肖 紅

(西南大學 教師教育學院，重慶 400715)

近幾十年來，有關“數(shù)學文化”的研究一直是我國數(shù)學教育界關注的熱點話題之一。2003年的《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)用較大篇幅提及“數(shù)學文化”，表明“數(shù)學文化”一詞已在國家層面的文件中正式使用；2017年，新版《普通高中數(shù)學課程標準》繼續(xù)強調把“數(shù)學文化融入課程內容”[1]1，并為進一步推動數(shù)學文化的教學實踐指明了方向。然而，由于存在對“數(shù)學文化”涵義過于寬泛化的解讀和數(shù)學文化觀的教育學立場不突出等問題，使得教師不能很好地把握如何在教學中滲透“數(shù)學文化”，從而影響了數(shù)學文化育人目標的實現(xiàn)。目前，“素養(yǎng)培育為本”的基礎教育課程改革面臨知識觀的轉型問題，在此背景下，應當確定什么樣的“數(shù)學文化”觀以及如何解讀它的內涵，是當前數(shù)學教育界亟須回答的問題。本文愿為此做一些探討，以期為深化“數(shù)學文化”涵義的解讀，以及在以素養(yǎng)為導向的數(shù)學課堂教學中如何更好地滲透“數(shù)學文化”提供啟示。

一、關于“數(shù)學文化”的已有解析

“數(shù)學文化”一詞的提出雖然已有很長一段時間，但是關于什么是“數(shù)學文化”，目前學界并沒有一個相對統(tǒng)一的觀點。不同的研究者基于不同的研究背景、立場和目的，提出了不同的有關“數(shù)學文化”的說法，歸納起來有如下三種代表性定義：

(1)“數(shù)學與文化”說。針對一般人認為數(shù)學僅僅是對科學家、工程師等有用的一系列實用工具和計算技巧，一些數(shù)學家、數(shù)學史家從人類文化的角度出發(fā)，把數(shù)學作為人類文化子系統(tǒng)的一部分，研究數(shù)學與其他文化、與整個文明的關系，指出“數(shù)學一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素”[2]2，而且強調“一個沒有現(xiàn)代數(shù)學的文化是注定要衰落的”[3]。從這一意義上而言，當把數(shù)學作為一種文化廣泛影響人們的生活和思想乃至社會發(fā)展、文明興衰的力量時，所謂“數(shù)學文化”，就是把數(shù)學與其他文化聯(lián)系起來的一種數(shù)學觀念和認識。

(2)“文化的數(shù)學”說。有一種十分常見的看法，認為數(shù)學是人們得到的各種數(shù)學知識(包括數(shù)學概念、公式、命題等知識結論)的靜態(tài)集合體。針對這種看法，一些研究者基于數(shù)學是一項動態(tài)的人類文化活動的觀點，把數(shù)學本身作為一個文化體系[4]，研究數(shù)學的發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律，提出數(shù)學是一個按自身規(guī)律不斷發(fā)展的“超有機體”或多元復合體，既包括數(shù)學的知識成分，也包括數(shù)學的觀念成分。概括地說，當人們從一種文化活動的觀念看數(shù)學時，“數(shù)學文化”就是數(shù)學共同體所特有的行為、觀念和態(tài)度等[5]。

(3)“數(shù)學的文化價值”說。在學校的數(shù)學學習中，大多數(shù)學生學數(shù)學就是為了會做題、能應付考試，對數(shù)學的思想、精神了解得比較膚淺。針對這種現(xiàn)象，一些研究者認為，數(shù)學學習應超越對數(shù)學知識與技能的掌握，領悟數(shù)學的思想、精神、方法、觀點等，學會“數(shù)學方式的理性思維”，因為這些是形成數(shù)學素養(yǎng)的關鍵因素，對學生的終身發(fā)展具有不可替代的作用。因此，從發(fā)揮數(shù)學的育人價值這一角度而言，“數(shù)學文化”是指“數(shù)學的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，除此以外，還包含數(shù)學家、數(shù)學史、數(shù)學美、數(shù)學教育、數(shù)學發(fā)展中的人文成分等等”[6]。

以上三種有關“數(shù)學文化”的說法，在數(shù)學觀層面豐富和加深了人們對數(shù)學的認識，也在數(shù)學教育觀上，對于為什么教數(shù)學、教什么樣的數(shù)學提出了十分合理的見解。特別是，數(shù)學文化的“文化價值說”觀點已在我國數(shù)學課程標準中明確下來?！镀胀ǜ咧袛?shù)學課程標準》(2017年版)指出：“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動?！盵1]104可以說，現(xiàn)有數(shù)學課程標準對于“數(shù)學文化”的定義，綜合了“數(shù)學與文化”說、“文化的數(shù)學”說以及“數(shù)學的文化價值”說三種關于數(shù)學文化的界定。

然而，這種“數(shù)學文化”定義雖然描述比較全面，卻存在一些不足，不僅從表面上看顯得繁瑣，而且從深層次的知識觀來剖析，是一種基于(或傾向于)學科主義立場的“事實覆蓋”型文化觀。其局限性具體表現(xiàn)在：一方面，由于定義表述的寬泛性，以及對于什么是數(shù)學思想、精神、方法、觀點等語焉不詳，使得一線教育工作者不能很好地把握數(shù)學文化的本質內涵；另一方面，這種“事實覆蓋”型數(shù)學文化觀容易造成教師在教學中對“數(shù)學文化”做簡單化處理。即：在傳統(tǒng)的數(shù)學知識教學中，僅是增加一些所謂“數(shù)學文化”內容的知識“補丁”，比如講一些數(shù)學史或介紹一點有關數(shù)學的趣味故事等。這種做法在促進學生數(shù)學學科素養(yǎng)的形成和發(fā)展上所發(fā)揮的作用有限，也不能充分體現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值。

目前，我國基礎教育課程改革已進入“素養(yǎng)時代”，從學生知識技能的訓練到學科素養(yǎng)的培育，必然帶來知識觀的深層變革。同樣，人們也應在數(shù)學文化觀方面做出必要的轉型，以滿足目前在數(shù)學課堂教學中融入“數(shù)學文化”的現(xiàn)實需要。在此，我們應揚棄基于學科主義立場的“事實覆蓋”型數(shù)學文化觀，確定一種有鮮明教育學立場的數(shù)學文化觀，并明確其內涵。

二、“理解取向”文化觀的涵義

在人們的日常生活和學者們的學術探討中，“文化”(culture)是一個被長期討論但又相當模糊的概念，由此帶來的文化觀也是多種多樣的。美國人類學家克拉克洪(C.Kluckhohn)曾在1952年出版了《文化：概念和定義的檢討》一書，書中統(tǒng)計從1871至1951年間，關于“文化”的定義有一百六十四種之多?？死撕樵诜治鑫幕亩喾N定義的基礎上，提出了如下關于“文化”的定義：“文化由外顯的和內隱的行為模式構成；這種行為模式通過象征符號而獲致和傳遞；文化代表了人類群體的顯著成就，包括它們在人造器物中的體現(xiàn)；文化的核心部分是傳統(tǒng)的觀念，尤其是它們所帶來的價值。”[7]顯然，這是一個包容性很強的文化觀。但是如果從教育學的立場出發(fā)，這樣的文化觀難以與我們的研究目的建立起工具性聯(lián)系。

在教育研究中，杜威(J.Dewey)針對“文化”給出了自己的理解，認為“文化就是不斷擴大一個人對事物意義的理解的范圍，增加理解的正確性的能力，也許沒有比這更好的文化的定義了”[8]136。杜威的文化定義包含了人、事物、對事物意義的理解、人的改變等因素，是一種有鮮明教育學立場的文化觀。這種文化觀突出“以人為本”，在關注個體發(fā)展變化的過程中，強調通過理解事物的意義來改變個體。我們稱這種文化觀為“理解取向”的文化觀。以下，結合杜威的文化定義，闡述“理解取向”文化觀所具有的三種特性：

(一)文化是“三元合一”的

德國哲學家卡西爾(E.Cassirer)對人的本質給出了這樣一個定義：“人是符號的動物，人的所有文化形式都是符號形式。”[9]據(jù)此，文化整體上可看作一種符號現(xiàn)象。借鑒美國哲學家、實用主義創(chuàng)始人皮爾士(C.S.Peirce)關于符號具有“三元合一”性的思想，筆者認為，當把文化看作符號現(xiàn)象時，文化的構成要素包含三個方面：(1)作為文化主體的人；(2)作為文化對象的事物；(3)作為文化對象的解釋(或意義)。這三個要素缺一不可，密不可分?？梢哉f，文化是由這三個要素共同組成的“三元合一”體。

首先，文化并不在人之外而獨立存在。不論把文化定義為“人化”[10]還是“化人”，都含有人的因素。杜威也說，“所謂文化，是某種屬于個人的東西”[8]133-134。因此，文化從根本上而言就是屬于人的。談文化就意味著，在世界萬物中，永遠要以人為本，面向人、為了人，而不是以人之外的任何東西為本。也可以這樣說，人是文化的主體，是文化的“第一性”(1)“第一性”“第二性”“第三性”，是美國哲學家、實用主義創(chuàng)始人皮爾士(C.S.Peirce)所創(chuàng)設的現(xiàn)象學范疇用語。。其次，文化還應當有作為文化對象的事物，即文化的“第二性”。人類創(chuàng)造的一切物質產(chǎn)品和精神產(chǎn)品都是文化對象事物。沒有作為文化對象的事物，作為文化主體的人就會被懸空，人也就不成為文化主體了。第三，在文化主體和文化對象之間有一個中介，這就是文化對象的解釋(或意義)，也即文化的“第三性”。正是有了作為文化主體的人對文化對象事物的解釋，或對文化對象事物意義的理解，文化對象的作用才得以發(fā)揮，其價值才得以體現(xiàn)。也正是有了文化對象的解釋(或意義)，文化中的“人化”和“化人”才統(tǒng)一結合起來?？傊?，結合杜威文化定義的討論，可以得出如下結論：文化作為人的一種符號現(xiàn)象，由文化“第一性”“第二性”和“第三性”，即作為文化主體的人、作為文化對象的事物以及作為文化對象的解釋(或意義)三方面構成。這三方面缺一不可、密不可分。同時，它們也是按等級排列的，沒有文化主體的人，就沒有文化對象的事物；有了文化對象的事物才能引出文化對象的解釋(或意義)。因此，文化是“三元(或三性)合一”的。

(二)文化是理解取向的

從教育的角度看，“文化”主要是一個動詞，所謂“文而化之”即文化。按文化是“三元合一”的解讀，這里的“文”指的是作為文化對象的事物，是人類創(chuàng)造的一切物質產(chǎn)品和精神產(chǎn)品；“化”既是“化物”，也是“化人”。也就是說，作為文化主體的人與文化對象事物相遇時，一方面文化對象事物被賦予意義，“化”成了文化對象事物的解釋(或意義)，另一方面文化主體的人也在“知、情、意”等方面，相應地發(fā)生了知識改變、獲得了情感觸動、得到了精神升華，“化”成了素養(yǎng)更高的人。所以，“文化就是不斷擴大一個人對事物意義的理解的范圍，增加理解的正確性的能力”。

如果僅僅把“文化”看成是一個名詞，容易把它簡單歸結為文化對象事物，即認為文化就是人類創(chuàng)造的一切物質產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，是一種人類創(chuàng)造的“事實性成果”。在教育中，這種“事實覆蓋”型文化觀，只能為教育工作者提供一個被稱為“文化”的客觀的、結果性的事實，以及其“假定性的文化意義”而非“理解生成性的文化意義”，從而導致把文化教育變成文化知識的傳遞或灌輸，失去在“化物”的過程中“化人”的意義和價值。這也許就是杜威主張把“文化”定義為一種“理解取向”型的重要原因。

所謂“理解”，就是在“事物”與“意義”間建立起聯(lián)系[11]125。可以說，沒有理解就沒有文化。如果僅從孤立的事物這一角度看，個人所遇到的事物只是個別的、片段的事實，按“三元合一”的文化解釋，它還不能稱之為文化對象事物，這時也沒有所謂的“文化”發(fā)生。只有當作為文化主體的人，把個別的片段性事實結合為一個統(tǒng)一的整體(或結構)，賦予其某種普遍的、連續(xù)性的價值意義，作為文化對象的事物和文化對象的解釋(或意義)才同時出現(xiàn)，文化才得以發(fā)生。因此，文化不是“事實取向”的，而是“理解取向”的。譬如，《史記》中所載“孔子學琴”的故事，正是一個說明“文化是理解取向”的極好例子。面對一首曲子，孔子通過自己不斷的練習和理解，從了解這首曲子(“丘已習其曲”)，到掌握曲子的技法(“已習其數(shù)”)，再到領悟曲子的主旨、意趣(“已習其志”)，一直到品味出曲子創(chuàng)作者的精神境界(“丘得其為人”)，這正是所謂“文化”！理解有廣度和深度之分，廣度指的是理解的范圍，而深度是指理解的層次。

(三)文化是動態(tài)發(fā)展的

文化的動態(tài)發(fā)展體現(xiàn)在兩方面。第一，作為文化“第一性”的人，其素養(yǎng)在文化中得以形成和不斷發(fā)展，在面對文化對象事物時，“人化”的能力，即人對事物的理解力得到增強；同時，反過來也表現(xiàn)在“化人”的成效變化中，人的素養(yǎng)層次和境界得以改變與提升。第二，文化“第三性”與文化“第二性”的互換，即文化對象事物的解釋(或意義)可以在新的文化中成為文化對象的事物(文化“第二性”)，進而生成新的文化對象事物的解釋(或意義)。文化對象事物與文化對象事物的解釋(或意義)不是“二元對立”的，而是處于辯證的動態(tài)發(fā)展關系之中。這種“事物”與“意義”的關系，類似于杜威所討論的“事實”與“觀念”之間的關系：“事實或資料必須用來暗示或檢驗某些觀念，……否則，單純的事實或資料便是一堆死東西。另一方面，觀念必須用來對實際情況進行反思，否則，單純的觀念就是憑空的推測、空想和夢幻?！盵11]93

綜上所述，以杜威文化定義為代表的“理解取向”型文化觀，是一種基于教育學立場的文化觀。文化是人(文化主體)、事物(文化對象)、事物的解釋或意義“三元合一”體，它的效用體現(xiàn)在“不斷擴大一個人對事物意義的理解范圍，增加理解的正確性的能力”上，其特點是“理解取向”且動態(tài)發(fā)展的。在此需指出的是，與其說這樣的文化觀是在眾多“文化”定義中增加了一種新的說法，不如說為我們在認識論層面解讀數(shù)學文化提供了一種基本觀點和思維模式。

三、“數(shù)學文化”的教育學定義及其解讀

已有“數(shù)學文化”的定義，不論是“數(shù)學與文化”說、“文化的數(shù)學”說還是“數(shù)學的文化價值”說，在認識論層面上，整體上反映的是一種基于(或傾向于)“事實覆蓋”的文化觀。這樣的數(shù)學文化觀在教學中容易造成數(shù)學知識與數(shù)學文化的隔離，使得“數(shù)學文化融入課程教學”的要求和目標無法真正落到實處。在此，筆者以“理解取向”文化觀為指導，嘗試給出一種新的數(shù)學文化定義，并解讀其涵義。

從學校教育的角度看，本文認為：“數(shù)學文化”就是指學生(或教師)在學習(教學)數(shù)學知識的數(shù)學活動中，理解到數(shù)學的思想(方法)、觀點、精神等數(shù)學觀念意義，并內化為數(shù)學素養(yǎng)，這種數(shù)學理解的過程和結果統(tǒng)稱為數(shù)學文化。至于數(shù)學思想(方法)、數(shù)學觀點、數(shù)學精神的含義又是什么，下文將給出進一步解釋。

根據(jù)文化的“三元合一”性特點，數(shù)學文化“第一性”是指數(shù)學文化主體(包括學生和教師)，數(shù)學文化“第二性”為數(shù)學文化對象，即人類創(chuàng)造的一切數(shù)學形態(tài)(比如純粹數(shù)學形態(tài)、學校數(shù)學形態(tài)、應用數(shù)學形態(tài)、民族數(shù)學形態(tài)等)[12]，數(shù)學文化“第三性”指數(shù)學文化對象的解釋(或意義)，也即由數(shù)學文化主體通過理解數(shù)學文化對象而引出的或賦予的數(shù)學思想、精神、方法、觀點等數(shù)學觀念意義。由于“文化”是理解取向的，這里的數(shù)學的思想、精神、方法、觀點等數(shù)學觀念意義，是由數(shù)學文化主體通過理解數(shù)學文化對象而生成的。需進一步說明的是，盡管我們在單獨討論數(shù)學觀念意義時，可以把它當作具有普遍性、確定性的“某種知識”，但在數(shù)學文化中，數(shù)學觀念意義是由數(shù)學文化主體在理解數(shù)學文化對象時生成的，因此，孤立地談論數(shù)學的思想、精神、方法、觀點等數(shù)學觀念意義，或把它們與數(shù)學文化相混淆，是不符合本文所提出的“數(shù)學文化”宗旨的。

討論“數(shù)學文化”離不開對數(shù)學知識本性的認識。由于數(shù)學知識對象并不是某種具體的物質和具體的物質運動形態(tài)，而是從眾多的物質運動形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產(chǎn)物，數(shù)學具有超越具體科學和普遍適用的特征，具有公共基礎的地位，因此，“數(shù)學文化”比其他學科文化具有更為廣泛的影響和作用。英國數(shù)學家、哲學家懷特海(A.N.Whitehead)在討論數(shù)學知識的本性時指出：“數(shù)學的本質特征就是，在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究?！盵13]13根據(jù)數(shù)學的這種特征，可以說，基于“理解取向”的數(shù)學文化就是數(shù)學文化主體在“可模式化的個體”與“模式”之間建立起聯(lián)系，即通過模式化的理解，把個別經(jīng)驗知識材料納入一般的數(shù)學觀念模式中。模式化理解是一種深度理解。我國學者郭貴春等在從語境層面分析數(shù)學知識產(chǎn)生和發(fā)展的特征時指出，數(shù)學經(jīng)歷著“數(shù)學模型的語用構造→數(shù)學系統(tǒng)的語形變換→數(shù)學模型的語義解釋”[14]這樣一個產(chǎn)生和發(fā)展的過程。據(jù)此，本文認為，與這個過程相對應的模式化理解可分為三個層次，即：從經(jīng)驗感受到數(shù)學認識模式的“明理化”理解，從數(shù)學認識到數(shù)學理性模式的“理性化”理解，從數(shù)學理性到數(shù)學悟性模式的“道理化”理解。因此也可以說，數(shù)學文化是有層次結構的。

(一)第一層次：“明理化”理解——從經(jīng)驗感受到數(shù)學認識模式

所謂“明理化”理解，是指在數(shù)學活動中，把具體經(jīng)驗感受到的數(shù)學知識形態(tài)與普遍的數(shù)學認識模式建立起聯(lián)系。“明理化”中的“理”就是深藏于具體數(shù)學知識形態(tài)背后的數(shù)學認識模式結構，它表現(xiàn)為數(shù)學思想，是數(shù)學知識的核心。鄭毓信教授指出：“數(shù)學思想與數(shù)學知識相比反映了更深層次的理解，從而可以被看成相關知識的核心。正因為此，數(shù)學思想與數(shù)學知識相比不僅具有更大的‘潛在性’，也具有更大的普遍意義。”[15]在數(shù)學活動中，當個體對數(shù)學知識形態(tài)只有具體經(jīng)驗感受時，還達不到數(shù)學文化的層次，必須與某種普遍的數(shù)學思想建立聯(lián)系，即理解到具體數(shù)學知識形態(tài)所潛在的數(shù)學認識模式結構時，或者說，能用某種深層的數(shù)學思想(模式結構)詮釋經(jīng)驗感受的數(shù)學知識形態(tài)時，才達到了數(shù)學文化的明理化理解層次。當然，對數(shù)學知識形態(tài)的具體經(jīng)驗感受是數(shù)學文化的必要條件，如果沒有對數(shù)學知識形態(tài)的具體經(jīng)驗感受，數(shù)學文化就成為“無源之水”。

這里還需要對“理解”做進一步的說明。所謂“理解某物，就是認識到貫穿于一系列實例中的更加簡單和簡潔的結構，這是數(shù)學上為人稱道的真理”[16]。因此，數(shù)學理解就是從數(shù)量關系和空間形式方面，在一些具體的數(shù)學知識形態(tài)中，通過某種模式結構建立起深層次的聯(lián)系。所以懷特海曾說，“首先注意到7條魚和7天之間的共同點的人，是第一個具有純數(shù)學觀念的人”[17]。數(shù)學的特點之一就是不斷追求簡單的、深層次的、超出人類感官所及的模式結構。當作為數(shù)學思想的數(shù)學認識模式結構轉化為具有操作性的具體門路、程序時，就成為數(shù)學思想方法，而理解了的數(shù)學思想方法具有可遷移性。因此，作為數(shù)學文化主體的人，通過不斷地把具體數(shù)學知識形態(tài)與某種深層的模式結構建立聯(lián)系，從而養(yǎng)成對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進行合理簡化和量化的素養(yǎng)，這是數(shù)學文化的基礎要義。

(二)第二層次：“理性化”理解——從數(shù)學認識到數(shù)學理性模式

所謂“理性化”理解，是指在數(shù)學活動中，把已經(jīng)認識到的處于表面的分散的數(shù)學知識形態(tài)與系統(tǒng)的數(shù)學知識結構體系(即數(shù)學理性模式)建立起聯(lián)系。這個系統(tǒng)的數(shù)學知識結構體系具有自身的邏輯架構，是理性的化身，不以人的主觀意志為轉移，具有客觀獨立性。在數(shù)學史中，歐幾里得用公理演繹的方式整理古希臘人已經(jīng)掌握了的幾何知識，最終成就《幾何原本》，從而確立了一種理性模式的典范?！皻W幾里得幾何的創(chuàng)立，對人類的貢獻不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育出了一種理性精神?！盵2]53自此以后，在數(shù)學領域，數(shù)學家們至今遵循《幾何原本》所確定的范例研究整理數(shù)學知識，數(shù)學也因此具有確定性與可靠性，被看作是所有科學的標桿。

所謂數(shù)學觀點，就是人們觀察事物時所秉持的數(shù)學理性態(tài)度，是人的一種基本數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學觀點的形成依賴于數(shù)學理性化理解。即：人們在一次又一次地把處于表面的分散的數(shù)學知識形態(tài)與系統(tǒng)的數(shù)學知識結構體系建立聯(lián)系的過程中，形成數(shù)學理性態(tài)度。我國數(shù)學特級教師孫維剛曾指出：“由尋找聯(lián)系入手，運用規(guī)定(定義)平移、變換等數(shù)學思想和從‘特殊到一般，又從一般到特殊’的方法，把個別、離散的現(xiàn)象構造成渾然一體的系統(tǒng)，這已經(jīng)標志著能力的提高和素質的發(fā)展了。”[18]作為數(shù)學文化主體的人，從系統(tǒng)的角度學習理解數(shù)學知識，置分散的知識于系統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，在潛移默化中養(yǎng)成數(shù)學理性態(tài)度、形成數(shù)學觀點，這是數(shù)學文化的核心要義。

(三)第三層次：“道理化”理解——從數(shù)學理性到數(shù)學悟性模式

所謂“道理化”理解，是指在數(shù)學活動中，把某種數(shù)學知識形態(tài)的關系結構，與另一種表現(xiàn)形態(tài)的數(shù)學關系結構或現(xiàn)實世界中事物的關系結構建立起聯(lián)系?！暗览砘敝械摹暗馈?，是一種創(chuàng)造性的精神品質，表現(xiàn)為一種數(shù)學悟性模式。數(shù)學理性模式雖然能展示數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系，奠定數(shù)學的確定性與可靠性基礎，但在數(shù)學無窮多的主題內容中，它僅是其中一個理想目標而已。如果把數(shù)學理性模式看成是數(shù)學的唯一目標，或者說，“相信公理體系構成了數(shù)學的精髓，這是一個危險的錯誤”[19]226。懷特海曾做過這樣的比喻：“一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫”，這是數(shù)學的“一種微不足道的惡”[13]12。數(shù)學的發(fā)展和數(shù)學現(xiàn)實價值的體現(xiàn)，尤其是數(shù)學的創(chuàng)新與應用，需要數(shù)學悟性。

“數(shù)學悟性”一詞出自懷特海。他曾在題為“數(shù)學與善”的著名演講中說過，“考慮到數(shù)學有無窮多的主題內容，數(shù)學甚至現(xiàn)代數(shù)學也是處于嬰兒時期的一門科學。如果文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想中壓倒一切的新特點就是數(shù)學悟性要占統(tǒng)治地位”[13]12。所謂數(shù)學悟性，筆者認為就是在不同的數(shù)學知識形態(tài)中或數(shù)學與現(xiàn)實世界中，發(fā)現(xiàn)相通的關系結構。因此，其思維特點不是邏輯演繹，而是直覺構造，體現(xiàn)出創(chuàng)新性特點。數(shù)學中“凡是重要的發(fā)現(xiàn)或者具有實質性內容的見解，很少是由單純的公理程序得到的。在直覺指引下的構造性思想是數(shù)學動力的真正源泉”[19]226。數(shù)學史和科學史已表明，面對層出不窮、錯綜復雜的主題，數(shù)學家及科學家們依靠數(shù)學悟性思維模式不斷開辟人類知識前進的道路，展示出數(shù)學的現(xiàn)實價值和意義。比如，笛卡爾在面對古希臘人留下的幾何作圖問題時，把作為幾何形態(tài)的單位線段與作為代數(shù)形態(tài)的數(shù)“1”對應，將數(shù)的運算規(guī)則(即加、減、乘、除、開方等代數(shù)運算關系結構)與幾何作圖的運算規(guī)則(即線段的加、減、乘、除、開方等幾何作圖運算關系結構)相聯(lián)系，不僅有效解決了幾何作圖問題，更為重要的是，由此創(chuàng)立了解析幾何；愛因斯坦把黎曼幾何(非歐幾何)的空間關系結構與物理世界的空間關系結構對應起來，建立聯(lián)系，為創(chuàng)立相對論鋪平了道路[20]。這些都是人類思想中數(shù)學悟性模式的精彩篇章。

數(shù)學精神，就是人們在數(shù)學悟性模式中表現(xiàn)出的創(chuàng)造性思維，是人的一種高級數(shù)學素養(yǎng)。數(shù)學精神的培養(yǎng)離不開數(shù)學道理化理解，即：在數(shù)學活動中(特別是在問題解決中)，通過在不同的數(shù)學知識形態(tài)之間或數(shù)學與現(xiàn)實世界之間，建構相對應的關系結構，領悟在創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)或問題解決中所表現(xiàn)出的創(chuàng)新思維。作為數(shù)學文化主體的人，通過在不同表現(xiàn)形態(tài)的數(shù)學知識之間或數(shù)學知識與現(xiàn)實世界之間建立對應的關系結構，從而解決問題，產(chǎn)生新發(fā)現(xiàn)，感悟數(shù)學精神，不斷提高自身的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，這是數(shù)學文化的關鍵要義。

由以上的討論可以看出，對于什么是“數(shù)學文化”，我們應放棄形而上學的追問方式，好似本身就存在一種“數(shù)學文化”的東西，人們可以直接去認識它、把握它，而是應當通過數(shù)學活動，在理解數(shù)學知識的深層認識模式、形成數(shù)學理性思維模式、養(yǎng)成創(chuàng)造性數(shù)學悟性思維模式的過程中，感受“數(shù)學文化”的魅力。

四、“數(shù)學文化”教育實施路徑思考

數(shù)學，有作為知識成果形態(tài)的數(shù)學和作為意義生成形態(tài)的數(shù)學之分。前者在一般人眼里往往是“冰冷”的形式化符號語言，抽象難懂，被稱為學術形態(tài)的數(shù)學；而后者是能從中理解到“火熱的思考”意義的數(shù)學，被稱為教育形態(tài)的數(shù)學。因此可以說，把數(shù)學的學術形態(tài)轉化為學生易于接受并充分理解的教育形態(tài)，就是“數(shù)學文化”教育的根本任務。限于本文的研究主旨和篇幅，對于如何具體實施“數(shù)學文化”的教育，在此不做展開，僅提出如下實施路徑思考：

(一)以課堂教學為主陣地，實施“數(shù)學文化”教育

《普通高中數(shù)學課程標準》(實驗)指出：“數(shù)學課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數(shù)學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡。……激發(fā)對于數(shù)學創(chuàng)新原動力的認識，受到優(yōu)秀文化的熏陶?！盵21]作為數(shù)學教師，應確立“理解取向”的數(shù)學文化觀，注重在平時充分挖掘有關數(shù)學文化的教育資源。在數(shù)學課堂教學中，積極將學生引導至數(shù)學文化的場域，使學生在數(shù)學的“明理化理解、理性化理解、道理化理解”過程中，感悟數(shù)學文化。當教師通過積極的教學引導，促使學生在數(shù)學知識的學習中自覺生成數(shù)學思想(方法)，形成理性的數(shù)學觀點，領悟具有創(chuàng)造性思維特點的數(shù)學精神時，日常的數(shù)學課堂就會成為“數(shù)學文化”教育的主陣地。

(二)在準確把握數(shù)學理解的“二維”關系范疇中，實施“數(shù)學文化”教育

根據(jù)理解取向的文化觀，數(shù)學文化就是數(shù)學文化主體(學生或教師)在數(shù)學的“可模式化的個體”與“模式”之間建立起聯(lián)系。對學生來說，只有當作為“可模式化的個體”的個別數(shù)學知識材料(指各種形態(tài)的數(shù)學知識素材)，被理解為具有一般意義的數(shù)學觀念模式[即數(shù)學思想(方法)、數(shù)學觀點、數(shù)學精神等]時，數(shù)學文化才得以真正發(fā)生?？梢哉f，沒有個別數(shù)學知識材料和一般數(shù)學觀念模式的結合，就沒有數(shù)學文化。教師在數(shù)學文化教育中，首先需要區(qū)分“個別”和“一般”這對數(shù)學理解的“二維”關系范疇；其次，自身要努力成為一名數(shù)學“學養(yǎng)教師”[22]，要有不斷對數(shù)學知識進行探本尋源、追求來龍去脈，以更“一般”的數(shù)學觀念模式結合“個別”數(shù)學知識的嘗試；最后，在教學中結合自身的數(shù)學文化經(jīng)驗，引導并促使學生在個別數(shù)學知識材料和一般的數(shù)學觀念模式之間建立聯(lián)系，以喚起學生的數(shù)學文化經(jīng)驗，同學生一起體會、領悟并欣賞數(shù)學知識的文化魅力。

(三)通過“三階段”發(fā)展層次，實施完整的“數(shù)學文化”教育

完整的數(shù)學文化具有前文所述的三個層次結構，因此在數(shù)學教學中，可結合相應的數(shù)學知識，開展“經(jīng)驗感受——理性認知——悟性拓展”相統(tǒng)一的、逐級發(fā)展的完整的數(shù)學文化教育。比如，在“對稱”知識的教學中，設計出“感受對稱階段——對稱的數(shù)學化理解階段——對稱的拓展性理解階段”的數(shù)學單元教學[23]?！叭A段”發(fā)展式數(shù)學文化教育，是數(shù)學知識發(fā)展本質要求所規(guī)定的，也是文化具有連續(xù)發(fā)展性特點所決定的。實施多層次連續(xù)發(fā)展的、完整統(tǒng)一的數(shù)學文化教育，能有效避免數(shù)學文化教育的形式化、淺表化和碎片化。

總之，數(shù)學作為人類文化的重要組成部分，在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。我國數(shù)學院士、復旦大學李大潛教授曾指出：“數(shù)學的傳授，如果不滿足于填鴨式的灌輸，而是更多地針對數(shù)學這門學科的特點，采取啟發(fā)、誘導的方式，就可以使學生在學習知識的過程中，逐步地由不自覺到自覺地將這些方面的素質耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習慣，變成他們的數(shù)學素養(yǎng)，終生受用不盡。”[24]新時期，更加強調學科育人價值，數(shù)學教育理應在落實立德樹人根本任務和發(fā)展素質教育中發(fā)揮更重要的功能。作為數(shù)學教育工作者，應樹立“數(shù)學文化育人”的意識，在課堂教學中，不僅幫助學生掌握現(xiàn)代生活和進一步學習所必需的數(shù)學知識、技能、思想和方法，更重要的是，通過“數(shù)學文化”來育人，不斷提升學生的數(shù)學素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。