吳軻娜，周國華，馬文帥，劉月林

( 海軍工程大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北中 武漢 430033)

在典型化的點(diǎn)電荷邊值問題中, 當(dāng)點(diǎn)電荷附近存在導(dǎo)體或介質(zhì)時, 由于點(diǎn)電荷電場的激勵，在導(dǎo)體或介質(zhì)界面上將呈現(xiàn)感應(yīng)電荷或束縛電荷分布, 因而場域中的電場是它們的合成電場.但是, 界面上的感應(yīng)電荷或束縛電荷分布是待定的未知量, 無法應(yīng)用疊加原理求該合成電場. 然而, 當(dāng)界面形狀比較規(guī)則(如平面、球面等)時, 對于前述場的求解, 可以采用鏡像法[1-3].鏡像法求解的關(guān)鍵在于基于靜電問題的唯一性定理, 確定鏡像電荷的量值和位置.當(dāng)界面形狀非單一的平面或球面等時, 如劈形邊界, 鏡像法仍然可以使用, 但存在附加條件.本文將要討論的是:由無限大導(dǎo)電平面形成的劈形邊界, 為什么僅當(dāng)其夾角α=π/n(n=2,3,4,…) (即為π的整數(shù)分之一)時, 才能用鏡像法求解.

1 點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的電場

點(diǎn)電荷q位于距無限大接地導(dǎo)電平面上方h處，其周圍介質(zhì)介電常量為ε，如圖1中(a)所示.顯然，由于點(diǎn)電荷激發(fā)的靜電場的作用，接地導(dǎo)板表面會產(chǎn)生感應(yīng)電荷，介質(zhì)中的電場就是由點(diǎn)電荷與導(dǎo)板表面感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的合成電場.雖然感應(yīng)電荷分布未知，但可在邊值問題不變的原則下，應(yīng)用鏡像法進(jìn)行求解.考慮感應(yīng)電荷在上半空間的電場，可在下半空間引入鏡像電荷q′[假設(shè)在(0,0,-z]處)，如圖1中(b)所示.鏡像電荷的引入替代了導(dǎo)體表面上實(shí)際的感應(yīng)電荷分布，將分片均勻的場域空間看成是均勻的，根據(jù)唯一性定理，只要引入的鏡像電荷與場域內(nèi)的實(shí)際電荷一起所產(chǎn)生的電場能滿足給定的邊界條件，這個解就是正確的.因此待求介質(zhì)場域D中的電勢φ可由點(diǎn)電荷q及其鏡像電荷q′產(chǎn)生的電場相疊加得到.

圖1 點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)電平面的電場

2 點(diǎn)電荷與劈形邊界導(dǎo)電系統(tǒng)的電場

對于由半無限大導(dǎo)電平面形成的劈形邊界，點(diǎn)電荷激發(fā)的電場可由鏡像法求解.但僅當(dāng)夾角α=π/n(n=2,3,4，…) ，即為π的整數(shù)分之一時，才可確定出對應(yīng)的鏡像電荷的個數(shù)(2n-1)和位置.例如，當(dāng)劈行邊界夾角α=π/4時，依據(jù)微分方程和邊界條件不變的原則，可確定鏡像電荷個數(shù)為7，位置如圖2所示.此時區(qū)域D中的邊值問題保持不變，可實(shí)現(xiàn)鏡像電荷與劈形邊界上感應(yīng)電荷(未知分布)的等效替代.

圖2 α=π/4導(dǎo)電劈的鏡像法

為什么僅當(dāng)滿足條件α=π/n(n=2,3,4，…)時, 才能引入鏡像電荷, 保證劈形邊界電勢φ|s=0, 這也是教學(xué)過程中學(xué)生疑問的焦點(diǎn), 現(xiàn)就該問題簡要證明如下.如圖3所示, 點(diǎn)電荷q(1)位于場域D的任意一點(diǎn)P, ∠AOB=α,OP與OA邊界夾角為α1,OP與OB邊界夾角為α2, 且α1+α2=α.應(yīng)用鏡像法的理論依據(jù)是微分方程與邊界條件不變.先看OA半無限長邊界, 滿足φ|OA=0, 所以自然引入鏡像電荷q(2),q(2)與q(1)關(guān)于OA邊界對稱, 且量值滿足q(2)=-q(1).依據(jù)點(diǎn)電荷與無限大接地導(dǎo)電平面系統(tǒng)的分析, 可證明φ|OA=0.

圖3 任意角度導(dǎo)電劈的鏡像法示意圖

引入q(2)后, 為保證φ|OB=0, 同里引入鏡像電荷q(3)～q(4), 且q(3)=-q(1),q(4)=-q(2)=q(1).不難發(fā)現(xiàn)q(3)～q(4)的引入勢必為破壞OA的電勢情況, 為保證φ|OA=0, 再次引入鏡像電荷q(5)～q(6), 且q(5)=-q(3)=q(1),q(6)=-q(4)=-q(1).不難發(fā)現(xiàn), 新的q(5)～q(6)的引入又再次破壞了OB邊界的電勢情況, 利用以上思想循環(huán)引入, 循環(huán)破壞，貌似這是一個無限循環(huán).但如果新的引入不破壞另一邊界電勢, 循環(huán)即終止, 即可保證邊界條件不變.另一方面, 分析鏡像電荷的引入過程, 我們不難發(fā)現(xiàn)每次引入都是一對電荷(等量異號電荷).如果引入的一對電荷在幾何關(guān)系上關(guān)于另一邊界對稱, 即可滿足要求.由圖4分析知, 電荷q(1),q(2), ～q(n)距離O點(diǎn)的距離相等.故可將點(diǎn)電荷q(1)及q(3)為一對, 重新引入鏡像電荷, 結(jié)果依然如圖4所示.此時，每對電荷q(1)～q(3),q(2)～q(5)等所對應(yīng)的圓心角相等, 均為2α2.

圖4 鏡像電荷圓周示意圖

假設(shè)共引入2n-1個鏡像電荷, 即共有n對等量異號電荷后, 恰好滿足第n對電荷的引入關(guān)于另一邊界幾何對稱, 此時滿足

n(2α1+2α2)=2π

(1)

即

n(α1+α2)=π

(2)

所以

(3)

根據(jù)上面的討論可知, 利用鏡像法求解半無限大導(dǎo)電平面形成的劈形邊界問題時, 劈形邊界夾角應(yīng)滿足π的整數(shù)分之一.

3 總結(jié)

結(jié)合上述分析，不難理解鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個或多個位于求解場域外虛設(shè)的鏡像電荷替代實(shí)際邊界上復(fù)雜的位置電荷分布, 進(jìn)而將有邊界的分區(qū)的非均勻介質(zhì)空間轉(zhuǎn)化為無限大均勻介質(zhì)空間.鏡像法求解的理論基礎(chǔ)是唯一性定理, 鏡像電荷的引入必須保持原問題邊界條件不變, 因此也便存在有效求解域的問題.無論是無限大導(dǎo)電平面、導(dǎo)電劈形面、甚至球面等交界面的靜電場問題, 只有抓住邊值問題不變這一原則, 才能正確確定鏡像電荷的量值和位置.