jié)點(diǎn)間的高程變化又直接影響到管網(wǎng)供水壓力的分布，尤其是針對(duì)山地或丘陵地區(qū)的供水管網(wǎng)，節(jié)點(diǎn)高程差較大容易造成供水壓力分布不均勻，形成局部的高低壓區(qū)域。高地勢(shì)區(qū)的用戶水壓通常難以保證，而低地勢(shì)區(qū)的用戶水壓會(huì)產(chǎn)生冗余，存在爆管和漏損的風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，分區(qū)地勢(shì)跨度較大還會(huì)增加管道埋設(shè)的難度和施工成本，為日常的運(yùn)營(yíng)維護(hù)帶來困難。因此，在分區(qū)時(shí)應(yīng)盡量保證同一個(gè)DMA 內(nèi)節(jié)點(diǎn)高程的一致性。

文中利用管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)間的高程差ΔHij來構(gòu)造相似矩陣，相似矩陣表示為：

式中，ΔHmax為管網(wǎng)所有節(jié)點(diǎn)間高程差的最大值，m；ΔHij為節(jié)點(diǎn)i、j 間的高程差，m；NP為管網(wǎng)的管段數(shù)。

為檢驗(yàn)算法的改進(jìn)效果，文中選用一種基于局部標(biāo)準(zhǔn)差的自適應(yīng)譜聚類算法[9]作為改進(jìn)前的算法進(jìn)行對(duì)比，該算法在傳統(tǒng)譜聚類算法上進(jìn)行改進(jìn)，為每個(gè)樣本點(diǎn)i 設(shè)定一個(gè)局部標(biāo)準(zhǔn)差尺度參數(shù)σstd,i，避免了人為設(shè)定全局尺度參數(shù)σ 對(duì)算法本身的影響，改進(jìn)前算法的相似矩陣表示為：

式中，||xi-xn||表示樣本點(diǎn)i、n 間的歐式距離；p 為預(yù)先設(shè)定的樣本點(diǎn)i 的計(jì)算近鄰數(shù)；σstd,i反映了樣本點(diǎn)i 與其前p個(gè)近鄰點(diǎn)間距離的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 DMA 分區(qū)數(shù)量的選擇

使用譜聚類算法進(jìn)行DMA 分區(qū)時(shí)，分區(qū)數(shù)量k的選擇是很關(guān)鍵的一步，它直接影響著分區(qū)規(guī)模的大小、經(jīng)濟(jì)可行性和水力可靠性。傳統(tǒng)方法依據(jù)用戶數(shù)、用戶需水量和管線長(zhǎng)度等因素?cái)M定分區(qū)數(shù)量，但主觀性較強(qiáng)，而且對(duì)于大型復(fù)雜管網(wǎng)耗時(shí)耗力，直接擬定的分區(qū)數(shù)量很難滿足最佳水力運(yùn)行條件。文中選用邊界管段數(shù)量、聚類有效性指標(biāo)STDI[10，11]和模塊度Q 三個(gè)指標(biāo)評(píng)估DMA 的邊界劃分方案，初步選擇合適的分區(qū)數(shù)量。其中，聚類有效性指標(biāo)STDI 定義為：

式中，xtotal為所有節(jié)點(diǎn)的質(zhì)心；xN為第N個(gè)分區(qū)中所有節(jié)點(diǎn)的質(zhì)心；xi為第N個(gè)分區(qū)中的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)；n為第N個(gè)分區(qū)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量；k 為分區(qū)數(shù)量。模塊度Q 定義為：

式中，m 為管網(wǎng)管段數(shù)；Wij為管網(wǎng)圖模型的相似矩陣；di、dj為節(jié)點(diǎn)i、j 的度；δ 為克羅內(nèi)克函數(shù)，用于判斷節(jié)點(diǎn)i 和j 是否在同一個(gè)DMA 內(nèi)，若節(jié)點(diǎn)i 和j 同屬于一個(gè)DMA，則δij=1，否則δij=0。

邊界管段的數(shù)量越少，表明需要安裝的閥門和流量計(jì)的數(shù)量越少，經(jīng)濟(jì)成本越低；聚類有效性指標(biāo)STDI 可以有效表征子圖內(nèi)部的緊密性和子圖間的分離性，STDI 的值越大，表明聚類的效果越好；模塊度Q來源于社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法，用來定量描述社區(qū)劃分的模塊性水平，Q 的最大值是1，Q 值越接近1，表明DMA 劃分效果越好。

1.3 DMA 邊界模型的求解

文中使用譜聚類算法求解DMA 邊界模型，它是一種基于譜圖劃分理論的聚類算法，基本思想是以樣本對(duì)象為頂點(diǎn)V，以樣本間相似度對(duì)連接邊E 賦權(quán)重w，構(gòu)造無向有權(quán)圖G=（V，E），進(jìn)而將聚類問題轉(zhuǎn)化為圖的最優(yōu)劃分問題[12]。求解時(shí)需要運(yùn)用維度規(guī)約的思想對(duì)問題進(jìn)行連續(xù)放松來減少約束，將其轉(zhuǎn)化為相似矩陣或Laplacian 矩陣的譜分解問題[13]，使劃分得到的子圖內(nèi)部相似度最大，子圖間的相似度最小。圖1 為使用譜聚類算法求解DMA 邊界模型的基本流程。

圖1 DMA 邊界模型的求解流程

這里分別使用基于局部標(biāo)準(zhǔn)差和節(jié)點(diǎn)高程差的自適應(yīng)譜聚類算法作為改進(jìn)前后的算法對(duì)供水管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行聚類，兩種算法的唯一區(qū)別在于相似矩陣的構(gòu)造。對(duì)于改進(jìn)后的譜聚類算法，只需要導(dǎo)入管網(wǎng)模型外部文件（.inp），便可利用EPANETH 功能函數(shù)提取節(jié)點(diǎn)高程等參數(shù)，直接生成相似矩陣；但對(duì)于改進(jìn)前的算法，還需要導(dǎo)入管網(wǎng)地圖文件（.map）中的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，并人為給定計(jì)算近鄰數(shù)p，才能得到相似矩陣。

2 算例驗(yàn)證

2.1 算例管網(wǎng)介紹

采用文獻(xiàn)［14］中的Modena 管網(wǎng)，所有數(shù)據(jù)均沿用原文。該管網(wǎng)有268個(gè)需水節(jié)點(diǎn)，4個(gè)水源節(jié)點(diǎn)，317根管段，管網(wǎng)總長(zhǎng)約72km，總需水量為406.94L/s，需水節(jié)點(diǎn)標(biāo)高的最大值為30.39m，最小值為41.83m，管網(wǎng)最小服務(wù)水壓為14m。

2.2 DMA 分區(qū)數(shù)量的初選

預(yù)設(shè)管網(wǎng)的分區(qū)數(shù)量范圍為2～15個(gè)，取改進(jìn)前算法的計(jì)算近鄰數(shù)p=2，并依次使用改進(jìn)前后的譜聚類算法求解得到不同的聚類方案，最后計(jì)算不同分區(qū)數(shù)量對(duì)應(yīng)的邊界管段數(shù)、聚類有效性指標(biāo)STDI 和模塊度Q 進(jìn)行對(duì)比評(píng)估。圖2、圖3 分別為不同分區(qū)數(shù)量下3個(gè)指標(biāo)的比較。

圖3 分區(qū)聚類有效性指標(biāo)和模塊度的比較

從圖2 可以看出，隨著分區(qū)數(shù)量的增加，邊界管段的數(shù)量逐漸增多，意味著安裝閥門和流量計(jì)的數(shù)量和費(fèi)用會(huì)隨之增加。對(duì)比算法改進(jìn)前后的指標(biāo)值可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分區(qū)數(shù)量大于3個(gè)時(shí)，引入節(jié)點(diǎn)高程差改進(jìn)后的邊界管段數(shù)量較改進(jìn)前均有增加，原因在于Modena 管網(wǎng)標(biāo)高分布呈單向?qū)哟危次鞲邧|低），在構(gòu)造相似矩陣時(shí)，沿管網(wǎng)等高線方向的管段權(quán)值較大，這樣聚類就會(huì)使得分區(qū)層次相對(duì)明顯，但產(chǎn)生的邊界長(zhǎng)度也會(huì)隨之增加，需要“截?cái)唷备嗟墓芏?。因此在確定分區(qū)數(shù)量時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇邊界管段數(shù)量較少，且算法改進(jìn)對(duì)其影響較小時(shí)對(duì)應(yīng)的分區(qū)數(shù)量。

圖2 分區(qū)邊界管段數(shù)量的比較

從圖3 可以看出，隨著分區(qū)數(shù)量的增加，STDI 逐漸減小，Q 逐漸增大，且當(dāng)分區(qū)數(shù)量大于6個(gè)時(shí)，指標(biāo)值的變化速度減緩，表明聚類效果不再有明顯改變。對(duì)比算法改進(jìn)前后的指標(biāo)值可以發(fā)現(xiàn)，引入節(jié)點(diǎn)高程差使得STDI 和Q 值均有所增加，且當(dāng)分區(qū)數(shù)量k=3、4、5時(shí)，STDI 值變化較大，表明引入節(jié)點(diǎn)高程差使得分區(qū)內(nèi)部聯(lián)系更加緊密，體現(xiàn)出改進(jìn)后算法的明顯優(yōu)勢(shì)；相比之下，Q 對(duì)于算法改進(jìn)的敏感度不強(qiáng)。因此在確定分區(qū)數(shù)量時(shí)，應(yīng)優(yōu)先選擇STDI 和Q 值均較大時(shí)對(duì)應(yīng)的分區(qū)數(shù)量，還應(yīng)兼顧算法改進(jìn)對(duì)指標(biāo)變化的影響。

綜合考慮以上3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，初選DMA 分區(qū)數(shù)量為3個(gè)或4個(gè)，得到對(duì)應(yīng)的改進(jìn)前后分區(qū)示意圖如圖4、圖5 所示。

圖4 分區(qū)數(shù)量k=3 時(shí)的Modena 管網(wǎng)DMA 邊界劃分結(jié)果

圖5 分區(qū)數(shù)量k=4 時(shí)的Modena 管網(wǎng)DMA 邊界劃分結(jié)果

2.3 DMA 邊界劃分結(jié)果分析

2.3.1 分區(qū)高程均衡性評(píng)價(jià)

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法在DMA 邊界劃分中的優(yōu)化效果，文中選用分區(qū)節(jié)點(diǎn)高程變差系數(shù)Cv,H衡量各DMA內(nèi)高程的均勻性，指標(biāo)定義為：

式中，Hav為分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的平均高程，m；Hi為分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)i 的高程，m；n 為分區(qū)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。Cv,H越小，表明分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的高程值越接近，算法改進(jìn)的效果越明顯。

表1、表2 分別為分區(qū)數(shù)量為3個(gè)和4個(gè)時(shí)，各分區(qū)在算法改進(jìn)前后的節(jié)點(diǎn)高程變差系數(shù)的比較。通過計(jì)算得到，改進(jìn)后DMA 分區(qū)內(nèi)高程均衡性分別提高了16.06%和23.39%，表明引入節(jié)點(diǎn)高程差構(gòu)造相似矩陣對(duì)改善分區(qū)高程均勻性、克服地勢(shì)對(duì)DMA 分區(qū)的影響有較大意義，且當(dāng)分區(qū)數(shù)量為4個(gè)時(shí)，高程改進(jìn)效果更明顯。

表1 分區(qū)數(shù)量k=3 時(shí)的各分區(qū)節(jié)點(diǎn)高程變差系數(shù)的比較

表2 分區(qū)數(shù)量k=4 時(shí)的各分區(qū)節(jié)點(diǎn)高程變差系數(shù)的比較

2.3.2 分區(qū)規(guī)模均衡性評(píng)價(jià)

在DMA 分區(qū)管理中，分區(qū)規(guī)模的大小會(huì)直接影響管理的難度和效果，規(guī)模相差較大會(huì)提高管網(wǎng)漏損和爆管的識(shí)別定位難度，增加不必要的經(jīng)濟(jì)成本，因此文中另選用分區(qū)規(guī)模均勻度FS對(duì)劃分方案進(jìn)行核算，確保算法在改善分區(qū)高程均衡性的同時(shí)，不破壞分區(qū)規(guī)模的均衡性。指標(biāo)定義為：

式中，Wd,i為第i個(gè)分區(qū)的總需水量，L/s；Wd,av為所有分區(qū)的平均需水量，L/s；k 為分區(qū)數(shù)量。從定義可以看出，F(xiàn)S是用需水量來表征分區(qū)規(guī)模差異性的，即FS越小，表明各分區(qū)需水量差異越小，分區(qū)規(guī)模越均衡。

表3、表4 分別為分區(qū)數(shù)量為3個(gè)和4個(gè)時(shí)，各分區(qū)在算法改進(jìn)前后的需水量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比較。通過計(jì)算得到，當(dāng)k=4 時(shí)，改進(jìn)前后的FS分別為25.63 和22.49，引入節(jié)點(diǎn)高程差使得分區(qū)規(guī)模均衡性提高了12.25%；但當(dāng)k=3 時(shí)，改進(jìn)前后的FS分別為11.92 和35.78，指標(biāo)增加了近2 倍，顯然，節(jié)點(diǎn)高程差的引入破壞了分區(qū)規(guī)模均衡性，不利于DMA 的計(jì)量管理。

表3 分區(qū)數(shù)量k=3 時(shí)的各分區(qū)需水量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比較

表4 分區(qū)數(shù)量k=4 時(shí)的各分區(qū)需水量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量的比較

綜上所述，將Modena 管網(wǎng)分為4個(gè)DMA 更為合理，既實(shí)現(xiàn)了較好的聚類效果，節(jié)約邊界設(shè)備的布置成本，又可以在不影響分區(qū)規(guī)模的基礎(chǔ)上提高分區(qū)高程的均勻性，降低地勢(shì)跨度對(duì)DMA 分區(qū)的影響，從而間接改善供水壓力分布，維持管網(wǎng)的供水安全性。

3 結(jié)語

文中將供水管網(wǎng)等效成節(jié)點(diǎn)和管段的無向有權(quán)圖，提出了一種基于節(jié)點(diǎn)高程差的DMA 邊界劃分方法。該方法引入管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)高程差改進(jìn)相似矩陣，并使用譜聚類算法求解，盡可能保證同一分區(qū)內(nèi)節(jié)點(diǎn)高程分布更加均勻。同時(shí)從邊界管段數(shù)量、聚類有效性指標(biāo)和模塊度3個(gè)指標(biāo)量化聚類效果，確定合適的分區(qū)數(shù)量。文中使用Modena 實(shí)例管網(wǎng)驗(yàn)證了分區(qū)方法的有效性，可以為水務(wù)公司，尤其是山地或丘陵地區(qū)的水司提供DMA 分區(qū)方法的參考。