徐笑吟 劉勝帥? 荊杰泰2)3)4)?

1) (華東師范大學(xué),精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200062)

2) (中國科學(xué)院超強(qiáng)激光科學(xué)卓越創(chuàng)新中心,上海 201800)

3) (浙江大學(xué)物理學(xué)系,杭州 310027)

4) (山西大學(xué),極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

雙模糾纏態(tài)是量子信息領(lǐng)域一種重要的量子資源,本文基于四波混頻過程從理論上提出了對(duì)雙模糾纏態(tài)的單個(gè)模式(單模放大方案)和對(duì)雙模糾纏態(tài)的兩個(gè)模式(雙模放大方案)的放大.利用光學(xué)分束器模型來模擬在光學(xué)傳輸過程中損耗引入的真空?qǐng)鲈肼?利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)分析了兩種不同的放大方案中四波混頻過程的增益對(duì)初始雙模糾纏態(tài)的糾纏程度的影響.結(jié)果表明,在特定的損耗情況下,兩個(gè)方案中初始雙模糾纏態(tài)的糾纏度都隨增益的增大而減小,直至消失,且雙模放大方案中初始雙模糾纏態(tài)糾纏消失得比單模放大方案中更快.本文的理論結(jié)果為實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)基于四波混頻過程的雙模糾纏態(tài)的放大奠定了理論基礎(chǔ).

1 引言

量子糾纏是量子物理中一個(gè)十分重要的非經(jīng)典資源[1],在量子信息領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景[2,3].對(duì)于雙模糾纏態(tài)Einstein-Podolsky-Rosen (EPR),由于兩個(gè)模式之間存在關(guān)聯(lián)特性,對(duì)其中一束光的測(cè)量必然會(huì)影響另一束光.基于此特性,利用雙模糾纏態(tài)可以實(shí)現(xiàn)一些經(jīng)典手段無法實(shí)現(xiàn)的任務(wù)[4-10].因此,雙模糾纏態(tài)受到了學(xué)術(shù)界的持續(xù)關(guān)注,對(duì)雙模糾纏態(tài)的研究在分離變量和連續(xù)變量領(lǐng)域取得了一系列研究成果.如1997 年,Zeilinger 研究組[11]利用雙模糾纏態(tài)在實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了光子的隱形傳態(tài).1998 年,Kimble 研究組[12]在連續(xù)變量中實(shí)現(xiàn)了無條件量子隱形傳態(tài).2002 年,彭堃墀教授團(tuán)隊(duì)[13]利用光場(chǎng)的正交振幅和正交相位,實(shí)現(xiàn)了兩組份連續(xù)變量高通道容量量子密集編碼.

目前已經(jīng)證明,在85Rb 蒸氣池中的四波混頻過程是產(chǎn)生雙模糾纏態(tài)的一項(xiàng)很有前景的技術(shù)[14-17].這種四波混頻過程在產(chǎn)生雙模糾纏態(tài)上有很多優(yōu)勢(shì).例如,四波混頻過程具有強(qiáng)的非線性相互作用強(qiáng)度,不需要外部腔的耦合,因此具有空間多模的特性.基于以上優(yōu)點(diǎn),這種四波混頻過程被廣泛應(yīng)用于量子信息[18-20]和量子精密測(cè)量[21-23].如2009年,美國Lett 研究組[24]利用四波混頻過程實(shí)現(xiàn)了EPR 糾纏光束延遲,證明了銣原子池可以作為信息存儲(chǔ)器對(duì)信息進(jìn)行短時(shí)間存儲(chǔ).2015 年,Pooser研究組[25]利用四波混頻過程在兩通道之間建立量子關(guān)聯(lián),實(shí)現(xiàn)了表面等離子共振傳感器靈敏度的顯著提高.同時(shí),基于類原子系綜的多波混頻過程及基于其他原子系綜的四波混頻過程也被證明可以用來產(chǎn)生量子壓縮[26-29].最近,四波混頻過程被證明可以構(gòu)建一個(gè)低噪聲放大器[30].然而,通過四波混頻構(gòu)建的放大器放大雙模糾纏態(tài)并沒有被系統(tǒng)地研究.本文從理論上提出了兩種方案,第一種方案是四波混頻產(chǎn)生雙模糾纏態(tài)的其中一個(gè)模式通過另外一個(gè)四波混頻過程放大,第二種方案是四波混頻產(chǎn)生雙模糾纏態(tài)的兩個(gè)模式分別通過兩個(gè)四波混頻過程放大.由于實(shí)驗(yàn)中光束在傳輸過程中會(huì)發(fā)生損耗,因此有必要在上述兩種方案中加入由環(huán)境帶來的真空?qǐng)鲈肼?同時(shí),采用部分轉(zhuǎn)置正定(PPT)判據(jù)[31,32]從理論上分析了在特定的傳輸損耗下,兩個(gè)方案中放大增益對(duì)初始雙模糾纏態(tài)糾纏特性的影響.證明了在確定的傳輸損耗下,兩種方案中初始雙模糾纏態(tài)的糾纏特性都隨四波混頻過程增益的增大而降低,而當(dāng)增益增大到一定值時(shí)初始雙模糾纏態(tài)的糾纏特性會(huì)消失,且在雙模放大方案中比單模放大方案中消失得更快.

2 單模放大方案

2.1 理論模型

圖1(a) 是對(duì)EPR 光束的單個(gè)模式進(jìn)行放大的結(jié)構(gòu)示意圖.利用一個(gè)頻率非簡(jiǎn)并的四波混頻過程產(chǎn)生了一個(gè)雙模糾纏態(tài)并對(duì)其中一個(gè)模式進(jìn)行放大.在這里,系統(tǒng)在四波混頻過程中發(fā)生的損耗可以看成是原光束和真空光束入射到一個(gè)光學(xué)分束器中引入的真空?qǐng)鲈肼?圖1(b)是單個(gè)四波混頻過程的能級(jí)圖,Δ和δ分別對(duì)應(yīng)單光子失諧和雙光子失諧.泵浦光同時(shí)驅(qū)動(dòng)了兩個(gè)基于基態(tài)F=2和F=3 的能級(jí)躍遷,湮滅兩個(gè)泵浦光子的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)探針光子和一個(gè)共軛光子.其中探針光相對(duì)于泵浦光具有3.04 GHz 的紅移,共軛光相對(duì)于泵浦光具有3.04 GHz 的藍(lán)移.在考慮損耗的情況下,第1 個(gè)四波混頻過程的輸入輸出關(guān)系是[19,33]

圖1 一種對(duì)EPR 光束進(jìn)行單模放大的方案 (a) 對(duì)EPR 光束進(jìn)行單模放大的系統(tǒng)簡(jiǎn)圖;(b) 85Rb D1 線的雙Λ 能級(jí)結(jié)構(gòu)Fig.1.A scheme for single-mode amplification of EPR beams:(a) Simplified diagram of single-mode amplification of EPR beams;(b) double-Λ energy level structure of 85Rb D1 line.

其中G1是第一個(gè)四波混頻過程(FWM1) 的增益,0和0是真空注入,1和1是第一個(gè)四波混頻過程產(chǎn)生的探針光束和共軛光束,表示真空?qǐng)龅匿螠缢惴?η1和η2分別表示1和1的傳輸效率.接著將探針光束1作為第二個(gè)四波混頻過程(FWM2)的種子光,與泵浦光束 Pump2注入到第二個(gè)熱85Rb 蒸氣池中,產(chǎn)生放大后的探針光束2.在考慮損耗的情況下,第二個(gè)四波混頻過程的輸入輸出關(guān)系為

其中G2是第二個(gè)四波混頻過程的增益,2是放大后的探針光束,分別表示真空?qǐng)龅漠a(chǎn)生算符和湮滅算符,η3表示2的傳輸效率.此方案中放大后的探針光束2和原來的共軛光束1是相互關(guān)聯(lián)的,后面會(huì)通過研究之間的糾纏度與四波混頻過程增益的關(guān)系來揭示增益對(duì)初始雙模糾纏態(tài)的影響.

在量子光學(xué)中,光場(chǎng)的性質(zhì)可以用正交振幅算符和正交相位算符來刻畫.在這里,分別把正交振幅算符和正交相位算符定義為

雙模糾纏態(tài)的量子特性可以完全被協(xié)方差矩陣描述,定義正交振幅協(xié)方差為,類似地可以得到正交相位的協(xié)方差.正交振幅和相位算符又是相互正交的,即.因此,這種單模放大方案輸出的關(guān)聯(lián)模式的協(xié)方差可以寫為

2.2 糾纏特性分析

對(duì)于產(chǎn)生兩個(gè)關(guān)聯(lián)模式的體系,部分轉(zhuǎn)置正定(PPT)判據(jù)是一個(gè)充分必要的判據(jù),來描述系統(tǒng)的糾纏特性.它被描述為:如果系統(tǒng)的部分轉(zhuǎn)置協(xié)方差矩陣的最小辛本征值λ小于1,則存在兩個(gè)模式之間的糾纏[31,32].而一個(gè)包含N個(gè)模式的量子態(tài)的協(xié)方差矩陣是一個(gè)2N階的方陣,因此可以將上述單模放大方案中探針光束和共軛光束的協(xié)方差矩陣(σ)寫為σ=〈ξξT〉,其中,因此協(xié)方差矩陣的表達(dá)式為[31,32]

將(5)式代入到(6)式的協(xié)方差矩陣中,并對(duì)其進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置處理,再求其最小辛本征值.若最小辛本征值小于1,則表明兩個(gè)輸出的關(guān)聯(lián)模式之間存在糾纏.此外,最小辛本征值越小,說明光束之間的糾纏程度越好.由(6)式求出的最小辛本征值與G1,G2,η1,η2和η3有關(guān),表達(dá)式為

單個(gè)四波混頻過程已經(jīng)被確認(rèn)可以產(chǎn)生雙模糾纏態(tài),即對(duì)任何G1＞1,單個(gè)四波混頻過程產(chǎn)生的EPR 光束的最小辛本征值都小于1.在實(shí)驗(yàn)上,探針光和共軛光的傳輸損耗一般為20% 和10%,因此本文將1,1和2的傳輸效率分別設(shè)定為η1=0.8,η2=0.9和η3=0.8,來模擬實(shí)驗(yàn)中光束的傳輸損耗.下面固定G1,研究2和1兩個(gè)關(guān)聯(lián)光束的糾纏特性與G2的關(guān)系.圖2 中的3 條曲線分別是當(dāng)G1=1.5,G1=2.5,G1=50.0 時(shí)將PPT判據(jù)應(yīng)用于光束2和1的最小辛本征值(smallest symplectic eigenvalue).在圖2 中,2和1之間的糾纏強(qiáng)度隨增益G2的增大而減小.此外還可以看出,當(dāng)G2增大到一定值后若繼續(xù)增大,最小辛本征值將大于1,表明在特定的真空噪聲影響下,對(duì)第一個(gè)四波混頻過程產(chǎn)生的EPR 光束進(jìn)行單模放大后,初始雙模糾纏態(tài)的糾纏性質(zhì)會(huì)隨著增益的增大而減小,直至糾纏特性消失.

圖2 G1不同的情況下單模放大方案最小辛本征值與G2的關(guān)系Fig.2.Relationship between the smallest symplectic eigenvalue and G2 of the single-mode amplification scheme under different value of G1.

3 雙模放大方案

3.1 理論模型

圖3 是對(duì)EPR 光束的兩個(gè)模式分別進(jìn)行放大的結(jié)構(gòu)示意圖.0和0是真空態(tài),與泵浦光束Pump1共同注入到第一個(gè)熱85Rb 蒸氣池中.1和1分別是第一個(gè)四波混頻過程(FWM1)產(chǎn)生的探針光束和共軛光束.將這兩個(gè)EPR 光束分別與兩個(gè)泵浦光束(Pump2和Pump3)作為第二個(gè)四波混頻過程(FWM2)和第三個(gè)四波混頻過程(FWM3)的注入,產(chǎn)生了被放大的探針光束2和共軛光束2.令第一個(gè)四波混頻過程的增益為G1,第二和第三個(gè)四波混頻過程的增益都為G2.在考慮損耗的情況下,令1,1,2和2的傳輸效率分別為η1,η2,η3和η4,則這種雙模放大結(jié)構(gòu)的輸入輸出關(guān)系為其中2和2分別是被放大的探針光束和共軛光束的湮滅算符,1,2,5和6表示真空?qǐng)龅匿螠缢惴?表示真空?qǐng)龅漠a(chǎn)生算符.此方案中放大后的探針光束2和共軛光束2也是相互關(guān)聯(lián)的,2和2之間的糾纏特性在接下來會(huì)被研究.

圖3 一種對(duì)EPR 光束進(jìn)行雙模放大的方案Fig.3.A scheme for two-mode amplification of EPR beams.

3.2 糾纏特性分析

將(9)式代入到(6)式中,并進(jìn)行部分轉(zhuǎn)置處理,得到的最小辛本征值與G1,G2,η1,η2,η3和η4有關(guān),表達(dá)式為

圖4 G1不同的情況下雙模放大方案最小辛本征值與G2的關(guān)系Fig.4.Relationship between the smallest symplectic eigenvalue andG2 of the two-mode amplification scheme under different value of G1.

4 結(jié)論

本文基于四波混頻過程從理論上提出了對(duì)EPR 糾纏光束的其中一個(gè)模式進(jìn)行放大和對(duì)兩個(gè)模式同時(shí)進(jìn)行放大的方案,在考慮放大過程中損耗引入的真空?qǐng)鲈肼暤那闆r下,計(jì)算分析了兩個(gè)方案中輸出模式的量子糾纏特性.利用部分轉(zhuǎn)置正定判據(jù)研究了兩個(gè)方案的放大增益對(duì)初始雙模糾纏態(tài)糾纏程度的影響.結(jié)果表明在特定的真空?qǐng)鲈肼曈绊懴?當(dāng)放大EPR 光束的強(qiáng)度增益處于一定范圍內(nèi)時(shí),單模放大方案和雙模放大方案中初始雙模糾纏態(tài)的糾纏特性可以保持,并且增益越大,糾纏越弱,直至糾纏消失.另外,通過比較兩種方案中初始雙模糾纏態(tài)隨增益的變化,可以看出雙模放大方案中初始雙模糾纏態(tài)的糾纏比在單模放大方案中消失得更快.本文的理論計(jì)算結(jié)果為實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)EPR 光束的放大提供了可靠的理論依據(jù).