馬明杰，楊新安，周 建，李路恒，田 靜

(1. 道路與交通工程教育部重點實驗室(同濟大學)，上海 201804；2. 同濟大學 交通運輸工程學院，上海 201804)

孔擴張理論早在1972年應用到巖土工程中[1]，用于解決隧道開挖、靜力觸探[1]、旁壓試驗[2]、沉樁擠土、注漿擴孔等工程問題的應力分析。國內外學者從不同方面對其進行了研究，在屈服準則方面，文獻[1,3]基于M-C屈服準則，推導了圓孔擴張問題近似解析解；文獻[4]分別將土體看作Tresca材料和M-C材料，給出了柱孔擴張過程中孔周土體應力和位移場計算公式；文獻[5-6]等基于廣義SMP破壞準則分析柱孔擴張問題的彈塑性應力解；文獻[7]結合修正劍橋模型，將擴孔樁樁周土體分為流動破壞區(qū)、塑性變形區(qū)和彈性變形區(qū)，推導出應力、位移解析解；文獻[8]采用了統一強度準則。在影響因素方面，大量成果多集中于剪脹[9]、應變軟化[10]、結構性[11]、排水固結[12]、初始應力狀態(tài)的各項異性[13]等因素的研究，但考慮地下水滲流對注漿擴孔方面影響的研究則較少。

已有研究表明，作為巖土工程重要的環(huán)境因素，地下水的存在對壩體、水工隧道、坡體穩(wěn)定性等的影響很大[14-16]，特別是富水巖土體中注漿或沉樁擴孔，地下水滲流作用對孔周土體應力場和位移場的影響不可忽視。文獻[17]基于SMP準則，研究了考慮滲流作用下沉樁過程中樁端球孔擴張引起的土體力學響應，分析了滲流體積力對擴孔壓力、塑性區(qū)半徑的影響規(guī)律；文獻[18]將滲流作用以超孔隙水壓力的形式體現，給出了滲流影響球孔擴張問題的彈塑性應力解答；文獻[19]僅考慮孔周有限范圍內的滲流體積力的作用，并對滲流體積力作了大量假設，推導出同時考慮各向異性、滲流和剪脹影響的柱孔擴張問題統一解。以上皆是基于達西滲流定律開展的研究，其滲流規(guī)律是在特定水力條件下的實驗結果，因此只在特定范圍內適用，當描述巖土體處于高速或低速滲流狀態(tài)時，其有效性備受質疑，此時通常選用非線性滲流定律更為合理。

此外，對于壓密注漿機理的研究也大多基于小孔擴張理論。文獻[20-21]考慮壓濾效應對壓密注漿的影響，給出 了壓密注漿球柱孔擴張應力和位移解；文獻[22]建立盾構隧道壁后注漿壓密模型，推導了壓密注漿漿體擴張率、土體塑性擴張率及注漿對管片產生的壓力，在研究中未充分考慮地下水滲流對計算結果的影響。鑒于此，本文對飽和軟黏土地層壓密注漿柱孔擴張問題進行理論分析，考慮非達西滲流和應變軟化等影響因素，推導出孔周土體彈塑性區(qū)的應力場和位移場解析式，并分析滲流和應變軟化特性對擴孔壓力和塑性區(qū)半徑的影響規(guī)律。

1 力學模型及基本理論

1.1 力學模型及基本假設

考慮具有初始孔徑為R0的圓柱形孔，在內壓力Pa作用下不斷擴張，當Pa較小時，孔周圍土體處于彈性狀態(tài)，當Pa達到某一量值時，孔周土體進入塑性區(qū)，產生塑性應變，形成軟化區(qū)，隨著擴孔壓力Pa的不斷增加，孔周土體出現流動狀態(tài)，從孔中心由內向外依次形成流動區(qū)、軟化區(qū)、彈性區(qū)3個區(qū)域，其中流動區(qū)和軟化區(qū)統稱為塑性區(qū)。R0為初始孔徑，Ra為擴孔半徑，Rf、Rp分別為流動區(qū)、軟化區(qū)外半徑，P0為初始擴孔應力，Pa為擴孔壓力，Py為臨塑擴張壓力，uf、up分別為流動區(qū)與軟化區(qū)、軟化區(qū)與彈性區(qū)交界面處的徑向位移，σr、σθ分別為孔周任意一點徑向應力和切向應力。孔擴張理論計算模型如圖1所示。

圖1 柱孔擴張理論計算模型

針對上述壓密注漿柱孔擴張問題，作以下幾點假設：1)土體為均質、各向同性的理想彈塑性材料；2)漿液、孔隙水和土顆粒都不可壓縮；3)彈性區(qū)土體服從線彈性和小變形假定，應力和變形符合廣義Hooke定律，在塑性區(qū)采用廣義Tresca屈服準則描述應力和變形；4)孔周土體處于飽和狀態(tài)，且在整個注漿過程中未發(fā)生劈裂注漿；5)忽略重力對滲流和土體壓縮的影響，不考慮土體滲透率的變化。

1.2 土體特性模型

根據常規(guī)三軸試驗的結果，巖土材料的應力-應變關系曲線可用圖2的三折線應變軟化模型來描述[10]，其中，ε1、ε3為大、小主應變；εv為體積應變；ε1p、ε3p、εvp、ε1f、ε3f和εvf分別為軟化區(qū)和流動區(qū)在局部坐標系中對應的塑性應變，以壓或縮為正、拉或脹為負。圖2中，參數β、h和f的值可由三軸壓縮試驗測得，根據受力特征，本文按平面應變問題求解，σr、σθ分別對應圖中的σ1、σ3，其他參數和符號對應關系類同[10]。

根據廣義Tresca屈服準則，結合上述簡化的土體應變軟化模型，得到考慮應變軟化特性的Tresca屈服準則為

(1)

(a)簡化的三折線線性應變軟化模型

(b)簡化的εv-ε1曲線

(c)簡化的ε3-ε1曲線

根據文獻[23]，對于具有應變軟化和剪脹特性的巖土類材料，由試驗得出的塑性應變增量的方向往往并不與屈服面正交，可采用非相關聯流動法則，其塑性應變增量的方向完全取決于應力全量，而與應力增量無關。結合文中圖2中塑性區(qū)各應變增量分量間的關系，確定在軟化階段和流動階段的流動法則分別為

(2)

(3)

式中：h、f分別為軟化區(qū)和流動區(qū)的剪脹系數，當考慮土體剪脹特性時h=f> 1，否則h=f= 1[10]。

1.3 非線性滲流理論

水在土體中流動時，將會引起水頭的損失。而這種水頭損失是由于水在土體孔隙中流動時，力圖拖曳土粒而消耗能量的結果。自然，水流在拖曳土粒時將給予土粒以某種拖曳力，將滲透水流施于單位土體內土粒上的拖曳力稱為滲流力[23]。忽略土體內水的自重的影響，本文采用Izbash非線性滲流公式[24]，其數學表達形式為

(4)

式中：J為水力梯度；v為滲流速度；k為滲透系數，可由試驗測得；m為非線性滲流系數。

上式屬于經驗擬合公式，冪指數m為經驗常數，與流體流態(tài)有關，而流體流態(tài)可通過雷諾數Re來確定[25]。一般地，m的取值小于2，當m= 1時，該式為線性滲流達西定律，當m= 2時，流體處于高速純紊流流速狀態(tài)[26]，當m= 0～1時，其適用于描述非達西低速非線性滲流情況，當m=1～2時，其適用于描述非達西高速非線性滲流情況[27]。

根據滲流力學理論，平面二維滲流場徑向滲流連續(xù)方程為

(5)

式中r為平面上任意一點到圓心的距離。

求解式(5)，可得徑向滲流速度為

(6)

式中c1為待定系數，由滲流邊界條件確定。

聯立式(4)和式(6)，可得Izbash徑向滲流水力坡度計算公式為

(7)

式中γw為地下水容重，取10 kN·m-3。

對式(7)進行積分，邊界條件分別取孔壁和無限遠(即αRa，α一般取20～50即可)處的滲透水壓力Pi|r=Ra=Pw、Pi|r=α·Ra=Pw0，求出在非線性滲流場作用下的滲透水壓力為

(8)

式中：Pw、Pw0分別為孔壁和無限遠處滲透水壓力;ΔPw為滲透水壓力差，ΔPw=Pw-Pw0。

2 非線性滲流作用下的柱孔擴張土體應力場、位移場求解

2.1 基本方程

柱孔擴張過程中，在考慮滲流體積力的作用下，距離孔中心為r的土體應力，滿足平衡微分方程，即

(9)

式中ξ為孔隙水壓力系數。

幾何方程和本構方程分別為

(10)

(11)

2.2 彈性區(qū)應力、位移解答(即r≥Rp)

根據彈性力學三大方程的關系，聯立式(9)～(11)，整理后得

(12)

解式(12)可得，徑向應力表達式為

(13)

式中c2、c3為待定系數，可進一步結合邊界條件σr|r=Rp=py，σr|r→∞=p0求得。

由此可知，彈性區(qū)應力場和位移場表達式分別為

(14)

(15)

在r=Rp處，結合式(1)中的屈服條件σr-σθ=2c0和式(14)，可得彈塑性交界面處的臨塑擴張壓力py為

(16)

根據式(15)，令r=Rp，得彈性區(qū)與軟化區(qū)交界面處的徑向位移up為

up=ur|r=Rp+=

(17)

2.3 軟化區(qū)應力、位移解答(即Rf≤r≤Rp)

在彈性區(qū)與軟化區(qū)交界面處(即r=Rp)，徑向應力和徑向位移滿足連續(xù)性條件：

σr|r=Rp+=σr|r=Rp-

(18)

ur|r=Rp+=ur|r=Rp-

(19)

該區(qū)內的總應變可表示為

(20)

由式(2)和式(20)可得

h·εr+εθ=h·εre|r=Rp-+εθe|r=Rp-

(21)

根據式(10)、(15)和式(19)，在r=Rp處有

(22)

(23)

軟化區(qū)總體變形不考慮彈性變形增量，即在軟化區(qū)，彈性變形保持不變，且為彈塑性交界面處的彈性變形。將式(10)、(22)、(23)代入到式(21)中，整理得

(24)

其中

對式(24)求解，可得

(25)

其中c4為待定系數，可結合式(17)、(19)求得，由此可得軟化區(qū)徑向位移表達式為

(26)

將式(26)對r求導并取負數，得到軟化區(qū)徑向應變εr、彈性區(qū)與軟化區(qū)交界面處徑向應變ε1e表達式分別為

(27)

ε1e=εr|r=Rp-=G2-G1

(28)

根據關系式β·ε1e=εr|r=Rf+可得，軟化區(qū)半徑與流動區(qū)半徑之比：

(29)

令r=Rf，根據式(26)可得軟化區(qū)與流動區(qū)交界面處的徑向位移uf為

uf=ur|r=Rf+=G3·Rf

(30)

其中G3=G1·(1+h)-β·h·(G1-G2)。

聯立式(1)、(9)和式(10)，可得該區(qū)應力和應變的關系式為

(31)

將式(27)和式(28)代入式(31)，求解可得

(2c0+λ·G2)·lnr+c5

(32)

其中c5為待定系數，結合式(16)、(18)求得軟化區(qū)徑向應力表達式為

(33)

2.4 流動區(qū)應力、位移解答(即Ra≤r≤Rf)

在軟化區(qū)與流動區(qū)交界面處(即r=Rf)，徑向應力和徑向位移滿足連續(xù)性條件：

σr|r=Rf+=σr|r=Rf-

(34)

ur|r=Rf+=ur|r=Rf-

(35)

該區(qū)內的總應變可表示為

(36)

結合式(3)和式(36)可得

f·εr+εθ=f·εre|r=Rf-+εθe|r=Rf-

(37)

假設在流動區(qū)內徑向彈性應變和切向彈性應變都為0，即

εre|r=Rf-=εθe|r=Rf-=0

(38)

將式(10)、(38)代入式(37)中，整理得

(39)

對式(39)求解，可得

(40)

其中c6為待定系數，可結合式(30)、(35)求得，由此得到流動區(qū)徑向位移表達式為

(41)

聯立式(1)和式(9)得流動區(qū)平衡方程為

(42)

對式(42)求解，可得

(43)

其中c7為待定系數，結合應力邊界條件σr|r=Ra=pa，可得流動區(qū)徑向應力表達式為

(44)

2.5 塑性區(qū)半徑、擴孔壓力

根據在擴孔前后土體體積保持不變的原則，孔擴張的體積等于彈性區(qū)、軟化區(qū)和流動區(qū)體積變化量之和[4,10]，即

πRa2-πR02=π[Rp2-(Rp-up)2]+Δ1+Δ2

(45)

式中Δ1、Δ2分別表示軟化區(qū)和流動區(qū)體積變化量，略去up的高階次冪，上式可簡化為

πRa2-πR02=2π·Rp·up+Δ1+Δ2

(46)

Δ1=-2π·Rp2·(G1+h·G2)+

(47)

(48)

將式(47)、(48)代入式(46)中，化簡可得

(49)

(50)

聯立式(29)、(33)、(34)、(44)和式(50)，并令r=Rf，化簡可得擴孔壓力Pa為

(51)

令Ra=Rf，此時η1=η2，代入式(51)中，可得臨界擴孔壓力Py1為

(52)

當Pa=Py1時，孔壁處剛好進入流動區(qū)，當擴孔壓力Pa繼續(xù)增大，即Pa>Py1時，以上解答皆適用。

文中通過擴孔壓力條件確定交界面位置，具體過程：由式(51)可以看出，擴孔壓力Pa與擴孔半徑Ra之間存在一一對應的關系，當給定擴孔壓力Pa，在實際工程中可通過注漿壓力計算求得，即可得到擴孔半徑Ra，之后通過式(49)、(50)分別確定流動區(qū)、軟化區(qū)與彈性區(qū)之間相鄰兩區(qū)交界面位置。

以上是考慮非達西滲流和應變軟化的Tresca材料柱孔擴張時的全部解析解。

3 算例驗證

為進一步說明柱孔擴張過程中土體受到非線性滲流作用的影響，將由式(51)得到的柱孔擴張擴孔壓力解答，與文獻[28]給出的擴孔壓力計算結果進行對比分析。文獻中采用的基本參數如下：初始半徑R0=1 m，擴孔半徑Ra=2 m，初始土壓力P0=150 kPa，土體彈模E=24×103kPa，泊松比μ=0.3，黏聚力c0=20 kPa，文獻未考慮土體應變軟化和脹縮性，因此分別取κ=1、β=1.55，孔隙水壓力系數ξ=1。根據本文所提供的理論計算公式，當m分別取1.0、1.2、1.4、1.6、1.8時，求得孔周注漿擴孔壓力依次為344.66、338.51、336.86、336.26、336.03 kPa，而文獻[28]給出的擴孔壓力為286.9 kPa。

通過對比不難發(fā)現，在不考慮地下水滲流作用時的孔擴張所需壓力值相較于有地下水影響下的擴孔壓力值偏低，兩者的差值與孔壁處的滲透水壓力基本相當，說明地下水的存在對擴孔過程起到一定的抑制作用，且擴孔壓力值隨著非線性滲流系數的增加略有降低，從而驗證了本文理論解答的正確性。

通過以上擴孔壓力值的比較也充分說明，在解決飽和軟黏土地層壓密注漿擴孔實際工程問題時，地下水滲流的影響不容小覷，特別是要結合實際工程環(huán)境，選擇較為合理的滲流模式，盡可能地使計算結果更加符合實際，為工程設計提供合理的理論依據。

4 非線性滲流影響作用分析

4.1 非達西滲流對孔周土體滲流場的影響

圖3、4分別為不同非線性滲流系數m和滲透水壓力差ΔPw取值下，孔周土體滲透水壓力沿半徑方向變化曲線，m分別取0.2、0.5、0.8、1.2、1.5、1.8，滲透水壓力差ΔPw分別取20、30、40 kPa，并與m=1.0時(即Darcy滲流，下同)進行對比分析。其中α=20，Pw0=10 kPa，初始半徑R0=0.05 m，擴孔半徑Ra=0.1 m，黏聚力c0=40 kPa，κ=0.25，其他參數取值與前文相同。

圖3 不同m取值時滲透水壓力沿孔徑分布情況(ΔPw = 40 kPa)

圖4 不同ΔPw下滲透水壓力沿孔徑分布情況(m=1.5)

從圖3、4中可以看出，滲透水壓力總體上沿徑向呈不斷減小的趨勢，這與注漿擴孔過程中土體內部超孔隙水壓力隨著距離的增加不斷消散的情況相符，衰減速度先增大后減小，并趨于穩(wěn)定。非線性滲流系數m越大，滲透水壓力差ΔPw越大，其非線性變化程度越明顯，滲透水壓力衰減速度也越快，但隨著距離孔中心位置的增大，衰減速度逐漸放緩。與達西滲流相比，高速非線性滲流狀態(tài)下的滲透水壓力沿程壓降較為明顯，而低速非線性滲流狀態(tài)下的滲流水壓力沿程壓降較小。從以上分析可以看出，非達西滲流具有慣性效應，且滲透性越好、滲透水壓力差越大，非達西慣性效應也越明顯。

4.2 非達西滲流對塑性區(qū)半徑的影響

圖5、6分別給出了不同非線性滲流系數m取值下，塑性區(qū)半徑隨擴孔半徑的變化曲線及非線性滲流系數對塑性區(qū)半徑的影響曲線。令m分別取1.2、1.4、1.6、1.8，并與m=1.0時進行對比分析。其中α→∞、ΔPw=40 kPa，其他參數取值與前文相同。

圖5 擴孔半徑對塑性區(qū)半徑的影響曲線

圖6 非線性滲流系數m對塑性區(qū)半徑的影響

結合圖5、6可見，塑性區(qū)半徑隨擴孔半徑的增大而增大，總體上呈現線性增長的趨勢，兩者的比值基本上為一定值，且隨著m值不斷增大，其線性增長率逐漸減小。流動區(qū)半徑與擴孔半徑的比值大致在15～17之間，軟化區(qū)半徑與擴孔半徑的比值大致在22～27之間，且m值越大，其比值也越小，并逐漸趨近于一定值，呈現出明顯的非線性減小的特點。相較于達西滲流模式，非達西滲流狀態(tài)下的塑性區(qū)半徑與擴孔半徑比值略小。由此可以看出，高速非線性滲流對土體擴孔有一定的抑制作用，但效果不明顯。

4.3 非達西滲流對孔周應力場和位移場的影響

算例中給出擴孔半徑Ra=0.5 m，滲透水壓力差ΔPw=40 kPa，其余參數取值與前文相同。令m分別為1.2、1.4、1.6、1.8，并與m=1.0時進行對比分析，研究孔周土體徑向應力和徑向位移沿徑向變化規(guī)律。圖7給出了非線性滲流系數m取不同值時，孔周土體徑向應力和徑向位移沿徑向分布情況。

(a)徑向應力

(b)徑向位移

由圖7可知，孔壁處徑向應力(即擴孔壓力)在250～270 kPa之間，孔周土體內部徑向應力隨遠離孔中心的方向先迅速衰減后趨于平緩，并最終趨近于定值，且m值越小，該值越大。從圖中可以看出，在距離孔中心10 m的位置，m=1.8時的徑向應力為175.01 kPa，比達西滲流狀態(tài)下的徑向應力降低了20.57 kPa，由此可知，徑向應力受非線性滲流系數m的影響較為明顯。從圖中不難看出，孔周土體內的徑向位移變化規(guī)律與徑向應力的變化規(guī)律一致，與注漿位置的距離越大，徑向位移越小?？妆谔幃a生的位移最大，為450 mm左右，這也與實際擴孔半徑相同，但其受非線性滲流系數m的影響較小，幾乎不受影響，其解釋為前文中假設土體為不可壓縮且處于飽和狀態(tài)，其孔壁處徑向位移為一定值，只會隨著擴孔半徑的增大而增大，與處于何種滲流模式無關。

需要說明的是，從圖6中不難看出，流動區(qū)、軟化區(qū)半徑隨非線性滲流系數m的不同而有所不同，而非定值，圖中所示的用于劃分彈塑性區(qū)的分區(qū)線只是取了大致位置，方便讀者理解，不具有實際意義。

5 結 論

1)在考慮地下水非線性滲流的情況下，基于Tresca屈服準則，推導飽和軟黏土地層壓密注漿柱孔擴張過程中孔周土體應力場、位移場解析解，并給出擴孔壓力和塑性區(qū)半徑的表達式。

2)在分析孔周土體滲流場變化時，考慮非達西滲流與滲透水壓力差的影響下，孔周土體滲流場沿徑向都變現出明顯的衰減現象，且隨非線性滲流系數m與滲透水壓力差ΔPw的增大衰減現象越明顯。

3)通過分析發(fā)現，在飽和軟黏土地層中進行壓密注漿過程中，非線性滲流系數m對孔周土體應力場、位移場和塑性區(qū)半徑都產生了不同程度的影響，其影響作用不容忽略。當均質土體處于飽和狀態(tài)且保證土顆粒、孔隙水都不可壓縮時，在地下水高速非線性滲流(即1