廣西南寧市三美學(xué)校（530021） 甘 磊

初三學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的積累已經(jīng)比較豐富，且經(jīng)過(guò)三年的解題訓(xùn)練，解題能力也有明顯提高。但是，在解答一些知識(shí)點(diǎn)比較多，考查綜合能力，尤其是函數(shù)與幾何結(jié)合的題目時(shí)，他們依然覺(jué)得有困難。有的教師為講解這種“大型”題目，在課堂上耗費(fèi)時(shí)間。更糟糕的是，學(xué)生重復(fù)訓(xùn)練此類(lèi)題目，教師也多次重復(fù)講解，教學(xué)效果卻并不盡如人意。

為了解決這一問(wèn)題，筆者站在學(xué)生“學(xué)”的角度去思考，總結(jié)出解答此類(lèi)題目的策略，歸納出此類(lèi)題目的數(shù)學(xué)模型。這樣，學(xué)生在遇到類(lèi)似的問(wèn)題時(shí)，就可以遵循一定的規(guī)律去解決，從而提高解題的效率。

［例1］如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A(4,0)、B(-2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-4)，AC與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D。

圖1

（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥BC交拋物線于點(diǎn)E，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F在射線BE上，若△ABC∽△DFB，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。

解析：

（1）此問(wèn)考查二次函數(shù)的解析式求法，通過(guò)聯(lián)立方程組可得拋物線的表達(dá)式為y=得D(1,-3)。因?yàn)檫@不是本文的重點(diǎn)，所以具體過(guò)程省略。

（2）此問(wèn)增加的條件是兩條線的垂直關(guān)系，而題目要求點(diǎn)坐標(biāo)的值，從而易聯(lián)想到點(diǎn)坐標(biāo)的值可轉(zhuǎn)換成垂線段長(zhǎng)度。而轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是通過(guò)三角形相似或者三角函數(shù)。過(guò)程如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H。設(shè)E（x,y），

圖2

相關(guān)解題思路和基本模型可以通過(guò)如下示意圖來(lái)體現(xiàn)。

（3）增加的條件是點(diǎn)的坐標(biāo)以及相似三角形，依然是求點(diǎn)的坐標(biāo)，同樣容易聯(lián)想到通過(guò)求點(diǎn)與x軸（或y軸）的垂線段長(zhǎng)度，從而轉(zhuǎn)換成點(diǎn)坐標(biāo)的值。解題思路跟（2）差不多，但是比（2）難的地方是，反過(guò)來(lái)利用了點(diǎn)坐標(biāo)的值，轉(zhuǎn)換成垂線段長(zhǎng)度，再用三角函數(shù)得到角度，從而確定F點(diǎn)的位置。過(guò)程如下：

如圖3，∵△ABC∽△DFB，

圖3

∴∠BDF=∠BAC=45°，

∴點(diǎn)F在拋物線的對(duì)稱軸上。

∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

相關(guān)解題思路和基本模型可以通過(guò)如下示意圖來(lái)體現(xiàn)。

解題總結(jié)：

已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可以通過(guò)把坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換成線段長(zhǎng)度，從而可以運(yùn)用幾何圖形的性質(zhì)，并通過(guò)三角函數(shù)或者相似三角形將線段的數(shù)量關(guān)系找出來(lái)，用解方程來(lái)求出線段的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)。也就是說(shuō)，解決此類(lèi)問(wèn)題，可以遵循以下思考步驟。

（1）確定已知了哪些點(diǎn)坐標(biāo)，它們可以轉(zhuǎn)換成哪些線段的長(zhǎng)度；

（2）明確有什么樣的幾何圖形，這些圖形有什么特性；

（3）利用相似三角形或者三角函數(shù)得到“數(shù)與形”的關(guān)系；

（4）建立求解的方程；

（5）把線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換成點(diǎn)坐標(biāo)。

［例2］如圖4，已知拋物線y=+bx+c經(jīng)過(guò)A，B，C三個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A(9,10)，點(diǎn)B(0,1)，BC∥x軸，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)。

圖4

（1）求拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線l與直線AB、BC分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)四邊形BECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形BECP的最大面積；

（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

本題的第（3）小問(wèn)與本文闡述的觀點(diǎn)相關(guān)，所以筆者重點(diǎn)講解第（3）小問(wèn)。解題的思路基本遵循文中闡述的解答此類(lèi)題目的規(guī)律：通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成線段長(zhǎng)度，并利用三角函數(shù)找到相等的角，從而確定相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立方程，得到線段長(zhǎng)度再轉(zhuǎn)換成點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（1）∵點(diǎn)A(9,10)，B(0,1)在拋物線上，

（2）∵BC∥x軸，B(0,1)，∴-2x+1=1，解得x1=6，x2=0（舍去），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)(6,1)，∵點(diǎn)A(9,10)，B(0,1)，∴直線AB的解析式為y=x+1。

［例3］如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=+bx+c與x軸 交于點(diǎn)B(-2,0)和點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的射線與y軸相交于點(diǎn)E，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為F，且。

圖5

（1）求這條拋物線的解析式，并寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）求∠FBA的余切值；

（3）點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，且∠BFP=∠DBA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）把C(0,-3)代入得c=-3，∴拋物線的解析式為y=

（2）如圖6，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M。

圖6

（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，C(0,-3)，點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，

∴D(2,-3)，∴cot∠DBA=，∴∠FBA=∠DBA。

如圖7 所示，當(dāng)點(diǎn)P在BF的上方時(shí)，∠PFB=∠DBA=∠FBA，∴PF∥AB，∴yp=yF=6。

圖7

由（2）可知F(6,4k)，∴F(6,6)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6)。

如圖8所示，當(dāng)點(diǎn)P在BF的下方時(shí)，

圖8

設(shè)FP與x軸的交點(diǎn)為G(h,0)，則∠PFB=∠FBA，可得到FG=BG，∴(6-h)2+62=(h+2)2，解 得。

設(shè)PF的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)F和點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,6)或。

［例4］如圖9，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線y=分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B、C。拋物線bx+c過(guò)點(diǎn)C，與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)A、B。點(diǎn)D在該拋物線上，且位于直線BC的上方。

圖9

（1）求上述拋物線的表達(dá)式；

（2）連接AC、AD，且AD交BC于點(diǎn)E，如果△ABE的面積與△ABC的面積之比為4∶5，求∠DBA的余切值；

（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連接CD。若△CFD與△AOC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

∴拋物線的解析式為y=

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，如圖10所示，

圖10

當(dāng)y=0時(shí)，-2=0，解得x1=-4（舍去），x2=1，則A(1,0)。

在Rt△AHE中，cot∠EAH=即。

（3）∠BOC=∠DFC=90°。若∠DCF=∠BCO，△DCF∽△BCO，如圖11，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥DC交x軸于點(diǎn)Q，∵∠DCQ=∠BOC=90°，∴∠DCF+∠BCQ=90°，即∠BCO+∠BCQ=90°，而∠BCO+∠CBO=90°，∴∠BCQ=∠CBO，∴QB=QC，

圖11

設(shè)Q(t,0)，則t+4=，解得，

整理得8k2-3k=0，解得k1=0（舍去），k2=

如圖12，若∠DCF=∠CBO，△DCF∽△CBO，則CD∥BO，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，

圖12

把y=2 代入y=--得+2=2，解得x1=-3，x2=0（舍去），∴D(-3,2)。

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或(-3,2)。

綜上可知，題目是千變?nèi)f化的，我們?cè)谥v解題目的過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生去尋找數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行歸類(lèi)，使學(xué)生慢慢會(huì)總結(jié)出解題的基本思路，進(jìn)而順利解決問(wèn)題。