沐方華

摘要：本文以選擇性必修二（高中數(shù)學(xué)人教A版）第四章的等比數(shù)列和等差數(shù)列為例，嘗試探索發(fā)現(xiàn)教科書在例習(xí)題編寫、相關(guān)高考試題及模擬試題的命制過程中，如何進行理論聯(lián)系實際，充分利用情境設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會利用數(shù)學(xué)知識與方法解決問題，體會數(shù)學(xué)的實用價值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)情境 數(shù)學(xué)情境活動 生活化情境 探索式情境

什么是數(shù)學(xué)情境？數(shù)學(xué)情境又指數(shù)學(xué)問題情境，是以真實的問題為依托，即以任務(wù)或問題為導(dǎo)向形成的活動場域。數(shù)學(xué)情境活動，就是指學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中為完成目標任務(wù)或順利求解問題而進行的一系列活動。教科書的例題、習(xí)題，高考試題及模擬試題均是通過文字和符號、圖形化語言設(shè)計數(shù)學(xué)問題情境，以紙筆方式構(gòu)建，并且數(shù)學(xué)情境活動的開展同樣也要借助于文字和符號、圖形化語言。

下面結(jié)合高中數(shù)學(xué)人教A版的選擇性必修二中的等比數(shù)列和等差數(shù)列內(nèi)容，以2021年合肥市中學(xué)數(shù)學(xué)青年教師“六個一”綜合素質(zhì)大賽命題環(huán)節(jié)所提供的素材（數(shù)列背景的母題）為引例，嘗試從數(shù)學(xué)情境與數(shù)學(xué)情境活動角度分析研究教科書例題和習(xí)題、相關(guān)高考試題及模擬試題的設(shè)計。

根據(jù)素材改編或原創(chuàng)數(shù)學(xué)試題是教師專業(yè)技能的重要表征，一道好題的客觀表現(xiàn)就是其情境及情境活動設(shè)計的精準有效。

2017年版（2020修訂）的高中數(shù)學(xué)課程標準中明確要求，教師在現(xiàn)實教學(xué)活動中，根據(jù)教學(xué)活動的任務(wù)，要設(shè)計恰當、接地氣的情境，潛移默化培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);提出的問題要富有趣味性，具有挑戰(zhàn)性，符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會站在數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)問題和思考問題，會運用數(shù)學(xué)的語言描述問題，用數(shù)學(xué)的方式方法解決問題。在很多具體的數(shù)學(xué)問題解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想，能夠促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。例如新教材中對數(shù)列模塊內(nèi)容的要求是：數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究內(nèi)容，同時在現(xiàn)實社會生產(chǎn)生活中，也有著極其廣泛的實際應(yīng)用價值，要著力培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會在具體的問題情境中，尋找到數(shù)量的等比或等差關(guān)系，并運用相關(guān)知識去解決相應(yīng)的問題。

一、基于知識運用和生成方式的兩類不同情境

在實際教學(xué)中，針對不同的數(shù)學(xué)情境，我們依據(jù)數(shù)學(xué)知識的生成和運用方式的區(qū)別，將數(shù)學(xué)情境分為“生活化情境”和“探索式情境”兩種。

（一）生活化情境

什么是生活化情境？這種情境一般立足于數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科，重視與生產(chǎn)生活的關(guān)系，從學(xué)科探究發(fā)現(xiàn)、現(xiàn)實生產(chǎn)生活等角度設(shè)置問題，旨在幫助學(xué)生形成用數(shù)學(xué)知識解釋現(xiàn)象、解決問題的能力。例如：

1.北京天壇的圜丘壇有上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），上層中心的9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊。如果每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有 塊扇面形石板（不含天心石）。（高考題改編）

2.去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理。預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸。為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算方式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）。（教材例題）

以上問題通過使用涉及生活生產(chǎn)實際的真實背景和真實數(shù)據(jù)創(chuàng)設(shè)情境，將生活問題與數(shù)學(xué)知識、方法建立聯(lián)系，可以讓學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)就在身邊，有利于引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)工具合理建模，從而解決實際問題。

（二）探索式情境

探索式情境，即立足于研究與探索的真實過程，從探索探究過程的所思所想設(shè)置問題，通常有學(xué)習(xí)式情境和創(chuàng)新式情境。前者關(guān)注基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)掌握，常從數(shù)學(xué)定義、運算求解、推理證明等角度設(shè)置問題;后者關(guān)注知識運用和方法創(chuàng)新，常從探索發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新發(fā)展、嘗試實驗等角度設(shè)置問題。探究式情境著力培養(yǎng)學(xué)生運用創(chuàng)新思維方式、合理進行知識遷移的能力。

分析以上問題情境，從中不易發(fā)現(xiàn)呈等差關(guān)系或等比關(guān)系的量，但可以發(fā)現(xiàn)某些量的遞推關(guān)系。此時往往可以先構(gòu)建一個用遞推關(guān)系表達的數(shù)列，而這個遞推關(guān)系可通過代數(shù)變換轉(zhuǎn)化為等差或等比關(guān)系，或者是等差與等比關(guān)系的線性組合，便可順利解決問題。

二、基于情境的復(fù)雜程度差異的兩級情境活動

根據(jù)現(xiàn)實數(shù)學(xué)問題情境中呈現(xiàn)情境的復(fù)雜程度不同，我們又可將數(shù)學(xué)情境活動分為“復(fù)雜的”和“簡單的”兩種類型。

（一）簡單的情境活動

此層級的情境活動，對認知活動的調(diào)用是單一的，只需要啟用少部分知識或較淺的能力水平就能解決問題。（教材習(xí)題）

6.某汽車集團計劃大力發(fā)展新能源汽車，2017年全年生產(chǎn)新能源汽車5000輛。如果在后續(xù)的幾年中，后一年新能源汽車的產(chǎn)量都是前一年的150%，那么2025年全年約生產(chǎn)新能源汽車多少輛（精確到1）？（教材習(xí)題）

以上問題情境簡單，著重引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識。唯有根深基穩(wěn)，才能枝繁葉茂;唯有夯實基礎(chǔ)，才能更好地成長和發(fā)展。

（二）復(fù)雜的情境活動

此層級的情境活動，對認知活動的要求比較復(fù)雜，需要有一定綜合創(chuàng)新能力和較好的學(xué)科核心素養(yǎng)方可應(yīng)對解決問題。

7.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R0是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)。R0一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定。假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R0=3.8，平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要幾輪傳染？需要多少天？（初始感染者傳染R0個人為第一輪傳染，這R0個人每人再傳染R0個人為第二輪傳染……）

注：對于R0>1，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑。（教材習(xí)題）

【拓展1】已知合肥濱湖某地塊有部分舊住房需要拆除，初步統(tǒng)計今年年初擁有居民住房的總面積為a（單位：m2）。有關(guān)部門決定每年以當年年初住房面積的10%建設(shè)新住房，同時也拆除面積為b（單位：m2）的舊住房。如果第五年年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了30%，則每年拆除的舊住房面積b是多少（計算時可取1.15=1.6）？

以上問題情境較為復(fù)雜開放，與社會實際密切相關(guān)，或具有探究思辨性，教師要不斷總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生發(fā)散性學(xué)習(xí)和探究，打破他們常規(guī)固有的定性思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生開放發(fā)散式思考問題的能力，創(chuàng)新性提出解決問題的方案。其中不少高考試題的命制，常與生產(chǎn)生活實際、國家經(jīng)濟社會發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進步緊密聯(lián)系，問題情境開放且有現(xiàn)實意義，情境活動的選取更是復(fù)雜多樣，可能涉及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、綜合提升、應(yīng)用創(chuàng)新等情境活動，旨在促使學(xué)生積極思考，發(fā)現(xiàn)新問題，創(chuàng)新方式，主動運用所學(xué)知識分析解決實際問題，從中獲得成長。

總之，同一類型的情境，通過設(shè)置不同層級的情境活動。簡單的情境活動，指向基本知識和能力水平，體現(xiàn)基礎(chǔ)性要求;復(fù)雜的情境活動，引導(dǎo)學(xué)生嘗試綜合利用已有數(shù)學(xué)知識和能力去應(yīng)對生活化、探索式等問題情境，其某種程度上反映了學(xué)生綜合運用能力的評判標準，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、綜合性和創(chuàng)新性。

上述八個具體的案例分析，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，最重要載體就是要有合適的數(shù)學(xué)問題情境，這樣才有育人的依托和媒介，因此數(shù)學(xué)情境是設(shè)計數(shù)學(xué)試題的核心。不難看出，無論是基于新課標的教材中例習(xí)題設(shè)置，還是基于中國高考評價體系的高考試題及模擬試題的命制，立意為先，再以生活化問題情境與探索式問題情境進行呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從哪里來理應(yīng)再到哪里去，現(xiàn)實情境中提煉的數(shù)學(xué)，再運用于生活實際，實現(xiàn)再創(chuàng)造，再生產(chǎn)，真正實現(xiàn)與時俱進。

在新教材的使用過程中，我們要以典型問題驅(qū)動，科學(xué)合理創(chuàng)設(shè)情境與情境活動，啟發(fā)學(xué)生在運用數(shù)學(xué)知識解決具體問題的過程中，深入思考，創(chuàng)新思維，探究發(fā)現(xiàn)，獲得方法，習(xí)得能力，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實發(fā)生著。

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責任編輯：黃大燦

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