沐方華

摘要：本文以選擇性必修二（高中數學人教A版）第四章的等比數列和等差數列為例，嘗試探索發(fā)現教科書在例習題編寫、相關高考試題及模擬試題的命制過程中，如何進行理論聯系實際，充分利用情境設計問題，引導學生學會利用數學知識與方法解決問題，體會數學的實用價值.

關鍵詞：數學情境 數學情境活動 生活化情境 探索式情境

什么是數學情境？數學情境又指數學問題情境，是以真實的問題為依托，即以任務或問題為導向形成的活動場域。數學情境活動，就是指學生在數學情境中為完成目標任務或順利求解問題而進行的一系列活動。教科書的例題、習題，高考試題及模擬試題均是通過文字和符號、圖形化語言設計數學問題情境，以紙筆方式構建，并且數學情境活動的開展同樣也要借助于文字和符號、圖形化語言。

下面結合高中數學人教A版的選擇性必修二中的等比數列和等差數列內容，以2021年合肥市中學數學青年教師“六個一”綜合素質大賽命題環(huán)節(jié)所提供的素材（數列背景的母題）為引例，嘗試從數學情境與數學情境活動角度分析研究教科書例題和習題、相關高考試題及模擬試題的設計。

根據素材改編或原創(chuàng)數學試題是教師專業(yè)技能的重要表征，一道好題的客觀表現就是其情境及情境活動設計的精準有效。

2017年版（2020修訂）的高中數學課程標準中明確要求，教師在現實教學活動中，根據教學活動的任務，要設計恰當、接地氣的情境，潛移默化培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng);提出的問題要富有趣味性，具有挑戰(zhàn)性，符合學生最近發(fā)展區(qū)，引導學生學會站在數學的視角去發(fā)現問題和思考問題，會運用數學的語言描述問題，用數學的方式方法解決問題。在很多具體的數學問題解決過程中滲透數學思想，能夠促進學生理解數學本質，提升數學素養(yǎng)和綜合能力。例如新教材中對數列模塊內容的要求是：數列作為一類特殊的函數，是數學重要的研究內容，同時在現實社會生產生活中，也有著極其廣泛的實際應用價值，要著力培養(yǎng)學生學會在具體的問題情境中，尋找到數量的等比或等差關系，并運用相關知識去解決相應的問題。

一、基于知識運用和生成方式的兩類不同情境

在實際教學中，針對不同的數學情境，我們依據數學知識的生成和運用方式的區(qū)別，將數學情境分為“生活化情境”和“探索式情境”兩種。

（一）生活化情境

什么是生活化情境？這種情境一般立足于數學與相關學科，重視與生產生活的關系，從學科探究發(fā)現、現實生產生活等角度設置問題，旨在幫助學生形成用數學知識解釋現象、解決問題的能力。例如：

1.北京天壇的圜丘壇有上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），上層中心的9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊。如果每層環(huán)數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有 塊扇面形石板（不含天心石）。（高考題改編）

2.去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理。預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸。為了確定處理生活垃圾的預算，請寫出從今年起n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算方式，并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）。（教材例題）

以上問題通過使用涉及生活生產實際的真實背景和真實數據創(chuàng)設情境，將生活問題與數學知識、方法建立聯系，可以讓學生真切感受到數學就在身邊，有利于引導學生利用數學工具合理建模，從而解決實際問題。

（二）探索式情境

探索式情境，即立足于研究與探索的真實過程，從探索探究過程的所思所想設置問題，通常有學習式情境和創(chuàng)新式情境。前者關注基礎知識的學習掌握，常從數學定義、運算求解、推理證明等角度設置問題;后者關注知識運用和方法創(chuàng)新，常從探索發(fā)現、創(chuàng)新發(fā)展、嘗試實驗等角度設置問題。探究式情境著力培養(yǎng)學生運用創(chuàng)新思維方式、合理進行知識遷移的能力。

分析以上問題情境，從中不易發(fā)現呈等差關系或等比關系的量，但可以發(fā)現某些量的遞推關系。此時往往可以先構建一個用遞推關系表達的數列，而這個遞推關系可通過代數變換轉化為等差或等比關系，或者是等差與等比關系的線性組合，便可順利解決問題。

二、基于情境的復雜程度差異的兩級情境活動

根據現實數學問題情境中呈現情境的復雜程度不同，我們又可將數學情境活動分為“復雜的”和“簡單的”兩種類型。

（一）簡單的情境活動

此層級的情境活動，對認知活動的調用是單一的，只需要啟用少部分知識或較淺的能力水平就能解決問題。（教材習題）

6.某汽車集團計劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產新能源汽車5000輛。如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產新能源汽車多少輛（精確到1）？（教材習題）

以上問題情境簡單，著重引導學生重視數學學科的基礎知識。唯有根深基穩(wěn)，才能枝繁葉茂;唯有夯實基礎，才能更好地成長和發(fā)展。

（二）復雜的情境活動

此層級的情境活動，對認知活動的要求比較復雜，需要有一定綜合創(chuàng)新能力和較好的學科核心素養(yǎng)方可應對解決問題。

7.在流行病學中，基本傳染數R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數。R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定。假設某種傳染病的基本傳染數R0=3.8，平均感染周期為7天，那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要幾輪傳染？需要多少天？（初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染，這R0個人每人再傳染R0個人為第二輪傳染……）

注：對于R0>1，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑。（教材習題）

【拓展1】已知合肥濱湖某地塊有部分舊住房需要拆除，初步統(tǒng)計今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2）。有關部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設新住房，同時也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房。如果第五年年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少（計算時可取1.15=1.6）？

以上問題情境較為復雜開放，與社會實際密切相關，或具有探究思辨性，教師要不斷總結，啟發(fā)學生發(fā)散性學習和探究，打破他們常規(guī)固有的定性思維習慣，培養(yǎng)學生開放發(fā)散式思考問題的能力，創(chuàng)新性提出解決問題的方案。其中不少高考試題的命制，常與生產生活實際、國家經濟社會發(fā)展、科學技術進步緊密聯系，問題情境開放且有現實意義，情境活動的選取更是復雜多樣，可能涉及數學基礎、綜合提升、應用創(chuàng)新等情境活動，旨在促使學生積極思考，發(fā)現新問題，創(chuàng)新方式，主動運用所學知識分析解決實際問題，從中獲得成長。

總之，同一類型的情境，通過設置不同層級的情境活動。簡單的情境活動，指向基本知識和能力水平，體現基礎性要求;復雜的情境活動，引導學生嘗試綜合利用已有數學知識和能力去應對生活化、探索式等問題情境，其某種程度上反映了學生綜合運用能力的評判標準，體現了數學的應用性、綜合性和創(chuàng)新性。

上述八個具體的案例分析，可以發(fā)現數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最重要載體就是要有合適的數學問題情境，這樣才有育人的依托和媒介，因此數學情境是設計數學試題的核心。不難看出，無論是基于新課標的教材中例習題設置，還是基于中國高考評價體系的高考試題及模擬試題的命制，立意為先，再以生活化問題情境與探索式問題情境進行呈現，數學的學習從哪里來理應再到哪里去，現實情境中提煉的數學，再運用于生活實際，實現再創(chuàng)造，再生產，真正實現與時俱進。

在新教材的使用過程中，我們要以典型問題驅動，科學合理創(chuàng)設情境與情境活動，啟發(fā)學生在運用數學知識解決具體問題的過程中，深入思考，創(chuàng)新思維，探究發(fā)現，獲得方法，習得能力，讓數學學習真實發(fā)生著。

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責任編輯：黃大燦

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