沈瑾瑜

小學(xué)數(shù)學(xué)《圖形與幾何》的教與學(xué)

沈瑾瑜

（江蘇省南通市海門(mén)區(qū)三星小學(xué)，江蘇南通226100）

“圖形與幾何”是小學(xué)階段的重要教學(xué)內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的疑難部分。為落實(shí)新課改要求，教師應(yīng)當(dāng)立足于教學(xué)內(nèi)容，著眼于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，從多元表征圖形本質(zhì)特征、多元維度度量圖形大小、多樣視角認(rèn)識(shí)圖形聯(lián)系、多種方法表達(dá)圖形位置，幫助學(xué)生形成空間觀念。

小學(xué)；數(shù)學(xué)；圖形；空間觀念

在小學(xué)階段，“圖形與幾何”這一部分知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中比較難的部分。為落實(shí)《新課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，必須從動(dòng)態(tài)和靜態(tài)兩個(gè)層面認(rèn)識(shí)圖形，從數(shù)量關(guān)系與空間關(guān)系兩個(gè)方面刻畫(huà)圖形的性質(zhì)，逐步建立起空間觀念。

一、多元表征圖形本質(zhì)特征

（一）在靜態(tài)觀察中抽象出圖形特征

對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)基于對(duì)實(shí)物的觀察，不僅從整體著手，感知圖形的特征，還從局部著眼，分析圖形的結(jié)構(gòu)，最后建立整體與部分的聯(lián)系，幫助學(xué)生從具體實(shí)物中提取出圖形的空間形式。

視覺(jué)上的感官體驗(yàn)，向?qū)W生傳達(dá)了現(xiàn)實(shí)生活中存在著的立體圖形。在整體感知的基礎(chǔ)上，學(xué)生抓住圖形特征，構(gòu)建起數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步抽象過(guò)渡到平面圖形。在這一過(guò)程中，需要舍去事物的顏色、材料等非本質(zhì)屬性，關(guān)注圖形的形狀、大小等本質(zhì)屬性。比如，橡皮檫可以看作是長(zhǎng)方體，類(lèi)似的還有字典、鉛筆盒。這是對(duì)現(xiàn)實(shí)實(shí)物的整體認(rèn)知，需要?jiǎng)冸x某些無(wú)關(guān)因素，聚焦圖形的本質(zhì)特征，抽象出幾何模型。從立體圖形中可以剝離出許多平面圖形，把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單圖形。比如，在紙上把長(zhǎng)方體的一個(gè)面拓印下來(lái)，可以得到平面圖形——長(zhǎng)方形，如果拓印不同的面，可以得到不同的長(zhǎng)方形。把平面圖形從立體圖形中拓印下來(lái)，就是對(duì)立體圖形的再抽象。

對(duì)分解出的簡(jiǎn)單圖形，可以從細(xì)微處入手，提取圖形關(guān)鍵特征。比如，長(zhǎng)方體中提取出的6個(gè)面，能判斷形狀，比較大??；從長(zhǎng)方體中提取出的12條棱，能比較長(zhǎng)短，判斷位置關(guān)系；把長(zhǎng)方體變形，長(zhǎng)方體能“變”成正方體……從局部認(rèn)識(shí)整體，進(jìn)一步歸納總結(jié)圖形與圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系。

對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，往往遵循“體——面——體”的認(rèn)知順序，在觀察中洞察圖形的本質(zhì)屬性，進(jìn)一步提煉出圖形特征，從籠統(tǒng)感知轉(zhuǎn)為具體認(rèn)知，從淺層建構(gòu)逐步走向深層建構(gòu)。

（二）在動(dòng)手操作中抽象出圖形特征

對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)不能停留在視覺(jué)層面上，還應(yīng)當(dāng)與理性思考結(jié)合起來(lái)。只有把感官和思考有機(jī)融合，才能提升對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)。操作的過(guò)程就是學(xué)生多感官協(xié)同活動(dòng)，探索數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)知識(shí)形成的過(guò)程。

對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，不能滿足于表象，還應(yīng)該深入探究圖形的特征。對(duì)圖形的深層認(rèn)知，往往從感官出發(fā)，從巧合著手，從操作著力，通過(guò)自主探究抽象出圖形的性質(zhì)，從表象走向深層，加深對(duì)圖形特點(diǎn)的理解。

（三）在圖形轉(zhuǎn)換中發(fā)展空間觀念

不管是從立體圖形中剝離出平面圖形，還是反過(guò)來(lái)由平面圖形想象出立體圖形，都是基于對(duì)圖形的深層認(rèn)知。二維圖形與三維圖形之間，不僅僅是從具體事物中抽象出圖形，還包括從生活中尋找圖形依附的物體；不僅僅是從立體圖形中剝離出多個(gè)平面圖形，還包括對(duì)平面圖形之間的位置、結(jié)構(gòu)的想象推理，重新構(gòu)建出立體圖形。圖形之間的變換進(jìn)一步建立現(xiàn)實(shí)生活與抽象圖形之間的橋梁，溝通三維圖形與二維圖形之間的聯(lián)系。

平面圖形依附于立體圖形而存在，立體圖形的三視圖、展開(kāi)圖就是最有力的證明。三視圖就是對(duì)同一個(gè)立體圖形采用3個(gè)不同視角進(jìn)行觀察，分成3個(gè)部分描述物體的形狀和結(jié)構(gòu)。反之，通過(guò)對(duì)三視圖的空間重塑，想象出不同方向上的圖形形狀，整體考慮物體的大小、結(jié)構(gòu)，就能描述實(shí)際物體，判斷出各部分的位置關(guān)系，推理出物體的擺放角度。此外，如果需要整體描述立體圖形各個(gè)面之間的關(guān)系，就需要借助展開(kāi)圖，它反映了立體圖形中存在的多個(gè)平面圖形之間的形狀、位置、大小與結(jié)構(gòu)關(guān)系?！皥D形與幾何”的教學(xué)，實(shí)質(zhì)是把立體圖形中分解成平面圖形，從平面圖形中追溯重構(gòu)立體圖形，是立體圖形與平面圖形之間的雙向轉(zhuǎn)換。

由此可見(jiàn)，圖形的認(rèn)識(shí)是以定性的角度為切入口，深入認(rèn)識(shí)立體圖形與平面圖形之間的關(guān)聯(lián)，助力學(xué)生空間觀念的養(yǎng)成。隨后，圖形的認(rèn)識(shí)經(jīng)由定性轉(zhuǎn)向從定量的角度刻畫(huà)圖形的一些特征。

二、多元維度度量圖形大小

（一）基于過(guò)程的優(yōu)化看待圖形的度量

對(duì)圖形空間形式的量化，就是對(duì)圖形周長(zhǎng)、面積、體積的量與計(jì)算。圖形的度量往往呈現(xiàn)出高度相似的結(jié)構(gòu)：從概念的建立，經(jīng)歷標(biāo)準(zhǔn)多樣化的單位度量，最終統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，形成固定的度量單位，進(jìn)一步抽象出計(jì)算公式，回歸解決實(shí)際問(wèn)題。

對(duì)圖形的度量，就是用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的量（度量單位）度量圖形。度量單位的形成源于人類(lèi)生活實(shí)踐中的比較，度量單位的統(tǒng)一源于對(duì)比較標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化。當(dāng)不能通過(guò)重疊、觀察等方法直接比較出物體大小時(shí)，就需要借助第三方物體作為測(cè)量工具，進(jìn)行間接比較。由于每個(gè)人采用的工具不統(tǒng)一，會(huì)導(dǎo)致結(jié)果不一致。于是，需要統(tǒng)一比較的標(biāo)準(zhǔn)，逐漸誕生了統(tǒng)一的度量單位。為了滿足精確度量的需要，進(jìn)一步發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的度量單位表示有關(guān)的量。

測(cè)量圖形大小的過(guò)程，本質(zhì)上是對(duì)度量單位的計(jì)量，通過(guò)對(duì)操作方法的不斷優(yōu)化與簡(jiǎn)化，建立起數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，最終表現(xiàn)為計(jì)算公式。比如，長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)，就借助了正方形學(xué)具的不同擺法，從全部擺滿優(yōu)化為一行一列，以形助數(shù)，直觀感受長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別對(duì)應(yīng)著正方形學(xué)具的每行個(gè)數(shù)與行數(shù)，再擺脫實(shí)物的束縛，以數(shù)解形，總結(jié)出面積計(jì)算公式。在對(duì)圖形大小的計(jì)算公式上，進(jìn)一步優(yōu)化表現(xiàn)形式。比如長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式，借助乘法分配律，從分別計(jì)算2條長(zhǎng)和2條寬，優(yōu)化為計(jì)算先計(jì)算一條長(zhǎng)和一條寬的和，再乘2。

度量的關(guān)鍵是設(shè)立統(tǒng)一的度量單位，不管是度量單位的形成還是測(cè)量方法、結(jié)果，都體現(xiàn)了從多元走向統(tǒng)一的過(guò)程，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)整體發(fā)展趨于統(tǒng)一，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式上的高度簡(jiǎn)潔。

（二）基于思想的高度測(cè)算圖形的大小

“圖形與幾何”的教育價(jià)值不僅僅聚焦于最終的知識(shí)成果，還包括隱藏在知識(shí)形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)精神。知識(shí)是人類(lèi)探索活動(dòng)的最終產(chǎn)物，但主導(dǎo)著數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的靈魂是數(shù)學(xué)思想，它是對(duì)知識(shí)形成過(guò)程中不同思維方式的高度概括，是突破慣性思維、開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)新局面的高度抽象。

在一眾圖形中，圓的特殊性不言而喻。就以圓為例，對(duì)其周長(zhǎng)的探索需要從分析圓的半徑與周長(zhǎng)的關(guān)系入手，通過(guò)用線繞、量長(zhǎng)度、算比值、填表格，觀察得出：圓的周長(zhǎng)與直徑之間存在固定的倍數(shù)關(guān)系，從而得出周長(zhǎng)與直徑之間存在確定性的函數(shù)關(guān)系，初步體會(huì)函數(shù)思想。

圓的周長(zhǎng)化曲為直，圓的面積展現(xiàn)了從量變到質(zhì)變的過(guò)程。通過(guò)有限次數(shù)地分割，觀察其拼接后的圖形，想象無(wú)限次分割后拼接而成的圖形狀態(tài)，化圓為方，化曲為直。在曲與直的矛盾中，激發(fā)無(wú)限逼近的極限思想，引導(dǎo)學(xué)生感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

與圓有關(guān)的立體圖形——圓柱，可以看作是若干個(gè)完全相同的圓層層堆疊到一定程度形成的。教師在向?qū)W生傳達(dá)微積分思想的同時(shí)，如果把計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體體積的方法遷移運(yùn)用，就能類(lèi)比得出圓柱體積的計(jì)算方法，進(jìn)一步滲透類(lèi)比思想。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想源于人類(lèi)的思維活動(dòng)，寓于知識(shí)的形成過(guò)程中，在高處指導(dǎo)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。“圖形與幾何”的教學(xué)不僅注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的傳授，還緊扣知識(shí)形成的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)再創(chuàng)造、再認(rèn)識(shí)，充分挖掘看似平常實(shí)則非凡的數(shù)學(xué)思想，使數(shù)學(xué)教學(xué)站上新高度。

三、多樣視角認(rèn)識(shí)圖形聯(lián)系

（一）基于變與不變動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)圖形

把一個(gè)圖形拆分成幾個(gè)部分或幾何元素直接進(jìn)行研究，就是從靜態(tài)的角度看待圖形的形成。如果從動(dòng)態(tài)生成的角度看待圖形的形成，就是追蹤圖形元素運(yùn)動(dòng)的軌跡，比如，點(diǎn)動(dòng)成線、線動(dòng)成面、面動(dòng)成體。從這個(gè)角度來(lái)看，圖形本身就存在運(yùn)動(dòng)屬性。

研究圖形運(yùn)動(dòng)，常常從生活現(xiàn)象入手，用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識(shí)和把握這些現(xiàn)象。通過(guò)觀察，整體感知運(yùn)動(dòng)方式，比如，平移是沿一條直線移動(dòng)；旋轉(zhuǎn)是固定一頭轉(zhuǎn)動(dòng)另一頭；軸對(duì)稱(chēng)是翻折后圖案完全重合。通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的分析，思考運(yùn)動(dòng)涉及的幾個(gè)要素，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的運(yùn)動(dòng)，比如，一個(gè)具體的平移運(yùn)動(dòng)，主要由其平移方向和距離確定；旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是由旋轉(zhuǎn)點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度決定；對(duì)稱(chēng)軸是軸對(duì)稱(chēng)變化的基本要素。

但是光感知運(yùn)動(dòng)方式還不夠，還需要結(jié)合運(yùn)動(dòng)前后圖形的變化，總結(jié)運(yùn)動(dòng)的特征。圖形的運(yùn)動(dòng)，本質(zhì)上是圖形的變換。在平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)變換前后，圖形只有位置發(fā)生了變化，其他一切如故，也就是說(shuō)兩個(gè)圖形是全等關(guān)系，這種變換就是全等變換。但是在圖形的縮放中，各邊按比例放大，前后圖形對(duì)應(yīng)角的大小不變，也就是圖形的形狀不變，大小變了，兩個(gè)圖形是相似關(guān)系，這種變換就是相似變換。

圖形的運(yùn)動(dòng)對(duì)于刻畫(huà)圖形的價(jià)值，就是研究運(yùn)動(dòng)中的不變量。在研究變與不變時(shí)，常常選取運(yùn)動(dòng)前后的圖形對(duì)比分析，化動(dòng)為靜，將動(dòng)態(tài)問(wèn)題置于靜態(tài)來(lái)思考。

（二）基于聯(lián)系的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)圖形

利用圖形的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)圖形，是一個(gè)將靜態(tài)認(rèn)識(shí)與動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)相結(jié)合的過(guò)程。變換不同的角度分析同一個(gè)或同一類(lèi)圖形，做到橫向?qū)Ρ?，縱向聯(lián)系，掌握運(yùn)動(dòng)前后圖形之間或圖形元素之間的變與不變，就可以動(dòng)靜結(jié)合，進(jìn)一步掌握?qǐng)D形之間存在的區(qū)別與聯(lián)系。

三角形的教學(xué)充分展示了動(dòng)靜結(jié)合的觀念。教學(xué)首先從靜態(tài)認(rèn)識(shí)入手：通過(guò)靜態(tài)觀察，從邊、角、頂點(diǎn)三方面總結(jié)出三角形的特征。其次，化靜為動(dòng)，從點(diǎn)的位置關(guān)系的角度動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)三角形：讓學(xué)生在方格紙或釘子板上探索在什么條件下形成三角形，思考三點(diǎn)不在一直線時(shí)，兩邊之和與第三邊之間存在的大小關(guān)系，分別從點(diǎn)的位置關(guān)系和邊的長(zhǎng)度關(guān)系兩個(gè)方面總結(jié)構(gòu)成三角形的條件。這一過(guò)程在已經(jīng)確定兩點(diǎn)的基礎(chǔ)上平移另一點(diǎn)的位置，展示不同情況下三點(diǎn)能形成什么圖形，強(qiáng)調(diào)了三角形的點(diǎn)和邊的位置關(guān)系，滲透了邊的長(zhǎng)短關(guān)系和高的定義，進(jìn)一步鞏固三角形的特征。再次，化動(dòng)為靜，從點(diǎn)和邊的位置入手，探索三角形的三邊關(guān)系。在已經(jīng)確定一條邊長(zhǎng)度的基礎(chǔ)上圍繞這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另兩條邊，比較圍成三角形時(shí)兩邊之和與第三邊的關(guān)系，通過(guò)選取旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的三點(diǎn)（或三邊）呈一直線的特殊瞬間，用反證法明確了圍成三角形的三條邊長(zhǎng)度關(guān)系。

聯(lián)系并不僅僅存在于動(dòng)與靜之間，還存在于整體與局部之間。對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)不僅可以從圖形元素入手，也可以從運(yùn)動(dòng)特性入手，用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待圖形，就能多角度深入認(rèn)識(shí)圖形，就能全方位把握?qǐng)D形之間的聯(lián)系。

四、多種方法表達(dá)圖形位置

（一）基于點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系描述圖形的位置

圖形與圖形之間的聯(lián)系，除了形狀、大小，就是位置關(guān)系。描述圖形的位置關(guān)系需要結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)歷，創(chuàng)設(shè)貼合生活的問(wèn)題情境，讓學(xué)生嘗試描述物體或圖形的位置，并對(duì)不同的描述方法進(jìn)行對(duì)比分析，總結(jié)描述位置必需的基本要素。

對(duì)圖形位置的描述，始于點(diǎn)與點(diǎn)之間的位置關(guān)系，為初中階段學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系做鋪墊。平面直角坐標(biāo)系的滲透是從教師的視角觀察學(xué)生的位置展開(kāi)的，將每個(gè)學(xué)生都抽象成點(diǎn)，接著在點(diǎn)上套上方格，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)與形之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)一步統(tǒng)一表示方法——用數(shù)對(duì)確定位置，抽象出坐標(biāo)。如果只確定數(shù)學(xué)中的行或列，只能確定物體在某條線上，對(duì)應(yīng)的物體不唯一，描述的位置不夠精確。因此，在“平面直角坐標(biāo)系”中，“行”與“列”二者缺一不可，在用數(shù)對(duì)表示時(shí)，就需要用兩個(gè)數(shù)字分別代表行與列。

極坐標(biāo)系滲透在用方向和距離定位的過(guò)程中。在具體情境中將每個(gè)物體都抽象成點(diǎn)，選取其中一點(diǎn)為參照點(diǎn)，依據(jù)物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離，描述物體的具體位置。在數(shù)學(xué)描述中，如果只確定方向，只能確定物體所在的區(qū)域；如果只知道方向及角度，只能進(jìn)一步確定在一條射線上；如果只知道距離，只能確定在一個(gè)半徑是定值的圓上。因此，“方向角”與“距離”相輔相成，二者是描述物體在平面中位置必不可少的要素。

描述圖形位置的兩種方法，都是從某人或某物的視角展開(kāi)，即確定了參照物，那么對(duì)于圖形位置的描述就是相對(duì)的。基于參照點(diǎn)具體描述圖形的位置，本質(zhì)上是確定從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路線。不同的是，在“極坐標(biāo)系”中，如果切換了參照點(diǎn)，物體相對(duì)于參照點(diǎn)的方向和距離就會(huì)發(fā)生變化，對(duì)物體位置的描述也隨之變化。

（二）基于線與線的位置關(guān)系描述圖形的位置

小學(xué)階段，線與線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi)的前提條件下重點(diǎn)研究?jī)煞N特殊情況——平行與垂直?？v觀整個(gè)教材體系，不難發(fā)現(xiàn)它的學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用，這是因?yàn)閷W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容必須要以直線和角的知識(shí)做基礎(chǔ)，也為今后學(xué)習(xí)平行四邊形、梯形等圖形埋下伏筆。

平行與垂直的核心是感知兩條直線的位置關(guān)系，并建立起正確的表象。在窮盡兩條直線的位置關(guān)系的前提下，進(jìn)行三層次的分類(lèi)：第一層次的分類(lèi)是直接根據(jù)兩條直線有無(wú)交叉分成兩類(lèi)；第二層次先根據(jù)直線特征進(jìn)行延長(zhǎng)，再分成相不相交兩類(lèi)，復(fù)習(xí)直線兩端可延長(zhǎng)的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)特殊情況——兩條直線延長(zhǎng)后才相交，反之，則順勢(shì)引出“平行”的概念，突出平行不相交的表象特征；第三層次是進(jìn)一步研究?jī)蓷l直線相交的情況，通過(guò)測(cè)量相交形成的夾角，進(jìn)一步細(xì)分為直角和不是直角兩類(lèi)，借機(jī)突出夾角為90°的特殊情況，引出“互相垂直”的概念。然后，找找生活中的例子鞏固對(duì)“平行”“垂直”概念的理解，展示“平行四邊形、梯形”等圖形的構(gòu)成過(guò)程。

五、小結(jié)

“圖形與幾何”的“教”與“學(xué)”，立足于學(xué)生的視覺(jué)感官，著眼于操作探索，著力于多方位認(rèn)知，力求深層認(rèn)知，深入理解，深度學(xué)習(xí)。

[1] 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011.

G628,C931.1,O711+.2

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