趙 亮 趙 耿, 馬英杰

1(西安電子科技大學(xué) 陜西 西安 710000)2(北京電子科技學(xué)院 北京 100070)

0 引 言

自1963年Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個混沌系統(tǒng)以來，混沌已經(jīng)被許多研究者廣泛研究。隨著研究的深入，人們逐漸認(rèn)識到混沌運動的重要性。人們還發(fā)現(xiàn)混沌有許多實際應(yīng)用，如安全通信、化學(xué)反應(yīng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和經(jīng)濟學(xué)。當(dāng)混沌是有害的時，人們需要混沌控制來抑制甚至消除混沌；相應(yīng)地，當(dāng)需要混沌時，需要混沌反控制來增強混沌，使系統(tǒng)完全混沌。

在混沌系統(tǒng)的眾多特征中，正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)和系統(tǒng)全局有界是兩個應(yīng)用廣泛的混沌判據(jù)，Lyapunov指數(shù)是不定維空間中相鄰運動軌道平均指數(shù)發(fā)散強度的一種數(shù)值特征，具有多個正Lyapunov指數(shù)和唯一正Lyapunov指數(shù)的混沌吸引子相比，超混沌吸引子同時向兩個或多個方向擴展[1-3]。對于一個離散的混沌系統(tǒng)，當(dāng)這個系統(tǒng)的正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)等于系統(tǒng)維數(shù)，并且系統(tǒng)全局有界時，可以稱其為無退化混沌系統(tǒng)。但在連續(xù)混沌系統(tǒng)中，需要同時配置正、負(fù)和零的Lyapunov指數(shù)，所以要保證其Lyapunov指數(shù)中有一個為零，一個為負(fù)，其余全部為正，并且系統(tǒng)全局有界，這樣就可以稱其為無退化混沌系統(tǒng)。無退化混沌系統(tǒng)的各方面特性遠(yuǎn)優(yōu)于存在退化的混沌系統(tǒng)，這也是眾多學(xué)者研究無退化混沌系統(tǒng)的原因。

混沌系統(tǒng)的退化可能直接影響混沌加密系統(tǒng)的安全性[4]。目前，解決這一問題的方法有多種，對于連續(xù)時間混沌系統(tǒng)，主要包括狀態(tài)反饋控制方法[5-6]、試錯法[7]、弱耦合技術(shù)[8-9]和參數(shù)擾動[10]。雖然已經(jīng)提出了一些相關(guān)的方法來解決一些連續(xù)時間混沌系統(tǒng)的產(chǎn)生問題，但大多數(shù)方法仍然遵循傳統(tǒng)的試錯法。該方法很難設(shè)計出高維混沌系統(tǒng)，也不能從理論上真正解決這一具有挑戰(zhàn)性的研究課題。

文獻(xiàn)[11]提出了一種配置多個正Lyapunov指數(shù)的方法，其通過給定受控系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入控制器，改變該受控系統(tǒng)的雅可比矩陣，該方法實現(xiàn)的目標(biāo)就是使受控系統(tǒng)的正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)達(dá)到最大，得到無退化的混沌系統(tǒng)。文獻(xiàn)[12]提出了一種對受控系統(tǒng)加入控制器得到高維無退化混沌系統(tǒng)的方法，該方法給定一個矩陣，通過對其相似變換得到想要的受控系統(tǒng)。由于受控系統(tǒng)是所給出的指定系統(tǒng)，對于每個維度，受控系統(tǒng)是同一個系統(tǒng)，即對于任給一個受控系統(tǒng)，該方法將不能適用。本文提出了一種新的Lyapunov指數(shù)配置方法，對于全局有界系統(tǒng)，根據(jù)Shilnikov定理，配置零和負(fù)Lyapunov指數(shù)很容易[13-17]，當(dāng)系統(tǒng)的特征值具有r(r≤2)個正實部時，系統(tǒng)將能夠產(chǎn)生r個正Lyapunov指數(shù)[14-17]。對于任意的受控系統(tǒng)，通過引入兩個控制器，改變受控系統(tǒng)雅可比矩陣，配置系統(tǒng)矩陣的特征值與相對應(yīng)的特征向量來配置正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)，使系統(tǒng)的正Lyapunov指數(shù)個數(shù)達(dá)到最大，從而達(dá)到系統(tǒng)無退化的目的。因為本文方法對于任意受控系統(tǒng)都能適用，故相比文獻(xiàn)[11-12]方法通用性更強。

1 系統(tǒng)的超混沌系統(tǒng)配置方法

對于如下一個n維的連續(xù)時間線性系統(tǒng)：

(1)

(2)

接下來，本文設(shè)計了一個線性反饋控制器Bx，使得控制系統(tǒng)的原點為一個漸近穩(wěn)定的不動點；以及設(shè)計了一個合適的非線性反饋控制器f(σx,ε)，使得控制系統(tǒng)能夠產(chǎn)生無退化的混沌行為:

(3)

Bx是一個線性反饋控制器，其中矩陣B為：

定義設(shè)A是n階方陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使關(guān)系式Ax=λx成立，那么這樣的數(shù)λ稱為矩陣A特征值，非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。

Ax=λx也可寫成(A-λE)x=0,它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A-λE|=0，即:

這意味著對于式(1)中給定n的階方陣A，要配置指定的特征值，只須將矩陣A中n(n-1)個元素和給定的特征值λ1、λ2、…、λn代入上式，剩下的n個元素作為未知量，就可以得到一組方程，如下所示：

(4)

這個n維方程組中有n個未知數(shù)，因此一定有解，求解這個方程組可以得到剩余的n個元素，并用這些n個元素替換A中相應(yīng)的元素，得到具有指定特征值的矩陣。

如上所述，矩陣的所有特征值都可以配置為任意值。因此，控制器Bx可以用來配置A+B的特征值，使得Ax+Bx的原點是漸近穩(wěn)定的不動點。接下來，令：

(5)

假設(shè)控制器只包含一個非線性函數(shù)?？紤]到耗散，控制器不應(yīng)影響矩陣A的主對角線，因此可以選擇：

(6)

式中：fi是狀態(tài)變量x的第i個元素；xj(i≠j)是狀態(tài)變量x的第j個元素。顯然，這不會影響A的主對角線。接下來，設(shè):

fi(σxj,ε)=εsin(σxj)i,j=1,2,…,ni≠j

(7)

式中：ε、σ為可以調(diào)整的控制器參數(shù)。

容易證明式(3)的所有解都是全局有界的[18]，區(qū)間如下所示：

(8)

式中：ε、σ是常數(shù);x(0)是初始值。

(9)

式中：e=0,±1,…。

由式(9)，本文定義如下行列式：

(10)

k=1,2,…,n

(11)

k=1,2,…,n

由式(11)可以得到：

(12)

其中K為斜率，其計算如下：

(13)

(14)

(15)

然后，令斜率|K|?1。假設(shè)所有的平衡分布非常接近水平軸，所以cos(σxj)≈±1(e=0,±1,…,±E/2)。

因此，式(3)的系統(tǒng)只包含兩種鞍焦點平衡，相應(yīng)的雅可比矩陣如下：

(16)

詳細(xì)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)如下：

(1) 全局有界設(shè)計準(zhǔn)則。使標(biāo)稱系統(tǒng)Cx為漸近穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，式(6)所示的非線性反饋控制器一致有界。然后，式(2)的n維控制系統(tǒng)是全局有界且滿足式(8)區(qū)間。

(2) Lyapunov指數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則。設(shè)計控制系統(tǒng)(式(2))滿足以下條件：對于n維連續(xù)系統(tǒng)，所有平衡點對應(yīng)的特征值至少具有r=n-2個正實部和r=n-2個不同的發(fā)散方向。因此，式(2)的n維控制系統(tǒng)具有L=n-2個正Lyapunov指數(shù)。

具體的設(shè)計步驟如下：

1) 對于任意一個連續(xù)系統(tǒng)(式(1))，設(shè)計一個合適的控制器Bx，該控制器可以將標(biāo)稱系統(tǒng)Ax+Bx配置為以原點為穩(wěn)定焦點的漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)。需要保證λ1,λ2,…,λn的實部為負(fù)，使其穩(wěn)定焦點為原點，由式(4)得到了一個方程組如式(17)所示。

(17)

其中λ1,λ2,…,λn可以任意給定，只需要保證其實部均為負(fù)，所以這個方程組只有b1,b2,…,bn為未知數(shù)，所以該方程組一定有解。

2) 設(shè)計合適的控制器式(6)、式(7)，上述控制系統(tǒng)可通過調(diào)節(jié)參數(shù)ε和σ有效控制。具體地說，對于式(16)所示的雅可比矩陣，特征值的正實部的個數(shù)是確定的。同樣地，由式(4)可以得到：

(18)

(19)

同樣，λ′1,λ′2,…,λ′n和λ″1,λ″2,…λ″n為任意給定的值，根據(jù)Lyapunov指數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則，本文只需要保證其實部為r1=n-1和r2=n-2。這兩個方程組的未知數(shù)都只有b1,b2,…,bn和εσ，共n+1個，所以式(18)、式(19)也一定有解。

3) 聯(lián)立式(17)、式(18)、式(19)三個方程組，有3n個方程，只有n+1個未知數(shù)，理論上解有無數(shù)組。求解這三組方程，就能得到線性反饋控制器Bx以及非線性反饋控制器f(σx,ε)。

4) 對于得到的系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的簡并度d>0，返回步驟3)，得到另一組解。當(dāng)d=0時，整個循環(huán)停止。最后，正Lyapunov指數(shù)的數(shù)目達(dá)到最大值L=n-2。

2 有兩個正Lyapunov指數(shù)的四維混沌系統(tǒng)

給定一個四維連續(xù)系統(tǒng)：

其中，假定系統(tǒng)矩陣為:

設(shè)非線性反饋控制器為:

由式(3)，可以得到：

由具體設(shè)計步驟1)-步驟2)，能得到三組方程如下：

由具體設(shè)計步驟3)，得到一組解εσ=225，

由于在求解方程之前，所有矩陣特征值已被設(shè)置為滿足設(shè)計準(zhǔn)則，令ε=15和σ=15，則受控矩陣的正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)是L=min{r1,r2}=2，也就是說，該混沌系統(tǒng)具有兩個正Lyapunov指數(shù)，該系統(tǒng)是一個無退化混沌系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 四維無退化混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

3 混沌系統(tǒng)量化與性能分析

3.1 混沌序列的生成

為了生存混沌序列密碼，必須將混沌系統(tǒng)的輸出x(t)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的序列S(t)。因此引入不可逆函數(shù)Tn(x(t))，轉(zhuǎn)換函數(shù)Tn(x(t))的定義如下：

(20)

3.2 混沌序列性能分析

3.2.1游程測試

游程是指序列中連續(xù)不間斷的同一比特所構(gòu)成的子序列。游程測試的目的是計算待測序列中游程的個數(shù)，判斷“0”或“1”的游程個數(shù)是否與隨機序列相近似。若以20 000比特長度的序列進(jìn)行游程測試，如果各個游程長度所對應(yīng)的子序列個數(shù)與滿足相應(yīng)的范圍要求，則可以認(rèn)為通過測試。表1為游程測試的范圍要求和結(jié)果對比。

表1 游程測試

3.2.2相關(guān)性檢驗

相關(guān)性包括序列自相關(guān)性和互相關(guān)性。

序列的均值為：

(21)

式中：S(t)為系統(tǒng)輸出的二值序列。

設(shè)S′、S″為兩個混沌二值序列，k為整數(shù)。如果自相關(guān)函數(shù)r(k)滿足：r(k)=0(k≠0)；互相關(guān)函數(shù)p(k)滿足：p(k)→0，則序列通過檢驗。γ(k)、p(k)計算如下：

(22)

(23)

序列的相關(guān)性函數(shù)如圖2所示。

圖2 方案一相關(guān)性函數(shù)

3.2.3初值敏感性測試

對初值微小改變后，序列變化率能反映序列的產(chǎn)生對初值的敏感性。理想情況下，序列變化率應(yīng)為50%。本文在原初值的基礎(chǔ)上增加10-10，仿真得到變化率為49.97%，由此可知，序列的產(chǎn)生有很強的初值敏感性。

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于改變矩陣特征值配置具有多個正Lyapunov指數(shù)連續(xù)混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法。通過引入兩個反饋控制器，配置任意受控系統(tǒng)軌道全局穩(wěn)定，并且將正Lyapunov指數(shù)的個數(shù)配置為最大。通過本文方法，將配置正Lyapunov指數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為求解方程組。如果受控系統(tǒng)任意給定，按照本文方法能夠很好地配置正Lyapunov指數(shù)。之后對無退化混沌系統(tǒng)進(jìn)行量化，經(jīng)過性能分析，量化后的序列能很好地應(yīng)用在序列密碼之中。