趙金麗

核心素養(yǎng)視角下的阿波羅尼斯圓

趙金麗

（杭州市余杭中學，浙江杭州311121）

數(shù)學素養(yǎng)是通過數(shù)學學習獲得的提出、分析與解決問題的能力，本文筆者以阿波羅尼斯圓為授課載體，以培養(yǎng)和提高學生的六大數(shù)學核心素養(yǎng)。阿波羅尼斯圓是阿波羅尼斯本人在圓錐曲線內容中留下的美妙一筆。在人教版必修二對于直線和圓的學習章節(jié)中，有涉及以阿波羅尼斯圓為背景的習題，可見該內容在學生需要掌握范圍內。

數(shù)學核心素養(yǎng)；阿波羅尼斯圓；比值；軌跡

本文筆者著重解釋了阿波羅尼斯圓的定義、某些重要性質，并給出用阿波羅尼斯圓解決數(shù)學問題的范例，并自編兩題供練習，以此加強學生的數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學計算以及數(shù)學分析等數(shù)學核心素養(yǎng)。

一、數(shù)學核心素養(yǎng)的概念

數(shù)學核心素養(yǎng)包括如下六個方面：1.數(shù)學抽象；2.邏輯推理；3.數(shù)學建模；4.數(shù)學運算；5.直觀想象；6.數(shù)據(jù)分析。史寧中教授指出：數(shù)學教學的終極目標，是要讓學習者學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。而數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言就是模型。因此數(shù)學教師如何在課堂上滲透數(shù)學核心素養(yǎng)成為課堂上的重要責任，而思考問題、研究問題的方法本身高于數(shù)學知識的學習，讓學生通過數(shù)學學習獲得的提出、分析與解決問題的能力正是教師們數(shù)學教學的重點。

二、阿波羅尼斯圓的背景和定義

在人教版數(shù)學選修2-1第二章的《圓錐曲線與方程》章節(jié)開頭展示了橢圓、雙曲線、拋物線可以用對頂?shù)膬蓚€圓錐，通過不同的截面得到。

圓

橢圓

拋物線

雙曲線

這個方法的創(chuàng)始人是阿波羅尼斯，他的創(chuàng)作可稱得上舉世無雙，為《圓錐曲線》的系統(tǒng)完整奠定了堅實的基礎。他對于圓錐曲線的貢獻還包括初等數(shù)學經常研究的一個特殊圓，后人為了紀念他命名為阿波羅尼斯圓。

這些題的背景都是阿波羅尼斯圓，這類題型內容形式常規(guī)，起點低，能保證大部分學生有思路，能夠下手。但是數(shù)學素養(yǎng)好的學生又會站在阿波羅尼斯圓高層次觀點思考問題，可以更快地解決問題，這又有區(qū)分度，能夠檢測出學生的能力，又方便結合數(shù)學史上的名題加以設計，因此在命題中常見。

三、阿波羅尼斯圓的方程推導以及性質

（一）方程推導——數(shù)學建模

化簡整理得：（1－2）2+（1－2）2+2（1+2）+（1－2）2=0 （*）

（1）當=1時，=0，（，）的軌跡是的中垂線；

化成圓的標準形式為：

（二）重要性質——數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析

四、例題呈現(xiàn)

解：（阿波羅尼斯圓）

方法一：代數(shù)法，利用絕對值不等式

方法二：阿波羅尼斯圓

注：當給出的兩個定點坐標不是關于原點對稱時，可以根據(jù)直譯法把動點的軌跡方程求出來，而不是直接代公式。

最后，獲得了504 896 個學習實例。從GenQA 提供的數(shù)據(jù)和對齊的數(shù)據(jù)中分別采樣100個樣例進行評估，比較兩個方法對齊問答對于事實的質量。發(fā)現(xiàn)相較于GenQA 中有76% 的匹配事實三元組能夠幫助生成自然答案(即是合適的事實)，本文所構造的數(shù)據(jù)有81% 的匹配三元組是合適的。但是，嚴格來說只有36% 和44% 的對齊三元組才是正確的能回答問題的三元組。例如，對于問題“謝蓉兒和趙一歡之間的關系是什么?”，匹配的三元組(趙藝奕，職業(yè)，藝人)可能有助于生成標準的自然答案“公司藝人”，但它不是回答該問題的正確事實。

注：在講解例題時利用幾何畫板輔助教學，培養(yǎng)學生的直觀想象和數(shù)據(jù)分析能力。

A.有且只有一個

B.形成一個圓

D.形成一條直線或一個圓

①當點，不同高的時候，≠1，則點的軌跡是平面α內以為直徑的圓，其中,是線段'的內分點和外分點。

②當點,不同高的時候，=1，即=，點的軌跡是平面α內線段'的中垂線，因此本題選D。

注：上面的例3和例4都是用阿波羅尼斯圓的重要性質解決的，當找到比值是定值這個本質之后，就能夠抽絲剝繭，回歸本質，從而解決題目，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、歸納概括的能力。

五、自主編題

注：在學習阿波羅尼斯圓后，可適當讓學生自主編題，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，本文提供兩個筆者自編題如下：

解：建立如圖所示空間直角坐標系，則

六、總結

通過以上三個例題和兩個改編題，本文力求探討數(shù)學核心素養(yǎng)的實質，進而在數(shù)學教學過程中不斷提高教學質量和效率，增強學生的數(shù)學素養(yǎng)和能力。

另外可以看到，三角形中有一邊是定值，另外兩邊成比例，只要合理建系，多半可以利用阿波羅尼斯圓解決。這為求解類似問題的最值或者取值范圍提供了一條新的路徑。用常規(guī)方法去解決也有可能有非常漂亮的解法，但是條條大路通羅馬，道路多了，可以欣賞各條不同道路的沿途美景。眾所周知每條道路上的風景后，當某一天站在高考的戰(zhàn)場上，利用我們的慧眼，胸有成竹，信心百倍，可以立馬選擇一條最快捷的、最成功的“路”。

[1] 朱成萬,王紅權.至精至簡的數(shù)學思想方法[M].杭州:浙江大學出版社,2018(4):107-110.

O123.5

A

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