張創(chuàng)邦 王青海

（青海師范大學(xué)計算機學(xué)院 西寧 810008）

1 引言

1982 年P(guān)awlak 提出粗糙集理論，其作為一種處理不完備、不確定、不精確數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)工具，將人類客觀知識抽象為多元關(guān)系，構(gòu)建粗糙集模型本質(zhì)轉(zhuǎn)化為信息在多元關(guān)系下的關(guān)聯(lián)推理和知識發(fā)現(xiàn)［1～2］。該理論已在數(shù)據(jù)挖掘、機器學(xué)習(xí)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有很多成功應(yīng)用［1，3］。

隨著人工智能理論及應(yīng)用的迅猛發(fā)展，針對現(xiàn)實世界各領(lǐng)域數(shù)據(jù)日益復(fù)雜和智能建?，F(xiàn)實需求，對粗糙集模型科學(xué)擴展已成為粗糙集理論發(fā)展的關(guān)鍵瓶頸。Zadeh提出的模糊集是處理模糊性和不確定性知識的另一種數(shù)學(xué)工具［4］。模糊集能有效對模糊信息及不確定性信息進行客觀表達和有效度量，解決了很多的現(xiàn)實問題。例如：過濾冗余信息并提取關(guān)鍵特征的模糊決策［5］；從模糊前提集中得到模糊結(jié)論的模糊推理［6］；能明顯降低時間復(fù)雜度的模糊計算［7］；某些聚類問題中有更好聚類效果的模糊聚類［8］。模糊集已發(fā)展出豐富的推廣集，比如Zadeh 的二型模糊集能同時對個體內(nèi)和個體間的不確定性建模［9］；Gorzafczany 的區(qū)間值模糊集更加適用于隸屬函數(shù)不易確定的情況［10］；Atanassov的直覺模糊集能更細膩的描述客觀世界的模糊性本質(zhì)［11］；Yager 的Pythagorean 模糊集拓寬了直覺模糊集的適用范圍［12］；Cuong 等的圖片模糊集比直覺模糊集更加全面地描述模糊情景［13］。由于粗糙集與模糊集具有典型的互補性，兩者的結(jié)合一直是粗糙集模型擴展的重要方向。1990 年Dubois 等提出模糊粗糙集［14］，之后很多學(xué)者研究了vague 粗糙集［15］及模糊區(qū)間粗糙集［16］等，為模糊信息在模糊知識發(fā)現(xiàn)與近似推理提供了計算模型，有效解決了模糊信息屬性約簡及規(guī)則提取問題。1998 年Chakrabarty等提出直覺模糊粗糙集［17］，為直覺模糊信息的知識發(fā)現(xiàn)與近似推理提供了計算依據(jù)。隨著多論域、多異構(gòu)、多需求數(shù)據(jù)的不斷出現(xiàn)，粗糙集模型及理論仍然是復(fù)雜數(shù)據(jù)智能約簡與科學(xué)建模的重要方法之一。

粒計算［18］是近年來發(fā)展迅速且融合了粗糙集、模糊集、商空間等多種理論的智能計算框架。其基本思想是人類抽象和表達知識的形式化方法。知識粒具有層次結(jié)構(gòu)，通過分解與合成策略可將復(fù)雜問題粒與簡化問題粒進行映射和聚合，得到解決復(fù)雜問題的有效方法。吳明芬等為研究知識粒的分解而提出一種不同的雙論域粗糙集模型［19］，該模型在兩個近似空間(U,R1)和(V,R2)基礎(chǔ)上，構(gòu)建出新的近似空間(U×V,R1∏R2)，并將其稱為積近似空間。其中R1ΠR2為笛卡爾積(U×V)上的一個二元等價關(guān)系。吳明芬等還將這種近似空間推廣到模糊環(huán)境［20］，提出積模糊粗糙集和積近似空間中可定義集的分解問題，將多維對象元組的積粗糙集數(shù)據(jù)處理問題轉(zhuǎn)化為一維粗糙集模型合成運算，以有效提高復(fù)雜模型計算效率，降低計算復(fù)雜度。

將直覺模糊積粗糙集進行分解與組合研究，探尋積模型可計算性和形式化表達，揭示其分解與組合之間轉(zhuǎn)換的客觀規(guī)律無疑具有重要意義。文章在吳明芬等提出的積模糊粗糙集基礎(chǔ)上將集合擴展到直覺模糊集，而且將算子擴展到更一般的三角模運算；定義了直覺模糊近似空間的積等價關(guān)系和直覺模糊近似空間的積近似空間；研究了基于直覺模糊知識粒的積粗糙集模型表示、分解及合成規(guī)律。

2 基礎(chǔ)知識

定義1［21］（直覺模糊集）設(shè)U是一個給定論域，則U上的一個直覺模糊集A={＜x,μA(x),γA(x)＞|x∈U}。其中μA(x):U→[0,1]和γA(x):U→[0,1]分別代表A 的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，且?x∈U,0 ≤μA(x)+γA(x)≤1。U上的所有直覺模糊集構(gòu)成的集合表示為IF(U)。

為表達簡潔，本文有時用格表示直覺模糊集［22］，即將上述映射A:U→L記為A(x)=(μA(x),γA(x))。其中L={＜μ,γ＞∈[0,1]2|μ+γ≤1}，其單位元為1L=(1,0)，零元為0L=(0,1)。后面出現(xiàn)的L含義相同。

對于任一非空子集A?L，?(μ,γ)∈A，A的上下確界有如下定義：

定義2［22］直覺模糊三角模［22］T（直覺模糊t-模），S（直覺模糊s-模）稱為t-可表示的，若存在對偶模糊t- 模t和s- 模s滿足，?x,y∈L，T(x,y)=(t(x1,s(x2,y2))和S(x,y)=(s(x1,y1),t(x2,y2))。

一對t-可表示的直覺模糊t-模T和直覺模糊s-模S關(guān)于標(biāo)準直覺模糊否定算子N對偶，即

一種特殊的直覺模糊三角?！猌adeh 算子（模糊環(huán)境下Zadeh算子為∧，∨）：

定義3［21］（單論域上的直覺模糊關(guān)系）設(shè)論域U，直積U×U上的一個直覺模糊集R稱為一個直覺模糊關(guān)系，記為R(x,y)={＜(x,y),μR(x,y),γR(x,y)＞|(x,y)∈U×U}其中(μR(x,y),γR(x,y))∈L。

定義4［21］設(shè)R∈IF(X×Y)，P∈IF(Y×Z)是兩個直覺模糊關(guān)系，則它們的合成關(guān)系R?P∈IF(X×Z) 定義為R?P={＜(x,z),μR?P(x,z),γR?P(x,z)＞|x∈X,z∈Z}。其中：

為直覺模糊集A在近似空間IFSA上的粗糙集。其中ψ為直覺模糊蘊含算子。

對偶性不是任意直覺模糊粗糙集都具備的，所以在這里有近似空間算子上的限制——蘊涵算子限制為直覺模糊S-蘊涵算子ψN,S。具有對偶性的直覺模糊粗糙集可以用矩陣簡單表示。

定理2 設(shè)IFAS=(U,R,ψS,N,T)（各參數(shù)含義同定理1），論域U={u1,u2,…,un}，U上的一個直覺模糊等價關(guān)系R，記為R=(rij)n×n。 ?A∈IF(U)，記為A=(a1,a2,…,an)T。則，

其中矩陣乘運算“*”中的元素乘運算為T運算，元素“乘積”的和運算為求上確界運算sup。

證明：根據(jù)矩陣運算的形式對照即可得到式（1）。根據(jù)定理1，另外直覺模糊集的補運算算子是標(biāo)準的直覺否定算子，即為對合算子，可知式（2）必然成立。

作為直覺模糊粗糙集的矩陣表示，式（1）只是在表達方式上和矩陣運算進行了對應(yīng)，故不需要限制條件，而式（2）建立在直覺模糊粗糙集的對偶性基礎(chǔ)上。

3 直覺模糊近似空間的積近似空間

將吳明芬等的積模糊粗糙集模型推廣到直覺模糊的情況，并將算子推廣到三角模。同時為保留更好的性質(zhì)，將定義中用到的模糊t-模和s-模限定為一對對偶算子。在此前提下給出直覺模糊積等價關(guān)系和相應(yīng)近似空間的定義，構(gòu)造相應(yīng)的粗糙集模型。

3.1 直覺模糊積等價關(guān)系

引理1 對于三角模T（模糊或直覺模糊的t-?；騭-模）有T(T(a,b),T(c,d))=T(T(a,c),T(b,d))

證明：根據(jù)T的交換律和結(jié)合律：

定理3 定義7 在U×V上的直覺模糊關(guān)系R1∏R2為等價關(guān)系。

證明：只證傳遞性。

又因為R1，R2是傳遞的，即R1?R1(u,u″)≤R1(u,u″)，R2?R2(v,v″)≤R2(v,v″)，且T具有單調(diào)性，可知

3.2 計算積直覺模糊等價關(guān)系的算法原理

直覺模糊元素A(xi)=(μA(xi),γB(xi))組成的矩陣上可定義類似兩個矩陣Kronccker積的運算。

定義8 設(shè)A=(aij)n×n，B=(bkl)m×m，aij,bkl∈L

其中L={（μ,γ)|μ,γ≤1且μ+γ≤1}，則A，B矩陣的廣義Kronccker 積為A?B=(T(aij,B))mn×mn，其中T(aij,B)=(T(aij,bkl))m×m，從而

證明：由定義7和定義8可得出結(jié)論。

定理4 可作為基于兩個直覺模糊等價關(guān)系的積關(guān)系算法的原理。具體算法省略。

3.3 直覺模糊近似空間的積近似空間

定義9 設(shè)(U,R1)，（V,R2)為兩個直覺模糊近似空間，則稱(U×V,R1∏R2)為這兩個直覺模糊空間的積近似空間，即為一個二維積近似空間。

定義10 設(shè)兩個直覺模糊近似空間(U,R1)，（V,R2) 的積近似空間(U×V,R1∏R2) ，對于?(u,v)∈U×V，?M∈IF(U×V) 關(guān)于直覺模糊等價關(guān)系R1∏R2的上、下近似分別為

因為直覺模糊積粗糙集本質(zhì)上依然是直覺模糊粗糙集，其關(guān)系本質(zhì)上依然是二元關(guān)系，所以直覺模糊積粗糙集依然具有直覺模糊粗糙集的基本性質(zhì)、單調(diào)性、冪等性、對偶性等。同樣對偶性目前也僅限于(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)直覺模糊積近似空間。

3.4 求直覺模糊積粗糙集的算法原理

根據(jù)定義8、定義10、定理2、定理4 以及直覺模糊積近似空間(U×V,R1∏R2,ψS,N,T)上的上、下近似的對偶性，給出其粗糙集的算法原理，具體算法省略。

4 直覺模糊積近似空間知識粒的分解

積近似空間是將兩個論域的等價關(guān)系合成一個論域的等價關(guān)系，本質(zhì)上是知識粒合成。反過來，能不能將一個論域的等價關(guān)系分解為兩個論域的，即進行知識粒的分解？吳明芬等首先提出這種分解的思想和概念，并研究了精確集和模糊集的情況，但對積模糊粗糙集的分解退化到了粗糙模糊集的情況，如下面所引定理5。為進一步研究直覺模糊積粗糙集的分解，本文補充研究了積模糊粗糙集的分解。

先補充說明模糊集和精確集的表示方法。分別用F(U)和P(U)表示論域U上的所有模糊集和精確集。

定義11 設(shè)M∈F(U×V) ，若存在X∈F(U) ，Y∈F(V)，對?(u,v)∈U×V，有模糊三角模t，使得M(u,v)=t(X(u),Y(v))成立，則稱模糊集M是t模可分解的。 特別如M∈P(U×V) ，且存在X∈P(U) ，Y∈P(V) ，使得M=X×Y，則稱集合M是清晰可分解的。

此定義將吳明芬等的模糊可分解定義［20］擴展到了模糊t-?？煞纸?。

定義12 設(shè)兩個模糊近似空間(U,R1)，（V,R2)的積近似空間(U×V,R1∏R2)，模糊等價關(guān)系R1∏R2((u,v),(u′,v′))=t(R1(u,u′),R2(v,v′)) 。對于?(u,v)∈U×V，?M∈F(U×V)關(guān)于直覺模糊等價關(guān)系R1∏R2的上、下近似分別為

定義13 設(shè)M∈IF(U×V)，若存在X∈IF(U)，Y∈IF(V), 使 得 對 ?(u,v)∈U×V,M(u,v)=T(X(u),Y(v))成立，則稱直覺模糊集M是T可分解的。

定理7 設(shè)有限論域U，V。M∈IF(U×V)是T可分解的，當(dāng)且僅當(dāng)存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，直覺模糊t-模T，使得M=X?Y。

證明：根據(jù)定義8和定義13可知結(jié)論成立。

例：設(shè)U={u1,u2}，V={v1,v2}，U×V={(u1,v1),(u1,v2),(u2,v1),(u2,v2)} ，若有M∈IF(U×V) ，且M=(＜0.6,0.2 ＞,＜0.4,0.6 ＞,＜0.3,0.5 ＞,＜0.7,0.1 ＞)T,則可驗證M不是直覺模糊TM模可分解的。

定理8 設(shè)(U1,R1,∨,∧)，(V,R2,∨,∧)是直覺模糊近似空間，M∈IF(U×V)是直覺模糊Zadeh算子∧可分解的，即存在X∈IF(U)，Y∈IF(V)，使得對?(u,v)∈U×V，均有M(u,v)=X(u)∧Y(v) 成立，則對?(u,v)∈U×V有

從以上結(jié)果可知，二維模糊積近似空間的模糊可分解集確實可用一維模糊近似空間的知識粒表示。同樣，直覺模糊積近似空間的直覺模糊可分解集也可用一維直覺模糊近似空間上的知識粒來表示。

5 結(jié)語

本文基于直覺模糊知識粒視角研究了直覺模糊環(huán)境下積模型的分解與合成：通過一維直覺模糊知識粒合成了相應(yīng)的二維模糊知識粒，分析了任意二維直覺模糊知識粒的分解性問題，驗證了存在不可分解的情況，得到了直覺模糊積模型變換的一些重要結(jié)論。目前對于復(fù)雜模糊知識粒的分解和合成問題仍處于初級研究階段，深入研究復(fù)雜模糊知識粒的相互轉(zhuǎn)化這一科學(xué)問題，尤其是復(fù)雜模糊知識?？煞纸庑耘卸ê椭庇X模糊邏輯研究對于復(fù)雜模糊場景建模與推理具有重要的現(xiàn)實意義，這也是本文下一步研究方向。