李煜冬 傅卓佳 湯卓超

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院,南京 211100)

引言

隨著復(fù)合材料的發(fā)展,納米級(jí)材料已經(jīng)成為諸多領(lǐng)域的研究熱點(diǎn),其中表現(xiàn)出優(yōu)越力學(xué)性能的一維碳納米管在工程結(jié)構(gòu)界逐漸受到人們的極大關(guān)注[1-3].Shen[4]受到碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料(carbon nanotube-reinforced composite,CNTRC)和功能梯度材料(functionally graded materials,FGMs)概念的啟發(fā),提出并設(shè)計(jì)了功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料(functionally graded carbon nanotube-reinforced composite,FG-CNTRC)模型.研究表明[4],摻入少量碳納米管增強(qiáng)體到結(jié)構(gòu)基體中能夠有效提高工程結(jié)構(gòu)抗拉和抗壓能力.通過對(duì)碳納米管纖維采取一定的梯度形式排布,能夠在纖維含量較低條件下合理高效地提升結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)性能.于是當(dāng)FG-CNTRC被提出后,有關(guān)功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料梁、板和殼結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為研究吸引了國內(nèi)外諸多學(xué)者的注意[5-7].

目前已經(jīng)有很多的數(shù)值分析方法對(duì)其從不同的角度做出了研究,其中網(wǎng)格類數(shù)值離散[8-9]是理論和應(yīng)用比較成熟的典型數(shù)值計(jì)算方法.另一方面,隨著無網(wǎng)格與粒子類算法的快速發(fā)展[10-11],其進(jìn)一步擺脫了高質(zhì)量網(wǎng)格的束縛和避免了高階網(wǎng)格所需要的繁瑣積分,此類算法也被引入到功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)的研究中.Lei 等[12]采用Kp-Ritz 無網(wǎng)格方法計(jì)算了4 種CNTRC 矩形板(uniform distribution (UD),functionally graded (FG)-V,FG-O,FG-X 分布型)在橫向均布載荷作用下的大撓度彎曲變形,并給出了簡支方板在不同碳納米管分布形式下的載荷—撓度曲線.Do 和Lee[13]基于高階剪切變形理論(higher order shear deformation theory,HSDT)的徑向點(diǎn)插值法(radial point interpolation method,RPIM)數(shù)值討論了4 種CNTRC 矩形板的非線性彎曲問題.

廣義有限差分法(generalized finite difference method,GFDM)[14-15]作為一種新型的強(qiáng)式無網(wǎng)格區(qū)域配點(diǎn)型方法,以計(jì)算域內(nèi)任意一點(diǎn)(中心點(diǎn))為研究對(duì)象,根據(jù)“最短距離”的準(zhǔn)則在中心點(diǎn)附近形成該點(diǎn)的局部支撐域,最后基于函數(shù)的泰勒展開式和移動(dòng)最小二乘法將中心點(diǎn)處函數(shù)值的各階偏導(dǎo)數(shù)表示成其支撐域節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值的線性疊加.該方法不僅無需網(wǎng)格劃分和數(shù)值積分而且避免了全域無網(wǎng)格配點(diǎn)法通常遇到的病態(tài)稠密矩陣問題,使得這類方法具有形式簡單、易于應(yīng)用和實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn).其中Urena 等[16-17]做出了突出貢獻(xiàn),在2001 年對(duì)影響廣義有限差分法計(jì)算精度的各種因素,如點(diǎn)簇形狀、權(quán)函數(shù)選取、鄰近點(diǎn)個(gè)數(shù)等進(jìn)行了系統(tǒng)分析.作為無網(wǎng)格粒子法中重要的數(shù)值計(jì)算方法,該方法在各種力學(xué)問題中均得到了廣泛應(yīng)用.2014 年Fan 等[18]將廣義有限差分法用于求解穩(wěn)定二維柯西反算問題以及雙調(diào)和方程反算問題等;后來也應(yīng)用于求解復(fù)雜的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題[19-20].2018 年傅卓佳等[21-22]將廣義有限差分法用于求解腫瘤熱分析及Winkler板彎曲問題;隨后又將其應(yīng)用于板結(jié)構(gòu)聲振耦合以及功能梯度材料板結(jié)構(gòu)的彎曲問題[23-25].

目前功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中涉及到碳納米管轉(zhuǎn)向問題的研究較少,本文旨在應(yīng)用廣義有限差分法數(shù)值研究考慮了碳納米管轉(zhuǎn)向的FG-CNTRC 板的彎曲及模態(tài)問題.首先給出基于一階剪切變形理論的功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的廣義有限差分法離散模型.隨后通過基準(zhǔn)算例,檢驗(yàn)廣義有限差分法的計(jì)算精度與收斂性.最后數(shù)值分析和討論碳納米管中不同分布型、體積分?jǐn)?shù)、碳納米管旋轉(zhuǎn)角度、寬厚比、板傾斜角度、長寬比等對(duì)FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)彎曲和模態(tài)的影響.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程

考慮一個(gè)由FG-V 分布型的碳納米管和基體材料共同組成的功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料矩形板,如圖1(a)所示,長、寬、厚分別為 a,b,l,以該矩形板中面建立 x-y 坐標(biāo)系,z 為板厚度方向的坐標(biāo).如圖1(b)所示,常見的碳納米管有4 種分布形式,為UD 型、FG-V 型、FG-O 型、FG-X 型,其中UD 型為均勻分布型,其余為功能梯度分布型.另外,還有一種分布為FG-Λ 型,其與FG-V 型成對(duì)稱性分布,在本質(zhì)上是沒有差異的,所以在本文中只研究以上4 種分布類型.碳納米管的體積分?jǐn)?shù) VCNT可以表示為

圖1 功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的等效模型Fig.1 Equivalent model of functionally graded carbon nanotubereinforced composite plate

為了表征功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料的宏觀力學(xué)性能,Shen[4]提出的廣義混合律模型在FGCNTRC 研究中廣泛應(yīng)用,其考慮了碳納米管的尺寸和溫度依賴性,并引入碳納米管的效能參數(shù)作為FG-CNTRC 的等效模型即

式中,ηj為碳納米管的效能參數(shù);為不同方向下材料的楊氏模量和剪切模量;V*為材料的體積分?jǐn)?shù)(“CNT”代表“碳納米管纖維”,“m”代表“基體”).該模型存在一定的假設(shè):碳納米管在基體中排列整齊,且完全分散;不考慮碳納米管的長徑比、波紋度等微觀結(jié)構(gòu)特征.此后,Mora-Didastjerdi 等[26]引入額外的效能參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行修正,考慮了碳納米管的波紋度和長徑比因素的影響,其與Shen[4]提出的廣義混合律模型基本相同.

另外,有關(guān)FG-CNTRC 等效材料模型的其他一些物理參數(shù)定義如下[4]

式中,ρ 為FG-CNTRC 的等效密度,μ12和 μ21為FG-CNTRC 的等效泊松比,和 μm為碳納米管和基體材料的泊松比.

基于一階剪切變形理論[24],板的位移場U=(u,v,w)T為

式中,(uo,vo,wo) 是板內(nèi)任意一點(diǎn)在中面上的投影沿著 (x,y,z) 方向的位移,(φx,φy)是變形后原中面法線的相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng),t 為時(shí)間,坐標(biāo) z 為所考慮點(diǎn)到板中平面的距離.

根據(jù)幾何方程[24],有應(yīng)變和位移的關(guān)系式

對(duì)于FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu),其物理方程[8]為

根據(jù)內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系[24],有

將式(7)代入式(8)有

其中

式中,A,B 和 C 分別表示拉伸、耦合以及彎曲剛度矩陣,A1為剪切剛度矩陣,χ 為一階剪切因子,對(duì)于矩形截面一般有 χ=5/6 .

接下來考慮如圖2 所示的碳納米管轉(zhuǎn)向問題[27],對(duì)式(9)中的 ψij有如下坐標(biāo)變換關(guān)系

圖2 含轉(zhuǎn)向的碳納米管平面布置Fig.2 Plane layout of carbon nanotubes with orientation

其中,Λ 為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣;β 為碳納米管旋轉(zhuǎn)角度,如圖2 所示;ψ 為碳納米管橫向布置時(shí)的FGCNTRC 物理關(guān)系矩陣,有如下定義

式中,針對(duì)第三方向相關(guān)的剪切模量滿足

最后,根據(jù)Hamilton 變分原理[8],結(jié)合式(8)導(dǎo)出FG-CNTRC 板模型的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中,q 為板平面上的橫向載荷集度 q(x,y),(I0,I1,I2)有如下定義

1.2 邊界條件

對(duì)于板結(jié)構(gòu),常見的邊界條件有以下3 種:

(1) 固支邊界(clamped,C)

(2) 簡支邊界(simply,S)

(3) 自由邊界(free,F)

2 廣義有限差分法

考慮一個(gè)二維問題計(jì)算域 Ω(x,y),如圖3 所示對(duì)任意一個(gè)離散節(jié)點(diǎn) xo形成一個(gè)包含 s 點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)簇(支撐域),對(duì)應(yīng)函數(shù)值 wj的4 階泰勒展開為

圖3 計(jì)算域中的點(diǎn)簇Fig.3 Cluster of points in computational domain

對(duì)于點(diǎn)簇展開后的余項(xiàng)可定義殘差函數(shù)

其中,ωj表示在該“點(diǎn)簇”中點(diǎn) xj處的加權(quán)系數(shù).采用式(18)所示的四次樣條權(quán)函數(shù),其具有3 階連續(xù)性,且滿足單位性、緊支性和對(duì)稱性條件[16]

為了方便,定義

通過求極值使得殘差函數(shù) Θ(w) 最小化,對(duì) Dw中的每一項(xiàng)進(jìn)行變分,形成如下矩陣

其中,H 是由點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離分量以及權(quán)函數(shù)所形成的具有對(duì)稱性的系數(shù)矩陣,“S,Y,M”表示其具有上三角矩陣對(duì)稱性,R 是距離分量、權(quán)函數(shù)以及未知點(diǎn)函數(shù)值所形成的右端矩陣.為保證矩陣 H 的可逆性,研究表明[18-19,22]在二維計(jì)算中,支撐域點(diǎn)數(shù)一般滿足兩倍的泰勒展開項(xiàng)數(shù).

對(duì)式(19)的線性方程組進(jìn)行求解,有

令計(jì)算域中的節(jié)點(diǎn)滿足控制方程式(12),邊界節(jié)點(diǎn)滿足邊界條件式(13)～ 式(15),可得到僅含離散點(diǎn)未知物理量的線性方程組,從而獲得問題的數(shù)值解.因權(quán)函數(shù)的連續(xù)性,每個(gè)節(jié)點(diǎn)攜帶了相鄰近節(jié)點(diǎn)的物理信息,使得對(duì)節(jié)點(diǎn)形成移動(dòng)的帶權(quán)局部支撐域能夠保證全域數(shù)值解的協(xié)調(diào)性[16].

對(duì)于控制方程式(12)所形成的FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)彎曲問題,最終可得到總體線性方程組

其中,K 為總體剛度矩陣,F 為載荷列陣,U 為待求的中面位移及轉(zhuǎn)角向量.

對(duì)于控制方程式(12)所形成的FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)模態(tài)問題,運(yùn)用模態(tài)分析法[23]得到振型微分方程的矩陣表達(dá)

式中,K 表示由廣義有限差分法形成的整體剛度矩陣,M 為由式(12)構(gòu)建的整體質(zhì)量矩陣,δ 表示大小為板結(jié)構(gòu)離散節(jié)點(diǎn)數(shù)下的單位矩陣,? 表示FGCNTRC 板自由振動(dòng)的自然頻率;Ψ 表示由每個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的振型列陣.

需要注意的是,基于一階剪切變形理論的FGCNTRC 板模型控制方程是一個(gè)最高階為二階的偏微分方程組,而本文采用4 階泰勒展開式的廣義有限差分法對(duì)該控制方程進(jìn)行離散,目的是更進(jìn)一步地提高計(jì)算精度(減小余項(xiàng)殘差)和擴(kuò)大廣義有限差分法在更多問題中的適用性.

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本節(jié)首先以各向同性板結(jié)構(gòu)彎曲的計(jì)算實(shí)例討論廣義有限差分法這一算法特性,接著運(yùn)用廣義有限差分法對(duì)含碳納米管轉(zhuǎn)向的FG-CNTRC 板的靜態(tài)線性彎曲和自振模態(tài)問題進(jìn)行數(shù)值分析與討論.

3.1 各向同性板結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證

以各向同性均質(zhì)板模型為例,圖4(a)展示了在相同運(yùn)行環(huán)境下用廣義有限差分法(GFDM)和傳統(tǒng)有限單元法(traditional finite element method,TFEM)計(jì)算厚跨比為0.1 的四周固支方形板彎曲問題.圖4(b)討論了GFDM 中不同鄰近點(diǎn)數(shù)對(duì)數(shù)值結(jié)果的影響.基于圖5 展示的混亂布點(diǎn)模型,與不同厚跨比下的解析解[28]進(jìn)行了比較,表1 展示了不同厚跨比下GFDM 均勻布點(diǎn)與散亂布點(diǎn)的相對(duì)誤差.可以看出廣義有限差分法的數(shù)值計(jì)算在任意混亂布點(diǎn)下,計(jì)算精度稍有所降低,但仍能得到滿意的結(jié)果.其無需網(wǎng)格和繁瑣的數(shù)值積分,僅通過散亂的節(jié)點(diǎn)信息便可進(jìn)行計(jì)算,具有更高的計(jì)算收斂性和穩(wěn)定性.

表1 相對(duì)誤差Table 1 Relative error

圖4 四周固支板彎曲撓度Fig.4 The bending of plate with all clamped boundaries

圖5 布點(diǎn)方式Fig.5 Pattern of nodes

對(duì)于一階剪切變形理論的中厚板問題,當(dāng)板變得比較薄時(shí),因剪切應(yīng)變能過大產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果,這種現(xiàn)象稱為剪切自鎖[29].在無網(wǎng)格GFDM 中,通過提高泰勒展開的階次來構(gòu)造節(jié)點(diǎn)的支撐域,能夠簡單有效地避免剪切自鎖現(xiàn)象的發(fā)生.如圖6 所示,采用6 階展開項(xiàng)能夠有效避免剪切自鎖的發(fā)生,相較與在有限元中采用縮減積分法、假設(shè)剪切應(yīng)變法等[28],其簡單高效地提高了求解方法的通用性.

圖6 高階次展開項(xiàng)克服剪切自鎖現(xiàn)象Fig.6 Higher-order expansion to overcome the phenomenon of shear locking

3.2 FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)及等效模型參數(shù)

如圖1 所示的FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)模型,根據(jù)Shen[4]提出的廣義混合律模型,用于計(jì)算的FG-CNTRC等效模型參數(shù)如表2 和表3 所示.

表2 材料屬性Table 2 Material properties

表3 碳納米管的效能參數(shù)Table 3 Efficiency parameters of CNTs

3.3 彎曲分析

首先在沒有考慮碳納米管轉(zhuǎn)向的情況下,表4計(jì)算了體積分?jǐn)?shù)為0.11,不同分布型下的四周固支FG-CNTRC 板的彎曲變形,并與已有文獻(xiàn)Zhu 等[8]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了參考比較,兩者都能很好地近似,說明基于一階剪切變形板理論的廣義有限差分法求解FG-CNTRC 板彎曲問題的計(jì)算正確和有效性.圖7為體積分?jǐn)?shù)為0.11,寬厚比 a/l=10,四周固支FGCNTRC 板中心彎曲隨離散點(diǎn)增加的收斂情況,在總點(diǎn)數(shù)達(dá)到300 左右時(shí)結(jié)果近乎收斂,能夠看出廣義有限差分法具有計(jì)算快、收斂穩(wěn)定的特性.

圖7 收斂性分析Fig.7 Analysis of convergence

表4 四周固支FG-CNTRC 板的中心彎曲w/lTable 4 The center bending w/l of FG-CNTRC plate with all clamped boundaries

圖8 展示了含碳納米管轉(zhuǎn)向的FG-CNTRC 板隨傾斜角 α 變化的各向異性彎曲狀態(tài)(β=-α),分別從X 軸向和Y 軸向描述了該板的彎曲變形.碳納米管具有指向性使得在X 和Y 方向上存在著各向異性的剛度變化.圖9 展示了厚跨比為0.1 的四周固支FG-CNTRC 板在載荷 q=0.1 MPa 下中心點(diǎn)處的 σ 應(yīng)力,可以看出UD 型、FG-O 型和FG-X 分布型下的CNTRC 板應(yīng)力與 z=0 成中心對(duì)稱,即 z=0 為該FGCNTRC 板的中性層,原因是UD 型、FG-O 型和FG-X 型碳納米管分布呈對(duì)稱性分布.對(duì)于沒有橫向?qū)ΨQ性的FG-V 碳納米管分布型,板結(jié)構(gòu)中性層大概在 z=0.15 .且 σxx與 σyy應(yīng)力大小不等,沿厚度方向變化情況也不相同,正因如此使得FG-CNTRC 板在宏觀上具有如圖8 所示的各向異性彎曲狀態(tài).

圖8 FG-CNTRC 板的各向異性彎曲Fig.8 Anisotropic bending of FG-CNTRC plate

圖9 四周固支FG-CNTRC 板的中心應(yīng)力Fig.9 Central stress of FG-CNTRC plate with all clamped boundaries

3.4 自振頻率分析

下面運(yùn)用廣義有限差分法對(duì)含碳納米管轉(zhuǎn)向的FG-CNTRC 板的自振模態(tài)問題進(jìn)行詳細(xì)分析與討論.表5展示了不同分布型下四周固支FGCNTRC 板的前6階自振頻率且與Zhu 等[8]的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了參考比較,說明廣義有限差分法這一算法的計(jì)算正確和有效性.然后運(yùn)用廣義有限差分法數(shù)值分析了不同轉(zhuǎn)向的碳納米管對(duì)FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)自振頻率的影響.圖10 展示了不同分布型和不同傾斜角度 α 下,FG-CNTRC 板中碳納米管的旋轉(zhuǎn)角度β對(duì)結(jié)構(gòu)第一階自振頻率的影響,可以看出碳納米管在橫向布置 β=0°和縱向布置 β=90°時(shí)其結(jié)構(gòu)具有相同的自振效果,在 β=45°斜向配置時(shí)其結(jié)構(gòu)抗彎剛度最小,自振頻率最小;隨著傾斜角 α 的增大,隨同碳納米管旋轉(zhuǎn)的FG-CNTRC 板數(shù)值結(jié)果不再呈周期性變化;在 α=30°時(shí)板最小自振發(fā)生在碳納米管β=30°左右;隨著傾斜角α 的繼續(xù)增大,使FGCNTRC 板產(chǎn)生最小自振頻率的碳納米管轉(zhuǎn)向角度從 β=45°逐漸減小.

表5 四周固支FG-CNTRC 板的前6 階自振頻率Table 5 Six natural frequencies of FG-CNTRC plate with all clamped boundaries

圖10 碳納米管的轉(zhuǎn)向?qū)ψ哉耦l率的影響Fig.10 The effect of CNT orientation on natural vibration

圖11 展示了UD 分布型和不同轉(zhuǎn)向角度 β 下厚跨比l/a對(duì)FG-CN TRC板第一階自振頻率的影響,可以看出FG-CNTRC板厚跨比與自振頻率成正相關(guān),厚度增加的剪切效應(yīng)使碳納米管轉(zhuǎn)向?qū)ψ哉耦l率的影響逐漸降低.圖12 討論了結(jié)構(gòu)不同長寬比 a/b 所構(gòu)成的FG-CNTRC 板對(duì)自振頻率的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng) a/b ≥1 碳納米管在β=-90°,90°時(shí),即豎向放置,自振頻率大小近乎相等;在橫向放置 β=0°時(shí),其隨不同的長寬比 a/b 配置產(chǎn)生不一樣的自振效果,且碳納米管的放置角度對(duì)自振頻率產(chǎn)生顯著影響.

圖11 CNTRC 板隨厚跨比變化的自振頻率Fig.11 The effect of CNT orientation on natural vibration of CNTRC plate ranging with thickness ratio

圖12 FG-X 型CNTRC 板隨長寬比變化的自振頻率Fig.12 The effect of CNT orientation on natural vibration of FG-XCNTRC plate ranging with length-width ratio

4 結(jié)論

本文采用廣義有限差分法求解了基于一階剪切變形理論的功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料(FGCNTRC)板的靜態(tài)線性彎曲和自振模態(tài)問題.通過基準(zhǔn)算例驗(yàn)證了該算法的精確性和高效性,是一種基于移動(dòng)最小二乘發(fā)展而來的簡單高效的區(qū)域型無網(wǎng)格方法,且能夠快速方便地克服一階剪切變形理論在薄板應(yīng)用中的剪切自鎖現(xiàn)象.接著,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究具有轉(zhuǎn)向的碳納米管、板寬厚比、傾斜角度等材料結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)FG-CNTRC 板彎曲和自振模態(tài)的影響.研究發(fā)現(xiàn):

(1) 碳納米管排布形式對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響差異性大,FG-CNTRC 材料所形成的結(jié)構(gòu)剛度大小依次有FG-O＜FG-V＜UD＜FG-X 型;

(2) 隨著板傾斜角的增大,同碳納米管旋轉(zhuǎn)的FG-CNTRC 板自振頻率不再呈周期性變化;

(3) 碳納米管 β=-90°,90°時(shí),即豎向放置,結(jié)構(gòu)長寬比的改變近乎不影響結(jié)構(gòu)剛度;在橫向放置β=0°時(shí),隨不同的長寬比變化產(chǎn)生不一樣的結(jié)構(gòu)剛度;

(4) 在X 和Y 方向上存在著各向異性的剛度變化,且碳納米管的轉(zhuǎn)向角度對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生顯著影響.最后需要指出的是,本文主要側(cè)重于驗(yàn)證廣義有限差分法在計(jì)算FG-CNTRC 板結(jié)構(gòu)力學(xué)特性的有效性,后續(xù)將基于廣義有限差分法考慮更為復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算模型.