吳江海， 孫玉東， 尹志勇， 蘇明珠

(中國船舶科學研究中心 船舶振動噪聲重點試驗室， 無錫 214082)

管路系統(tǒng)廣泛應用于船舶、石油、化工等工業(yè)領域，充液管路在進行傳輸液體的同時，也將機械設備等不需要的振動、噪聲進行了傳播。由于管路大多數(shù)為梁狀結構，是非常好的彈性波傳播介質，有時甚至會放大振動，引起管路的振動疲勞破壞，帶來巨大的經(jīng)濟損失。因此充液管路的流固耦合問題引起了國內外學者與工程師的廣泛關注[1-4]。

各國學者在考慮管道流固耦合特性和流體壓力脈動中，提出了4方程模型、6方程模型、8方程模型和14方程模型[5]。Bürman[6]考慮泊松耦合，提出了充液管道軸向振動四方程模型，Tentarelli[7]后來發(fā)展了直管的14方程模型，本文中理論解析模型即采用其中軸向4方程。吸振器是充液管路線譜振動控制的有效手段，王文初等[8]基于阻抗概念，設計一種三向管路動力吸振器，并開展了樣機試驗；劉天彥等[9]對核反應堆一回路管道設計多頻率吸振器；陳果等[10]針對航空發(fā)動機導管設計了一種彈簧片式吸振器。

近年來，聲子晶體在彈性波調控方面引起了研究人員的廣泛關注，部分學者將其引入到充液管路振動控制中來，Yu等[11-13]采用Euler梁與Timoshenko梁模型對充液管路橫向局域共振帶隙進行了研究。文岐華[14]給出了多振子聲子晶體梁的彎曲振動能帶結構，并推導了帶隙起始截止頻率。馬建剛等[15]設計了一種具有多帶隙特性抑振結構，并將其應用于梁的橫向振動試驗中。吳江海等[16]研究了充液管路軸向多支撐帶隙特性，沈惠杰[17-18]研究了聲子晶體帶隙在船舶海水冷卻管路中的應用。

從上面可以看出大部分論文都是對管路橫向振動吸振、局域共振型帶隙開展了研究，而對管路軸向振動研究幾乎沒有。本文從充液管路軸向流固耦合4方程模型出發(fā)，采用傳遞矩陣法，建立管路軸向帶多個吸振器動力學耦合模型。本文的研究可為管路系統(tǒng)減振、吸振器的設計與安裝提供參考。

1 理論解析模型

1.1 管路軸向傳遞矩陣

本文充液管路采用Timoshenko梁理論，假設管路中均勻充滿液體，無氣泡，不考慮流體流動激勵，管路與流體通過泊松耦合進行連接。因此充液管路軸向振動方程為

(1)

式中：fz為管壁軸向力；uz為管壁軸向位移；uf為管內流體軸向位移；p為管內流體聲壓。以上4項為充液管路軸向振動4個自由度。R,h,Ap分別為管路內徑、壁厚和橫截面積；ρf,ρp分別為管內流體密度和管壁密度；E為管路楊氏模量；μ為泊松比，K*為管內流體體積模量；管道軸向為z方向。

利用分離變量法，假設式(1)的解的形式為

uz(z,t)=Uz(z)ejωt,p(z,t)=P(z)ejωt

uf(z,t)=Uf(z)ejωt,fz(z,t)=Fz(z)ejωt

(2)

(3)

將式(3)中P(z),Uf(z),Uz(z)消去，只保留Fz(z)得

(4)

因此充液管路軸向振動化為四階方程，由波動法知，式(4)的解可以寫成

Fz(z)=A1ejk1z+A2e-jk1z+A3ejk2z+A4e-jk2z

(5)

式中，k1,k2分別為聲波沿管內流體和管壁傳播的波數(shù)，將(5)代回式(3)得

(6)

其中：

將式(6)簡寫成矩陣形式

(7)

Vz|z=0=Vz(0),Vz|z=L=Vz(L)

(8)

將式(8)代入式(7)中有

(9)

Taxial=WB(L)WB(0)-1

(10)

1.2 軸向吸振器傳遞矩陣

吸振器的本質是在安裝點對管路系統(tǒng)施加的附加阻抗。易知，剛度為K，質量為M，阻尼為C的軸向吸振器阻抗為

(11)

在管路上吸振器安裝位置需滿足軸向位移連續(xù)與軸向力連續(xù)邊界條件，因此吸振器的傳遞矩陣為

(12)

因此管路上布置多軸向吸振器傳遞矩陣為

T=Taxial*TDVA…TDVA*Taxial

(13)

1.3 計算方法驗證

為驗證本文計算方法的正確性，對圖1所示直管帶單個軸向吸振器模型，計算其動態(tài)位移響應，并與商用有限元軟件計算結果對比。圖中管路外徑為DN100，壁厚為4.5 mm；管路采用鋼材質，楊氏模量E=2.1×1011，泊松比μ=0.3，密度為7 800 kg/m3, 管路長度為2.0 m，整個管路質量為21.06 kg。管路兩端為自由邊界，在管路中間安裝一軸向質量-彈簧振子吸振器，其中剛度為K=1×107N/m，質量Mass=5 kg。在右端P2點施加一軸向單位簡諧激勵力。

圖1 管路軸向計算模型

有限元模型中，管路采用Beam單元，吸振器采用彈簧單元與集中質量模擬，網(wǎng)格尺寸為0.001 m，網(wǎng)格數(shù)量為2 000。計算頻率范圍1～3 000 Hz，滿足有限元中單個波長中包含6個單元的計算精度。P1點和P2點的計算位移響應如圖2所示。

(a) P1

從圖2可以看出，本文采用傳遞矩陣方法計算結果與FEM計算結果完全吻合，證明了本文計算方法的正確性。在圖2(a)中出現(xiàn)的反共振峰(225 Hz)即為吸振器軸向共振頻率。

本文對圖1中所示帶吸振器管路系統(tǒng)充水與不充水時，自由邊界條件下前5階固有頻率進行了計算，并與有限元計算結果進行對比，如表1所示。不充水時，本文計算結果與FEM計算基本一致，充水時本文計算結果略大于FEM，誤差在4%以內，進一步證明本文計算方法的正確。

表1 固有頻率對比

2 波動特性

結構中的彈性波在不連續(xù)點處存在透射與反射現(xiàn)象，對于一無限長管道，軸向吸振器Zx相當于管道中一個不連續(xù)點，吸振器作為附加阻抗作用于管路上，在安裝點使管路系統(tǒng)的阻抗發(fā)生了失配，因此在吸振器安裝前后將會出現(xiàn)軸向彈性波透射與反射現(xiàn)象。

如圖3所示，一軸向彈性波從管路左端入射過來，在吸振器位置處發(fā)生透射與反射，稱之為彈性波散射現(xiàn)象。吸振器左端點軸向位移由入射波與反射波疊加，可以寫成：

圖3 無限長管軸向波傳播示意圖

w1(x,t)=Aej(ωt-kax)+Bej(ωt+kax)

(14)

右端點不考慮端部反射，軸向位移寫成

w2(x,t)=Cej(ωt-kax)

(15)

式中：A、B、C為軸向波幅值；ω為圓頻率；ka=ω/Cp為管道軸向波數(shù)；Cp為管道軸向波速。在坐標原點0處需要滿足位移連續(xù)與軸向力平衡方程

w1(0,t)=w2(0,t)

(16)

式中，EAp為梁的軸向剛度。聯(lián)立式(14)～(16)，可得管道軸向吸振器處反射與透射系數(shù)為

(17)

針對圖1中的管路與軸向吸振器參數(shù)，將反射系數(shù)與透射系數(shù)對比如圖4所示。

從圖4中看出，在吸振器共振頻率225 Hz處，沿管路軸向傳播彈性波透射系數(shù)最小(≈0)，反射系數(shù)最大。由于彈性波在不連續(xù)點(吸振器)處需滿足能量守恒，因此軸向波不是反射就是透射，當透射系數(shù)最小時，反射系數(shù)則最大，兩者之和等于1。

從圖5(a)中可以看出隨著剛度的增加(K=1×106～1×109N/m)，反射系數(shù)的帶寬變大，帶寬起始與終止頻率向高頻移動。相反透射系數(shù)的帶寬變窄。圖5(b)中可以看出隨著阻尼的增加(C=1～500 N·s/m)，反射系數(shù)的帶寬變大，但主要集中在200～250 Hz范圍內(圖5(b)中的亮帶內)，且隨著頻率的增加，反射系數(shù)的幅值逐漸減小，吸振器中阻尼越大，越有利于軸向波透射通過吸振器。

(a) 吸振器剛度剛度

3 帶隙特性

當軸向吸振器沿管路軸向周期排列時，可以形成軸向局域共振型帶隙(locally resonant，LR)，使得在某些特定的頻率范圍內，軸向振動波難以通過。

3.1 無限個吸振器帶隙特性

常見的帶隙求解方法有有限元法、級數(shù)展開法等，本文采用傳遞矩陣法。由文獻[19]知帶隙求解公式為

|T-ejκaI|=0

(18)

式中：κ為管路軸向波數(shù)向量，由實部、虛部兩部分組成，實部為彈性波的傳播項，虛部為彈性波的衰減項；T為周期吸振管路軸向傳遞矩陣，如式(13)所示；a為單個晶胞的長度，即吸振器之間的間距；I為4×4單位矩陣。通過求解式(18)的特征值，可以獲得管路系統(tǒng)的帶隙特性。

針對圖1中幾何參數(shù)不變，無限長管路-吸振系統(tǒng)，假設質量塊保持不變，剛度從1×105～1×1010N/m變化，帶隙隨頻率與剛度變化如圖6所示。從圖中可以看出，局域共振型帶隙與Bragg帶隙同時存在周期吸振結構中，隨著吸振器剛度的增大，局域共振帶隙的頻帶范圍也相應增大，Bragg帶隙則存在剛度較大且頻率較高的范圍內，且Bragg帶隙的幅值遠小于局域共振帶隙。

圖6 剛度對帶隙特性的影響

圖7為不同吸振器剛度值下，無限長管路系統(tǒng)中軸向波矢虛部。當剛度小于1×106N/m時，吸振器阻抗與管路軸向阻抗相接近，無阻抗不連續(xù)點出現(xiàn)，因此不存在局域型共振型帶隙；當剛度大于1×109N/m時，吸振器阻抗遠大于管路阻抗，類似于給管路施加了一個剛性支撐邊界條件，局域共振型帶隙退化為Bragg帶隙。

圖7 不同吸振器剛度下波矢虛部

3.2 有限個吸振器帶隙特性

3.1節(jié)研究了無限長直管上周期分布吸振器，而實際中吸振器安裝個數(shù)與管路長度是有限的。如圖8所示，管路規(guī)格、吸振器參數(shù)與圖1中一致，長度為5 m，軸向周期均勻布置了5個吸振器，吸振器間距Δ=1 m。在管路右端施加一單位簡諧力。

圖8 管路軸向安裝5個吸振器

五個吸振器安裝位置為P1/P2/P3/P4/P5，由1.3節(jié)響應計算方法和3.1節(jié)帶隙計算方法計算各吸振器安裝點響應與帶隙對比如圖9所示。從圖中可以明顯看出674～884 Hz存在局域共振型帶隙，管路中的軸向彈性波在該頻率范圍出現(xiàn)了“波停”現(xiàn)象，及軸向彈性波在該頻率范圍內無法進行傳播，因此P1～P5點軸向位移大幅度的降低，且?guī)额l帶范圍寬度(674～883 Hz)遠大于吸振器本身共振頻率(712 Hz)。因此帶隙雖能大幅度起到減振作用，但難以在低頻段實現(xiàn)。

圖9 帶隙與位移響應

局域共振型帶隙與Bragg帶隙同時存在，由于Bragg帶隙對應波矢實部(波矢實部控制衰減波)遠小于LR帶隙對應波矢實部，因此Bragg帶隙對應的軸向彈性波減振效果并不明顯。

4 結 論

采用傳遞矩陣法計算了一維管路軸向多吸振器的位移響應與軸向振動帶隙，分析了軸向彈性波在吸振器前后的波動特性，并通過有限元仿真對計算方法進行了驗證，主要結論如下：

(1) 可將吸振器作為管路附加阻抗，采用傳遞矩陣法能精確求解帶多吸振器管路軸向振動位移響應；

(2) 軸向彈性波在吸振器共振頻率存在明顯的反射，剛度與阻尼的變化能有效的改變反射系數(shù)帶寬；

(3) 多吸振器軸向管路中同時存在局域共振型帶隙和Bragg帶隙，且局域共振型帶隙減振效果遠大于Bragg帶隙；

(4) 局域共振型帶隙頻帶范圍與位移響應結果一一對應，位移振動響應在帶隙內得到了有效的控制，研究成果可為充液管路的減振設計提供參考。