龔美華

摘要：中點(diǎn)作為初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)于很多學(xué)生而言并不陌生，但中點(diǎn)本身涵蓋的內(nèi)容較多，而且隨著幾何知識(shí)的不斷深入學(xué)習(xí)，也會(huì)了解到更多的中點(diǎn)知識(shí)。而在中考改革工作全面落實(shí)后，中點(diǎn)成為了幾何專題中的核心關(guān)鍵內(nèi)容，備受青睞，需要學(xué)生在復(fù)習(xí)階段展開全面系統(tǒng)的分析?；诖?，本文以2021年北京市中考數(shù)學(xué)試卷第27題為例，借助輔助線方式，強(qiáng)化圖形認(rèn)識(shí)，合情合理展開思維推理，進(jìn)一步了解中點(diǎn)問題的解題方式，為中考考試奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：中點(diǎn)問題;平面幾何;思維推理;圖形思維

一、中點(diǎn)問題的解題思路分析

從目前來看，初中階段關(guān)于中點(diǎn)的知識(shí)內(nèi)容有很多，具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：線段的中點(diǎn)，三角形的中線，全等三角形中的倍長(zhǎng)中線法，等腰三角形中的三線合一，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，平面直角坐標(biāo)系中中點(diǎn)坐標(biāo)公式，中位線，圓中的垂徑定理，相似中的重心等等。這些概念都有可能在中考中遇見，這不僅考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念知識(shí)的了解情況，也對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出了一定要求。中點(diǎn)問題本身也屬于平面幾何證明題的一種，學(xué)生需要具備良好的邏輯推理能力，同時(shí)能夠在解題過程中構(gòu)造輔助線，強(qiáng)化自身的創(chuàng)新意識(shí)。新時(shí)期，教師也要有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀意識(shí)，為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成長(zhǎng)奠定良好的基礎(chǔ)。

從過往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來看，添加輔助線是中點(diǎn)問題常見的解題方法，雖然沒有固定的方法，但卻有規(guī)律可循，教師要在教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘題設(shè)，讓學(xué)生能夠抓住特定條件的本質(zhì)特征，找到已知條件和未知條件之間的必然聯(lián)系，強(qiáng)化自身的創(chuàng)新意識(shí)，借助圖形解題法，合情合理的進(jìn)行推理，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維?？偟膩碚f，中點(diǎn)問題幾乎貫穿了平面幾何，除了輔助線解題法之外，還可以考慮中位線解題法，可以幫助學(xué)生清晰的判斷數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。另外，中點(diǎn)問題較為分散，會(huì)衍生出不同幾何圖形的種種變化，借助多元化的解題方式和解題思路，解決平面幾何中的中點(diǎn)問題。在實(shí)際解題過程中，學(xué)生要學(xué)會(huì)借助不同的方式轉(zhuǎn)化條件、制造聯(lián)系，從而快速的解決問題。

二、中點(diǎn)問題的解題案例分析

中點(diǎn)是中考中的重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，下題為北京市中考數(shù)學(xué)試卷中出現(xiàn)的又見中點(diǎn)相關(guān)試題，作為經(jīng)典的中點(diǎn)考核題目，具體內(nèi)容如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在MC上，以點(diǎn)A為中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到線段AE，連接BE，DE。求解：∠BAE與∠CAD誰大，并且用等式表示線段BE、BM、MD之間的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)，還要證明過點(diǎn)M作AB的垂線，交DE于點(diǎn)N，用等式表示線段NE與ND的數(shù)量關(guān)系。

解題：

因?yàn)锳B=AC，M為BC中點(diǎn)

可得∠CAM=∠BAM，∠AMC=90°

由MN⊥AB于K，可得∠AKM=∠AMC=90°。

考慮到Rt△AKM和Rt△AMC內(nèi)角和相等，

可得∠AMK=∠C=∠ADE。

易證△ADF∽△NMF，

又∠AFM=∠DFM，于是可得△AFN∽△DFM.

可得∠ANF=∠DMF=90°，

易得AN為等腰△ADE的中線，得NE=ND。

三、中點(diǎn)問題的解題策略分析

中點(diǎn)問題作為近幾年來的幾何壓軸題，重點(diǎn)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合應(yīng)用能力，在不同題目上考察的內(nèi)容各不相同，也對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一定的指導(dǎo)。

（一）中位線解題策略

在平面幾何相關(guān)的考題中，以圓、三角形等數(shù)學(xué)核心知識(shí)，雖然綜合性較強(qiáng)，難度較大，但解題方式很多，根據(jù)不同的解題方法選擇，產(chǎn)生的效果也各不相同。這就需要教師在教學(xué)過程中，充分把握住課程標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)化能力培養(yǎng)，讓學(xué)生充分掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，保證每個(gè)學(xué)生都可以得到良好的發(fā)展。從中點(diǎn)這一專題中的試題情況來看，大多具有多種不同的解題方法，學(xué)生選擇的方式不同，解題速度快慢不同。中點(diǎn)對(duì)于大部分學(xué)生而言，是非常熟悉的內(nèi)容，輔助線是最常見的解題策略，構(gòu)造中位線是最常見的一種，上述案例中也是通過構(gòu)造中位線，制造出相應(yīng)的兩平行關(guān)系，從而完成具體的解題。一般情況下，中位線法主要應(yīng)用在題目條件中出現(xiàn)了中點(diǎn)，就可以利用另一邊的重點(diǎn)，構(gòu)造出相應(yīng)的中位線。中位輔助線法有兩種不同的取證手段，分別為等量關(guān)系和平行關(guān)系，上述案例中采用的是等量關(guān)系。而在平行關(guān)系中，也可以通過平行關(guān)系下的相關(guān)概念定理完成解題。

（二）中線加倍解題策略

近幾年來，各地區(qū)的中考試題中的平面幾何考察知識(shí)點(diǎn)、考察能力都發(fā)生了極大的變化，除了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)能力之外，更重視學(xué)生的綜合性和實(shí)際應(yīng)用能力。除了中位線解題策略之外，還可以采用中線加倍的輔助線策略，需要結(jié)合條件中的三角形中線，將中線延長(zhǎng)，構(gòu)造出全等三角形，將條件進(jìn)行下一步轉(zhuǎn)化，更好的完成解題。以中點(diǎn)問題為例，在教學(xué)過程中，還可以借助2倍角轉(zhuǎn)化和高線對(duì)稱法等最常見的輔助線解決策略，分析決策問題，主要考察的學(xué)生平面幾何能力以及圖形結(jié)合的的掌握情況，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到中點(diǎn)知識(shí)的重要性。除了輔助線之外，在實(shí)際解題過程中，還要充分考慮到其中存在的問題和具體條件，完成相應(yīng)的解題。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)出多元化、全面性的課堂空間，從而讓學(xué)生主動(dòng)的投入到教學(xué)活動(dòng)中。從目前中考試題來看，每一問都包含了多種解題方法，考察學(xué)生快速調(diào)取知識(shí)、合理選擇方法的能力。實(shí)際上，就是在要求強(qiáng)化對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)培養(yǎng)，讓學(xué)生在知識(shí)應(yīng)用中形成經(jīng)驗(yàn)，真正實(shí)現(xiàn)教育教學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1]張寧.利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解中考?jí)狠S題[J].數(shù)理天地：初中版，2020（8）：2.

[2]張建權(quán).解析法妙解中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)線段型路徑長(zhǎng)[J].2021（2016-2）：6-6.

[3]鄒黎明，浦?jǐn)⒌?來自2019年天津市中考作圖題的挑戰(zhàn)——性質(zhì)作圖漫談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（8）：3.

2112500511292