孔留貞

(南京工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院, 江蘇 南京 211167)

1 引言及預(yù)備知識

本文給出了部分回答:U⊕K作為R-模是一個finendo擬傾斜模,并且推導(dǎo)出當(dāng)U是單射的時候,那么U⊕K作為R-模是一個1-傾斜模.

2 交換環(huán)之間的平坦的環(huán)滿同態(tài)

在不特別指出的情況下,本文出現(xiàn)的環(huán)都是指有單位元的交換環(huán),所有的模都是大模范疇中的左R-模.相關(guān)概念、符號參見文獻(xiàn)[4,10-14].

一個環(huán)同態(tài)u:R→U,如果對于任意的環(huán)C和環(huán)同態(tài)α,β:U→C,αu=βu,都有α=β,則稱u:R→U為滿同態(tài)[4];如果U是一個平坦的(左)R-模,則稱u是(左)平坦的[12];如果u是平坦的并且Ker(u)=0,則稱u:R→U是平坦的單態(tài)射.

如果一個R-模的左零化子Ann(M)={a∈R|a·M=0}為0,則稱它是忠實的[14].

Add(M)記作M的可加閉,即由同構(gòu)于M的直和的直和項構(gòu)成的模類.Gen(M)記作由Add(M)的滿同態(tài)項構(gòu)成的模類.Pres(M)記作由Add(M)-表示構(gòu)成的模類.

定義1[10]一個R-模T被稱為1-傾斜模,如果Gen(T)=T⊥1,或者等價為T滿足以下條件:

1)T的投射維數(shù)小于等于1;

定義2[15]對于R-模T,如果它是自同態(tài)環(huán)End(T,T)上的有限生成模,則稱它是finendo模.

定義4[10]如果R-模T存在一個投射表示σ滿足:1)Dσ是一個torsion類;2)T屬于Dσ,則稱T是partial silting模.

如果T的投射表示σ滿足Gen(T)=Dσ,則稱T是一個silting模.注意,T是(partial) silting模的概念都是相對于投射表示σ而言的.

證例:設(shè)R是一個交換的局部環(huán),非零冪等的極大理想為m.那么R/m作為R-模是一個finendo擬傾斜模.