樊亞楠，李貅*，戚志鵬，魯凱亮

1 長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，西安 710054 2 長(zhǎng)安大學(xué)地球物理場(chǎng)多參數(shù)綜合模擬實(shí)驗(yàn)室(中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)，西安 710054

0 引言

瞬變電磁法采集的信號(hào)為異常體引起的純二次場(chǎng)，具有成本低、裝置輕便、工作效率高等優(yōu)勢(shì)，因而被廣泛應(yīng)用于地下水探測(cè)(Fitterman and Stewart，1986；Foley et al.，2016)、金屬礦勘探(Nabighian and Asten，2002；Vallée et al.，2011；底青云等，2019)、含水采空區(qū)探測(cè)(Li D S et al.，2019)以及隧道超前預(yù)報(bào)(Li Y et al.，2019；Liu et al.，2020)等領(lǐng)域中(孫懷鳳等，2021).然而，瞬變電磁場(chǎng)滿足時(shí)間域擴(kuò)散方程，刻畫的是電磁場(chǎng)的感應(yīng)擴(kuò)散特征，不易于對(duì)電性界面成像(李貅等，2010，2012)，而波動(dòng)場(chǎng)滿足波動(dòng)方程，反映的是波的傳播特性，易于對(duì)地質(zhì)界面成像(薛國(guó)強(qiáng)等，2006).因此，通過(guò)波場(chǎng)反變換將瞬變電磁場(chǎng)轉(zhuǎn)換為虛擬波場(chǎng)，即可借助地震勘探中成熟的成像方法進(jìn)行瞬變電磁擬地震成像(薛國(guó)強(qiáng)等，2011；戚志鵬等，2013；Xue et al.，2013,2019；鐘華森等，2016).

在地震勘探中，Born近似算法可以解決積分方程解非線性的問(wèn)題(Cohen and Bleistein，1977，1979；黃聯(lián)捷和楊文采，1991)，在無(wú)初始速度模型的條件下，可以直接得到深度剖面，克服了偏移算法需要事先給定初始速度模型的缺陷(丁科和宋守根，2004)，因此，該方法被廣泛應(yīng)用于地震勘探成像領(lǐng)域.Cohen和Bleistein(1979)、Bleistein和Cohen(1982)、Bleistein等(2001)假定反射波足夠弱，針對(duì)地震反演中的二維速度變化問(wèn)題將非線性問(wèn)題進(jìn)行線性化處理，率先建立了Born近似逆散射理論.Beylkin(1984)利用Born近似小擾動(dòng)理論，將反演問(wèn)題線性化，引入傅里葉算子求解第一類Fredholm積分方程.Beylkin和Burridge(1990)提出了基于單散射的逆散射算法，進(jìn)一步驗(yàn)證了Born近似算法在對(duì)地震數(shù)據(jù)進(jìn)行線性化時(shí)所起的重要作用；黃聯(lián)捷和楊文采(1991)推導(dǎo)出了2.5維聲波方程的逆散射表達(dá)式，利用傅里葉變換快速獲得速度擾動(dòng)量，使Born近似算法的適用性得以提高.丁科和宋守根(2004)利用逆散射序列對(duì)含有地震多次波信息的數(shù)據(jù)進(jìn)行奇性界面反演，使該方法不僅適用于小擾動(dòng)量介質(zhì)模型的反演，而且對(duì)于大擾動(dòng)量地質(zhì)模型同樣適用；Beylkin(1985)、Mao等(2013)、Ouyang等(2015)提出了二階Born近似的非線性反演算法，克服了一階Born近似僅適用于弱散射介質(zhì)的局限性.

在電法勘探領(lǐng)域，樊亞楠等(2019)在波場(chǎng)反變換基礎(chǔ)上，利用Born近似成像算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)地質(zhì)界面快速成像的目的.由于Born近似算法在弱散射條件下，忽略散射場(chǎng)使方程線性化，導(dǎo)致對(duì)大擾動(dòng)量的成像會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.因此本文在波場(chǎng)反變換的基礎(chǔ)上，借鑒地震勘探上的二階Born近似算法進(jìn)行擬地震成像研究，使得在強(qiáng)散射介質(zhì)中能夠準(zhǔn)確定位地質(zhì)界面的位置和形態(tài).

本文基于波場(chǎng)反變換，將波動(dòng)方程中的總波場(chǎng)和總波速分為兩部分，并運(yùn)用Green定理推導(dǎo)出了一維常背景速度地質(zhì)模型的Born近似表達(dá)式，然后考慮散射序列二階項(xiàng)對(duì)成像結(jié)果的影響，根據(jù)遞推公式，推導(dǎo)出了適用于大擾動(dòng)量模型的二階Born近似成像算法.通過(guò)對(duì)三層、四層模型的解析解以及二維、三維模型的計(jì)算可知，Born近似算法對(duì)地下電性界面成像結(jié)果較差，而二階Born近似算法能夠較為準(zhǔn)確地定位地質(zhì)界面的位置和形態(tài).因此，建立在波場(chǎng)反變換基礎(chǔ)上的二階Born近似成像算法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)大擾動(dòng)地質(zhì)模型界面的準(zhǔn)確定位和快速成像.

1 基本原理

1.1 Born近似算法

由文獻(xiàn)(Lee et al.，1989)可知，瞬變電磁擴(kuò)散場(chǎng)與虛擬波動(dòng)場(chǎng)之間的關(guān)系式為

(1)

其中Hz(r,t)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度的z分量，單位為A·m-1，其滿足的擴(kuò)散方程為

(2)

U(r,τ)表示虛擬波場(chǎng)，其滿足的時(shí)間域波動(dòng)方程為

(3)

虛擬波場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程在頻率域的表達(dá)式可以寫為

(4)

為確保波動(dòng)方程在無(wú)邊界介質(zhì)中解的唯一性，防止波從無(wú)窮遠(yuǎn)處向源點(diǎn)傳播，設(shè)方程(4)滿足如下的索莫非輻射邊界條件：

(5)

根據(jù)擾動(dòng)理論，可將地下變化的波速分為兩部分：全局性大尺度緩慢連續(xù)變化的背景波速v0(r)和局部快速變化的擾動(dòng)速度α(r)，為了保持與波動(dòng)方程形式相一致，可以將兩者關(guān)系表示為如下的形式：

(6)

同時(shí)，緩慢連續(xù)變化的背景波速v0(r)不產(chǎn)生新的震相，只與入射波場(chǎng)有關(guān)，將這部分波場(chǎng)記為背景波場(chǎng)ui(r,rs,ω)；局部快速變化的波速擾動(dòng)產(chǎn)生新的震相，與入射波場(chǎng)和擾動(dòng)波速有關(guān)，把入射波、繞射波和隨機(jī)散射波統(tǒng)稱為散射波場(chǎng)，記為us(r,rs,ω)，因此

u(r,rs,ω)=ui(r,rs,ω)+us(r,rs,ω).

(7)

將式(6)、(7)代入式(4)中，可以得到：

(8a)

+us(r,rs,ω)],(8b)

為求解方程(8b)，引入Green函數(shù)G(r,rg,ω)，其滿足方程：

(9)

運(yùn)用Green定理，經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)可得：

+us(r,rs,ω)]d3r.

(10)

由式(10)可知，界面速度擾動(dòng)量α(r)和散射波場(chǎng)us(rg,rs,ω)之間存在非線性的關(guān)系，要準(zhǔn)確求解速度擾動(dòng)量α(r)，必須對(duì)其進(jìn)行線性化近似，考慮當(dāng)擾動(dòng)量較小時(shí)，即us(r,rs,ω)?ui(r,rs,ω)，忽略右端項(xiàng)中的散射場(chǎng)us(r,rs,ω)，這時(shí)可以得到：

(11)

其中ui(r,rs,ω)=G(r,rs,ω)，因此：

(12)

式(12)即為虛擬波動(dòng)場(chǎng)關(guān)于電性界面速度擾動(dòng)量的Born近似表達(dá)式.

在一維背景速度為常數(shù)、零偏移距條件下，即v0(x)=v0=const，xs=xg，式(12)可以寫為：

(13)

根據(jù)文獻(xiàn)(Bleistein et al.，2001)可知，在一維常速度背景下Green函數(shù)的解析表達(dá)式為：

(14)

假定接收點(diǎn)位于地表，即x=0，并將式(14)代入式(13)中，可以得到：

(15)

根據(jù)Fourier變換對(duì)的表達(dá)式：

(16)

可以求得速度擾動(dòng)量的表達(dá)式：

(17)

由(17)式可知，通過(guò)Fourier變換可以快速由虛擬波場(chǎng)的數(shù)據(jù)求得界面的速度擾動(dòng)量.

根據(jù)圖1階躍函數(shù)以及圖2 Delta函數(shù)的頻譜圖可知，階躍函數(shù)的頻譜主要集中在低頻區(qū)域，而且隨著頻率的升高振幅逐漸減小，而Delta函數(shù)的頻譜振幅始終等于1.圖3、圖4分別展示了全頻帶、缺少零頻信息、10～100 Hz、10～40 Hz的階躍函數(shù)以及Delta函數(shù)，黑色實(shí)線表示函數(shù)的真實(shí)值，黑色圓圈表示有限帶寬的階躍函數(shù)和Delta函數(shù).隨著帶寬越來(lái)越窄，階躍函數(shù)變形越來(lái)越嚴(yán)重，而Delta函數(shù)幾乎不受頻帶的影響，因此可知有限帶寬的Delta函數(shù)比有限帶寬的階躍函數(shù)更容易識(shí)別電性界面.

圖1 階躍函數(shù)及其頻譜圖(a)階躍函數(shù)；(b)階躍函數(shù)的頻譜圖.Fig.1 Step function and its spectrum(a)Step function;(b)Spectrum diagram of step function.

圖2 Delta函數(shù)及其頻譜圖(a)Delta函數(shù)；(b)Delta函數(shù)的頻譜圖.Fig.2 Delta function and its spectrum(a)Delta function;(b)Spectrum diagram of Delta function.

圖3 不同頻率的階躍函數(shù)(a)全頻帶；(b)缺少0頻信息；(c)10～100 Hz；(d)10～40 Hz.Fig.3 Step functions of different frequencies(a)Full frequency band;(b)Lack of 0 frequency information;(c)10 to 100 Hz;(d)10 to 40 Hz.

圖4 不同頻率的Delta函數(shù)(a)全頻帶；(b)缺少0頻信息；(c)10～100 Hz；(d)10～40 Hz.Fig.4 Delta functions of different frequencies(a)Full frequency band;(b)Lack of 0 frequency information;(c)10 to 100Hz;(d)10 to 40 Hz.

由于瞬變電磁擬地震成像僅需要定位電性界面的位置，因此，本文使用Delta函數(shù)形式的反射率函數(shù)識(shí)別電性界面，記為β(x)，通過(guò)對(duì)速度擾動(dòng)量函數(shù)α(x)求一階導(dǎo)數(shù)，即可得到界面反射率函數(shù)的表達(dá)式：

(18)

1.2 二階Born近似算法

已知Born近似算法忽略散射場(chǎng)，雖然使積分方程線性化，但是由于其只利用了散射序列中的第一項(xiàng)，丟失了部分有效信息，只適用于小擾動(dòng)量介質(zhì)的成像(丁科和宋守根，2004).因此，本文將對(duì)散射序列中的各項(xiàng)進(jìn)行分析研究.

已知波動(dòng)方程(4)的解具有如下的形式：

×u(r,rs,k)d3r,(19)

=u0+u1+u2+…

(20)

式(20)稱為散射序列或Born序列.已知u(r,rs,ω)=ui(r,rs,ω)+us(r,rs,ω)，因此散射場(chǎng)的表達(dá)式為：

=u1+u2+…

(21)

根據(jù)(21)式可知，去掉第二項(xiàng)以后，即為Born近似的表達(dá)式，同時(shí)在(21)式中存在如下的遞推關(guān)系：

(22)

對(duì)式(21)取前兩項(xiàng)，可得：

×G(r′,r″,k)u(r″,rs,k)d3r″d3r′.

(23)

當(dāng)偏移距為零時(shí)，即xs=xg=0，則Green函數(shù)的表達(dá)式為：

(24)

將式(24)代入式(23)中，可以得到：

×u(r″,0,k)dx″dx′.

(25)

已知Green函數(shù)的另一種表達(dá)形式為：

(26)

將式(26)代入式(25)，整理可得下面的方程組：

(27)

由式(27)可知，各變量之間存在循環(huán)迭代的關(guān)系.令us(0,0,k)=εus(0,0,k)，則式(27)可寫為：

(28)

當(dāng)n=1時(shí)，可得：

(29)

當(dāng)n=2時(shí)，可得：

(30)

當(dāng)n=3時(shí)，可得：

(31)

通過(guò)循環(huán)迭代依次可以求得W(k)、A(kx,k)和T(kx,0,k)，從而得到二階Born近似反射率函數(shù)β(x)的表達(dá)式：

(32)

2 算法驗(yàn)證

2.1 電阻率變化對(duì)結(jié)果的影響

本節(jié)主要探究電阻率變化對(duì)Born近似算法以及二階Born近似算法結(jié)果的影響，設(shè)置了H、K型模型，電性界面距地面分別為100 m、200 m，保持第一層與第三層的電阻率值不變，使模型第二層的電阻率依次變化.H型模型第一層與第三層的電阻率均設(shè)置為100 Ωm，設(shè)置第二層電阻率與背景電阻率的差異越來(lái)越大，依次為90 Ωm、80 Ωm、70 Ωm、60 Ωm；K型模型第一層與第三層的電阻率均設(shè)置為10 Ωm，第二層電阻率依次設(shè)置為20 Ωm、30 Ωm、40 Ωm、50 Ωm.模型示意圖如圖5所示，均選擇第一層作為背景速度v0，分別計(jì)算了Born近似算法和二階Born近似算法的結(jié)果，如圖6，7所示.

圖5 三層模型示意圖(a)H型模型；(b)K型模型.Fig.5 Three-layer model diagram(a)H-type model;(b)K-type model.

圖6 H型模型Born近似、二階Born近似以及真實(shí)值結(jié)果圖(a)ρ1=100 Ωm，ρ2=90 Ωm，ρ3=100 Ωm；(b)ρ1=100 Ωm，ρ2=80 Ωm，ρ3=100 Ωm；(c)ρ1=100 Ωm，ρ2=70 Ωm，ρ3=100 Ωm；(d)ρ1=100 Ωm，ρ2=60 Ωm，ρ3=100 Ωm.Fig.6 Born approximation,second-order Born approximation and real value of H-type model

圖中，黑色實(shí)線、黑色加號(hào)、黑色圓圈分別表示三層模型電性界面反射率函數(shù)的真實(shí)值、Born近似值、二階Born近似值，其幅值表示電性界面反射率函數(shù)的大小.從H型模型的結(jié)果圖中可知，黑色加號(hào)與黑色實(shí)線僅在第一個(gè)電性界面處重合，隨著中間層與背景電阻率的差異變大，兩者所指示的第二個(gè)電性界面的位置差也越來(lái)越大，K型模型結(jié)果類似.說(shuō)明了Born近似算法僅能正確定位第一個(gè)電性界面的位置，隨著電阻率差異變大，對(duì)第二個(gè)電性界面的定位偏差也會(huì)變大，這是由于在第一個(gè)電性界面處，第一層真實(shí)的速度與背景速度是一致的，因此對(duì)于第一個(gè)電性界面能夠正確反映；對(duì)于第二個(gè)電性界面，由于第二層的速度與背景速度是不一致的，因此會(huì)造成一定的誤差.反觀黑色圓圈與黑色實(shí)線在兩個(gè)電性界面處幾乎重合，說(shuō)明了二階Born近似算法可以較好地反映地下電性界面的位置，其結(jié)果與真實(shí)值的偏差幾乎不會(huì)隨著電阻率差異變大而變大.以上分析說(shuō)明了Born近似算法僅適用于小擾動(dòng)量的成像問(wèn)題，對(duì)于大擾動(dòng)量模型，幾乎不能正確定位界面的位置；而二階Born近似算法幾乎不受電阻率變化的影響，在大擾動(dòng)量模型中具有一定的優(yōu)越性.

圖7 K型模型Born近似、二階Born近似以及真實(shí)值結(jié)果圖(a)ρ1=10 Ωm，ρ2=20 Ωm，ρ3=10 Ωm；(b)ρ1=10 Ωm，ρ2=30 Ωm，ρ3=10 Ωm；(c)ρ1=10 Ωm，ρ2=40 Ωm，ρ3=10 Ωm；(d)ρ1=10 Ωm，ρ2=50 Ωm，ρ3=10 Ωm.Fig.7 Born approximation,second-order Born approximation and real value of K-type model

2.2 層厚變化對(duì)結(jié)果的影響

本節(jié)主要探究模型層厚變化對(duì)結(jié)果的影響，設(shè)置了HK型模型，模型的四層電阻率分別設(shè)置為：100 Ωm、10 Ωm、100 Ωm、1 Ωm，模型示意圖如圖8所示，分別設(shè)置兩組模型：第一組模型第一層、第三層厚度均設(shè)置為100 m，第二層厚度依次設(shè)置為40 m、30 m、20 m、10 m；第二組模型第一層厚度為100 m，第二層厚度為50 m，第三層層厚依次設(shè)置為40 m、30 m、20 m、10 m.在計(jì)算過(guò)程中，均將第一層作為背景速度，相關(guān)計(jì)算結(jié)果如圖9，10所示.

圖8 四層HK型模型示意圖(a)改變第二層厚度；(b)改變第三層厚度.Fig.8 The schematic diagram of the four-layer HK model(a)Changing the thickness of the second layer;(b)Changing the thickness of the third layer.

圖9 改變第二層厚度的HK模型結(jié)果圖(a)h1=100 m，h2=40 m，h3=100 m；(b)h1=100 m，h2=30 m，h3=100 m；(c)h1=100 m，h2=20 m，h3=100 m；(d)h1=100 m，h2=10 m，h3=100 m.Fig.9 Results of HK model with changing the second layer′s thickness

圖中，黑色實(shí)線、黑色加號(hào)、黑色圓圈分別表示地下電性界面反射率函數(shù)的真實(shí)值、Born近似值、二階Born近似值.根據(jù)兩組模型的計(jì)算結(jié)果可知，各層電阻率不變、只改變第二層或者第三層厚度的情況下，黑色加號(hào)與黑色實(shí)線僅在第一個(gè)電性界面處重合，對(duì)于第二個(gè)、第三個(gè)電性界面，兩者的偏差較大，說(shuō)明Born近似算法在厚度不斷變化的模型中除了第一個(gè)電性界面外，其余界面均不能正確定位；然而黑色圓圈與黑色實(shí)線幾乎完全重合，不受模型層厚變化的影響，均能正確定位電性界面的具體位置，這進(jìn)一步說(shuō)明二階Born近似算法相對(duì)比Born近似算法具有一定的優(yōu)越性.

3 理論模型計(jì)算

3.1 二維模型

圖10 改變第三層厚度的HK模型結(jié)果圖(a)h1=100 m，h2=50 m，h3=40 m；(b)h1=100 m，h2=50 m，h3=30 m；(c)h1=100 m，h2=50 m，h3=20 m；(d)h1=100 m，h2=50 m，h3=10 m.Fig.10 Results of HK model with changing the third layer′s thickness

圖11 二維模型示意圖(a)XOZ平面；(b)XOY平面.Fig.11 Diagram of two-dimensional model(a)XOZ plane;(b)XOY plane.

圖12 二維模型的多測(cè)道圖Fig.12 Multi-channel diagram of two-dimensional model

圖13 二維模型的虛擬波場(chǎng)圖Fig.13 Pseudo wave-field diagram of two-dimensional model

在成像的計(jì)算過(guò)程中將第一層作為背景速度，圖14為二維模型的Born近似和二階Born近似算法的成像結(jié)果圖，虛線表示二維模型真實(shí)的地質(zhì)界面位置，從圖中可知兩種算法均能反映出模型有三個(gè)電性界面.Born近似的結(jié)果僅能準(zhǔn)確地定位第一個(gè)地質(zhì)界面，上盤距地面大致100 m，下盤距地面大致150 m，第二個(gè)、第三個(gè)電性界面的成像結(jié)果與實(shí)際地質(zhì)界面的位置分別大致相差30 m和40 m，而且斷層的形態(tài)與真實(shí)模型有一定差距；二階Born近似算法成像的結(jié)果對(duì)地下三個(gè)電性界面的位置定位準(zhǔn)確，成像的結(jié)果與虛線幾乎重合，橫向上在X=-50～50 m處斷層的形態(tài)較為明顯，各界面的埋深與模型設(shè)置幾乎是一致的.可見，相比于Born近似算法的成像結(jié)果，二階Born近似算法的成像效果較好.

圖14 二維模型的成像結(jié)果(a)Born近似結(jié)果；(b)二階Born近似結(jié)果.Fig.14 Imaging results of the two-dimensional model(a)Born approximation results;(b)Second-order Born approximation results.

3.2 兩個(gè)低阻薄板模型

圖15 兩個(gè)低阻薄板模型示意圖(a)XOZ平面；(b)XOY平面.Fig.15 Schematic diagram of two low-resistance thin plates(a)XOZ plane;(b)XOY plane.

圖16 三維模型的瞬變電磁數(shù)據(jù)(a)Y=40 m；(b)Y=0 m；(c)Y=-60 m.Fig.16 Transient electromagnetic data of three-dimensional model

圖17 三維模型的虛擬波場(chǎng)圖(a)Y=40 m；(b)Y=0 m；(c)Y=-60 m.Fig.17 Pseudo wave-field diagram of three-dimensional model

圖19 測(cè)線Y=0 m的成像結(jié)果(a)Born近似結(jié)果；(b)二階Born近似結(jié)果.Fig.19 Imaging results of line Y=0 m(a)Born approximation results;(b)Second-order Born approximation results.

圖20 測(cè)線Y=-60 m的成像結(jié)果(a)Born近似結(jié)果；(b)二階Born近似結(jié)果.Fig.20 Imaging results of line Y=-60 m(a)Born approximation results;(b)Second-order Born approximation results.

在成像的計(jì)算過(guò)程中將背景電阻率作為背景速度，圖18—20分別展示了測(cè)線Y=40 m、Y=0 m、Y=-60 m的Born近似算法以及二階Born近似算法的擬地震成像結(jié)果圖，其中黑色虛線表示該測(cè)線下方異常體的真實(shí)位置.測(cè)線Y=40 m處，Born近似算法與二階Born近似算法均對(duì)上部異常體的上下界面以及下部異常體的上界面有所反映，但是Born近似算法的成像結(jié)果與真實(shí)界面的位置大約相差30～40 m，而且界面傾斜與真實(shí)模型形態(tài)相差較大；而二階Born近似算法的結(jié)果能夠準(zhǔn)確定位界面的位置以及異常體的形態(tài).測(cè)線Y=0 m的Born近似成像的結(jié)果不能準(zhǔn)確定位界面的位置，尤其是下部異常體的界面與真實(shí)界面大約相差50 m；二階Born近似擬地震的結(jié)果可以較好地定位兩個(gè)異常體的界面位置，而且其形態(tài)與真實(shí)模型相一致.測(cè)線Y=-60 m的擬地震B(yǎng)orn近似成像結(jié)果僅反映了上部異常體的部分界面信息以及下部異常體的界面位置，但結(jié)果與真實(shí)模型的界面位置存在一定的偏差，而二階Born近似算法的結(jié)果對(duì)界面的位置以及異常體的形態(tài)均能夠準(zhǔn)確定位.測(cè)線Y=40 m雖然只穿過(guò)上部異常體、未穿過(guò)下部異常體，但是計(jì)算瞬變電磁擴(kuò)散場(chǎng)時(shí)會(huì)受到下部異常體的影響，因此成像的結(jié)果中含有下部異常體的部分信息，同理可知測(cè)線Y=-60 m處雖只穿過(guò)下部異常體，但對(duì)上部異常體也有所反映.通過(guò)對(duì)三維低阻薄板模型不同位置的3條測(cè)線進(jìn)行Born近似算法以及二階Born近似算法成像的結(jié)果可知，二階Born近似算法的結(jié)果既可以準(zhǔn)確反映兩個(gè)低阻薄板上下界面的位置，又可以精確反映界面的形態(tài)，因此該方法相對(duì)比Born近似算法具有較高的精度和界面識(shí)別能力.

4 結(jié)論

本文基于瞬變電磁波場(chǎng)反變換，在波動(dòng)方程中將總波場(chǎng)、總速度分為關(guān)于背景和擾動(dòng)量的項(xiàng)，然后運(yùn)用Green定理求解波動(dòng)方程，并引入Born近似算法將積分方程線性化，建立了虛擬波場(chǎng)與界面反射率函數(shù)之間的關(guān)系.通過(guò)分析散射序列以及遞推關(guān)系，本文保留了散射序列的前兩項(xiàng)，推導(dǎo)出了二階Born近似算法的表達(dá)式.通過(guò)探究電阻率變化、層厚變化對(duì)Born近似算法以及二階Born近似算法的影響，可知二階Born近似算法幾乎不受影響，均能準(zhǔn)確定位界面位置；根據(jù)理論模型的成像結(jié)果可知，相對(duì)比Born近似算法，二階Born算法既可以準(zhǔn)確反映二維模型地質(zhì)界面的位置和形態(tài)，又能定位三維模型中的兩個(gè)低阻薄板的埋深以及相對(duì)位置.綜上可知，在波場(chǎng)反變換的基礎(chǔ)上，二階Born近似算法可以實(shí)現(xiàn)瞬變電磁擬地震快速、準(zhǔn)確成像的目的.

本文主要研究散射序列的前兩項(xiàng)即二階Born近似與Born近似算法的結(jié)果對(duì)比，在后面的研究中將對(duì)散射序列的更高階項(xiàng)進(jìn)行探究.

致謝我們特別向?qū)徃迦撕途庉媽?duì)本文提出的建設(shè)性意見表示感謝．