解曦宇，馬志遠(yuǎn)，林 莉

（大連理工大學(xué)無損檢測研究所，大連 116085）

MCR 可定量表示微觀結(jié)構(gòu)及其固有隨機(jī)性，并建立統(tǒng)計(jì)等效的微觀結(jié)構(gòu)樣本[1]，從而建立正向和反向PSP 關(guān)系，來分析已知結(jié)構(gòu)的材料性能或根據(jù)所需要的屬性設(shè)計(jì)材料結(jié)構(gòu)及加工方法，已成為材料科學(xué)前沿研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一[2-4]。常見的MCR 方法有隨機(jī)場[5]、紋理合成[6]、相關(guān)函數(shù)[7]、物理描述符[8]等。在針對多相非均質(zhì)材料的MCR 研究中，隨機(jī)場重建結(jié)果的各相占比可控，但是其宏觀結(jié)構(gòu)與實(shí)際樣本形貌存在差異，相關(guān)函數(shù)重建的計(jì)算成本大，物理描述符難以準(zhǔn)確識別多相材料中各相顆粒的幾何特征，目前均應(yīng)用不多。

紋理合成起源于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，廣泛應(yīng)用于遮擋填充、圖像修復(fù)等領(lǐng)域，由于該方法具有計(jì)算成本小，重建結(jié)果更接近樣本真實(shí)形貌的特點(diǎn)，近年來逐漸被應(yīng)用到MCR 中，目前已成功應(yīng)用于多相、各向異性、動態(tài)材料系統(tǒng)重建。Sundararaghavan[9]最先將紋理合成算法應(yīng)用于單相與雙相材料的MCR，針對銀鎢復(fù)合材料與多晶微觀結(jié)構(gòu)，使用沿x、y和z平面獲得的3 個(gè)正交二維截面圖像重建了對應(yīng)的微觀結(jié)構(gòu)，該研究證明了紋理合成重建微觀結(jié)構(gòu)的可行性，但其算法優(yōu)化不完善，計(jì)算效率低。Liu 等[10]在此基礎(chǔ)上將紋理合成算法應(yīng)用于三相材料，研究結(jié)果證明了其用于重建多相非均質(zhì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可行性，但僅保證了重建結(jié)果中結(jié)構(gòu)的相似性，沒有對材料中各相占比進(jìn)行調(diào)控。

為了對MCR 重建效果進(jìn)行評估，通常需要評價(jià)所建模型的統(tǒng)計(jì)等效性。相關(guān)函數(shù)作為驗(yàn)證圖像統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的表征方法，已廣泛用于MCR 重建結(jié)果有效性的驗(yàn)證中。常采用的有兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)[11]、兩點(diǎn)聚類相關(guān)函數(shù)[12]、線性相關(guān)函數(shù)[13]等。其中，兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)具有信息豐富、計(jì)算簡便的特點(diǎn)，應(yīng)用較為廣泛。本研究以具有多相非均質(zhì)特性的AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層作為樣本，采用紋理合成算法對其進(jìn)行二維微觀結(jié)構(gòu)表征與重建，并以顆粒數(shù)量與各相面積分?jǐn)?shù)為參數(shù)進(jìn)行算法優(yōu)化，通過計(jì)算重建結(jié)果的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)方差對算法優(yōu)化有效性及重建效果進(jìn)行評價(jià)。

1 原理

1.1 紋理合成

應(yīng)用于MCR 的紋理合成算法通常假定樣本服從馬爾可夫隨機(jī)場紋理模型，這意味著樣本中任意一點(diǎn)像素值的條件概率分布僅與其相鄰像素值相關(guān)，而與樣本的其余部分無關(guān)，因此可將材料的金相照片視為紋理并保留其結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性。紋理合成通過窮盡搜索來重建圖像，通過按特定順序逐像素（或體素）重建，搜索到原始圖像中的鄰域匹配性最佳的像素作為重建圖像的像素值。為了降低計(jì)算成本并確保重建的統(tǒng)計(jì)等效性，常使用高斯金字塔或拉普拉斯金字塔進(jìn)行多分辨率合成[14]。本研究選擇使用較為常用的高斯金字塔，其由連續(xù)的濾波和下采樣操作構(gòu)建而成。

紋理合成整體過程如圖1所示，首先針對金相照片進(jìn)行閾值化、濾波等一系列圖像預(yù)處理，獲得輸入圖像樣本。其次使用因果鄰域?qū)W習(xí)圖像中像素的分布，獲得圖像鄰域數(shù)據(jù)集合，并按照光柵掃描的順序逐像素重建。最后利用高斯金字塔將不同分辨率的圖像堆疊生成重建結(jié)果，其中最低分辨率與最高分辨率的圖像分別位于金字塔的頂部與底部。

圖1 紋理合成過程Fig.1 Texture synthesis process

1.2 算法優(yōu)化

在紋理合成算法重建過程中是根據(jù)原始圖像鄰域中像素的相似性來確定輸出像素的值，所以無法準(zhǔn)確控制圖像中不同相的占比，另外，算法本身需確定合適的鄰域尺寸，遠(yuǎn)小于鄰域尺寸的顆粒易被忽略，致使重建結(jié)果中的顆粒數(shù)量少于原始圖像。為此，本文在原有紋理合成的基礎(chǔ)上進(jìn)行了優(yōu)化，針對重建后的圖像加入顆粒補(bǔ)充與面積分?jǐn)?shù)調(diào)整步驟。優(yōu)化過程流程圖如圖2所示，輸入i+1 相材料的重建圖像，針對其中顆粒尺寸較小的相，參照原始圖像中該相的顆粒數(shù)量，隨機(jī)填充單像素顆粒至圖像中。隨后提取其中的phase1 進(jìn)行面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，利用輪廓識別算法根據(jù)phase1 的占比誤差沿邊緣位置進(jìn)行像素加減。按照此過程對圖像中的所有相進(jìn)行調(diào)整后，合并單相樣本并統(tǒng)計(jì)各相占比，滿足判據(jù)則輸出圖像，不滿足判據(jù)則將圖像重新輸入并繼續(xù)調(diào)整，利用迭代優(yōu)化保證重建結(jié)果與原始圖像的各相占比近似一致。

圖2 優(yōu)化紋理合成算法流程圖Fig.2 Flow chart of optimization texture synthesis

為驗(yàn)證算法優(yōu)化的有效性，以三相非均質(zhì)AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層為研究樣本開展研究。該涂層由金屬基體相鋁硅（AlSi）、非金屬潤滑相聚苯酯（PHB）和孔隙組成[15]。圖3（a）為尺寸500×500 像素的AlSi-PHB封嚴(yán)涂層典型金相照片，其中白色部分為AlSi 相基體，灰黑色部分為PHB 相，其在涂層內(nèi)呈網(wǎng)狀隨機(jī)分布，尺寸在10～150μm 之間，黑色部分對應(yīng)孔隙，主要聚集在聚苯酯周圍，小孔呈近似圓形，大孔形貌不規(guī)則，尺寸范圍5～80μm。

對圖3（a）進(jìn)行二維重建，優(yōu)化前后紋理合成算法重建結(jié)果分別如圖3（b）和（c）所示。觀察可知，優(yōu)化后算法重建效果整體較好，部分相在形態(tài)細(xì)節(jié)上存在差異。以孔隙為例，利用圖像處理軟件Image-Pro Plus 中的平均顆粒直徑統(tǒng)計(jì)函數(shù)統(tǒng)計(jì)孔隙的直徑D，D為以2°間隔測量所有通過顆粒質(zhì)心的直徑的平均長度，優(yōu)化后圖像與原始圖像的統(tǒng)計(jì)結(jié)果見圖4?？芍瑑?yōu)化后圖像與原始圖像的孔隙顆粒直徑平均值分別為20.84μm 和18.30μm，二者之間相差2.54μm。這種差異與紋理合成優(yōu)化算法的原理有關(guān)，優(yōu)化算法利用邊緣輪廓識別與像素加減方式進(jìn)行面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，可能會造成某些顆粒的邊緣部分被填充，導(dǎo)致尺寸較優(yōu)化前偏大。進(jìn)一步考察了優(yōu)化前后單個(gè)孔隙的形態(tài)和尺寸，如圖5所示，優(yōu)化前某孔隙的直徑D為24.18μm，優(yōu)化后為26.32μm，偏大了約2μm。

圖3 AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層二維微觀結(jié)構(gòu)及重建結(jié)果Fig.3 Two-dimensional microstructure and reconstruction results of AlSi-PHB sealing coating

圖4 AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層孔隙直徑統(tǒng)計(jì)結(jié)果Fig.4 Statistical results of pore diameter of AlSi-PHB sealing coating

圖5 優(yōu)化前后孔隙形貌及尺寸Fig.5 Morphology and size of pore before and after optimization

統(tǒng)計(jì)了原始圖像及重建結(jié)果的各相占比，詳見表1?？梢钥闯?，優(yōu)化前重建AlSi 相占比的絕對誤差為2.8%，PHB 相為5.3%，孔隙為2.5%；優(yōu)化后各相占比誤差明顯減小，與原始圖像一致性好。后續(xù)進(jìn)一步利用相關(guān)函數(shù)從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度評價(jià)優(yōu)化算法的有效性。

表1 原始圖像及重建結(jié)果各相占比（面積分?jǐn)?shù)）Table 1 Components of original image and reconstruction results(area fraction) %

1.3 相關(guān)函數(shù)

相關(guān)函數(shù)中包含了材料各相的占比、尺寸、均勻性等信息，可用于對重建結(jié)果圖像質(zhì)量的評價(jià)。在概率空間V中將介質(zhì)劃分為兩個(gè)不相交的隨機(jī)集合或相，表示為V1相和V2相，兩相的占比分別為φ1和φ2，其中φ1+φ2=1.0。對于給定的微觀結(jié)構(gòu)，坐標(biāo)x∈V處的指示函數(shù)I(i)(x)定義為隨機(jī)變量[16]：

兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)定義為I(i)(x1)與I(i)(x2)乘積的數(shù)字期望，表示為

式中，尖括號為線性期望運(yùn)算符。兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)可視為位置x1、x2上的兩個(gè)點(diǎn)都在相i內(nèi)的概率，需要注意的是，式（2）一般適用于有任意多相的微觀結(jié)構(gòu)。對于均質(zhì)且各向同性的介質(zhì)，兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)S2(i)(r)僅與任意兩點(diǎn)位置之間的標(biāo)量距離相關(guān)，其中r=|x1-x2|。

根據(jù)以上定義，如圖6所示，兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)具有以下特性[17]：

圖6 面積分?jǐn)?shù)為16% （φi=0.16）的相i 兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)示意圖Fig.6 Illustration of two-point correlation functions for 16%phase i (φi=0.16)

（1）如果r=0，則S2(i)(r)等于材料相i的面積分?jǐn)?shù)，即S2(i)(0)=φi；

（2）如果r→∞，則S2(i)(r)接近相i面積分?jǐn)?shù)的平方，即S2(i)(r)=φi2；

（3）從原點(diǎn)到相關(guān)函數(shù)曲線的最小距離所對應(yīng)的橫軸坐標(biāo)值r表示顆粒尺度，r越大，則顆粒平均尺寸越大。

后續(xù)需根據(jù)原始圖像與重建結(jié)果的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)誤差來評價(jià)重建質(zhì)量，采用的方差計(jì)算公式為，

式中，S2(sample)(r)為原始圖像的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)；S2(reconstruct)(r)為重建結(jié)果的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)；n為兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的長度。

2 結(jié)果與討論

2.1 優(yōu)化算法有效性評價(jià)

針對圖3（a）封嚴(yán)涂層原始圖像，用上述優(yōu)化前后的算法各重建10 組模型，對重建結(jié)果中的PHB 相和孔隙計(jì)算對應(yīng)的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)、平均兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)及方差，結(jié)果分別見圖7和8。

由上文可知，兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)曲線的零點(diǎn)值與末端值可衡量重建結(jié)果中所含相的占比，從原點(diǎn)到曲線的最小距離所對應(yīng)的r可衡量顆粒尺寸。以PHB 相為例，其占比為43.3%（表2），圖7（a）中兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)值S2(PHB)(0)與末端值S2(PHB)(∞)均偏離實(shí)際值很遠(yuǎn)，且10 組曲線分散程度大，表明重建結(jié)果之間的統(tǒng)計(jì)一致性差。圖7（b）中曲線的零點(diǎn)值與末端值均接近實(shí)際值，且曲線的波動較小，表明重建結(jié)果的面積分?jǐn)?shù)接近原始圖像，同時(shí)具有很高的統(tǒng)計(jì)一致性。對比圖7（c）中的平均兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)曲線發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后重建結(jié)果的面積分?jǐn)?shù)及結(jié)構(gòu)均與原始圖像非常接近，遠(yuǎn)優(yōu)于優(yōu)化前。優(yōu)化后算法的方差為1.6×10-5，遠(yuǎn)低于優(yōu)化前的方差6.6×10-3，表明優(yōu)化后紋理合成重建結(jié)果與原始圖像之間具有較好的統(tǒng)計(jì)等效性。

圖7 重建結(jié)果中PHB 相的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為43.3%）Fig.7 Two-point correlation function of PHB phase in reconstructed image (43.3% of PHB phase)

圖8是重建結(jié)果中孔隙的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，觀察圖8（a）可知，優(yōu)化前兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的零點(diǎn)值S2(PHB)(0)與末端值S2

圖8 重建結(jié)果中孔隙的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)（孔隙占比為3.9%）Fig.8 Two-point correlation function of pore phase in reconstructed image (3.9% of pore phase)

(PHB)(∞)均偏離實(shí)際值很遠(yuǎn)，表明優(yōu)化前重建結(jié)果中孔隙占比偏低。優(yōu)化后的孔隙占比接近實(shí)際值，較優(yōu)化前明顯提升（圖8（b））。由于優(yōu)化算法是通過像素加減實(shí)現(xiàn)各相面積分?jǐn)?shù)調(diào)整，圖8（b）中10 組重建結(jié)果的孔隙形態(tài)存在差異，導(dǎo)致其統(tǒng)計(jì)一致性略有下降。圖8（c）中優(yōu)化后算法的重建結(jié)果與原始圖像的曲線較為相似，且方差小于優(yōu)化前，表明重建結(jié)果中孔隙的統(tǒng)計(jì)等效性較好。在此基礎(chǔ)上，針對研究樣本，利用優(yōu)化后的紋理合成算法進(jìn)行微觀結(jié)構(gòu)的表征與重建。

2.2 微觀結(jié)構(gòu)重建結(jié)果

選取兩張AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層的金相照片作為原始圖像樣本，樣本1 的各相占比為φ（AlSi）=51.1%、φ（PHB）=44.7%、φ（Air）=4.2%，樣本2 的各相占比為φ（AlSi）=51.1%、φ（PHB）=47.0%、φ（Air）=1.9%，使用優(yōu)化后紋理合成算法針對兩張樣本分別重建10 張圖像，濾波后原始圖像及對應(yīng)的重建結(jié)果如圖9所示。

圖9 封嚴(yán)涂層原始圖像及重建結(jié)果Fig.9 Original image and reconstruction results of seal coating

2.3 重建結(jié)果評價(jià)

計(jì)算兩個(gè)樣本重建結(jié)果與原始圖像的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，得到PHB 和孔隙兩相的平均兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，并與原始圖像的結(jié)果進(jìn)行對比，分別見圖10和11。

以樣本1 為例，觀察圖10（a）與（b）可知，優(yōu)化后紋理合成算法重建結(jié)果與原始圖像的曲線零點(diǎn)值和末端值均較為接近，說明重建結(jié)果的PHB 和孔隙兩相占比準(zhǔn)確。圖10（a）中示出了重建結(jié)果曲線距原點(diǎn)最近時(shí)的橫軸坐標(biāo)值r1（紅色）與原始圖像所對應(yīng)的r0（黑色），r1略大于r0，說明重建結(jié)果中PHB 相的平均尺寸略大于原始圖像。圖10（b）中重建結(jié)果的r1與原始圖像的r0幾乎重合，說明重建結(jié)果中孔隙的平均尺寸與原始圖像基本一致。計(jì)算得到PHB 和孔隙兩相的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的方差分別為6.9×10-5與1.9×10-7，說明重建結(jié)果與原始圖像整體匹配較好。

圖10 樣本1 重建結(jié)果的平均兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為44.7%，孔隙占比為4.2%）Fig.10 Average two-point correlation function in the reconstructed image of sample 1 (44.7% of PHB phase and 4.2% of pore phase)

同理分析可知，圖11（a）與（b）中樣本2 重建結(jié)果中各相占比準(zhǔn)確，其中PHB 相的平均尺寸略大于原始圖像，孔隙的平均尺寸接近原始圖像，方差分別為8.8×10-5與1.3×10-7。

圖11 樣本2 重建結(jié)果的平均兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)（PHB 相占比為47.0%，孔隙占比為1.9%）Fig.11 Average two-point correlation function in reconstructed image of sample 2 (47.0% of PHB phase and 1.9% of pore phase)

綜上所述，基于優(yōu)化后紋理合成算法獲得的AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層重建結(jié)果與原始圖像之間具有較好的統(tǒng)計(jì)等效性。需要說明的是，該涂層以AlSi 相作為基體，在重建過程中AlSi 相被視為空白畫布，通過分析填充相PHB 相與孔隙的重建誤差即可間接反映AlSi 相的重建質(zhì)量，因此，文中沒有對AlSi 相的重建結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。

紋理合成優(yōu)化算法是利用邊緣輪廓識別與像素加減方式進(jìn)行各相占比調(diào)整，通過調(diào)節(jié)顆粒的形態(tài)與尺寸達(dá)到面積分?jǐn)?shù)優(yōu)化的目的，并通過顆粒補(bǔ)充的方式修正優(yōu)化帶來的顆粒尺寸誤差，影響重建結(jié)果的因素有顆粒尺寸、形狀及分布等。優(yōu)化算法通過補(bǔ)充單像素尺寸顆粒使重建前后顆粒數(shù)量一致，僅補(bǔ)償了少量的像素?cái)?shù)，剩余的需填充像素通過隨機(jī)方式覆蓋至顆粒的邊緣，導(dǎo)致平均顆粒尺寸偏大且顆粒形狀略有差別。此外，重建過程根據(jù)原始圖像鄰域中各相出現(xiàn)的概率來確定輸出像素的值，對于占比相對較低的相，如本文中占比小于5%的孔隙，其對應(yīng)鄰域被選擇的概率較低，易導(dǎo)致重建圖像中孔隙占比低于實(shí)際值，經(jīng)調(diào)節(jié)顆粒形態(tài)尺寸實(shí)現(xiàn)面積分?jǐn)?shù)一致的同時(shí)，可能引起重建結(jié)果中孔隙平均尺寸偏大。

3 結(jié)論

（1）針對現(xiàn)有紋理合成算法無法準(zhǔn)確控制重建結(jié)果中各相占比的問題，利用顆粒補(bǔ)充、像素加減與邊緣搜索進(jìn)行算法優(yōu)化，提出了一種面積分?jǐn)?shù)可控的MCR紋理合成算法。結(jié)果表明，該算法可在保證材料結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)各相占比一致的準(zhǔn)確重建。

（2）將優(yōu)化后紋理合成算法應(yīng)用于多相非均質(zhì)材料AlSi-PHB 封嚴(yán)涂層的二維MCR，結(jié)合兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)對重建結(jié)果進(jìn)行表征與評價(jià)，表明重建結(jié)果與原始圖像具有較好的統(tǒng)計(jì)等效性。