寧建國(guó)

(北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

近二十年來(lái)，分岔問(wèn)題日益受到廣泛關(guān)注，其原因是在整個(gè)20世紀(jì)，力學(xué)與物理領(lǐng)域的許多重要進(jìn)展大多與分岔問(wèn)題有關(guān)。例如，20世紀(jì)40年代，荷蘭力學(xué)家柯伊塔關(guān)于彈性系統(tǒng)屈曲后行為的研究，卡門-錢關(guān)于圓柱殼臨界載荷的研究；20世紀(jì)60年代，洛倫茲關(guān)于奇怪吸引子的發(fā)現(xiàn)等等，都是和分岔問(wèn)題相關(guān)的。20世紀(jì)后半葉，大量關(guān)于非線性力學(xué)問(wèn)題的提出，特別是對(duì)這些問(wèn)題數(shù)值方法的發(fā)展，都或多或少會(huì)遇到分岔問(wèn)題。因此，從更為一般的觀點(diǎn)研究和探討分岔問(wèn)題就成為很自然的一個(gè)研究方向。武際可與黃克服教授帶領(lǐng)他們的研究生經(jīng)過(guò)二十多年在這一方向上的合作研究和探索，成果豐富。他們的專著《分岔問(wèn)題及其計(jì)算方法》[1]（北京理工大學(xué)出版社2019年7月出版），是他們多年在這一方向上研究成果的總結(jié)，也是這一方向上出現(xiàn)的許多優(yōu)秀著作之一。

分岔問(wèn)題實(shí)質(zhì)是非線性問(wèn)題，對(duì)它的理解與認(rèn)識(shí)復(fù)雜且有一定難度[2-3]。而非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)離散化后一般表現(xiàn)為高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，該類問(wèn)題的求解是目前計(jì)算力學(xué)問(wèn)題的挑戰(zhàn)性的課題[4-7]?！斗植韱?wèn)題及其計(jì)算方法》從動(dòng)力系統(tǒng)的等價(jià)和等價(jià)類出發(fā)，另辟蹊徑給出了以等價(jià)類來(lái)定義分岔的新途徑，討論了動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、局部和全局分岔、靜分岔與霍普夫分岔等問(wèn)題，并且詳細(xì)介紹了弧長(zhǎng)法為代表的數(shù)值計(jì)算方法。同時(shí)，作為算例給出了一些重要實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果，如冷卻塔的穩(wěn)定性問(wèn)題、旋轉(zhuǎn)殼的大變形問(wèn)題。本書給讀者提供了一條求解這類動(dòng)力系統(tǒng)問(wèn)題的路徑，給出了一些求解分岔問(wèn)題的思路和可能有效的探求方向。

該書共分5章，一個(gè)緒論。在緒論章節(jié)，仔細(xì)討論了在旋轉(zhuǎn)的光滑大圓環(huán)上一個(gè)小圓環(huán)在重力場(chǎng)中的平衡問(wèn)題，引出一個(gè)系統(tǒng)具有分岔現(xiàn)象的條件，介紹了各種各樣的分岔現(xiàn)象并且簡(jiǎn)述了分岔問(wèn)題研究的歷史、現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢(shì)。第1章是動(dòng)力系統(tǒng)分岔的一些基本概念，包括動(dòng)力系統(tǒng)的定義、動(dòng)力系統(tǒng)的等價(jià)和等價(jià)類、分岔的定義；第2章是分岔的性質(zhì)，包括平衡解的靜分岔和霍普夫分岔、動(dòng)力系統(tǒng)的全局分岔以及拓?fù)涠鹊睦碚摷捌湓诜植韱?wèn)題中的應(yīng)用；第3章是弧長(zhǎng)法，包括弧長(zhǎng)法的定義、求解非線性方程組的數(shù)值方法以及弧長(zhǎng)法在分岔問(wèn)題中的應(yīng)用；第4章是平衡解靜分岔的計(jì)算，包括分岔點(diǎn)的判斷與計(jì)算、分岔方向的尋求、若干數(shù)值算例以及分岔問(wèn)題的簡(jiǎn)化；第5章是霍普夫分岔的數(shù)值方法及閉軌追蹤，包括周期函數(shù)的插值、霍普夫分岔點(diǎn)的確定、周期解的追蹤以及同宿和異宿軌道的尋求。該書的特點(diǎn)是不僅介紹基礎(chǔ)理論知識(shí)，還通過(guò)若干數(shù)值算例，幫助讀者思考和認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題，深化理論基礎(chǔ)，拓展研究方法。

該書從動(dòng)力系統(tǒng)的等價(jià)和等價(jià)類出發(fā)，給出了以等價(jià)類來(lái)定義分岔的新途徑，并定義分岔點(diǎn)是系統(tǒng)這樣的狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)任意微小改變將會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)等價(jià)類的改變。該書同時(shí)對(duì)線性非自治系統(tǒng)的等價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了討論。在此之前，人們?cè)谟懻摼€性動(dòng)力系統(tǒng)的等價(jià)類時(shí)，總是對(duì)自治系統(tǒng)即其改變量方程為常系數(shù)線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)的，但實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常要和非自治系統(tǒng)打交道。一般的線性非自治系統(tǒng)的等價(jià)類問(wèn)題非常復(fù)雜，但對(duì)于周期系數(shù)的系統(tǒng)，存在一個(gè)變換，能夠把它變?yōu)樽灾蜗到y(tǒng)。此外，還對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性、局部和全局分岔、靜分岔與霍普夫分岔等問(wèn)題進(jìn)行了深入細(xì)致地定性分析，從而給出了對(duì)這些問(wèn)題求解的理論基礎(chǔ)。

探討解算高維非線性動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)值方法，是本書著重討論的問(wèn)題，也是本書最重要的特點(diǎn)。很多實(shí)際問(wèn)題的自由度非常多，對(duì)經(jīng)過(guò)離散化后得到的聯(lián)立非線性方程的求解是極其復(fù)雜的，需要開(kāi)展大規(guī)模計(jì)算。分岔問(wèn)題的計(jì)算不僅是分岔點(diǎn)鄰近的問(wèn)題，還涉及大范圍的求解，其通常是從某個(gè)初始狀態(tài)開(kāi)始按照一定的參數(shù)變化追蹤解曲線的過(guò)程。在追蹤解曲線的過(guò)程中，要判斷動(dòng)力系統(tǒng)在解曲線上是否穩(wěn)定，要精確計(jì)算分岔點(diǎn)的位置并找出全部分岔方向。在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，不同的階段需要采用不同的技巧和方法。

弧長(zhǎng)法最早是針對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的靜力分析問(wèn)題提出來(lái)的，但在用計(jì)算機(jī)求解非線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)會(huì)因?yàn)橄禂?shù)矩陣退化而無(wú)法求解[8]。人們經(jīng)過(guò)20多年的失敗和探索后，在20世紀(jì)70年代末，先后由美國(guó)的Wempner和荷蘭的Riks提出了解決方案，后來(lái)被稱之為偽弧長(zhǎng)方法。

武際可和黃克服教授將通常求解含參數(shù)的代數(shù)方程組的弧長(zhǎng)算法推廣到求解含參數(shù)的常微分方程組的求解。通過(guò)一系列算例（如歐拉壓桿問(wèn)題、集中力作用下的圓拱問(wèn)題、薄壁梁的側(cè)向失穩(wěn)、旋轉(zhuǎn)殼的穩(wěn)定性分析、Van del Pol方程的閉軌及洛倫茲方程的周期解等）展示了該方法的有效性和準(zhǔn)確性。而后又把求解常微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的偽弧長(zhǎng)算法延伸用來(lái)求解微分動(dòng)力系統(tǒng)中的雙曲偏微分方程的 Burgers 奇異性問(wèn)題，并總結(jié)歸納出偽弧長(zhǎng)算法的基本思想定義為通過(guò)在解曲線上引入偽弧長(zhǎng)參數(shù)，并增加一個(gè)約束方程，使得在偽弧長(zhǎng)參數(shù)作用下，原始離散單元發(fā)生扭曲形變，從而達(dá)到消除或減弱奇異性的目的。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了一套求解分岔問(wèn)題的數(shù)值方法，如果能夠?qū)⑦@一數(shù)值方法嵌入到大型非線性結(jié)構(gòu)分析程序中去，就能夠有效地分析任何復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性變形過(guò)程。

弧長(zhǎng)方法作為最古老和最經(jīng)典的參數(shù)方法被應(yīng)用到很多領(lǐng)域，該方法屬于引入?yún)?shù)類方法中的一種，通過(guò)將原來(lái)的曲線添加引入弧長(zhǎng)參數(shù)，將求解計(jì)算問(wèn)題的空間變換，進(jìn)而使得求解問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。曲線參數(shù)化是將一條曲線建立對(duì)應(yīng)參數(shù)方程的過(guò)程，而弧長(zhǎng)參數(shù)化是指以曲線自身的弧長(zhǎng)作為變量參數(shù)，建立弧長(zhǎng)參數(shù)方程。如果用弧長(zhǎng)參數(shù)曲線表示點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，那么運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的變量值表示軌跡的長(zhǎng)度，這樣很多難以直接表述的參數(shù)空間就可以直接通過(guò)引入弧長(zhǎng)參數(shù)來(lái)描述，通過(guò)參數(shù)變化給出容易處理的參數(shù)方程。該方法對(duì)于非線性問(wèn)題的求解具有較大的潛力。尚待進(jìn)一步研究開(kāi)發(fā)，特別是對(duì)于那些具有快速過(guò)度以及強(qiáng)間斷問(wèn)題會(huì)顯出特別的優(yōu)越性。

筆者近些年受武際可與黃克服教授發(fā)展弧長(zhǎng)方法計(jì)算非線性問(wèn)題和分叉問(wèn)題的啟發(fā)，把它應(yīng)用到大規(guī)模爆炸問(wèn)題的計(jì)算中，得到了良好的效果。文獻(xiàn)[9-10]針對(duì)爆炸與沖擊問(wèn)題的強(qiáng)間斷特點(diǎn)，從物理的角度引入弧長(zhǎng)參數(shù)給出了統(tǒng)一的處理強(qiáng)沖擊間斷的偽弧長(zhǎng)算法。通過(guò)在一維和多維空間引入弧長(zhǎng)參數(shù)，將沖擊間斷問(wèn)題轉(zhuǎn)換到弧長(zhǎng)空間的連續(xù)函數(shù)，進(jìn)而在高分辨率處理沖擊波問(wèn)題上給出非常理想的結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，將偽弧長(zhǎng)算法應(yīng)用于求解爆炸與沖擊問(wèn)題過(guò)程中，先后發(fā)展出局部偽弧長(zhǎng)算法與全局偽弧長(zhǎng)算法（偽弧長(zhǎng)自適應(yīng)網(wǎng)格算法），通過(guò)偽弧長(zhǎng)變換來(lái)捕捉爆炸與沖擊波陣面，建立了爆炸與沖擊問(wèn)題的偽弧長(zhǎng)算法的基礎(chǔ)理論體系及工程實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算求解方法，成功解決了三維爆炸與沖擊問(wèn)題沖擊波的追蹤與捕捉這一難題，有力促進(jìn)了三維雙曲型方程計(jì)算與求解的發(fā)展。

分岔現(xiàn)象是非線性動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，也是一類十分有趣的、并且很復(fù)雜的研究方向，數(shù)值方法已經(jīng)成為解決分岔或其他奇異性問(wèn)題的主要手段。武際可和黃克服教授的《分岔問(wèn)題與計(jì)算方法》是一本值得相關(guān)科研工作者學(xué)習(xí)的參考書。