陳良港 ，張 方，張建光，蔣 祺，朱 偉

（1.南京航空航天大學(xué)機械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點實驗室，江蘇 南京 210016；2.昆山華恒焊接股份有限公司，江蘇 昆山 215300）

移動機械臂由可移動底座和機械臂組成，兼具了移動底座的移動性和機械臂的靈活性，由于這些優(yōu)勢移動機械臂在許多方面都有應(yīng)用，例如倉儲物流、汽車裝配等。然而移動機械臂的高冗余度和靈活性使得運動控制問題變得復(fù)雜，其運動學(xué)建模與控制可分為2 種基本方法。一些研究學(xué)者認(rèn)為移動底座和機械臂是2 個獨立的子系統(tǒng)，該方法側(cè)重于解耦2 個子系統(tǒng)的控制，這使得無法使用一個控制器控制系統(tǒng)。其他研究者則將移動底座和機械臂視為一個系統(tǒng)，考慮它們之間的動態(tài)影響。由于本文的任務(wù)要求機械手和底座同時工作，故本文采用后一種方法。

在運動控制背景下，移動機械臂的協(xié)調(diào)控制通常忽略移動底座與機械臂運動跟蹤精度的差異，并且不考慮機械臂的關(guān)節(jié)極限。單位對偶四元數(shù)相比于齊次變換矩陣更加緊湊，計算效率更高，已經(jīng)被用于機器人運動學(xué)建模和位姿控制。本文針對冗余移動機械臂，采用單位對偶四元數(shù)來進行運動學(xué)建模，并由對偶四元數(shù)微分求得微分運動方程。通過閉環(huán)算法來進行運動學(xué)控制，在不影響主任務(wù)的前提下，使關(guān)節(jié)變量盡可能接近關(guān)節(jié)極限范圍的中點。

1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1.1 四元數(shù)

1.2 對偶四元數(shù)

2 移動機械臂運動學(xué)模型

本文所采用的非完整移動機械臂模型由差速驅(qū)動底座和六軸機器人組成，如圖1 所示。

圖1 移動機械臂簡化模型

采用MD-H 參數(shù)法建立六軸機器人的運動學(xué)模型，圖2 為所有關(guān)節(jié)角為零位時連桿坐標(biāo)系的分布情況，由圖2 得MD-H 參數(shù)見表1。

圖2 六軸機器人簡化圖和坐標(biāo)分布

表1 六軸機器人MD-H 參數(shù)

圖3 差速驅(qū)動底座簡化示意圖

3 移動機械臂微分運動學(xué)

對任意的關(guān)節(jié)位形，末端執(zhí)行器速度與關(guān)節(jié)速度之間是線性相關(guān)的，可以通過雅可比矩陣建立起二者的映射關(guān)系。空間雅可比建立末端執(zhí)行器空間運動旋量與關(guān)節(jié)速度之間的映射關(guān)系。

將式（19）對時間求導(dǎo)：

4 移動機械臂運動學(xué)控制

4.1 微分逆運動學(xué)方程

對于冗余系統(tǒng)，從末端執(zhí)行器任務(wù)空間速度到廣義速度映射不唯一，式（31）的通解為：

式中，qiM（qim）表示關(guān)節(jié)極限的最大（最小）值，qˉci表示關(guān)節(jié)范圍的中值。

4.2 閉環(huán)算法

假定任務(wù)空間軌跡與速度，根據(jù)末端執(zhí)行器速度由式（32）得到廣義速度，基于歐拉前向積分法，給定積分時間間隔△t，將速度對時間的積分離散化：

5 仿真及結(jié)果分析

為驗證上述算法，仿真程序在Python 平臺完成，仿真所使用六軸機器人的關(guān)節(jié)角限位見表2。

圖4 閉環(huán)逆運動學(xué)算法框圖

表2 關(guān)節(jié)角度限位

設(shè)定末端執(zhí)行器軌跡表達式為：

圖5 表示運動過程中移動底座位置、轉(zhuǎn)向角和機械臂關(guān)節(jié)角隨時間的變化，可以看出末端執(zhí)行器做曲線線運動時，移動底座在移動平面y 方向運動距離非常小，并且機械臂關(guān)節(jié)變量趨近于關(guān)節(jié)范圍中值的同時變化平穩(wěn)。

圖5 移動機械臂廣義坐標(biāo)變化圖

圖6 表示基于反饋修正后末端執(zhí)行器位置誤差與四元數(shù)表示的姿態(tài)誤差變化圖，可以看出在使用基于反饋修正項的閉環(huán)逆運動學(xué)算法后，誤差在減小并且在數(shù)量級上非常小，在實際應(yīng)用過程中，這將大大減少運動過程中的誤差。

圖6 基于反饋修正的末端執(zhí)行器位姿誤差圖

6 結(jié)論

本文通過單位對偶四元數(shù)來建立冗余移動機械臂的運動學(xué)模型，并由對偶四元數(shù)微分推導(dǎo)出末端執(zhí)行器任務(wù)空間速度間的映射關(guān)系，相比于傳統(tǒng)方法通過齊次變換矩陣來推導(dǎo)更加便捷，無需單獨考慮機械臂與移動底座間的速度傳遞關(guān)系。提出在給定始末姿態(tài)的末端執(zhí)行器軌跡規(guī)劃的方法，通過閉環(huán)逆運動學(xué)來跟蹤軌跡。通過驗證算法有效性，可以看出采用閉環(huán)算法后，位置和姿態(tài)誤差減小顯著，并且各關(guān)節(jié)角在運動過程中軌跡平滑，都趨向于關(guān)節(jié)范圍中值。