翟亞利 張志華 邵松世

（1.海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部 武漢 430033）（2.海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院 武漢 430033）

1 引言

備件是艦船裝備維修保障的重要物質(zhì)資源，為實(shí)現(xiàn)備件的精確化保障，一方面需要準(zhǔn)確掌握備件需求規(guī)律，科學(xué)配置隨艦備件和周轉(zhuǎn)備件，以提高備件保障的滿足程度；另一方面需要有效控制備件配置規(guī)模，有效降低艦船裝備維修保障成本。因此，在艦船裝備備件保障過程中，以備件利用率作為精確化保障的重要度量指標(biāo)，通過有效評估備件利用率，可以優(yōu)化備件的種類和數(shù)量，對提高裝備維修保障效益具有重要意義。

近年來，備件保障能力評估［1～2］與備件配置優(yōu)化［3～4］作為備件保障研究的重要內(nèi)容，受到人們的極大重視，取得了大量研究成果［5～6］。尤其是在備件保障能力度量方面，針對備件保障的計(jì)劃制定、籌措、儲(chǔ)備和供應(yīng)等不同保障環(huán)節(jié)建立起了備件保障能力度量指標(biāo)體系，如常用的使用可用度［7～8］，備件保障概率［9～10］、備件滿足率［11］、備件利用率［12］等；同時(shí)針對不同備件所能夠收集到的信息特點(diǎn)，學(xué)者們給出相應(yīng)的備件保障指標(biāo)評估方法，并在備件配置優(yōu)化等方面進(jìn)行了有益的探討［8，11］。在備件保障指標(biāo)的眾多研究中，人們對備件保障概率等度量指標(biāo)關(guān)注較多，對備件利用率的研究較少，能夠收集到的文獻(xiàn)也很少［12～15］。目前，在對備件利用率的理論研究方面，主要是定性分析備件利用率的影響因素，而較少涉及研究備件利用率與其他備件保障指標(biāo)（如備件滿足率、備件保障概率等）之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。如文獻(xiàn)［12］給出備件利用率的積分計(jì)算公式，并結(jié)合實(shí)例分析了備件利用率與備件滿足率之間的數(shù)量關(guān)系及變化趨勢，但并沒有給出方便工程使用的數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)［13］基于工程實(shí)際給出了備件利用率的估算方法，但該估算結(jié)果和仿真結(jié)果之間存在較大誤差。文獻(xiàn)［14］利用單項(xiàng)法和系統(tǒng)法分析了備件利用率的影響因素，指出了提高備件利用率的相關(guān)措施建議。文獻(xiàn)［15］通過分析備件故障后的修復(fù)運(yùn)轉(zhuǎn)過程，將可修復(fù)備件處于完好狀態(tài)與修復(fù)狀態(tài)的時(shí)間占比作為利用率，建立了可修復(fù)備件的利用率預(yù)計(jì)模型，用于維修站點(diǎn)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。總體上來看，目前還沒有建立備件利用率與備件保障概率之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。因此，有必要對艦船裝備備件利用率進(jìn)行分析，深入探討備件利用率與備件保障概率之間的關(guān)系，這對艦船備件配置優(yōu)化具有重要指導(dǎo)意義。

本文在備件壽命服從指數(shù)分布的假設(shè)下，對艦船裝備備件利用率的概率模型及其工程估計(jì)方法進(jìn)行研究。首先，依據(jù)備件利用率的統(tǒng)計(jì)定義，建立了備件利用率的概率模型，該模型在備件配置數(shù)量給定的條件下，給出了備件利用率與備件保障概率之間的定量關(guān)系；其次，分析了備件利用率的性質(zhì)及其變化規(guī)律，從理論上解釋了艦船裝備隨艦備件利用率不高的原因，研究了艦船備件利用率的適用性及其工程意義；進(jìn)而，給出了基于備件保障概率的利用率工程估計(jì)方法，通過數(shù)值計(jì)算的方法分析了工程估計(jì)方法的近似精度，為工程使用提供依據(jù)；最后，通過實(shí)例分析說明工程估計(jì)方法的應(yīng)用場景及工程意義。

2 備件利用率的概率模型及性質(zhì)

2.1 備件利用率概率模型

由國軍標(biāo)GJB1909A-2009《裝備可靠性維修性保障性要求論證》可知，備件利用率就是在規(guī)定的級別上和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，實(shí)際使用的備件數(shù)與該級別實(shí)際擁有的備件數(shù)之比。設(shè)艦船備件均為不可修件，其壽命服從故障率為λ的指數(shù)分布。當(dāng)該艦船備件配置有m(≥1)個(gè)時(shí)，在規(guī)定保障任務(wù)時(shí)間T內(nèi)的備件利用率Y為

其中X為保障任務(wù)時(shí)間T內(nèi)實(shí)際需要的備件數(shù)，即備件的實(shí)際需求個(gè)數(shù)。這里假定m≥1，這是因?yàn)楫?dāng)m=0表示不配置備件，此時(shí)并不需要研究備件的利用率。

顯然，式（1）是從統(tǒng)計(jì)的角度給出的備件利用率定義，適合于裝備維修保障活動(dòng)的統(tǒng)計(jì)分析工作。但在實(shí)際艦船備件供應(yīng)保障規(guī)劃和隨艦攜行配置方案制定時(shí)，由于此時(shí)備件保障活動(dòng)尚未實(shí)施，給備件供應(yīng)保障規(guī)劃或隨艦攜行方案制定帶來很大不便。

結(jié)論1：假設(shè)備件壽命服從故障率為λ的指數(shù)分布，在保障任務(wù)時(shí)間T內(nèi)配置m個(gè)備件，則在保障任務(wù)時(shí)間T內(nèi)備件利用率Y的數(shù)學(xué)期望L(m ，T)為

證明：由于備件壽命服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，因此，其在保障任務(wù)時(shí)間T內(nèi)的故障次數(shù)X服從Poisson分布，即

由此可得式（1）的數(shù)學(xué)期望為

結(jié)論1表明，備件利用率的大小由備件平均故障數(shù)（λT）和備件配置數(shù)量m共同決定。其中平均故障數(shù)實(shí)際上是備件在保障任務(wù)時(shí)間內(nèi)的故障次數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即備件的故障率與工作強(qiáng)度的乘積 λT 。

2.2 備件利用率的性質(zhì)

結(jié)論2：在給定備件配置數(shù)量m(m≥1)的情況下，備件利用率L(m，T)是平均故障數(shù) λT的增函數(shù)。在固定平均故障數(shù)λT的情況下，備件利用率L(m，T)是備件配置數(shù)量的減函數(shù)，即

首先證明在給定備件配置數(shù)量m(m≥1)的情況下備件利用率是平均故障數(shù)的增函數(shù)。事實(shí)上，由于，則式（2）可改寫為如下形式：

式（6）對 λT 求導(dǎo)，得到：

由此可見，在給定備件配置數(shù)量m(m≥1)的情況下備件利用率L(m，T)是平均故障數(shù)的增函數(shù)。

對于不等式（5），由于

即，在固定平均故障數(shù)λT的情況下，備件利用率L(m，T)是備件配置數(shù)量的減函數(shù)。

需要說明的是，利用式（7）還可以得到備件利用率的積分表達(dá)式：

該表達(dá)式正是文獻(xiàn)［12］給出的結(jié)論。

3 備件利用率的工程分析

利用備件利用率的概率模型及其性質(zhì)，可以方便地分析備件利用率的取值范圍，并用于分析備件利用率的工程意義及其適用范圍。

3.1 備件利用率的上限及工程意義

結(jié)論3：在給定備件配置數(shù)量m時(shí)，其備件利用率L(m，T)滿足如下不等式：

進(jìn)一步，為方便估計(jì)備件利用率，上述不等式可簡化為

事實(shí)上，由于備件保障概率 P(m-1，T)＜P(m，T)，由式（2）可方便得到不等式（9）。對于不等式（10），考察式（6），取該式右邊的前三項(xiàng)得到不等式（10）。顯然，在備件的平均故障數(shù)給定的條件下，利用不等式（10）可方便地估計(jì)出備件利用率的上限。

結(jié)論3表示的工程意義是：在給定的保障任務(wù)時(shí)間內(nèi)，當(dāng)保障對象的平均故障數(shù)λT較小時(shí)，其對應(yīng)的備件利用率也較?。ㄈ绫?所示）。

表1 不同備件配置數(shù)與不同平均故障數(shù)下對應(yīng)的備件利用率上限值

利用結(jié)論3可以較好地解釋隨艦備件利用率低下的原因。對于隨艦備件而言，根據(jù)裝備可靠性的相關(guān)統(tǒng)計(jì)結(jié)果［17］來看，在大多數(shù)裝備所配備的備件中，半數(shù)以上備件在一年內(nèi)的平均故障數(shù)λT小于0.1，因此，對于半數(shù)以上裝備的隨艦備件而言，其備件利用率將低于9.52%。這說明目前隨艦備件利用率統(tǒng)計(jì)結(jié)果偏低的現(xiàn)象不是偶然現(xiàn)象。隨著裝備可靠性水平的不斷提高，其隨艦備件利用率將會(huì)越來越低。

通過上述分析可以看出，在制定隨艦備件配置方案時(shí)，應(yīng)優(yōu)先配置對裝備戰(zhàn)備完好性有較大影響的備件，在有多個(gè)隨艦配置方案的情況下，備件利用率可作為輔助指標(biāo)用來比較不同方案的優(yōu)劣。

3.2 備件利用率的下限及其工程意義

由式（5）可知，在給定備件平均故障數(shù) λT的情況下，隨著備件數(shù)量的增加，備件利用率將隨之下降。即當(dāng)備件數(shù)量為m時(shí)，L(m+1，T)是備件利用率L(m，T)的一個(gè)下限，同時(shí)有如下不等式：

上述結(jié)論表示的工程意義是：在給定的保障任務(wù)時(shí)間內(nèi)，當(dāng)保障對象的平均故障數(shù)λT較大時(shí)，其對應(yīng)的備件利用率也應(yīng)很大。

根據(jù)國軍標(biāo)GJB4355-2002可知，當(dāng)λT≥5時(shí)，對于給定的備件保障概率p，其對應(yīng)的備件配置數(shù)為

其中up為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)。此時(shí)，備件配置方案所對應(yīng)的備件利用率應(yīng)滿足如下不等式

不同保障概率與不同平均故障數(shù)下對應(yīng)保障方案的利用率下限值見表2所示。

表2 不同保障概率與不同平均故障數(shù)下對應(yīng)保障方案的利用率下限值

通過上述分析可知，當(dāng)備件的平均故障數(shù)較大時(shí)，其對應(yīng)備件配置方案的備件利用率也較大。如對于艦船備件倉庫而言，盡管其單個(gè)部件的平均故障數(shù)較小，但由于保障對象的數(shù)量較多，因此，備件的平均年度故障數(shù)很大，即周轉(zhuǎn)備件的消耗量很大，對應(yīng)的周轉(zhuǎn)備件利用率將很大。在此情況下，周轉(zhuǎn)備件利用率不僅是考察庫存艦船周轉(zhuǎn)備件是否合理的重要指標(biāo)，而且還可通過備件保障概率與利用率的綜合權(quán)衡，優(yōu)化艦船周轉(zhuǎn)備件籌措方案，有效提高艦船備件保障效益。

4 備件利用率的工程估計(jì)方法

盡管備件利用率的概率模型（2）計(jì)算簡單，但由于涉及到不同備件數(shù)量情況下的備件保障概率，給工程使用帶來不便，為此，本節(jié)將給出備件利用率的工程估計(jì)方法。

4.1 備件利用率的工程估計(jì)

取備件利用率的上下限，即式（9）和式（11）的平均值接近備件利用率L( )m，T 。令

在工程實(shí)際使用過程中，可以使用保障概率要求 p近似實(shí)際保障概率P( )m，T 計(jì)算備件利用率，當(dāng)備件平均故障數(shù)λT較大時(shí)，可以使用式（12）計(jì)算備件配置數(shù)，此時(shí)工程估計(jì)為

4.2 工程估計(jì)的數(shù)值分析

給定平均故障數(shù)和備件保障概率，由式（14）可以得到利用率的工程估計(jì)結(jié)果，選擇備件的平均故障數(shù)分別取5、7、9……等，備件保障概率分別選擇常見的0.7、0.8、0.85、0.9、0.95，具體數(shù)值計(jì)算結(jié)果見表3。在計(jì)算備件利用率的精確值和工程估計(jì)結(jié)果時(shí)，選擇的備件配置數(shù)量是由式（12）計(jì)算后向上取整，誤差數(shù)值為利用率精確值與工程估計(jì)值數(shù)值差的絕對值。

表3 平均故障數(shù)大于5時(shí)備件利用率的工程估計(jì)及其誤差

從表3計(jì)算結(jié)果可以看出，備件利用率的工程估計(jì)的誤差較小，精度較高，適用于實(shí)際備件保障活動(dòng)的需要，尤其在常見的備件保障概率0.8、0.9時(shí)，其誤差均不大于0.029，這說明工程估計(jì)方法具有較高精度。

利用備件利用率的工程估計(jì)式（14），可以容易分析備件的保障概率、利用率和平均故障數(shù)之間的相互關(guān)系。在給定備件保障概率要求p的情況下，對于不同的平均故障數(shù)λT，當(dāng)備件平均故障數(shù)λT＜5時(shí)，由式（2）計(jì)算備件利用率，當(dāng)備件平均故障數(shù)λT≥5時(shí)，由式（14）計(jì)算備件利用率。

5 應(yīng)用分析

設(shè)某通用件的MTBF為50000h，裝機(jī)數(shù)為42個(gè)，年度工作強(qiáng)度為6500h，因此，該通用件在1年、2年和3年的平均故障數(shù)分別為5.46、10.92、16.38。在給定不同保障概率的情況下，其對應(yīng)的備件配置數(shù)量，以及該配置方案所對應(yīng)的實(shí)際備件保障概率和利用率如表4所示，其中配置數(shù)為式（12）向上取整得到，利用率由式（14）計(jì)算得到，在配置數(shù)量相同的條件下取利用率的最大值。

表4 備件保障概率與利用率之間的均衡分析

在規(guī)劃備件供應(yīng)保障時(shí)，應(yīng)在確保備件保障概率不低于一定程度的基礎(chǔ)上，使得備件配置達(dá)到的保障概率要求與利用率的乘積達(dá)到最大。按此原則，可以初步確定該通用件的配置方案為1年的配置數(shù)為8；2年的配置數(shù)為14；3年的配置數(shù)為20。此時(shí)備件配置方案的保障概率在0.8左右波動(dòng)，利用率在0.71～0.84之間波動(dòng)。

6 結(jié)語

本文在備件壽命服從指數(shù)分布的假設(shè)下，對艦船裝備備件利用率的概率模型及其工程估計(jì)方法進(jìn)行研究。首先，從備件利用率的統(tǒng)計(jì)定義出發(fā)，建立了備件利用率的概率模型，給出了備件利用率與備件保障概率之間的定量關(guān)系；其次，對備件利用率的變化規(guī)律進(jìn)行分析，由備件利用率變化上限揭示出隨艦備件利用率低這一事實(shí)，由備件利用率變化下限得出平均故障數(shù)較大時(shí)備件利用率也會(huì)較大的結(jié)論；進(jìn)而，將備件利用率與備件保障概率相聯(lián)系，給出利用率的工程估計(jì)方法，通過數(shù)值計(jì)算的方法分析了工程估計(jì)方法的近似精度，為工程使用提供依據(jù)；最后，通過實(shí)例分析說明工程估計(jì)方法的應(yīng)用場景及工程意義。