溫秀平,耿冉冉

(南京工程學院工業(yè)中心、創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)學院, 江蘇 南京 211167)

現(xiàn)實世界中很多實際的系統(tǒng)往往都存在非線性和時滯,再加上元器件老化、關鍵部件失效等因素影響,在高負荷的運行過程中執(zhí)行器或者傳感器難免發(fā)生故障,這些因素的存在給控制器的設計帶來了極大的挑戰(zhàn).對于實際系統(tǒng),如果不能設計有效的容錯控制器及時對故障系統(tǒng)進行控制,系統(tǒng)性能可能會下降,甚至出現(xiàn)系統(tǒng)不穩(wěn)定的現(xiàn)象,嚴重時會造成較大的經(jīng)濟損失[1].因此,非線性時滯系統(tǒng)的容錯控制問題已成為國內(nèi)外學者研究與關注的熱點.

目前,容錯控制方法已廣泛應用于無人機、電動汽車、衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)、船舶等實際系統(tǒng).文獻[2]針對四旋翼無人機執(zhí)行器發(fā)生偏差故障情況提出一種改進的分數(shù)階冪次滑模容錯控制算法,在有限時間內(nèi)可以使系統(tǒng)達到穩(wěn)定,有效克服了傳統(tǒng)容錯控制方法只能使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的缺點;文獻[3]研究了四輪獨立驅(qū)動電動汽車系統(tǒng)在執(zhí)行器故障和不匹配干擾條件下的跟蹤控制問題,提出一種自適應快速終端滑模容錯控制方案;文獻[4]研究了衛(wèi)星姿態(tài)系統(tǒng)執(zhí)行器含有混合故障時的容錯控制問題,提出一種基于迭代學習觀測器的姿態(tài)跟蹤容錯控制方法;文獻[5]針對船舶航速/航向協(xié)調(diào)控制系統(tǒng),提出一種非線性廣義擾動觀測器,并基于自適應估計與廣義擾動補償提出一種自適應滑模容錯控制方法,在冗余舵槳系統(tǒng)發(fā)生故障情況下,實現(xiàn)了廣義擾動補償、航速/航向跟蹤和執(zhí)行器能耗最優(yōu)化.

近年來,關于非線性時滯系統(tǒng)容錯控制問題的研究已經(jīng)取得了一些成果,但也存在一些問題有待解決.文獻[6]針對可反饋線性化非線性系統(tǒng),研究了系統(tǒng)存在未知不匹配干擾和不確定執(zhí)行器故障時的容錯控制問題,提出一種魯棒自適應容錯控制策略,同時針對系統(tǒng)各種故障分別設計容錯控制器,融合得到一個綜合故障補償控制器,有效解決多重不確定執(zhí)行器故障情況,保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及獲得期望的性能;文獻[7]針對滿足Lipschitz條件的非線性系統(tǒng),研究了系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生故障時的容錯控制問題,提出一種魯棒滑模容錯控制方法;文獻[8]研究了具有未知控制系數(shù)和執(zhí)行器故障的非線性嚴格反饋領導-跟隨系統(tǒng)在固定有向圖下的自適應協(xié)同容錯監(jiān)控問題;文獻[9]研究了一類同時具有參數(shù)不確定性和時滯的非線性系統(tǒng)的魯棒容錯控制問題,基于線性陣不等式方法給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件及控制器的設計方法;文獻[10]針對具有執(zhí)行器故障的不確定奇異時滯系統(tǒng),研究其容錯控制問題,給出了故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件,所設計的容錯控制器可以滿足無源性能指標.文獻[6-8]均研究了非線性系統(tǒng)的容錯控制問題,但未考慮時滯對系統(tǒng)的影響;文獻[9-10]針對不同系統(tǒng)的容錯控制問題設計了有效的控制器,但主要研究了單一時滯情況,未考慮系統(tǒng)具有多個狀態(tài)時滯時的容錯控制問題.

綜上,同時考慮非線性、多時滯、執(zhí)行器故障及性能指標的約束等問題綜合設計容錯控制器極為少見.因此,本文主要研究一類具有多個狀態(tài)時滯且滿足Lipschitz條件的非線性連續(xù)系統(tǒng)的執(zhí)行器發(fā)生故障時的容錯控制器及容錯保性能控制器的設計.當系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障時,分別設計容錯控制器和容錯保性能控制器,基于線性矩陣不等式方法(linear matrix inequality,LMI)給出故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文設計的優(yōu)點在于:1) 同時考慮非線性、多時滯、執(zhí)行器故障及性能指標約束等問題設計容錯控制器;2) 文中設計的容錯控制器和容錯保性能控制器可以同時保證執(zhí)行器正常工作和發(fā)生故障情況下系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性;3) 容錯保性能控制器可以滿足給定二次型性能指標的要求;4) 系統(tǒng)收斂速度快.

1 問題描述

考慮具有多個狀態(tài)時滯的非線性連續(xù)系統(tǒng):

(1)

定義執(zhí)行器故障矩陣F=diag(f1,f2,…,fm),0≤fi≤1(i=1,2,…,m).當fi=0時,表示第i個執(zhí)行器完全失效;當0

針對式(1)系統(tǒng),在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下,設計狀態(tài)反饋容錯控制器的形式為:

u(t)=FKx(t)

(2)

式中:F為執(zhí)行器故障矩陣;K為待設計的控制器增益矩陣.

將式(2)代入式(1),則可得故障閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為:

(3)

對于系統(tǒng)(1),在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下,選取二次型性能指標:

(4)

式中,Q、R為給定的對稱正定加權矩陣.

本文目的是針對非線性多狀態(tài)時滯系統(tǒng)(式(1)),設計狀態(tài)反饋容錯控制器(式(2)),使得對于所有可能發(fā)生的執(zhí)行器失效故障,故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進穩(wěn)定,且滿足性能指標(式(4)).

引理1[11]對于適當維數(shù)的矩陣X和Y,以及標量ε>0,有:

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY

(5)

假設1[12]非線性函數(shù)f(x(t))滿足Lipschitz條件,即存在常數(shù)l>0,使得:

(6)

并且滿足f(0)=0.

2 主要結果

定理1對于故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3)),如果存在正定對稱矩陣X和矩陣Y,對于給定的常數(shù)l>0,εi>0(i=1,2,…,n+2),滿足矩陣不等式:

(7)

證明:選取Lyapunov函數(shù)為:

(8)

式中:P>0;Qi(i=1,2,…,n)待求.

沿故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))對V(x(t),t)求導可得:

wT(t)DTPx(t)+xT(t)PDw(t)+fT(x(t))Px(t)+

(9)

根據(jù)引理1可得:

(10)

同理可得:

wT(t)DTPx(t)+xT(t)PDw(t)≤

(11)

再由引理1和假設1可得:

fT(x(t))Px(t)+xT(t)Pf(x(t))≤

(12)

(13)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論知,只要式(14)成立:

(14)

則故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進穩(wěn)定.將(14)式分別左乘、右乘diag(P-1,P-1),并令X=P-1,Y=KX,再根據(jù)舒爾補性質(zhì)可知其與式(7)等價,從而定理1得證.

定理2對于故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))和性能指標(式(4)),如果存在正定對稱矩陣X和矩陣Y,對于給定的常數(shù)l>0,εi>0(i=1,2,…,n+2),以及正定對稱加權矩陣Q和R滿足矩陣不等式:

(15)

證明:與定理1證明過程類似,選取Lyapunov函數(shù)為:

V(x(t),t)=xT(t)Px(t)+

(16)

式中P>0.由定理1證明過程可知,沿故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))對V(x(t),t)求導,并根據(jù)引理1和假設1可得:

(17)

如果式(18)成立:

xT(t)[(A+BFK)TP+P(A+BFK)+

(18)

則有:

(19)

成立.根據(jù)定理1的證明過程易證式(15)成立等價于式(18)成立.根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,故障閉環(huán)系統(tǒng)(式(3))漸進穩(wěn)定.

進一步,對式(19)兩邊對時間t從0到∞積分,并利用系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性,可得:

(20)

即滿足J≤J*,定理2得證.

3 仿真研究

考慮形如式(1)的非線性多狀態(tài)時滯系統(tǒng),取:

定理1中取:

n=2,ε1=ε2=ε3=ε4=l=1,

利用Matlab軟件LMI工具箱求解式(7)可得:

同樣地,定理2中取:

n=2,ε1=ε2=ε3=ε4=l=1,

利用Matlab軟件LMI工具箱求解式(15)可得:

J*=2.122 6

根據(jù)上述結果在Simulink中建模仿真,設t<0時,x(t)=φ(t)=0,選取x0=[1,-0.5]T,分別得到定理1和定理2對應的狀態(tài)響應曲線.

圖1為無性能指標約束時系統(tǒng)發(fā)生F1故障及正常工作時狀態(tài)x1、x2的響應曲線.由圖1(a)和圖1(b)的仿真曲線可見,系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障F1時,狀態(tài)x1、x2分別在t=2 s、t=5 s時達到漸進穩(wěn)定,并且與執(zhí)行器正常工作時的狀態(tài)響應曲線幾乎趨于一致,誤差值較小.

(a) 無性能指標約束時狀態(tài)x1的響應曲線

(b) 無性能指標約束時狀態(tài)x2的響應曲線

圖2為有性能指標約束時系統(tǒng)發(fā)生F1故障及正常工作時狀態(tài)x1、x2的響應曲線.在考慮二次型性能指標(式(4))約束的情況下,由圖2的仿真曲線可見,狀態(tài)x1、x2分別在t=2 s、t=3 s時達到漸進穩(wěn)定,并且與執(zhí)行器正常工作時的狀態(tài)響應曲線

(a) 有性能指標約束時狀態(tài)x1的響應曲線

(b) 有性能指標約束時狀態(tài)x2的響應曲線

也幾乎趨于一致,誤差值較小.

綜上,定理1和定理2給出的容錯控制器和容錯保性能控制器設計方法可以同時保證執(zhí)行器有故障和無故障情況下系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性,而且收斂速度較快,誤差值較小,說明本文所設計的容錯控制器及容錯保性能控制器具有較好的容錯效果.

4 結語

本文同時考慮了非線性、多時滯、執(zhí)行器故障及性能指標的約束等問題,針對一類具有多個狀態(tài)時滯的Lipschitz非線性連續(xù)系統(tǒng),設計了系統(tǒng)執(zhí)行器發(fā)生故障時的容錯控制器和容錯保性能控制器.基于線性矩陣不等式方法給出了故障閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件,并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了故障閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,所設計的容錯控制器和容錯保性能控制器不僅可以同時保證執(zhí)行器正常工作和發(fā)生故障情況下系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定,且收斂速度快.通過具體數(shù)值算例驗證了所設計的容錯控制器和容錯保性能控制器具有較好的容錯效果.