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        非線性動(dòng)力方程的一種改進(jìn)精細(xì)積分單步方法

        2022-03-18 01:19:02劉冬兵李博文奕仲飛
        振動(dòng)與沖擊 2022年5期
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分計(jì)算精度積分法

        劉冬兵, 王 永, 李博文, 奕仲飛, 張 磊, 黎 慧

        (1.攀枝花學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,四川 攀枝花 617000; 2.國網(wǎng)上海市電力公司 特高壓換流站分公司,上海 201413;3.國網(wǎng)四川省電力公司內(nèi)江供電公司,四川 內(nèi)江 641000; 4.三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

        鐘萬勰[1]提出精細(xì)積分法為非線性動(dòng)力方程的時(shí)域分析提供一種單步顯式高精度數(shù)值算法。此外,研究人員基于精細(xì)積分法衍生出了針對(duì)Duhamel積分項(xiàng)不同的精細(xì)積分法衍生格式,其中具有代表性的有高斯精細(xì)法[2]、精細(xì)庫塔法[3]、精細(xì)積分多步法[4]、精細(xì)積分單步法[5-6]、高精度直接積分法[7]等等。

        高斯精細(xì)積分法的計(jì)算精度雖然較高,但是高斯積分點(diǎn)不包括區(qū)間端點(diǎn),對(duì)于弱形式求積元分析不再適用。精細(xì)庫塔法的精度有限,長時(shí)間的數(shù)值積分無法保持無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的幅值不變,具有較大的數(shù)值累積誤差;精細(xì)積分多步法需要進(jìn)行一次預(yù)估-校正,計(jì)算的本質(zhì)是復(fù)合積分,缺點(diǎn)是數(shù)值積分系數(shù)中存在負(fù)數(shù),對(duì)于初值比較敏感。對(duì)于精細(xì)積分單步法,王海波等采用梯形積分公式和Romberg算法逼近Duhamel積分項(xiàng),考慮到梯形積分公式的代數(shù)精度且待求變量的預(yù)估值(二階Runge-Kutta法)精度較低,該算法整體精度還有待提高。王永等提出的精細(xì)積分單步法結(jié)合了精細(xì)積分法和微分求積法的各自特點(diǎn),計(jì)算精度相對(duì)要高,能夠用來分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程的時(shí)程響應(yīng)。Li等的方法涉及矩陣求逆不在本文所討論的范圍。文獻(xiàn)[8]結(jié)合了廣義精細(xì)積分法和預(yù)估-校正法,整體計(jì)算精度和效率較王海波等要高。文獻(xiàn)[9]結(jié)合泰勒級(jí)數(shù)展開式和廣義精細(xì)積分法推導(dǎo)出了特定類型載荷時(shí)線性動(dòng)力方程的逐步積分公式,具有任意階精度。

        從數(shù)值積分的角度來看,文獻(xiàn)[10]分析了微分求積法直接用于分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的代數(shù)精度階數(shù),指出了非均勻網(wǎng)格要明顯優(yōu)于均勻網(wǎng)格。但是,從Duhamel積分項(xiàng)來看,采用均勻網(wǎng)格可以減少系數(shù)矩陣求解數(shù)量。王永等采用單步s級(jí)時(shí)域微分求積法的最后一個(gè)方程對(duì)Duhamel積分項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值積分,當(dāng)s=4時(shí)所給出的數(shù)值積分格式中的加權(quán)系數(shù)存在負(fù)數(shù),這將給數(shù)值積分的穩(wěn)定性帶來了不穩(wěn)定的風(fēng)險(xiǎn),可能會(huì)放大數(shù)值積分的誤差并造成最終的計(jì)算結(jié)果失真。為此,文中基于單步塊方法提出了改進(jìn)精細(xì)積分單步法。

        單步塊方法(one-step block methods)是20世紀(jì)70年代由Shampine和Watts提出的一種求解常微分方程初值問題的數(shù)值方法[11]。具體地,對(duì)于單步s級(jí)塊方法將單個(gè)步長區(qū)間內(nèi)的s個(gè)內(nèi)點(diǎn)組成一個(gè)塊向量,從而由一個(gè)初始時(shí)刻的待求變量初值計(jì)算得到s個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的待求變量近似值。值得注意的是,單步塊方法比較類似于時(shí)域微分求積法和隱式Runge-Kutta方法的,但是二者之間的區(qū)別在于單步塊方法在計(jì)算中使用了初始時(shí)刻的函數(shù)值。

        本文在王永等的基礎(chǔ)上,將單步塊方法與精細(xì)積分法相結(jié)合,采用s級(jí)的單步塊方法的第s個(gè)方程對(duì)Duhamel積分項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值積分,從而形成了一種改進(jìn)精細(xì)積分單步方法。通過對(duì)線性動(dòng)力學(xué)方程、非線性單擺和Van der Pol振子方程的數(shù)值仿真,并與預(yù)估校正-辛?xí)r間子域法、現(xiàn)有單步法以及隱式積分算法進(jìn)行數(shù)值結(jié)果比較,結(jié)果表明文中所提出算法能夠?qū)傂暂^低或較高的非線性動(dòng)力方程進(jìn)行時(shí)程分析。

        1 改進(jìn)精細(xì)積分單步法

        非線性動(dòng)力學(xué)方程的一般可表達(dá)成如下形式

        (1)

        式中:H為n維常系數(shù)矩陣;r為非線性廣義外力項(xiàng)。

        在任意積分區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi),非線性動(dòng)力方程(1)的解可一般表達(dá)為如下同解積分方程

        (2)

        式中:vk+1、vk分別表示待求向量在tk+1、tk時(shí)刻的值,且積分區(qū)間長度為Δt=tk+1-tk。等式(2)右邊第一項(xiàng)中的指數(shù)矩陣T=eHΔt可采用精細(xì)積分得到,而Duhamel積分項(xiàng)可以采用數(shù)值積分公式例如梯形公式、Simpson公式等等近似計(jì)算。本文采用s級(jí)的單步塊方法的第s個(gè)方程計(jì)算Duhamel積分項(xiàng)。

        1.1 隱式單步塊方法構(gòu)造數(shù)值積分公式

        為了便于表述,考慮如下的一階常微分方程的初值問題

        (3)

        令c=(t-tk)/h,t∈(tk,tk+1),從而將單步區(qū)間[tk,tk+1]正則化為c∈[0,1],則式(3)可以改寫為

        i=1,2,3,…,s

        構(gòu)造如下的隱式單步塊方法

        (4)

        將式(4)代入標(biāo)準(zhǔn)測試方程

        (5)

        式中,Re(λ)<0,令z=λh,則式(4)的穩(wěn)定性函數(shù)為

        (6)

        式中:es=[0 … 0 1]T∈Rs×1;Is為s維的單位矩陣。采用Padé逼近對(duì)穩(wěn)定性函數(shù)R(z)進(jìn)行函數(shù)逼近,可以構(gòu)造出A-穩(wěn)定、L-穩(wěn)定的計(jì)算格式。首先,給出如下的定理[12]。

        定理1對(duì)于(k,j)-Padé逼近,若k≤j≤k+2,則此Padé逼近是A-穩(wěn)定的;若k

        (7)

        式中,φi是待定系數(shù),將式(7)代入到式(4)中可得

        (8)

        (9)

        對(duì)于(k,s)-Padé逼近(k

        (10)

        因此,式(9)有唯一的非零解。求得系數(shù)矩陣B和d后代入式(4)便可得到基于不同(k,s)-Padé逼近的計(jì)算格式。下面分別采用均勻網(wǎng)格和CGL網(wǎng)格 (Chebyshev-Gauss-Lobatto網(wǎng)格)構(gòu)造不同的計(jì)算格式進(jìn)行,并對(duì)其第s個(gè)方程的數(shù)值積分的代數(shù)精度和截?cái)嗾`差進(jìn)行分析。

        考慮正則區(qū)間[0,1]上的均勻網(wǎng)格點(diǎn)分布

        (11)

        當(dāng)s=3時(shí),基于(2,3)-Padé逼近建立等式關(guān)系,可以求解得到B、d的表達(dá)式

        同理,當(dāng)?shù)胹=4時(shí),基于(3,4)-Padé逼近構(gòu)造計(jì)算格式的B、d系數(shù)矩陣表達(dá)式

        考慮CGL網(wǎng)格在正則區(qū)間[0,1]上的網(wǎng)格點(diǎn)分布如下

        (12)

        當(dāng)s=3時(shí),按照上述的構(gòu)造方法可以獲得相應(yīng)的B、d的表達(dá)式

        顯然,采用均勻網(wǎng)格的隱式單步塊方法的第s個(gè)方程可以用來作為數(shù)值積分公式,可以證明此時(shí)該數(shù)值積分公式就是著名的Newton-Cotes公式[13]。考慮采用CGL網(wǎng)格時(shí)得到新四點(diǎn)積分公式

        (13)

        式中:fk+i/4=f(tk+i/4,y(tk+i/4)),i=0,1,3,4。

        1.2 新四點(diǎn)積分公式的數(shù)值精度及穩(wěn)定性

        不失一般性,考慮一般多項(xiàng)式y(tǒng)′=xk在標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間[0,1]上的積分值,并采用式(13)計(jì)算其近似值,則

        (14)

        式中:ci=i/4,i=0,1,3,4;A0=A4=1/18;A1=A3=4/9。Rk[f]是新四點(diǎn)積分公式的截?cái)嗾`差??梢?,新四點(diǎn)積分公式的系數(shù)具有如下特征:

        不難驗(yàn)證當(dāng)k=0,1,2,3時(shí),Rk[f]≡0,當(dāng)k=4時(shí),R4[f]=1/480。因此,式(13)具有3階代數(shù)精度,且在任意積分區(qū)間[a,b]上截?cái)嗾`差為

        (15)

        為了對(duì)比,給出同階三點(diǎn)和四點(diǎn)Newton-Cotes公式的截?cái)嗾`差分別為

        (16)

        (17)

        由此可見,新四點(diǎn)積分公式具有更小的截?cái)嗾`差系數(shù)絕對(duì)值,因而數(shù)值積分的精度要優(yōu)于同階的Newton-Cotes公式。

        至此,利用式(13)完全可以采用王永等的思路實(shí)現(xiàn)式(2)中對(duì)Duhamel積分項(xiàng)的數(shù)值積分。

        采用4階顯式龍格-庫塔法計(jì)算預(yù)估值yk+i/4(i=1,3,4)如下

        (18)

        針對(duì)文獻(xiàn)[6]不足,文中所提出的改進(jìn)精細(xì)積分單步法,在計(jì)算量上改進(jìn)精細(xì)積分單步法也只需要進(jìn)行一次指數(shù)矩陣的精細(xì)積分即可,其余指數(shù)矩陣可通過矩陣乘法獲得。

        2 算例分析

        算例1 二自由度線性動(dòng)力學(xué)方程

        (19)

        將其整理為式(1)的形式,則有:

        (20)

        式中,初始值x(0)=[0,0,0,0]T。

        不同算法的仿真步長都取Δt=0.2 s,積分時(shí)程為10 s,預(yù)估公式都采用經(jīng)典四階Runge-Kutta法,分別采用本文方法(簡記為BM3)、精細(xì)積分-微分求積法(簡記為DQ4)和精細(xì)科茨法(精細(xì)積分法加辛普森公式簡記為NC2,精細(xì)積分法加3階代數(shù)精度的科茨公式簡記為NC3)求解結(jié)果的相對(duì)于解析解的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值R(x1)曲線如圖1所示。

        圖1 位移的絕對(duì)誤差曲線

        從圖1中可知,在代數(shù)精度相同的前提下,本文方法由于具有更小的截?cái)嗾`差系數(shù)絕對(duì)值,因而數(shù)值積分的精度更高。

        (21)

        式中:初值v1(0)=1.047 2;v2(0)=0。

        以橢圓積分得到該問題的解析解為基準(zhǔn),分別采用本文方法(BM3)和精細(xì)積分-微分求積法(簡記為DQ4)計(jì)算幅角v1,計(jì)算步長取Δt=0.01 s,相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果列入表1中。

        表1 幅角v1的數(shù)值結(jié)果對(duì)比(Δt=0.01 s)

        從表1可知,本文方法的計(jì)算精度要明顯高于精細(xì)積分-微分求積法,且與橢圓積分解完全吻合,這再次驗(yàn)證了本文方法在計(jì)算精度上的優(yōu)勢。

        算例3 考慮Van der Pol振子方程為

        (22)

        (23)

        表2 Van der Pol方程中x的計(jì)算結(jié)果對(duì)比(Δt=0.1 s)

        從表2可知,本文方法的計(jì)算結(jié)果可以與細(xì)分解保持小數(shù)點(diǎn)后六位保持一致,計(jì)算精度要明顯高于同階的精細(xì)積分-微分求積法和預(yù)估校正-辛?xí)r間子域法[14]。表3是此時(shí)本文算法和文獻(xiàn)[5]中算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比,從中可知本文算法的計(jì)算效率較高,這種優(yōu)勢隨著計(jì)算步數(shù)的增加表現(xiàn)得更為突出。

        表3 文獻(xiàn)[5]中單步法與本文單步法的計(jì)算時(shí)間比較

        圖2 Van der Pol振子位移軌跡(BM3)

        圖3 Van der Pol振子位移軌跡(TR)

        從圖2~3可知,對(duì)于非線性剛性Van der Pol振子方程,采用本文方法也可以獲得比較精確的數(shù)值解。這說明雖然本文方法嚴(yán)格上屬于顯式積分算法,但是相對(duì)于更適合求解剛性微分方程的隱式梯形算法依然具有較大的優(yōu)勢。

        算例4 考慮平方非線性的二自由度動(dòng)力方程為

        (24)

        (25)

        取待求變量的初值v1(0)=v2(0)=0.1,v3(0)=v4(0)=0。本文方法的步長分別在Δt=0.1 s和Δt=0.5 s時(shí),細(xì)分解和本文方法以及DQ4的數(shù)值結(jié)果比較如表4所示。

        表4 非線性二自由度動(dòng)力學(xué)方程x、y計(jì)算結(jié)果對(duì)比

        通過表4可知,本文方法在步長較小時(shí)有著與細(xì)分解相當(dāng)?shù)挠?jì)算精度,DQ4的計(jì)算精度與BM3相當(dāng),繼續(xù)將仿真步長擴(kuò)大五倍,BM3仍能取得與細(xì)分解較為接近的結(jié)果。

        3 結(jié) 論

        本文是對(duì)文獻(xiàn)[6]中思路的延續(xù)和改進(jìn),基于單步塊方法和精細(xì)積分法得出了如下的結(jié)論:

        (1) 采用均勻網(wǎng)格的單步塊方法構(gòu)造的數(shù)值積分公式即是Newton-Cotes公式;

        (2) 采用CGL網(wǎng)格的單步塊方法構(gòu)造的四點(diǎn)數(shù)值積分公式比同階代數(shù)精度的Newton-Cotes公式的數(shù)值積分精度要高;

        (3) 本文提出基于單步塊方法的改進(jìn)精細(xì)積分單步法比預(yù)估校正-辛?xí)r間子域法、文獻(xiàn)[5]中的單步法具有更高的計(jì)算精度和效率,比文獻(xiàn)[6]中的單步法計(jì)算精度要高,計(jì)算效率理論上兩者相當(dāng);

        (4) 結(jié)合文獻(xiàn)[6]中方法和改進(jìn)精細(xì)積分單步法可以構(gòu)成自適應(yīng)顯式精細(xì)積分單步法,該方法可以應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震碰撞反應(yīng)分析[17-18]。

        附錄A

        Padé逼近是一種有理數(shù)逼近,它克服了用多項(xiàng)式逼近大撓度函數(shù)效果不理想,而用冪函數(shù)(如Taylor級(jí)數(shù))逼近函數(shù)收斂性太差等缺點(diǎn)。記

        (A.1)

        Hm為m次多項(xiàng)式構(gòu)成的集合,則R(m,n)={R∶R=P(x)/Q(x);P(x)∈Hm,Q(x)∈Hn},分子為m次多項(xiàng)式,分母為n次多項(xiàng)式(除去恒為零的元素)的有理分式的集合。Padé逼近法是從冪級(jí)數(shù)出發(fā)獲得有理逼近的一種十分簡潔而且非常有效的方法,其基本思想是對(duì)于一個(gè)給定的形式冪級(jí)數(shù),構(gòu)造一個(gè)有理函數(shù),使該有理函數(shù)的Taylor展開有盡可能多的項(xiàng)和原來的冪級(jí)數(shù)相吻合。其具體定義如下

        定義:如果有理函數(shù)R=P(x)/Q(x)滿足f(x)-P(x)/Q(x)=Ο(xm+n+1),Q(0)=1,則稱P(x)/Q(x)為f(x)在R(m,n)中的Padé逼近,記為(m,n)f。

        依據(jù)Padé逼近的定義,f(x)的(m,n)-Padé逼近也可以理解為由方程

        qm(x)f(x)-pn(x)=Ο(xm+n+1)

        (A.2)

        解出f(x)所得的近似式。

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